في مجموعة متنوعة من طرق البحث النظرية والتطبيقية تستخدم على نطاق واسع للنمذجة الرياضية ، مما يقلل من حل المشكلات في مجال معين من الدراسة إلى حل المشكلات الرياضية المناسبة (أو المناسبة لها تقريبًا). من الضروري تقديم حل لهذه المشكلات للحصول على نتيجة عددية (حسابات أنواع مختلفة من الكميات ، حلول لأنواع مختلفة من المعادلات ، إلخ). الهدف من الرياضيات الحسابية هو تطوير خوارزميات للحل العددي لمجموعة واسعة من المسائل الرياضية. يجب تصميم الأساليب بحيث يمكن تنفيذها بشكل فعال باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر الحديثة. كقاعدة عامة ، لا تسمح المشكلات قيد النظر بحل دقيق ، لذلك نحن نتحدث عن تطوير خوارزميات تقدم حلًا تقريبيًا. لتكون قادرًا على استبدال الحل الدقيق غير المعروف للمشكلة بحل تقريبي ، من الضروري أن يكون الأخير قريبًا بدرجة كافية من الحل الدقيق. في هذا الصدد ، يصبح من الضروري تقدير مدى قرب الحل التقريبي من الحل الدقيق وتطوير طرق تقريبية لإنشاء حلول تقريبية أقرب ما يمكن إلى الحلول الدقيقة.

من الناحية التخطيطية ، فإن العملية الحسابية هي تلك الخاصة بكمية معينة x(رقمي ، متجه ، إلخ.) احسب قيمة بعض الوظائف فأس). يسمى الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية للكمية خطأ. حساب دقيق للقيمة فأس)عادة ما يكون مستحيلًا ، ويجبرك على استبدال الوظيفة (العملية) أتمثيلها التقريبي Ã والتي يمكن حسابها: حساب القيمة فأس)، يتم استبداله بالحساب - فأس) أ (س) - Ã (خ)اتصل خطأ في الأسلوب. يجب تطوير طريقة لتقدير هذا الخطأ جنبًا إلى جنب مع تطوير طريقة لحساب الكمية فأس). من بين الطرق الممكنة لبناء تقريب ، يجب استخدام الطريقة التي تعطي ، بالوسائل والقدرات المتاحة ، أصغر خطأ.

قيمة الكمية x، أي البيانات الأولية ، في مشاكل حقيقية يتم الحصول عليها إما مباشرة من القياسات ، أو نتيجة للمرحلة السابقة من الحسابات. في هذه الحالات ، يتم تحديد قيمة تقريبية فقط س سكميات x. لذلك ، بدلا من القيمة فأس)يمكن حساب قيمة تقريبية فقط Г (xo). الخطأ الناتج أ (س) - Ã (س س)اتصل مميت. نتيجة التقريب الحتمي أثناء العمليات الحسابية ، بدلاً من القيمة Г (xo)يتم حساب قيمته "المقربة" ، مما يؤدي إلى الظهور التقريب الأخطاء Г (xo)-. تبين أن إجمالي الخطأ الحسابي يساوي فأس) - .

دعونا نمثل الخطأ الكلي في النموذج

فأس) - = [فأس) - ] + [ - Ã (xo)] +

+ [Ã (xo) - ] (1)

توضح المساواة الأخيرة أن إجمالي خطأ الحساب يساوي مجموع خطأ الأسلوب والخطأ الفادح وخطأ التقريب. يمكن تقدير أول عنصرين للخطأ قبل بدء العمليات الحسابية. يتم تقدير خطأ التقريب فقط في سياق العمليات الحسابية.

ضع في اعتبارك المهام التالية:

أ) توصيف دقة الأرقام التقريبية

ب) تقييم دقة النتيجة بدقة معروفة للبيانات الأولية (تقدير الخطأ غير القابل للاسترداد)

ج) تحديد الدقة المطلوبة للبيانات الأولية لضمان الدقة المحددة للنتيجة

د) تنسيق دقة البيانات الأولية والحسابات مع إمكانيات التسهيلات الحاسوبية المتاحة.

4 الارتياب في القياس

4.1 القيم الحقيقية والحقيقية للكميات المادية. خطأ في القياس. أسباب أخطاء القياس

عند تحليل القياسات ، يجب التمييز بوضوح بين مفهومين: القيم الحقيقية للكميات الفيزيائية ومظاهرها التجريبية - نتائج القياسات.

القيم الحقيقية للكميات الفيزيائية - هذه هي القيم التي تعكس بشكل مثالي خصائص كائن معين ، من الناحيتين الكمية والنوعية. فهي لا تعتمد على وسائل القياس وهي الحقيقة المطلقة التي يتم البحث عنها في القياسات.

على العكس من ذلك ، فإن نتائج القياسات هي نتاج المعرفة. تمثل تقديرات تقريبية لقيم الكميات التي تم العثور عليها نتيجة للقياسات ، وهي تعتمد على طريقة القياس ، وعلى أدوات القياس وعوامل أخرى.

خطأ في القياس يسمى الفرق بين نتيجة القياس x والقيمة الحقيقية Q للكمية المقاسة:

Δ = س - س (4.1)

ولكن نظرًا لأن القيمة الحقيقية لـ Q للكمية المقاسة غير معروفة ، فعندئذٍ لتحديد خطأ القياس في الصيغة (4.1) ، بدلاً من القيمة الحقيقية ، يتم استبدال القيمة الحقيقية المزعومة.

تحت القيمة الفعلية للكمية المقاسة يُفهم معناه ويجد تجريبيًا وقريبًا جدًا من المعنى الحقيقي بحيث يمكن استخدامه بدلاً منه لهذا الغرض.

أسباب حدوث الأخطاء هي: النقص في طرق القياس وأدوات القياس وأجهزة الإحساس للمراقب. في مجموعة منفصلة ، يجب الجمع بين الأسباب المرتبطة بتأثير شروط القياس. هذا الأخير يظهر بطريقتين. من ناحية أخرى ، تعتمد جميع الكميات الفيزيائية التي تلعب أي دور في القياسات على بعضها البعض بدرجة أو بأخرى. لذلك ، مع التغيير في الظروف الخارجية ، تتغير القيم الحقيقية للكميات المقاسة. من ناحية أخرى ، تؤثر شروط القياس أيضًا على خصائص أدوات القياس والخصائص الفسيولوجية للأعضاء الحسية للمراقب ومن خلالها تصبح مصدرًا لأخطاء القياس.

4.2 تصنيف أخطاء القياس حسب طبيعة تغييرها

أسباب الأخطاء الموصوفة هي مزيج من عدد كبير من العوامل ، والتي يتشكل تحت تأثيرها خطأ القياس الكلي. يمكن تجميعها في مجموعتين رئيسيتين.

المجموعة الأولى تشمل العوامل التي تظهر بشكل غير منتظم وتختفي فجأة أو تظهر بقوة يصعب توقعها. وتشمل هذه ، على سبيل المثال ، التقلبات الصغيرة في الكميات المؤثرة (درجة الحرارة ، والضغط المحيط ، وما إلى ذلك). تحدد الحصة أو المكون من إجمالي خطأ القياس الناشئ تحت تأثير عوامل هذه المجموعة خطأ القياس العشوائي.

في هذا الطريق، خطأ قياس عشوائي - مكون خطأ القياس ، والذي يتغير عشوائياً مع تكرار القياسات بنفس القيمة.

عند إنشاء أدوات القياس وتنظيم عملية القياس ككل ، يمكن تقليل شدة ظهور العوامل التي تحدد خطأ القياس العشوائي إلى مستوى مشترك ، بحيث تؤثر جميعها بشكل متساوٍ إلى حد ما على تكوين خطأ عشوائي . ومع ذلك ، فإن بعضها ، على سبيل المثال ، الانخفاض المفاجئ في الجهد الكهربائي في شبكة إمداد الطاقة ، يمكن أن يظهر بقوة بشكل غير متوقع ، ونتيجة لذلك سيأخذ الخطأ أحجامًا تتجاوز بوضوح الحدود التي يحددها مسار القياس تجربة. تسمى هذه الأخطاء في تكوين الخطأ العشوائي قلة الادب . ترتبط ارتباطًا وثيقًا يخطئ - تعتمد الأخطاء على المراقب والمرتبطة بالتعامل غير السليم مع أدوات القياس أو القراءة غير الصحيحة للقراءات أو الأخطاء في تسجيل النتائج.

المجموعة الثانية تشمل العوامل التي تكون ثابتة أو تتغير بانتظام أثناء تجربة القياس ، على سبيل المثال ، التغييرات السلسة في التأثير على الكميات. يحدد مكون خطأ القياس الكلي ، والذي يحدث تحت تأثير عوامل هذه المجموعة ، خطأ القياس المنهجي.

في هذا الطريق، خطأ منهجي في القياس - عنصر خطأ القياس الذي يظل ثابتًا أو يتغير بانتظام أثناء القياسات المتكررة لنفس الكمية.

أثناء عملية القياس ، تظهر المكونات الموصوفة للخطأ في وقت واحد ، ويمكن تمثيل الخطأ الكلي كمجموع

, (4.2)

أين - عشوائي ، a Δ s - أخطاء منهجية.

