إذا كنت بحاجة إلى رفع رقم معين إلى قوة ، فيمكنك استخدامه. سنلقي نظرة فاحصة الآن على خصائص القوى.

الأعداد الأسيةتفتح إمكانيات كبيرة ، فهي تسمح لنا بتحويل الضرب إلى جمع ، والجمع أسهل بكثير من الضرب.

على سبيل المثال ، علينا ضرب 16 في 64. حاصل ضرب هذين العددين هو 1024. لكن 16 هو 4x4 ، و 64 هو 4x4x4. 16 في 64 = 4x4x4x4x4 وهو أيضًا 1024.

يمكن أيضًا تمثيل الرقم 16 كـ 2x2x2x2 ، و 64 كـ 2x2x2x2x2x2 ، وإذا ضربنا ، نحصل مرة أخرى على 1024.

الآن دعنا نستخدم القاعدة. 16 = 4 2 أو 2 4 أو 64 = 4 3 أو 2 6 بينما 1024 = 6 4 = 4 5 أو 2 10.

لذلك ، يمكن كتابة المسألة بطريقة أخرى: 4 2 × 4 3 = 4 5 أو 2 4 × 2 6 = 2 10 ، وفي كل مرة نحصل على 1024.

يمكننا حل عدد من الأمثلة المتشابهة ونلاحظ أن ضرب الأعداد بالقوى يقل إلى إضافة الأس، أو الأس ، بالطبع ، بشرط أن تكون أسس العوامل متساوية.

وبالتالي ، يمكننا ، دون الضرب ، أن نقول على الفور أن 2 4 × 2 2 × 2 14 \ u003d 2 20.

هذه القاعدة صحيحة أيضًا عند قسمة الأعداد على قوى ، ولكن في هذه الحالة ، e يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. وبالتالي ، 2 5: 2 3 = 2 2 ، والتي في الأعداد العادية تساوي 32: 8 = 4 ، أي 2 2. دعونا نلخص:

a m x a n \ u003d a m + n، a m: a n \ u003d a m-n ، حيث m و n عدد صحيح.

للوهلة الأولى ، قد يبدو ذلك ضرب وقسمة الأعداد مع القوىليس مناسبًا جدًا ، لأنك تحتاج أولاً إلى تمثيل الرقم في شكل أسي. ليس من الصعب تمثيل العددين 8 و 16 في هذا الشكل ، أي 2 3 و 2 4 ، ولكن كيف نفعل ذلك مع الرقمين 7 و 17؟ أو ما يجب فعله في تلك الحالات التي يمكن فيها تمثيل الرقم في شكل أسي ، لكن قواعد التعبيرات الأسية للأرقام مختلفة تمامًا. على سبيل المثال ، 8 × 9 هي 2 3 × 3 2 ، وفي هذه الحالة لا يمكننا جمع الأسس. لا 2 5 ولا 3 5 هما الجواب ، ولا الجواب بينهما.

إذن ، هل يستحق العناء بهذه الطريقة على الإطلاق؟ بالتأكيد يستحق ذلك. إنه يوفر مزايا ضخمة ، خاصة للحسابات المعقدة والمستهلكة للوقت.

تصبح كل عملية حسابية أحيانًا مرهقة جدًا بحيث لا يمكن تسجيلها ويحاولون تبسيطها. اعتادت أن تكون هي نفسها مع عملية الإضافة. كان من الضروري أن يقوم الناس بإجراء إضافات متكررة من نفس النوع ، على سبيل المثال ، لحساب تكلفة مائة سجادة فارسية ، تكلفتها 3 عملات ذهبية لكل منها. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. بسبب الإرهاق ، تم اختراعه لتقليل التدوين إلى 3 * 100 = 300. في الواقع ، تعني التسمية "ثلاث مرات مائة" أنك بحاجة إلى أخذ مائة ثلاثة توائم واجمعهم معًا. ترسخ الضرب ، واكتسب شعبية عامة. لكن العالم لا يزال صامدًا ، وفي العصور الوسطى أصبح من الضروري إجراء عمليات الضرب المتكررة من نفس النوع. أتذكر لغزًا هنديًا قديمًا عن رجل حكيم طلب حبوب القمح بالكمية التالية كمكافأة على العمل المنجز: بالنسبة للخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، طلب حبة واحدة ، وللثانية - اثنان ، والثالثة - أربعة والخامس - الثامن وما إلى ذلك. هذه هي الطريقة التي ظهرت بها أول عملية مضاعفة للقوى ، لأن عدد الحبيبات كان يساوي اثنين أس رقم الخلية. على سبيل المثال ، في الخلية الأخيرة سيكون هناك 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 حبة ، وهو ما يساوي عددًا طوله 18 حرفًا ، وهو في الواقع معنى اللغز.