للحصول على نتائج تختلف بشكل طفيف عن القيم الحقيقية للكميات ، يتم إجراء ملاحظات متعددة للقيمة المقاسة ، متبوعة بمعالجة البيانات التجريبية. لذلك ، من الأهمية بمكان دراسة الخطأ كدالة لرقم الملاحظة ، أي الوقت أ (ر). ثم يمكن تفسير قيم الخطأ الفردية على أنها مجموعة من قيم هذه الوظيفة:

Δ 1 = Δ (ر 1) ، Δ 2 = Δ (ر 2) ، ... ، Δ ن = Δ (ر ن).

في الحالة العامة ، الخطأ هو دالة عشوائية للوقت ، والتي تختلف عن الوظائف الكلاسيكية للتحليل الرياضي من حيث أنه من المستحيل تحديد القيمة التي سيستغرقها الوقت t i. يمكنك فقط تحديد احتمالات حدوث قيمها في فترة زمنية معينة. في سلسلة من التجارب تتكون من عدد من الملاحظات المتعددة ، حصلنا على تنفيذ واحد لهذه الوظيفة. عند تكرار السلسلة بنفس قيم الكميات التي تميز عوامل المجموعة الثانية ، فإننا حتما نحصل على إدراك جديد يختلف عن الأول. تختلف التطبيقات عن بعضها البعض بسبب تأثير عوامل المجموعة الأولى ، وعوامل المجموعة الثانية ، والتي هي نفسها عند تلقي كل تطبيق ، تمنحهم بعض السمات المشتركة (الشكل 4.1).

يسمى خطأ القياس المقابل لكل لحظة من الزمن t i المقطع العرضي للدالة العشوائية Δ (t). في كل قسم ، يمكنك العثور على متوسط ​​قيمة الخطأ s (t i) ، بالنسبة إلى الأخطاء في عمليات التنفيذ المختلفة. إذا تم رسم منحنى سلس من خلال النقاط Δ (t i) التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ، فسوف يميز الاتجاه العام للخطأ في الوقت المناسب. من السهل أن نرى أن متوسط ​​القيم Δ s (tj) يتحدد بفعل عوامل المجموعة الثانية وتمثل خطأ قياس منهجيًا في الوقت t i ، والانحرافات Δ j (t j) عن متوسط ​​القيمة في يعطي القسم t i ، المقابل للتنفيذ j ، قيمة الأخطاء العشوائية. وهكذا ، المساواة

(4.3)

الشكل 4.1

افترض أن Δ s (t i) = 0 ، أي يتم استبعاد الأخطاء المنهجية بطريقة أو بأخرى من نتائج الملاحظات ، وسننظر فقط في الأخطاء العشوائية ، التي تساوي متوسط ​​قيمها صفرًا في كل قسم. لنفترض أن الأخطاء العشوائية في الأقسام المختلفة لا تعتمد على بعضها البعض ، أي إن معرفة الخطأ العشوائي في قسم واحد لا يعطينا أي معلومات إضافية حول القيمة التي يأخذها هذا التنفيذ في أي قسم ، وأن جميع الميزات النظرية الاحتمالية للأخطاء العشوائية ، وهي قيم تنفيذ واحد في جميع الأقسام تتزامن مع بعضها البعض. ثم يمكن اعتبار الخطأ العشوائي متغيرًا عشوائيًا ، وقيمه لكل من الملاحظات المتعددة لنفس الكمية المادية مثل نتائج الملاحظات المستقلة عليه.

في ظل هذه الظروف ، يتم تعريف خطأ القياس العشوائي على أنه الفرق بين نتيجة القياس المصححة XI (نتيجة لا تحتوي على خطأ منهجي) والقيمة الحقيقية Q للكمية المقاسة:

Δ = X AND –Q 4.4)

علاوة على ذلك ، سيتم تصحيح نتيجة القياس ، والتي سيتم استبعاد الأخطاء المنهجية منها.

يتم الحصول على هذه البيانات عادةً أثناء التحقق من أدوات القياس عن طريق قياس الكميات المعروفة سابقًا. عند إجراء القياسات ، يكون الهدف هو تقدير القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ، وهي غير معروفة قبل التجربة. تتضمن نتيجة القياس ، بالإضافة إلى القيمة الحقيقية ، أيضًا خطأ عشوائيًا ، وبالتالي فهي نفسها متغير عشوائي. في ظل هذه الظروف ، لم تحدد القيمة الفعلية للخطأ العشوائي الذي تم الحصول عليه أثناء التحقق دقة القياس ، لذلك ليس من الواضح ما هي القيمة التي يجب أخذها كنتيجة قياس نهائية وكيفية تحديد دقتها.

يمكن الحصول على إجابة هذه الأسئلة باستخدام طرق الإحصاء الرياضي التي تتعامل بشكل خاص مع المتغيرات العشوائية في معالجة نتائج الملاحظات.

4.3 تصنيف أخطاء القياس حسب أسباب حدوثها

اعتمادًا على أسباب الحدوث ، يتم تمييز مجموعات الأخطاء التالية: المنهجية ، والوسائل ، والخارجية ، والذاتية.

في العديد من طرق القياس ، يمكن للمرء أن يجد خطأ منهجي ، والتي هي نتيجة لافتراضات وتبسيطات معينة ، واستخدام الصيغ التجريبية والتبعيات الوظيفية. في بعض الحالات ، يكون تأثير هذه الافتراضات ضئيلًا ، أي أقل بكثير من أخطاء القياس المسموح بها ؛ في حالات أخرى يتجاوز هذه الأخطاء.

مثال على الأخطاء المنهجية هي الأخطاء في طريقة قياس المقاومة الكهربائية باستخدام مقياس التيار الكهربائي والفولتميتر (الشكل 4.2). إذا تم تحديد المقاومة R x بواسطة صيغة قانون أوم R x \ u003d U v / I a ، حيث U v هو انخفاض الجهد المقاس بواسطة الفولتميتر V ؛ I a هي القوة الحالية المقاسة بواسطة مقياس التيار A ، ثم في كلتا الحالتين سيتم السماح بأخطاء القياس المنهجية.

في الشكل 4.2 ، أ ، القوة الحالية I a ، المقاسة بواسطة مقياس التيار الكهربائي ، ستكون أكبر من القوة الحالية في المقاومة R x بقيمة القوة الحالية I v في الفولتميتر المتصل بالتوازي مع المقاومة. المقاومة R x المحسوبة باستخدام الصيغة أعلاه ستكون أقل من المقاومة الفعلية. في الشكل 4.2.6 ، سيكون الجهد المقاس بواسطة الفولتميتر V أكبر من انخفاض الجهد U r في المقاومة R x بالقيمة U a (انخفاض الجهد عبر مقاومة مقياس التيار الكهربائي A). ستكون المقاومة المحسوبة بصيغة قانون أوم أكبر من المقاومة R x بقيمة R a (مقاومة الأميتر). يمكن حساب التصحيحات في كلتا الحالتين بسهولة إذا كنت تعرف مقاومة الفولتميتر ومقياس التيار. يمكن حذف التصحيحات إذا كانت أقل بكثير من الخطأ المسموح به في قياس المقاومة R x ، على سبيل المثال ، إذا كانت مقاومة الفولتميتر في الحالة الأولى كبيرة ب

Olshe R x ، وفي الحالة الثانية R a أقل بكثير من R x.

الشكل 4.2

مثال آخر لظهور الخطأ المنهجي هو قياس حجم الأجسام ، ويُفترض أن يكون شكلها صحيحًا هندسيًا ، عن طريق قياس الأبعاد في مكان واحد أو في عدد غير كافٍ من الأماكن ، على سبيل المثال ، قياس حجم غرفة بقياس الطول والعرض والارتفاع في ثلاثة اتجاهات فقط. لتحديد الحجم بدقة ، سيكون من الضروري تحديد طول وعرض الغرفة على طول كل جدار ، في الأعلى والأسفل ، وقياس الارتفاع عند الزوايا وفي الوسط ، وأخيراً الزوايا بين الجدران. يوضح هذا المثال إمكانية حدوث خطأ منهجي كبير في حالة التبسيط غير المعقول للأسلوب.

كقاعدة عامة ، الخطأ المنهجي هو خطأ منهجي.

خطأ آلي - هذا هو أحد مكونات الخطأ بسبب النقص في أدوات القياس. والمثال الكلاسيكي على مثل هذا الخطأ هو خطأ أداة القياس بسبب التدرج غير الدقيق لمقياسها. من المهم جدًا التمييز بوضوح بين أخطاء القياس وأخطاء الأدوات. إن النقص في أدوات القياس هو فقط أحد مصادر خطأ القياس ويحدد أحد مكوناته فقط - الخطأ الآلي. في المقابل ، الخطأ الآلي هو خطأ كلي ، يمكن أن تكون مكوناته - أخطاء الوحدات الوظيفية - منهجية وعشوائية.

خطأ خارجي - مكون خطأ القياس الناجم عن انحراف واحد أو أكثر من الكميات المؤثرة عن القيم العادية أو تجاوزها للنطاق الطبيعي (على سبيل المثال ، تأثير درجة الحرارة ، والمجالات الكهربائية والمغناطيسية الخارجية ، والتأثيرات الميكانيكية ، وما إلى ذلك). كقاعدة عامة ، يتم تحديد الأخطاء الخارجية من خلال الأخطاء الإضافية لأدوات القياس المستخدمة وهي أخطاء منهجية. ومع ذلك ، إذا كانت الكميات المؤثرة غير مستقرة ، فيمكن أن تصبح عشوائية.

خطأ شخصي (شخصي) بسبب الخصائص الفردية للمُجرب ويمكن أن تكون منهجية وعشوائية. عند استخدام أدوات القياس الرقمية الحديثة ، يمكن إهمال الخطأ الشخصي. ومع ذلك ، عند قراءة قراءات أدوات المؤشر ، يمكن أن تكون هذه الأخطاء مهمة أيضًا بسبب القراءة غير الصحيحة لأعشار تقسيم المقياس ، وعدم التناسق الذي يحدث عندما يتم ضبط الحد في المنتصف بين خطرين ، إلخ. على سبيل المثال ، يمكن أن تصل الأخطاء التي يرتكبها المجرب عند تقدير أعشار تقسيم مقياس لأداة ما إلى 0.1 قسم. تتجلى هذه الأخطاء في حقيقة أنه بالنسبة لأعشار مختلفة من القسمة ، فإن المجربين المختلفين لديهم ترددات مختلفة من التقديرات ، ويحتفظ كل مجرب بتوزيعه المتأصل لفترة طويلة. وهكذا ، يقوم أحد المجربين ، في كثير من الأحيان ، بإحالة القراءات إلى الخطوط التي تشكل حواف التقسيم ، وإلى قيمة 0.5 قسم. الآخر - لقيم 0.4 و 0.6 قسم. يفضل القسم الثالث 0.2 و 0.8 قسمًا ، وهكذا. بشكل عام ، مع الأخذ في الاعتبار المجرب العشوائي ، يمكن اعتبار توزيع الأخطاء في حساب أعشار القسمة موحدًا بحدود ± 0.1 قسمًا.

4.4 أشكال عرض خطأ القياس. دقة القياسات

يمكن تمثيل خطأ القياس في النموذج مطلق الخطأ ، معبراً عنه بوحدات القيمة المقاسة والمحددة بالصيغة (4.1) ، أو نسبيا يتم تعريف الخطأ على أنه نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة الحقيقية للكمية المقاسة:

δ = Δ / س. (4.5)

في حالة التعبير عن الخطأ العشوائي كنسبة مئوية ، يتم ضرب النسبة Δ / Q في 100٪. بالإضافة إلى ذلك ، في الصيغة (4.5) ، يُسمح باستخدام نتيجة قياس x بدلاً من القيمة الحقيقية لـ Q.

المصطلح يستخدم على نطاق واسع دقة القياسات - خاصية تعكس مدى اقتراب نتائجها من القيمة الحقيقية للكمية المقاسة. بمعنى آخر ، الدقة العالية تقابل أخطاء القياس الصغيرة. لذلك ، يمكن تقدير دقة القياسات كميًا من خلال المعاملة بالمثل لمعامل الخطأ النسبي

3.2 التقريب

مصدر واحد للحصول على أرقام تقريبية حولالتقريب. تقريب الأرقام الدقيقة والتقريبية.

التقريبيسمى رقم معين يصل إلى رقم معين استبداله برقم جديد ، والذي يتم الحصول عليه من المعطى بواسطة المرتجعكل ارقامه مكتوبة إلى اليمينأرقام من هذا البت ، أو عن طريق استبدالها بأصفار. هؤلاء الأصفارعادة ضع خط تحتها أو اكتبها بحجم أصغر. للتأكد من قرب الرقم المقرّب من الرقم المقرّب الأقرب ، يجب عليك استخدام هذا قواعد:

لتقريب رقم إلى رقم معين ، يجب عليك تجاهل جميع الأرقام بعد رقم هذا الرقم ، وفي العدد الصحيح استبدلها بالأصفار. هذا يأخذ في الاعتبار ما يلي:

1 ) إذا كان أول (يسار) من الأرقام المهملة أقل من 5، ثم لا يتم تغيير الرقم الأخير المتبقي (التقريب من عيب);

2 ) إذا تم تجاهل الرقم الأول أكبر من 5 أو يساوي 5، ثم يتم زيادة آخر رقم متبقي بمقدار واحد (التقريب من إفراط).*

فمثلا:

جمع الشمل:الإجابات:

أ) حتى أعشار 12.34 ؛ 12.34 ≈ 12.3 ؛

ب) حتى المئات من 3.2465 ؛ 1038.785 ؛ 3.2465 ≈ 3.25 ؛ 1038.785 1038.79 ؛

في) حتى 3.4335 من الألف ؛ 3.4335 × 3.434 ؛

جي) حتى آلاف 12375 ، 320729. 12375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* قبل سنوات قليلة في حالة نبذ شخصية واحدة فقط 5 استمتعت "قاعدة الرقم الزوجي":تم ترك الرقم الأخير دون تغيير إذا كان زوجيًا ، وزاد برقم واحد إذا كان فرديًا. الآن "قواعد الرقم الزوجي" ليستلتزم: إذا تم تجاهل رقم واحد 5 ، ثم يضاف واحد إلى آخر رقم متبقي ، بغض النظر عما إذا كان زوجيًا أو فرديًا).

3.3 الخطأ المطلق والنسبي للقيمة التقريبية للكميات

قيمه مطلقه اختلافاتبين القيمة التقريبية والدقيقة (الحقيقية) للكمية تسمى الخطأ المطلقالقيمة التقريبية. فمثلاإذا كان الرقم الدقيق 1,214 عند تقريبه إلى أعشار ، نحصل على رقم تقريبي 1,2 . في هذه الحالة ، سيكون الخطأ المطلق للرقم التقريبي 1,214 – 1,2 = 0,014 .

ولكن في معظم الحالات ، القيمة الدقيقة للكمية قيد النظر غير معروفة ، ولكنها تقريبية فقط. ثم الخطأ المطلق هو أيضا غير معروف. في هذه الحالات تشير الحدودالذي لا يتجاوزه. هذا الرقم يسمى حد الخطأ المطلق.يقولون أن القيمة الدقيقة لرقم ما تساوي قيمته التقريبية مع وجود خطأ أقل من الخطأ الحدودي. فمثلا، رقم 23,71 هي القيمة التقريبية للرقم 23,7125 يصل إلى 0,01 ، لأن الخطأ التقريبي المطلق يساوي 0,0025 و اقل 0,01 . هنا ، الخطأ المطلق الحدودي يساوي 0,01 .*

(* مطلقالخطأ موجب وسالب. فمثلا,1,68 ≈ 1,7 . الخطأ المطلق هو 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .الحدودالخطأ دائما موجب).

الخطأ المطلق لحدود الرقم التقريبي " أ »يرمز له بالرمز Δ أ . تسجيل

X ≈ a (a)

يجب فهمها على النحو التالي: القيمة الدقيقة للكمية X بين أ +Δ أ و أ –Δ أ، التي تم تسميتها على التوالي الأسفلو الحد الاعلىX والدلالة حجي X و فيجي X .

فمثلا، إذا X ≈ 2,3 ( 0,1), ومن بعد 2,2 < X < 2,4 .

على العكس من ذلك ، إذا 7,3 < X < 7,4 , ومن بعد X ≈ 7,35 ( 0,05).

مطلق أو حد الخطأ المطلق ليستميز جودة القياس. يمكن اعتبار الخطأ المطلق نفسه مهمًا وغير مهم ، اعتمادًا على الرقم الذي يعبر عن القيمة المقاسة.

فمثلا، إذا قمنا بقياس المسافة بين مدينتين بدقة كيلومتر واحد ، فإن هذه الدقة كافية تمامًا لهذا القياس ، بينما في نفس الوقت ، عند قياس المسافة بين منزلين في نفس الشارع ، ستكون هذه الدقة غير مقبولة .

لذلك ، فإن دقة القيمة التقريبية للكمية لا تعتمد فقط على حجم الخطأ المطلق ، ولكن أيضًا على قيمة الكمية المقاسة. لهذا مقياس الدقة هو الخطأ النسبي.

خطأ نسبيهي نسبة الخطأ المطلق إلى قيمة الرقم التقريبي. يتم استدعاء نسبة الخطأ المطلق الحدودي إلى الرقم التقريبي خطأ نسبي حدودي؛ تدل عليه مثل هذا: Δ أ / أ . عادة ما يتم التعبير عن الأخطاء النسبية والحدودية بالنسب المئوية.

فمثلاإذا أظهرت القياسات أن المسافة بين نقطتين أكبر من 12.3 كم، ولكن أقل 12.7 كم، ثم ل تقريبيمعناه مقبول معدلهذين الرقمين ، أي هم نصف المبلغ، ومن بعد الحدودالخطأ المطلق شبه فرقهذه الارقام. في هذه الحالة X ≈ 12,5 ( 0,2). ها هي الحدود مطلقالخطأ هو 0.2 كم، والحدود نسبيا:

الأخطاء المطلقة والنسبية

خطأ القياس المطلقتسمى القيمة التي يحددها الفرق بين نتيجة القياس xوالقيمة الحقيقية للكمية المقاسة x 0:

Δ x = |x – x 0 |.

تسمى القيمة δ ، التي تساوي نسبة خطأ القياس المطلق إلى نتيجة القياس ، الخطأ النسبي:

مثال 2.1.القيمة التقريبية للرقم π هي 3.14. ثم خطأه يساوي 0.00159…. يمكن اعتبار الخطأ المطلق يساوي 0.0016 والخطأ النسبي يساوي 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051٪.