ترسخت عملية الرفع إلى قوة بسرعة كبيرة ، وسرعان ما أصبح من الضروري إجراء عمليات الجمع والطرح والقسمة ومضاعفة الدرجات. هذا الأخير يستحق النظر بمزيد من التفصيل. الصيغ الخاصة بإضافة القوى بسيطة وسهلة التذكر. بالإضافة إلى ذلك ، من السهل جدًا فهم مصدرها إذا تم استبدال عملية الطاقة بالضرب. لكن عليك أولاً أن تفهم المصطلحات الأولية. يعني التعبير a ^ b (اقرأ "a إلى قوة b") أنه يجب ضرب الرقم a في نفسه ب مرات ، وتسمى "a" أساس الدرجة ، و "b" هو الأس. إذا كانت أسس القوى هي نفسها ، فإن الصيغ مشتقة بكل بساطة. مثال محدد: ابحث عن قيمة التعبير 2 ^ 3 * 2 ^ 4. لمعرفة ما يجب أن يحدث ، يجب أن تجد الإجابة على الكمبيوتر قبل بدء الحل. بإدخال هذا التعبير في أي آلة حاسبة على الإنترنت ، أو محرك بحث ، أو كتابة "مضاعفة القوى بأساسيات مختلفة ونفس الشيء" أو حزمة رياضية ، سيكون الناتج 128. الآن دعنا نكتب هذا التعبير: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 ، و 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. اتضح أن 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). اتضح أن حاصل ضرب الأسس التي لها نفس الأساس يساوي القاعدة المرفوعة لقوة تساوي مجموع الأسس السابقتين.

قد تعتقد أن هذا مجرد حادث ، ولكن لا: يمكن لأي مثال آخر تأكيد هذه القاعدة فقط. وبالتالي ، بشكل عام ، تبدو الصيغة كما يلي: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). هناك أيضًا قاعدة مفادها أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. هنا يجب أن نتذكر قاعدة القوى السالبة: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. أي إذا كان 2 ^ 3 = 8 ، فإن 2 ^ (- 3) = 1/8. باستخدام هذه القاعدة ، يمكننا إثبات المساواة a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (n-n) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n) ، يمكن اختزال a ^ (n) ويبقى واحدًا. من هذا ، تُشتق القاعدة أن حاصل قسمة القوى التي لها نفس الأساس يساوي هذه القاعدة لدرجة تساوي حاصل قسمة المقسوم والمقسوم عليه: a ^ n: a ^ m \ u003d a ^ (n-m). مثال: بسّط التعبير 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). الضرب هو عملية تبادلية ، لذلك يجب أولاً إضافة الأسس: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. بعد ذلك ، يجب أن تتعامل مع القسمة بدرجة سالبة. من الضروري طرح الأس المقسوم عليه من الأس المقسوم: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. إنه تبين أن عملية القسمة على درجة سالبة مماثلة لعملية الضرب على أس موجب مماثل. إذن الإجابة النهائية هي 8.

هناك أمثلة على حدوث مضاعفة غير قانونية للقوى. غالبًا ما يكون مضاعفة القوى بقواعد مختلفة أكثر صعوبة ، وأحيانًا مستحيل. ينبغي إعطاء العديد من الأمثلة على مختلف الأساليب الممكنة. مثال: تبسيط التعبير 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. من الواضح أن هناك مضاعفة للقوى ذات قواعد مختلفة. لكن ، تجدر الإشارة إلى أن جميع القواعد هي قوى ثلاثية مختلفة. 9 = 3 ^ 2.1 = 3 ^ 4.3 = 3 ^ 5.9 = 3 ^ 6. باستخدام القاعدة (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m) ، يجب إعادة كتابة التعبير بشكل أكثر ملاءمة: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). الجواب: 3 ^ 11. في الحالات التي توجد فيها قواعد مختلفة ، فإن القاعدة a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n تعمل لمؤشرات متساوية. على سبيل المثال ، 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. خلاف ذلك ، عندما تكون هناك أسس ومؤشرات مختلفة ، من المستحيل إجراء عملية الضرب الكاملة. في بعض الأحيان يمكنك تبسيط تكنولوجيا الكمبيوتر أو اللجوء إليها جزئيًا.

كيف نضاعف القوى؟ أي القوى يمكن أن تتضاعف وأيها لا يمكن؟ كيف تضرب رقمًا في قوة؟

في الجبر ، يمكنك إيجاد ناتج القوى في حالتين:

1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس ؛

2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يجب أن تظل القاعدة كما هي ، ويجب إضافة الأس:

عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات ، يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:

فكر في كيفية مضاعفة القوى ، مع أمثلة محددة.

لا تتم كتابة الوحدة في الأس ، ولكن عند ضرب الدرجات ، فإنها تأخذ في الاعتبار:

عند الضرب ، يمكن أن يكون عدد الدرجات أيًا. يجب أن نتذكر أنه لا يمكنك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:

في التعبيرات ، يتم تنفيذ الأس أولاً.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة ، فيجب عليك أولاً إجراء الأس ، وبعد ذلك فقط - الضرب:

www.algebraclass.ru

الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى

الجمع والطرح للقوى

من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الإضافة ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 \ u003d -h 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأرقام التي يكون أسسها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع أو فرق رقمين تساوي مجموع أو فرق مربعاتهما.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم السلطات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. وهذا يعني ، $ \ frac = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. وهذا يعني ، $ \ frac = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac: \ frac = \ frac. \ frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عملية الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أرقام ذات قوى

1. تقليل الأسس في $ \ frac $ Answer: $ \ frac $.

2. أنقص الأسس في $ \ frac $. الإجابة: $ \ frac $ أو 2x.

3. أنقص الأسس a 2 / a 3 و a -3 / a -4 ويوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

خصائص الدرجة

نذكرك أننا نفهم في هذا الدرس خصائص الدرجةمع المؤشرات الطبيعية والصفر. ستتم مناقشة الدرجات ذات المؤشرات المنطقية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

الأس ذو الأس الطبيعي له العديد من الخصائص المهمة التي تسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية في أمثلة الأس.

خاصية # 1
نتاج القوى

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يبقى الأساس بدون تغيير ويتم إضافة الأس.

a m a n \ u003d a m + n ، حيث "a" هو أي رقم ، و "m" ، "n" هي أي أرقام طبيعية.

تؤثر خاصية الصلاحيات هذه أيضًا على نتاج ثلاث قوى أو أكثر.

تبسيط التعبير.
ب ب 2 ب 3 ب 4 ب 5 = ب 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ب 15

تقديم كدرجة.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

تقديم كدرجة.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

يرجى ملاحظة أنه في الخاصية المشار إليها كان الأمر يتعلق فقط بمضاعفة القوى بنفس الأسس.. لا ينطبق على إضافتهم.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. هذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243

الخاصية # 2
الدرجات الخاصة

عند قسمة القوى على نفس الأساس ، تظل القاعدة دون تغيير ، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

اكتب حاصل القسمة كقوة
(2 ب) 5: (2 ب) 3 = (2 ب) 5 - 3 = (2 ب) 2

احسب.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 4 11 = 44
مثال. حل المعادلة. نستخدم خاصية الدرجات الجزئية.
3 8: ر = 3 4

الجواب: ر = ٣ ٤ = ٨١

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2 ، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

مثال. تبسيط التعبير.
4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 - 4 م - 3 = 4 2 م + 5

مثال. أوجد قيمة تعبير باستخدام خصائص الدرجة.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

يرجى ملاحظة أن مكان الإقامة 2 تعامل فقط مع تقسيم السلطات بنفس القواعد.

لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. هذا أمر مفهوم إذا قمت بحساب (4 3 −4 2) = (64-16) = 48 ، و 4 1 = 4

الخاصية # 3
الأس

عند رفع قوة إلى أس ، تظل قاعدة الأس كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس.

(أ ن) م \ u003d أ ن م ، حيث "أ" هو أي رقم ، و "م" ، "ن" أي أرقام طبيعية.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4 ، مثل الخصائص الأخرى للدرجات ، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

(أ ن ب ن) = (أ ب) ن

أي ، لضرب الأسس بنفس الأسس ، يمكنك ضرب الأسس وترك الأس دون تغيير.