أعداد كبيرة. إذا كان الخطأ المطلق للقيمة a لا يتجاوز وحدة واحدة من الرقم الأخير من الرقم a ، فإنهم يقولون أن الرقم يحتوي على جميع العلامات الصحيحة. يجب تدوين الأرقام التقريبية ، مع الاحتفاظ بالإشارات الصحيحة فقط. إذا كان ، على سبيل المثال ، الخطأ المطلق للرقم 52400 هو 100 ، فيجب كتابة هذا الرقم ، على سبيل المثال ، في الشكل 524 10 2 أو 0.524 10 5. يمكنك تقدير خطأ رقم تقريبي من خلال الإشارة إلى عدد يحتوي على أرقام معنوية حقيقية. عند حساب الأرقام المعنوية ، لا يتم حساب الأصفار على الجانب الأيسر من الرقم.

على سبيل المثال ، يحتوي 0.0283 على ثلاثة أرقام معنوية صالحة ، ويحتوي 2.5400 على خمسة أرقام معنوية صالحة.

قواعد تقريب الأرقام. إذا كان الرقم التقريبي يحتوي على أحرف إضافية (أو غير صحيحة) ، فيجب تقريبه. عند التقريب ، يحدث خطأ إضافي لا يتجاوز نصف وحدة آخر رقم مهم ( د) رقم مدور. عند التقريب ، يتم الحفاظ على العلامات الصحيحة فقط ؛ يتم تجاهل الأحرف الزائدة ، وإذا كان الرقم الأول المهمل أكبر من أو يساوي د/ 2 ، ثم يتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

يتم استبدال الأرقام الإضافية في الأعداد الصحيحة بالأصفار ، وفي الكسور العشرية يتم تجاهلها (وكذلك الأصفار الإضافية). على سبيل المثال ، إذا كان خطأ القياس 0.001 مم ، فسيتم تقريب النتيجة 1.07005 إلى 1.070. إذا كان أول رقم من الأرقام التي تم تعديلها صفرًا والمهمل أقل من 5 ، فلن يتم تعديل الأرقام المتبقية. على سبيل المثال ، الرقم 148،935 بدقة قياس 50 له تقريب قدره 148،900. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بأصفار أو تم إهماله هو 5 ، ولا يتبعه أي أرقام أو أصفار ، فسيتم التقريب لأقرب زوج رقم. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 123.50 إلى ما يصل إلى 124. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بالأصفار أو تم إهماله أكبر من 5 أو يساوي 5 ، ولكن متبوعًا برقم معنوي ، فسيتم زيادة آخر رقم متبقٍ بمقدار واحد. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 6783.6 لأعلى إلى 6784.

مثال 2.2. عند تقريب الرقم 1284 إلى 1300 ، يكون الخطأ المطلق 1300 - 1284 = 16 ، وعند التقريب إلى 1280 ، يكون الخطأ المطلق 1280-1284 = 4.

مثال 2.3. عند تقريب الرقم 197 إلى 200 ، يكون الخطأ المطلق 200 - 197 = 3. الخطأ النسبي هو 3/197 ≈ 0.01523 أو حوالي 3/200 1.5٪.

مثال 2.4. يزن البائع البطيخ بميزان. في مجموعة الأوزان أصغرها 50 جم ، والوزن 3600 جم وهذا الرقم تقريبي. الوزن الدقيق للبطيخ غير معروف. لكن الخطأ المطلق لا يتعدى 50 جرام والخطأ النسبي لا يتجاوز 50/3600 = 1.4٪.

أخطاء في حل المشكلة كمبيوتر

عادةً ما تُعتبر ثلاثة أنواع من الأخطاء المصادر الرئيسية للخطأ. هذه هي ما يسمى بأخطاء الاقتطاع وأخطاء التقريب وأخطاء الانتشار. على سبيل المثال ، عند استخدام الطرق التكرارية لإيجاد جذور المعادلات غير الخطية ، تكون النتائج تقريبية ، على عكس الطرق المباشرة التي تعطي حلًا دقيقًا.

أخطاء الاقتطاع

يرتبط هذا النوع من الخطأ بالخطأ المتأصل في المشكلة نفسها. قد يكون بسبب عدم الدقة في تعريف البيانات الأولية. على سبيل المثال ، إذا تم تحديد أي أبعاد في حالة المشكلة ، فعندئذٍ من الناحية العملية بالنسبة للأشياء الحقيقية ، تُعرف هذه الأبعاد دائمًا ببعض الدقة. الشيء نفسه ينطبق على أي معلمات فيزيائية أخرى. يتضمن هذا أيضًا عدم دقة معادلات الحساب والمعاملات العددية المضمنة فيها.

أخطاء في الانتشار

يرتبط هذا النوع من الخطأ باستخدام طريقة أو أخرى لحل المشكلة. في سياق العمليات الحسابية ، يحدث تراكم أو ، بعبارة أخرى ، انتشار الخطأ لا محالة. بالإضافة إلى حقيقة أن البيانات الأصلية نفسها ليست دقيقة ، ينشأ خطأ جديد عند ضربها وإضافتها وما إلى ذلك. يعتمد تراكم الخطأ على طبيعة وعدد العمليات الحسابية المستخدمة في الحساب.

أخطاء التقريب

يرجع هذا النوع من الخطأ إلى حقيقة أن القيمة الحقيقية للرقم لا يتم تخزينها دائمًا بدقة بواسطة الكمبيوتر. عندما يتم تخزين رقم حقيقي في ذاكرة الكمبيوتر ، يتم كتابته على هيئة الجزء العشري والأس بنفس الطريقة التي يتم بها عرض الرقم على الآلة الحاسبة.

منطقة سخالين

"المدرسة المهنية رقم 13"

تعليمات منهجية للعمل المستقل للطلاب

ألكساندروفسك ساخالينسكي

القيم التقريبية للكميات وأخطاء التقريب: مواصفات الطريقة. / شركات.

GBOU NPO "المدرسة المهنية رقم 13" - ألكساندروفسك ساخالينسكي ، 2012

التعليمات المنهجية مخصصة للطلاب من جميع المهن الذين يدرسون مادة الرياضيات

رئيس MC

القيمة التقريبية للكمية وأخطاء التقريب.

من الناحية العملية ، لا نعرف أبدًا القيم الدقيقة للكميات. لا يوجد مقياس ، مهما كانت دقته ، يظهر الوزن بالضبط ؛ يظهر أي مقياس حرارة درجة الحرارة بخطأ أو بآخر ؛ لا يوجد مقياس التيار الكهربائي يمكنه إعطاء قراءات دقيقة للتيار ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أعيننا غير قادرة على قراءة قراءات أدوات القياس بشكل صحيح تمامًا. لذلك ، بدلاً من التعامل مع القيم الحقيقية للكميات ، فإننا مضطرون للعمل بقيمها التقريبية.

حقيقة ان أ" هي القيمة التقريبية للرقم أ ، على النحو التالي:

أ ≈ أ " .

اذا كان أ" هي قيمة تقريبية للكمية أ ثم الاختلاف Δ = أ-أ " اتصل خطأ تقريبي*.

* Δ - حرف يوناني. قراءة: دلتا. يأتي بعد ذلك حرف يوناني آخر ε (اقرأ: إبسيلون).

على سبيل المثال ، إذا تم استبدال الرقم 3.756 بقيمته التقريبية 3.7 ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. إذا أخذنا 3.8 كقيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام خطأ التقريب Δ ، والقيمة المطلقة لهذا الخطأ | Δ |. فيما يلي ، سنشير ببساطة إلى هذه القيمة المطلقة للخطأ كـ الخطأ المطلق. يعتبر أن أحد التقريبات أفضل من الآخر إذا كان الخطأ المطلق للتقريب الأول أقل من الخطأ المطلق للتقريب الثاني. على سبيل المثال ، التقريب 3.8 للرقم 3.756 أفضل من التقريب 3.7 ، لأنه بالنسبة للتقريب الأول
|Δ | = | - 0.044 | = 0.044 وللثاني | Δ | = |0,056| = 0,056.

رقم أ" أيصل إلىε ، إذا كان الخطأ المطلق لهذا التقريب أقل منε :

|أ-أ " | < ε .

على سبيل المثال ، 3.6 تقريب من 3.671 إلى 0.1 ، لأن | 3.671 - 3.6 | = | 0.071 | = 0.071< 0,1.

وبالمثل ، يمكن اعتبار -3/2 تقريبيًا لـ -8/5 في حدود 1/5 ، منذ ذلك الحين

< أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ مع عيب.

إذا أ" > أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ في الزائدة.

على سبيل المثال ، 3.6 قيمة تقريبية تبلغ 3.671 مع وجود عيب ، منذ 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

إذا كنا بدلاً من الأرقام أ و ب تضيف قيمها التقريبية أ" و ب" ، ثم النتيجة أ "+ ب" ستكون القيمة التقريبية للمبلغ أ + ب . السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن تقدير دقة هذه النتيجة إذا كانت دقة التقريب لكل مصطلح معروفة؟ يعتمد حل هذه المشكلة والمشكلات المماثلة على الخاصية التالية للقيمة المطلقة:

|أ + ب | < |أ | + |ب |.

لا تتجاوز القيمة المطلقة لمجموع أي رقمين مجموع قيمهما المطلقة.

أخطاء

يسمى الفرق بين الرقم الدقيق x وقيمته التقريبية a خطأ هذا الرقم التقريبي. إذا كان معروفًا أن | | x - أ |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

تسمى نسبة الخطأ المطلق إلى معامل القيمة التقريبية الخطأ النسبي للقيمة التقريبية. عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

حقًا،

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

تمارين للعمل المستقل.

1. بأية دقة يمكن قياس الأطوال باستخدام مسطرة عادية؟

2. ما مدى دقة الساعة؟

3. هل تعرف بأي دقة يمكن قياس وزن الجسم على الموازين الكهربائية الحديثة؟

4. أ) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية ضمن 0.01 تساوي 0.99؟

ب) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمته التقريبية الناقصة في حدود 0.01 تساوي 0.99؟

ج) ما هو نطاق الرقم؟ أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية التي تزيد عن 0.01 تساوي 0.99؟

5. ما هو الرقم التقريبي π 3.1415 أفضل: 3.1 أم 3.2؟

6. هل يمكن اعتبار القيمة التقريبية لرقم معين بدقة 0.01 قيمة تقريبية لنفس الرقم بدقة 0.1؟ والعكس صحيح؟

7. على خط الأعداد ، موضع النقطة المطابق للرقم أ . أشر على هذا الخط:

أ) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ مع عيب بدقة 0.1 ؛

ب) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ تتجاوز بدقة 0.1 ؛

ج) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ بدقة 0.1.

8. في هذه الحالة تكون القيمة المطلقة لمجموع رقمين:

أ) أقل من مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام ؛

ب) يساوي مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام؟

9. إثبات عدم المساواة:

أ) | أ-ب | < |أ| + |ب | ؛ ب) * | أ - ب | > ||أ | - | ب ||.

متى تظهر علامة التساوي في هذه الصيغ؟

المؤلفات:

1. الأحذية (المستوى الأساسي) 10-11 خلية. - م ، 2012

2. باشماكوف ، 10 خلايا. مجموعة من المهام. - م: دار النشر "الأكاديمية" ، 2008

3. ، موردكوفيتش: المواد المرجعية: كتاب للطلاب. - الطبعة الثانية. - م: التنوير ، 1990

4. القاموس الموسوعي لعالم رياضيات شاب / كومب. .- م: علم أصول التدريس ، 1989

القيم الدقيقة والتقريبية للكميات

في معظم الحالات ، تكون البيانات الرقمية في المشكلات تقريبية. في ظروف المهام ، يتم أيضًا مواجهة القيم الدقيقة ، على سبيل المثال ، نتائج حساب عدد صغير من الكائنات ، وبعض الثوابت ، وما إلى ذلك.

للإشارة إلى القيمة التقريبية للرقم ، استخدم علامة المساواة التقريبية ؛ قراءة مثل هذا: "تقريبًا متساوٍ" (لا ينبغي أن تقرأ: "تقريبًا متساوية").

يعد اكتشاف طبيعة البيانات الرقمية خطوة تحضيرية مهمة في حل أي مشكلة.

يمكن أن تساعدك الإرشادات التالية في التعرف على القيم الدقيقة والتقريبية للأرقام:

القيم الدقيقة	القيم التقريبية
1. قيم عدد من عوامل التحويل للانتقال من وحدة قياس إلى أخرى (1 م = 1000 مم ؛ 1 س = 3600 ثانية) تم قياس العديد من عوامل التحويل وحسابها بدقة عالية (مترولوجية) والتي من الناحية العملية تعتبر الآن دقيقة.	1. معظم قيم الكميات الرياضية المحددة في الجداول (الجذور ، اللوغاريتمات ، قيم الدوال المثلثية ، وكذلك قيمة عدد وأساس اللوغاريتمات الطبيعية المستخدمة في الممارسة (عدد ه))
2. عوامل النطاق. على سبيل المثال ، إذا كان من المعروف أن المقياس هو 1: 10000 ، فإن الرقمين 1 و 10000 يعتبران دقيقين. إذا تم الإشارة إلى أن هناك 4 أمتار في 1 سم ، فإن 1 و 4 هما الأطوال الدقيقة	2. نتائج القياس. (بعض الثوابت الأساسية: سرعة الضوء في الفراغ ، وثابت الجاذبية ، وشحنة الإلكترون وكتلته ، وما إلى ذلك) القيم الجدولية للكميات الفيزيائية (كثافة المادة ، ونقاط الانصهار والغليان ، إلخ.)
3. التعريفات والأسعار. (تكلفة 1 كيلو وات ساعة من الكهرباء هي القيمة الدقيقة للسعر)	3. بيانات التصميم تقريبية أيضًا ، لأن يتم تعيينها مع بعض الانحرافات ، والتي يتم تطبيعها بواسطة GOSTs. (على سبيل المثال ، وفقًا للمعيار ، أبعاد الطوب: الطول 250 6 مم ، العرض 120 4 مم ، السُمك 65 3 مم) نفس مجموعة الأرقام التقريبية تشمل الأبعاد المأخوذة من الرسم
4. القيم الشرطية للكميات (أمثلة: درجة حرارة الصفر المطلق -273.15 درجة مئوية ، الضغط الجوي العادي 101325 باسكال)
5. المعاملات والأسس الموجودة في الصيغ الفيزيائية والرياضية (؛٪ ؛ إلخ).
6. نتائج عد العناصر (عدد البطاريات في البطارية ؛ عدد علب الحليب التي ينتجها المصنع ويتم عدها بواسطة العداد الكهروضوئي)
7. إعطاء قيم الكميات (على سبيل المثال ، في المهمة ، "أوجد فترات التذبذب للبندولات بطول 1 و 4 أمتار" ، يمكن اعتبار الرقمين 1 و 4 القيم الدقيقة للطول البندول)

مكتمل في المهام التالية ، اكتب الإجابة على شكل جدول:

1. وضح أيًا من القيم المعطاة دقيقة ، والتي هي تقريبية:

1) كثافة الماء (4 درجة مئوية) .................. .................. 1000 كجم / م 3

2) سرعة الصوت (0 درجة مئوية) …………………………………………………………… .332 م / ث

3) السعة الحرارية النوعية للهواء .... ........................................... 1.0 كيلو جول / (كجم ∙ كلفن)

4) نقطة غليان الماء ……………. ………………………………… .100 درجة مئوية

5) ثابت أفوجادرو…. ………………………………… .. ..… .. 6.02 ∙ 10 23 مول -1

6) الكتلة الذرية النسبية للأكسجين …………………………………… .. 16

2. ابحث عن قيم دقيقة وتقريبية في شروط المهام التالية:

1) في المحرك البخاري ، البكرة البرونزية ، التي يبلغ طولها وعرضها 200 و 120 ملم على التوالي ، تتعرض لضغط 12 ميجا باسكال. أوجد القوة المطلوبة لتحريك البكرة على سطح الأسطوانة المصنوع من الحديد الزهر. معامل الاحتكاك 0.10.

2) تحديد مقاومة فتيل المصباح الكهربائي حسب بيانات التأشير التالية: "220V، 60 W".

3. ما الإجابات - الدقيقة أو التقريبية - التي سنحصل عليها عند حل المشكلات التالية؟

1) ما هي سرعة الجسم الساقط بحرية في نهاية الـ 15 ثانية ، مع الأخذ في الاعتبار الفترة الزمنية المحددة بالضبط؟

2) ما هي سرعة البكرة إذا كان قطرها 300 مم وسرعة الدوران 10 لفة في الدقيقة؟ تعتبر البيانات دقيقة.

3) أوجد معامل القوة. مقياس 1 سم - 50N.

4) حدد معامل الاحتكاك الساكن لجسم يقع على مستوى مائل ، إذا بدأ الجسم في الانزلاق بشكل موحد على طول المنحدر عند = 0.675 ، حيث زاوية ميل المستوى.

مؤسسة البلدية التعليمية

"مدرسة كورك للتعليم الثانوي"

منطقة تومسك
"رياضيات

في العلم والحياة "

"درس  ندوة" حول الموضوع:

"القيم التقريبية"
(على التوجه التطبيقي المطلق والنسبيأخطاء )
الجبر الصف 7

مدرس رياضيات:

Serebrennikova فيرا الكسندروفنا

كورليك - 2006

"الرياضيات في العلوم والحياة"
"لغة الرياضيات

إنها لغة العلم العالمية "
عنوان: القيم التقريبية للكميات.(درس التعميم - ندوة)

استهداف: 1. تلخيص معارف الطلاب حول هذا الموضوع ، مع الأخذ في الاعتبار التوجه التطبيقي (في الفيزياء ، تدريب العمال) ؛

2. القدرة على العمل في مجموعات والمشاركة في العروض التقديمية

معدات: 2 مساطر بأقسام 0.1 سم و 1 سم ، ميزان حرارة ، موازين ، نشرة (لوح ، ورق كربون ، بطاقات)
الملاحظات الافتتاحية والتعريف بالمشاركين في الورشة(معلم)

النظر في واحدة من القضايا الهامة - حسابات تقريبية. بضع كلمات حول أهميتها.

عند حل المشكلات العملية ، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع القيم التقريبية للكميات المختلفة.

دعني أذكرك في الحالات التي يتم فيها الحصول على القيم التقريبية:

1. 
   عند حساب عدد كبير من العناصر ؛
2. 
   عند القياس بأدوات ذات أحجام مختلفة (الطول ، الكتلة ، درجة الحرارة) ؛
3. 
   عند تقريب الأرقام.