مثال. احسب.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. احسب.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا ، قد تكون هناك حالات يجب فيها إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات قواعد مختلفة وأسس مختلفة. في هذه الحالة ، ننصحك بالقيام بما يلي.

على سبيل المثال ، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64144 = 9216

مثال على أس كسر عشري.

4 21 (0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (0.25)) 20 = 4 (1) 20 = 4 1 = أربعة

الخصائص 5
قوة حاصل القسمة (الكسور)

لرفع ناتج القسمة إلى أس ، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل إلى هذه القوة ، وقسمة النتيجة الأولى على الثانية.

(a: b) n \ u003d a n: b n ، حيث "a" ، "b" هي أي أرقام منطقية ، b ≠ 0 ، n أي رقم طبيعي.

مثال. عبر عن التعبير في صورة قوى جزئية.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

نذكرك أنه يمكن تمثيل حاصل القسمة في صورة كسر. لذلك ، سوف نتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفاصيل في الصفحة التالية.

الدرجات والجذور

عمليات ذات قوى وجذور. درجة مع سلبي ,

صفر وجزئي مؤشر. حول التعبيرات التي لا معنى لها.

عمليات بالدرجات.

1. عند ضرب الأسس بنفس القاعدة ، تُضاف مؤشراتها:

صباحا · أ ن = أ م + ن.

2. عند قسمة الدرجات مع نفس القاعدة ، مؤشراتها مطروح .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذين العاملين.

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع درجة إلى قوة ، تتضاعف مؤشراتها:

تتم قراءة جميع الصيغ أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

مثال (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

عمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه ، يعني الرمز جذر حسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي أن نرتقي إلى هذه القوة رقم الجذر:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر بمقدار m مرات ورفعت رقم الجذر في نفس الوقت إلى الدرجة m -th ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر بمقدار m مرات وفي نفس الوقت استخرجت جذر الدرجة m من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

توسيع مفهوم الدرجة. حتى الآن ، نظرنا في الدرجات فقط بمؤشر طبيعي ؛ لكن العمليات ذات القوى والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى نفي, صفرو كسريالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفًا إضافيًا.

الدرجة مع الأس السالب. تُعرَّف درجة عدد معين بأس سالب (عدد صحيح) على أنها واحدة مقسومة على درجة نفس الرقم مع أس يساوي القيمة المطلقة للأس سالب:

الآن الصيغة صباحا : أ = م نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م، أكثر من ن، ولكن أيضًا في م، أقل من ن .

مثال أ 4: أ 7 = أ 4 — 7 = أ — 3 .

إذا كنا نريد الصيغة صباحا : أ = صباحا — نكان عادلا في م = ن، نحن بحاجة لتعريف درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر. درجة أي عدد غير صفري بأس صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1 ، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري. من أجل رفع رقم حقيقي a إلى القوة m / n ، تحتاج إلى استخراج جذر الدرجة n من القوة mth لهذا الرقم a:

حول التعبيرات التي لا معنى لها. هناك العديد من هذه التعبيرات.

أين أ ≠ 0 , غير موجود.

في الواقع ، إذا افترضنا ذلك xهو رقم معين ، إذن ، وفقًا لتعريف عملية التقسيم ، لدينا: أ = 0· x، بمعنى آخر. أ= 0 وهو ما يتعارض مع الشرط: أ ≠ 0

— أي رقم.

في الواقع ، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما x، ثم وفقًا لتعريف عملية القسمة لدينا: 0 = 0 x. لكن هذه المساواة تحمل أي رقم xالتي كان من المقرر إثباتها.

0 0 — أي رقم.

الحل: النظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) x = 0 – هذه القيمة لا تفي بهذه المعادلة

2) متى x> 0 نحصل على: س / س= 1 ، أي 1 = 1 ، ومن أين يتبع ،

ماذا او ما x- أي رقم ولكن مع مراعاة ذلك

قضيتنا x> 0 ، الجواب x > 0 ;

قواعد ضرب الأسس ذات الأسس المختلفة

درجة بمؤشر منطقي ،

وظيفة الطاقة IV

69. تكاثر السلطات وتقسيمها بنفس الأسس

نظرية 1.لضرب الأسس بنفس الأسس ، يكفي جمع الأسس ، وترك القاعدة كما هي ، أي

دليل - إثبات.حسب تعريف الدرجة

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

لقد اعتبرنا ناتج قوتين. في الواقع ، الخاصية المُثبتة صحيحة لأي عدد من الصلاحيات التي لها نفس الأسس.