دعونا نناقش السؤال: « عندما تكون جودة القياس ، سيكون الحساب أعلى ».

سيكون المشاركون في الندوة اليوم ثلاث مجموعات: علماء رياضيات ، فيزيائيون وممثلون عن الإنتاج (ممارسة).

(يمثلون المجموعات "العليا" ، أعطوا اسمهم الأخير).

سيتم تقييم عمل الندوة من قبل الضيوف ولجنة التحكيم المختصة من الجمهور ، حيث يوجد "علماء رياضيات" و "فيزيائيون" و "ممارسون".

سيتم تقييم عمل المجموعات والمشاركين الفرديين بالنقاط.
خطة عمل(على المكتب)

1. العروض

2. العمل المستقل

3. مسابقة

4. النتائج
. العروض.

1. 
   مقياس لتقدير انحراف القيمة التقريبية عن القيمة الدقيقة

هي الأخطاء المطلقة والنسبية. النظر في تعريفاتهم من حيث التوجه التطبيقي.
2
يظهر الخطأ المطلق كم

تختلف القيمة التقريبية عن القيمة الدقيقة ، أي دقة التقريب.

الخطأ النسبي يقيم جودة القياس و

معبرا عنها كنسبة مئوية.

إذا كانت x ≈ α ، حيث x هي القيمة الدقيقة ، وكانت α قيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ المطلق: │х - α │ ، ونسبيًا: │х - α │ ∕ │α│٪

أمثلة:

1 . لنجد الأخطاء المطلقة والنسبية للقيمة التقريبية التي تم الحصول عليها من خلال تقريب الرقم 0.437 إلى أعشار.

الخطأ المطلق: │0.437 - 0.4 │ = .0.037│ = 0.037

الخطأ النسبي: 0.037: │0.4│ = 0.037: 0.4 = 0.0925 = 9.25٪

1. 
   لنجد القيمة التقريبية من الرسم البياني للدالة y \ u003d x 2

وظائف في x = 1.6

إذا كانت x = 1.6 ، فإن y ≈ 2.5

لنجد بالصيغة y \ u003d x 2 القيمة الدقيقة لـ y: y \ u003d 1.6 2 \ u003d 2.56 ؛

الخطأ المطلق: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

خطأ نسبي: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

إذا قارنا بين نتيجتي الخطأ النسبي 9.25٪ و

2.4٪ ، ثم في الحالة الثانية ستكون جودة الحساب أعلى ، وستكون النتيجة أكثر دقة.
ما الذي يحدد دقة القيمة التقريبية؟

يعتمد على أسباب كثيرة. إذا تم الحصول على قيمة تقريبية أثناء القياس ، فإن دقتها تعتمد على الأداة التي تم إجراء القياس بها. لا يمكن إجراء قياس دقيق تمامًا. حتى الإجراءات نفسها تحتوي على خطأ. من الصعب للغاية صنع مساطر عدادات دقيقة تمامًا ، وزن كيلوغرام ، كوب لتر ، ويسمح القانون ببعض الأخطاء في التصنيع.

على سبيل المثال ، في تصنيع مسطرة متر يسمح بخطأ 1 مم. يقدم القياس نفسه أيضًا عدم دقة وخطأ في الأوزان والمقاييس. على سبيل المثال ، على المسطرة التي نستخدمها ، يتم تمييز الأقسام كل 1 مم ، أي 0.1 سم ، يعني أن دقة القياس لهذه المسطرة تصل إلى 0.1 (≤ 0.1). على مقياس حرارة طبي ، يعني التقسيم من خلال 0.1 0 دقة تصل إلى 0.1 (≤ 0.1). على الميزان ، يتم تمييز الأقسام بعد 200 جرام ، مما يعني أن الدقة تصل إلى 200 (200).

عند تقريب رقم عشري إلى أجزاء من عشرة ، ستصل الدقة إلى 0.1 (≤ 0.1) ؛ حتى المئات - دقة تصل إلى 0.01 (≤ 0.01).

يتم إجراء أدق القياسات في العالم في مختبرات المعهد

هل من الممكن دائمًا العثور على الأخطاء المطلقة والنسبية؟

ليس دائما يمكنك العثور على الخطأ المطلق ، لأنه غير معروف

القيمة الدقيقة للكمية ، وبالتالي الخطأ النسبي.

في هذه الحالة ، من المقبول عمومًا أن الخطأ المطلق لا يتجاوز قيمة قسمة مقياس الأداة. أولئك. على سبيل المثال ، إذا كان سعر قسمة المسطرة 1 مم = 0.1 سم ، فسيكون الخطأ المطلق دقيقًا حتى 0.1 (0.1) وسيتم تحديد تقدير الخطأ النسبي فقط (أي ما هو الرقم ٪).

كثيرا ما نرى هذا في الفيزياء. عند إجراء التجارب ، عند إجراء العمل المخبري.

مهمة.دعونا نجد الخطأ النسبي عند قياس طول ورقة من دفتر الملاحظات مع المساطر: واحد - بدقة 0.1 سم (قسمة على 0.1 سم) ؛ الثاني - بدقة 1 سم (الأقسام من خلال 1 سم).

ℓ 1 = 20.4 سم ℓ 2 = 20.2 سم

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

يقولون أن الخطأ النسبي في الحالة الأولى يصل إلى 0.49٪ (أي ≤ 0.49٪) ، وفي الحالة الثانية يصل إلى 4.95٪ (أي 4.95٪).

في الحالة الأولى ، تكون دقة القياس أعلى. نحن لا نتحدث عن الحجم.

خطأ نسبي ، ولكن تقديره.

في الانتاجفي تصنيع الأجزاء التي نستخدمها

الفرجار (لقياس العمق ؛ القطر: الخارجي والداخلي).

الخطأ المطلقعند القياس بهذا الجهاز ، تبلغ دقته 0.1 مم. لنجد تقدير الخطأ النسبيعند القياس باستخدام الفرجار:

د = 9.86 سم = 98.6 ملم

0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
خطأ نسبيدقيقة في حدود 0.1٪ (أي ≤ 0.1٪).

بالمقارنة مع القياسين السابقين ، تكون دقة القياس أعلى.

من ثلاثة أمثلة عملية ، يمكننا أن نستنتج: أنه لا يمكن أن تكون هناك قيم دقيقة ، وإجراء القياسات في ظل الظروف العادية.

ولكن من أجل إجراء القياس بدقة أكبر ، يجب أن تأخذ جهاز قياس قيمته التقسيمية صغيرة قدر الإمكان.

4
. عمل مستقل على الخيارات ، يليه التحقق(بموجب المخطط).

الخيار 1	الخيار 2
1. ارسم الدالة y \ u003d x 3	1. ارسم الدالة y \ u003d x 2
إذا كانت x = 1.5 ، فإن y ≈ إذا كانت x = -0.5 ، فإن y ≈ ب) ص = 4 عند س ≈	باستخدام الرسم البياني ، أكمل التسجيل: إذا كانت x = 2.5 ، فإن y ≈ إذا كانت x = -1.5 ، فإن y ≈ ب) ص = 5 عند س ≈
2. قرّب العدد 0.356 إلى الجزء من عشرة وابحث عن: أ) الخطأ المطلق تقريبية. ب) الخطأ النسبي تقريب	2. قرّب الرقم 0.188 إلى الجزء من عشرة وابحث عن: أ) الخطأ المطلق تقريبية. ب) الخطأ النسبي تقريب

(لجنة التحكيم تتحقق من الأعمال المستقلة)

. اختبار.(لكل إجابة صحيحة - نقطة واحدة)

في أي أمثلة تكون قيم الكميات دقيقة ، وفي أي أمثلة تقريبية؟

أمثلة:

1. يوجد 36 طالبًا في الفصل

2. يبلغ عدد سكان التجمع العمالي 1000 ساكن

3. طول خط السكة الحديد 50 مترا

4. تلقى العامل 10 آلاف روبل في مكتب الدفع النقدي

5. طائرة Yak لديها 40120 مقعد راكب

6. المسافة بين موسكو وسانت بطرسبرغ 650 كيلومترا

7. يوجد 30000 حبة في الكيلوجرام الواحد من القمح.

8. المسافة من الأرض إلى الشمس 1.5 10 8 كم

9. عندما سئل أحد التلاميذ عن عدد الطلاب الذين يدرسون في المدرسة ، أجاب: "1000" ، وأجاب الآخر "950". من تكون إجابته أكثر دقة إذا كانت المدرسة بها 986 طالبًا؟

10. يزن رغيف الخبز 1 كجم ويكلف 2500 روبل.

11. دفتر ملاحظات يحتوي على 12 ورقة يكلف 600 روبل. ويبلغ سمكه 3 مم

الخامس. تلخيص ، منح

الحسابات التقريبية باستخدام التفاضل

في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على مشكلة شائعة حول الحساب التقريبي لقيمة دالة باستخدام تفاضل. هنا وأدناه سنتحدث عن فروق الدرجة الأولى ، للإيجاز سأقول فقط "التفاضل". مشكلة الحسابات التقريبية بمساعدة التفاضل لها خوارزمية حل جامدة ، وبالتالي ، لا ينبغي أن تكون هناك أي صعوبات معينة. الشيء الوحيد هو أن هناك مزالق صغيرة سيتم تنظيفها أيضًا. لذلك لا تتردد في الغوص في الرأس أولاً.

بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي الصفحة على صيغ للعثور على أخطاء الحساب المطلقة والنسبية. المادة مفيدة جدًا ، حيث يجب حساب الأخطاء في المشكلات الأخرى أيضًا. يا علماء الفيزياء ، أين تصفيقكم؟ =)

لإتقان الأمثلة بنجاح ، يجب أن تكون قادرًا على العثور على مشتقات الوظائف على الأقل بمستوى متوسط ​​، لذلك إذا كان التمايز خاطئًا تمامًا ، فيرجى البدء بالدرس كيف تجد المشتق؟أوصي أيضًا بقراءة المقال أبسط مسائل المشتقةوهي الفقرات حول إيجاد المشتق عند نقطةو إيجاد التفاضل عند نقطة ما. من الوسائل التقنية ، ستحتاج إلى آلة حاسبة صغيرة بوظائف رياضية مختلفة. يمكنك استخدام برنامج Excel ، لكنه في هذه الحالة أقل ملاءمة.

تتكون الورشة من جزأين:

- حسابات تقريبية باستخدام تفاضل دالة لمتغير واحد.

- حسابات تقريبية باستخدام مجموع تفاضل دالة لمتغيرين.

من يحتاج ماذا. في الواقع ، كان من الممكن تقسيم الثروة إلى كومة ، لأن النقطة الثانية تشير إلى تطبيقات وظائف متعددة المتغيرات. لكن ماذا يمكنني أن أفعل ، فأنا أحب المقالات الطويلة.

حسابات تقريبية
باستخدام تفاضل دالة لمتغير واحد

تم بالفعل تناول المهمة المعنية ومعناها الهندسي في الدرس ما هو المشتق؟ ، والآن سنقتصر على النظر الرسمي في الأمثلة ، وهو ما يكفي تمامًا لتعلم كيفية حلها.

في الفقرة الأولى ، تحكم وظيفة متغير واحد. كما يعلم الجميع ، يتم الإشارة إليه من خلال أو من خلال. بالنسبة لهذه المشكلة ، يكون استخدام الترميز الثاني أكثر ملاءمة. دعنا ننتقل إلى مثال شائع يحدث غالبًا في الممارسة:

مثال 1

المحلول:يرجى نسخ صيغة العمل في دفتر ملاحظاتك لحساب تقريبي باستخدام التفاضل:

لنبدأ ، إنه سهل!

الخطوة الأولى هي إنشاء دالة. حسب الشرط ، يُقترح حساب الجذر التكعيبي للرقم: ، لذا فإن الوظيفة المقابلة لها الشكل:. نحتاج إلى استخدام الصيغة لإيجاد قيمة تقريبية.

نحن ننظر ل الجهه اليسرىالصيغ ، ويتبادر الفكر إلى أن الرقم 67 يجب تمثيله كـ. ما هي أسهل طريقة للقيام بذلك؟ أوصي بالخوارزمية التالية: احسب هذه القيمة على الآلة الحاسبة:
- اتضح أن 4 مع ذيل ، وهذا دليل مهم للحل.

عندما نختار القيمة "الجيدة" ، لاستخراج الجذر. بطبيعة الحال ، يجب أن تكون هذه القيمة أقرب ما يكونإلى 67. في هذه الحالة:. حقًا: .

ملاحظة: عندما لا يزال الملاءمة يمثل مشكلة ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على القيمة المحسوبة (في هذه الحالة ) ، خذ أقرب جزء صحيح (في هذه الحالة 4) وارفعه إلى القوة المطلوبة (في هذه الحالة). نتيجة لذلك ، سيتم إجراء التحديد المطلوب:.

إذا ، فإن الوسيطة تتزايد:.

لذلك يتم تمثيل الرقم 67 كمجموع

أولاً ، نحسب قيمة الوظيفة عند النقطة. في الواقع ، تم القيام بذلك من قبل:

يتم العثور على التفاضل عند نقطة ما بواسطة الصيغة:
يمكنك أيضًا النسخ في دفتر ملاحظاتك.

من الصيغة ، يجب أن تأخذ المشتق الأول:

وتجد قيمتها عند النقطة:

في هذا الطريق:

كل شيء جاهز! حسب المعادلة:

القيمة التقريبية التي تم العثور عليها قريبة بدرجة كافية من القيمة محسوبة باستخدام آلة حاسبة صغيرة.

إجابه:

مثال 2

احسب تقريبًا ، مع استبدال زيادات الدالة بفرقها.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". مثال تقريبي لإنهاء العمل وإجابة في نهاية الدرس. بالنسبة للمبتدئين ، أوصيك أولاً بحساب القيمة الدقيقة على آلة حاسبة صغيرة لمعرفة الرقم الذي يجب أن تأخذ من أجله وأيها. تجدر الإشارة إلى أنه في هذا المثال سيكون سالبًا.

قد يكون لدى البعض سؤال ، لماذا هذه المهمة مطلوبة ، إذا كان بإمكانك حساب كل شيء بهدوء وبدقة أكبر باستخدام الآلة الحاسبة؟ أوافق ، المهمة غبية وساذجة. لكنني سأحاول تبرير ذلك قليلاً. أولاً ، توضح المهمة معنى تفاضل الوظيفة. ثانيًا ، في العصور القديمة ، كانت الآلة الحاسبة تشبه طائرة هليكوبتر شخصية في عصرنا. رأيت بنفسي كيف تم إلقاء جهاز كمبيوتر بحجم الغرفة خارج المعهد الفني المحلي في مكان ما في 1985-1986 (جاء هواة الراديو مع مفكات البراغي وهم يركضون من جميع أنحاء المدينة ، وبعد ساعتين فقط بقيت العلبة من الوحدة ). تم العثور على التحف أيضًا في قسم الفيزياء لدينا ، ولكن بحجم أصغر - في مكان ما بحجم مكتب المدرسة. هكذا عانى أسلافنا من طرق الحسابات التقريبية. العربة التي تجرها الخيول هي أيضًا وسيلة نقل.

بطريقة أو بأخرى ، ظلت المشكلة في المسار القياسي للرياضيات العليا ، وسيتعين حلها. هذه هي الإجابة الرئيسية على سؤالك =)

مثال 3

عند نقطة . احسب قيمة أكثر دقة للدالة عند نقطة ما باستخدام آلة حاسبة دقيقة ، وقم بتقييم أخطاء الحساب المطلقة والنسبية.

في الواقع ، نفس المهمة ، يمكن بسهولة إعادة صياغتها على النحو التالي: "احسب القيمة التقريبية مع تفاضل

المحلول:نستخدم الصيغة المألوفة:
في هذه الحالة ، يتم بالفعل تقديم وظيفة جاهزة: . مرة أخرى ، ألفت انتباهك إلى حقيقة أنه من الأنسب استخدامها بدلاً من "لعبة" لتعيين وظيفة.

يجب أن يتم تمثيل القيمة كـ. حسنًا ، الأمر أسهل هنا ، نرى أن الرقم 1.97 قريب جدًا من "اثنين" ، لذا فهو يقترح نفسه. وعليه:.

باستخدام الصيغة ، نحسب التفاضل في نفس النقطة.

إيجاد المشتق الأول:

وقيمته عند النقطة:

وهكذا ، فإن الفارق عند النقطة:

نتيجة لذلك ، وفقًا للصيغة:

الجزء الثاني من المهمة هو إيجاد الخطأ المطلق والنسبي للحسابات.

الخطأ المطلق والنسبي في الحسابات

خطأ في الحساب المطلقتم العثور عليه وفقًا للصيغة:

تُظهر علامة modulo أننا لا نهتم بأي قيمة أكبر وأيها أصغر. مهم، الى اي مدىالنتيجة التقريبية انحرفت عن القيمة الدقيقة في اتجاه أو آخر.

خطأ نسبي في الحسابتم العثور عليه وفقًا للصيغة:
، أو ، نفس الشيء:

يظهر الخطأ النسبي بأي نسبةالنتيجة التقريبية انحرفت عن القيمة الدقيقة. هناك نسخة من الصيغة بدون الضرب في 100٪ ، لكن عمليًا أرى دائمًا الإصدار أعلاه بالنسب المئوية.

بعد خلفية قصيرة ، نعود إلى مشكلتنا ، حيث قمنا بحساب القيمة التقريبية للدالة باستخدام التفاضل.

دعنا نحسب القيمة الدقيقة للدالة باستخدام آلة حاسبة دقيقة:
، بالمعنى الدقيق للكلمة ، لا تزال القيمة تقريبية ، لكننا سنعتبرها دقيقة. مثل هذه المهام تحدث.

دعنا نحسب الخطأ المطلق:

دعنا نحسب الخطأ النسبي:
، يتم الحصول على جزء من الألف في المائة ، لذلك قدم التفاضل مجرد تقريب كبير.

إجابه: ، خطأ حساب مطلق ، خطأ حساب نسبي

المثال التالي لحل مستقل:

مثال 4

احسب بالتقريب باستخدام التفاضل قيمة الدالة عند نقطة . احسب قيمة أكثر دقة للدالة عند نقطة معينة ، وقم بتقييم أخطاء الحساب المطلقة والنسبية.

مثال تقريبي لإنهاء العمل وإجابة في نهاية الدرس.