نظرية 2.لتقسيم القوى بنفس الأسس ، عندما يكون مؤشر المقسوم أكبر من مؤشر المقسوم عليه ، يكفي طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر المقسوم ، وترك القاعدة كما هي ، أي في ر> ن

(أ =/= 0)

دليل - إثبات.تذكر أن حاصل قسمة رقم على آخر هو الرقم الذي يعطي المقسوم عند ضربه في القاسم. لذلك ، إثبات الصيغة ، أين أ = / = 0 ، إنه مثل إثبات الصيغة

اذا كان ر> ن ثم الرقم ر - ص سيكون طبيعيا لذلك ، من خلال نظرية 1

تم إثبات النظرية 2.

لاحظ أن الصيغة

أثبت من قبلنا فقط في ظل افتراض ذلك ر> ن . لذلك ، مما تم إثباته ، لا يمكن حتى الآن استخلاص الاستنتاجات التالية ، على سبيل المثال:

بالإضافة إلى ذلك ، لم نفكر بعد في الدرجات ذات الأسس السالب ، ولا نعرف حتى الآن المعنى الذي يمكن أن يُعطى للتعبير 3 - 2 .

نظرية 3. لرفع أس إلى أس ، يكفي ضرب الأسس ، مع ترك قاعدة الأس كما هي، هذا هو

دليل - إثبات.باستخدام تعريف الدرجة والنظرية 1 في هذا القسم ، نحصل على:

Q.E.D.

على سبيل المثال ، (2 3) 2 = 2 6 = 64 ؛

518 (عن طريق الفم) تحديد X من المعادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (معدلة) بسّط:

520. (معدل) بسّط:

521- قدم هذه التعبيرات كدرجات لها نفس الأسس:

1) 32 و 64 ؛ 3) 85 و 163 ؛ 5) 4100 و 32 50 ؛

2) -1000 و 100 ؛ 4) -27 و -243 ؛ 6) 81 75 8200 و 3600 4150.

من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الإضافة ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 =-س 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأرقام التي يكون أسسها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع أو فرق رقمين تساوي مجموع أو فرق مربعاتهما.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم السلطات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

أو:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. أي ، $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. بمعنى ، $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (أأ) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عملية الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قلل الأسس في $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Answer: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. قلل الأسس في $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. الإجابة: $ \ frac (2x) (1) $ أو 2x.

3. أنقص الأسس a 2 / a 3 و a -3 / a -4 ويوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

9. قسّم (h 3 - 1) / d 4 على (d n + 1) / h.

صيغ القوةتستخدم في عملية تقليل وتبسيط التعبيرات المعقدة ، في حل المعادلات والمتباينات.

رقم جهو ن- القوة رقم أمتى:

عمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس القاعدة ، تضيف مؤشراتها ما يلي:

صباحاأ ن = أ م + ن.

2. في قسمة الدرجات بنفس القاعدة ، تُطرح مؤشراتها:

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل:

(أبج ...) ن = أ ن ب ن ج ن ...

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم والمقسوم عليه:

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع قوة إلى قوة ، يتم مضاعفة الأس:

(ص) ن = أ م ن.

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

فمثلا. (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4.

عمليات مع الجذور.

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم والمقسوم عليه من الجذور:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي رفع رقم الجذر إلى هذه القوة:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذر فيها نمرة واحدة وفي نفس الوقت ارفع إلى نالقوة هي رقم جذر ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا خفضنا درجة الجذر فيها نالجذر في نفس الوقت نالدرجة الثالثة من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

الدرجة مع الأس السالب.يتم تعريف درجة عدد معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنه واحد مقسوم على درجة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة صباحا: أ ن = أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م> ن، ولكن أيضًا في م< ن.

فمثلا. أ4: أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

للصيغة صباحا: أ ن = أ م - نأصبح عادلا في م = ن، فأنت بحاجة إلى وجود درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر.قوة أي عدد غير صفري أس صفر يساوي واحدًا.

فمثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري.لرفع رقم حقيقي أإلى حد ما م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر ندرجة ال معشر قوة هذا الرقم أ.