لاحظ الكثير أنه في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها ، تظهر الجذور. هذا ليس عرضيًا ؛ في معظم الحالات ، في المشكلة قيد النظر ، يتم بالفعل اقتراح وظائف ذات جذور.

لكن بالنسبة للقراء الذين يعانون ، فقد حفرت مثالًا صغيرًا مع القوس:

مثال 5

احسب بالتقريب باستخدام التفاضل قيمة الدالة في هذه النقطة

هذا المثال القصير ولكن المفيد هو أيضًا لاتخاذ قرار مستقل. وقد ارتحت قليلاً لأفكر في مهمة خاصة بحماس متجدد:

مثال 6

احسب بالتقريب باستخدام التفاضل ، وقم بتقريب النتيجة لأقرب منزلتين عشريتين.

المحلول:ما الجديد في المهمة؟ حسب الشرط ، يلزم تقريب النتيجة إلى منزلتين عشريتين. لكن ليس هذا هو الهدف ، أعتقد أن مشكلة التقريب في المدرسة ليست صعبة عليك. النقطة المهمة هي أن لدينا ظلًا بحجة يتم التعبير عنها بالدرجات. ماذا تفعل عندما يُطلب منك حل دالة مثلثية بالدرجات؟ على سبيل المثال ، إلخ.

يتم الحفاظ على خوارزمية الحل بشكل أساسي ، أي أنه من الضروري ، كما في الأمثلة السابقة ، تطبيق الصيغة

اكتب الوظيفة الواضحة

يجب أن يتم تمثيل القيمة كـ. مساعدة جادة سوف جدول قيم الدوال المثلثية. بالمناسبة ، إذا لم تكن قد طبعتها ، فإنني أوصي بذلك ، حيث سيتعين عليك البحث هناك طوال الدورة الدراسية الكاملة لدراسة الرياضيات العليا.

عند تحليل الجدول ، نلاحظ قيمة "جيدة" للماس ، والتي تقترب من 47 درجة:

في هذا الطريق:

بعد التحليل الأولي يجب تحويل الدرجات إلى راديان. نعم ، وفقط كذلك!

في هذا المثال ، مباشرة من الجدول المثلثي ، يمكنك معرفة ذلك. صيغة تحويل الدرجات إلى الراديان هي: (يمكن العثور على الصيغ في نفس الجدول).

نموذج إضافي:

في هذا الطريق: (في الحسابات نستخدم القيمة). النتيجة ، كما هو مطلوب من قبل الشرط ، مقربة لأقرب منزلتين عشريتين.

إجابه:

مثال 7

احسب بالتقريب باستخدام التفاضل ، تقريب النتيجة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد ، فنحن نترجم الدرجات إلى راديان ونلتزم بخوارزمية الحل المعتادة.

حسابات تقريبية
باستخدام مجموع التفاضل لدالة من متغيرين

سيكون كل شيء متشابهًا للغاية ، لذا إذا أتيت إلى هذه الصفحة بهذه المهمة المعينة ، فأنا أوصي أولاً بالنظر في مثالين على الأقل من الفقرة السابقة.

لدراسة فقرة ، عليك أن تكون قادرًا على إيجادها مشتقات جزئية من الدرجة الثانيةحيث بدونهم. في الدرس أعلاه ، أشرت إلى دالة متغيرين بالحرف. فيما يتعلق بالمهمة قيد النظر ، من الأنسب استخدام الترميز المكافئ.

كما في حالة دالة لمتغير واحد ، يمكن صياغة حالة المشكلة بطرق مختلفة ، وسأحاول النظر في جميع الصيغ التي تمت مواجهتها.

المثال 8

المحلول:بغض النظر عن كيفية كتابة الشرط ، في الحل نفسه ، لتعيين الوظيفة ، أكرر ، من الأفضل عدم استخدام الحرف "Z" ، ولكن.

وهنا صيغة العمل:

أمامنا في الواقع الأخت الكبرى لصيغة الفقرة السابقة. المتغير أصبح أكبر للتو. ماذا يمكنني أن أقول بنفسي ستكون خوارزمية الحل هي نفسها بشكل أساسي!

حسب الشرط ، يلزم العثور على القيمة التقريبية للوظيفة عند النقطة.

دعنا نمثل الرقم 3.04 على النحو التالي. يطلب الكعكة نفسها أن تؤكل:
,

دعنا نمثل الرقم 3.95 على هذا النحو. جاء الدور إلى النصف الثاني من كولوبوك:
,

ولا تنظر إلى كل أنواع حيل الثعلب ، فهناك رجل خبز الزنجبيل - عليك أن تأكله.

دعنا نحسب قيمة الوظيفة عند النقطة:

تم العثور على تفاضل دالة عند نقطة بواسطة الصيغة:

يتبع من الصيغة التي تحتاج إلى العثور عليها المشتقات الجزئيةمن الدرجة الأولى وحساب قيمها عند النقطة.

دعنا نحسب المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطة:

مجموع الفرق عند النقطة:

وبالتالي ، وفقًا للصيغة ، القيمة التقريبية للدالة عند النقطة:

دعنا نحسب القيمة الدقيقة للدالة عند النقطة:

هذه القيمة صحيحة تمامًا.

يتم حساب الأخطاء باستخدام الصيغ القياسية ، والتي تمت مناقشتها بالفعل في هذه المقالة.

الخطأ المطلق:

خطأ نسبي:

إجابه:، خطأ مطلق: ، خطأ نسبي:

المثال 9

احسب القيمة التقريبية للدالة عند نقطة باستخدام تفاضل كامل ، أوجد الخطأ المطلق والنسبي.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". كل من يسهب في مزيد من التفاصيل في هذا المثال سوف ينتبه إلى حقيقة أن أخطاء الحساب كانت ملحوظة للغاية. حدث هذا للسبب التالي: في المشكلة المقترحة ، كانت الزيادات في الحجج كبيرة بما يكفي:. النمط العام على النحو التالي - كلما زادت هذه الزيادات في القيمة المطلقة ، انخفضت دقة الحسابات. لذلك ، على سبيل المثال ، لنقطة مماثلة ، ستكون الزيادات صغيرة: وستكون دقة الحسابات التقريبية عالية جدًا.

هذه الميزة صالحة أيضًا لحالة دالة لمتغير واحد (الجزء الأول من الدرس).

المثال 10

المحلول: نحسب هذا التعبير تقريبًا باستخدام التفاضل الكلي لوظيفة من متغيرين:

الاختلاف عن الأمثلة 8-9 هو أننا نحتاج أولاً إلى تكوين دالة من متغيرين: . أعتقد أن كيفية تكوين الوظيفة واضحة بشكل حدسي للجميع.

القيمة 4.9973 قريبة من "خمسة" ، لذلك: ،.
قيمة 0.9919 قريبة من "واحد" ، لذلك نفترض: ،.

دعنا نحسب قيمة الوظيفة عند النقطة:

نجد التفاضل في نقطة ما بالصيغة:

للقيام بذلك ، نحسب المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطة.

المشتقات هنا ليست هي الأبسط ، وعليك توخي الحذر:

;

.

مجموع الفرق عند النقطة:

وبالتالي ، فإن القيمة التقريبية لهذا التعبير:

لنحسب قيمة أكثر دقة باستخدام آلة حاسبة صغيرة: 2.998899527

لنجد خطأ الحساب النسبي:

إجابه: ,

مجرد توضيح لما سبق ، في المشكلة المدروسة ، تكون الزيادات في الحجج صغيرة جدًا ، واتضح أن الخطأ هزيل بشكل خيالي.

المثال 11

باستخدام مجموع التفاضل لدالة لمتغيرين ، احسب تقريبًا قيمة هذا التعبير. احسب نفس التعبير باستخدام الآلة الحاسبة الدقيقة. تقدير النسبة المئوية للخطأ النسبي للحسابات.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". نموذج تقريبي للانتهاء في نهاية الدرس.

كما لوحظ بالفعل ، فإن الضيف الأكثر شيوعًا في هذا النوع من المهام هو نوع من الجذور. ولكن من وقت لآخر هناك وظائف أخرى. ومثال أخير بسيط للاسترخاء:

المثال 12

باستخدام التفاضل الإجمالي لدالة ذات متغيرين ، احسب تقريبًا قيمة الدالة if

الحل أقرب إلى أسفل الصفحة. مرة أخرى ، انتبه إلى صياغة مهام الدرس ، في أمثلة مختلفة من الناحية العملية ، قد تكون الصياغة مختلفة ، لكن هذا لا يغير جوهر وخوارزمية الحل بشكل أساسي.

لأكون صريحًا ، لقد تعبت قليلاً ، لأن المواد كانت مملة. لم يكن من المنطقي أن نقول في بداية المقال ، ولكن الآن أصبح من الممكن بالفعل =) في الواقع ، مشاكل الرياضيات الحسابية عادة ليست صعبة للغاية ، ليست مثيرة للاهتمام للغاية ، أهم شيء ، ربما ، هو عدم جعل خطأ في الحسابات العادية.

نرجو عدم مسح مفاتيح الآلة الحاسبة!

الحلول والأجوبة:

المثال 2: المحلول:نستخدم الصيغة:
في هذه الحالة: ، ،

في هذا الطريق:
إجابه:

المثال 4: المحلول:نستخدم الصيغة:
في هذه الحالة: , ,