تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها. تمثل كقوة تعبير ما هي تعبيرات القوة
"طرق حل أنظمة المعادلات الخطية" - المعادلة. تعبير. طرق حل أنظمة المعادلات الخطية. حلول. طريقة الاستبدال. رقم. حل الأنظمة. سوف نجد ذلك. طريقة الإضافة. دعونا نحل النظام.
"طرق التحليل" - تقليل الكسور الجبرية. حل المعادلة. تحليل كثيرات الحدود. المتطابقات. نتائج رئيسية. تحليل كثير الحدود باستخدام الجمع. دعونا نفكر في موقف آخر. دعونا نستخدم تحليل كثير الحدود. القاسم المشترك الأكبر للمعاملات. تحليل كثير الحدود باستخدام الصيغ. أخذ العامل المشترك من بين قوسين. التخصيم شيء مفيد.
""درجات" الصف السابع" - حل المعادلات. أوجد K في المعادلة وقدمه كقوة. احسب. رقم 625. العد الشفهي. عبر عن التعبير كقوة أساسها 7. اكتبه بالصورة القياسية. خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي. المعادلة مع المعامل. حل المشكلة. رقم 64. تقدم الدرس. أهداف الدرس. رقم 729. اختبار العمل.
"الشكل القياسي لمونوميال" - اقرأ التعبيرات. دعونا نستخدم القوانين التبادلية والترابطية للضرب. على المكتب. منتج الأرقام. فكر في الأمر كدرجة. ما يسمى درجة أحادية الحد؟ توحيد المواد الجديدة. الأس. احتمال. الدمج. العمل التطبيقي. أحادية الحد. املأ الجدول. المهارات الحاسوبية لدى الطلاب. عمل مستقل. انظر بحذر. أحادية الحد وشكلها القياسي.
"خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي" - نقش الدرس. حالات الأس. قصة. الثقافة البدنية. مادة الاحياء. خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي. التعبير عن التعبيرات كقوى. افتتاحية. فيثاغورس. جغرافية. تم تكرار المادة في الفصل. الجمباز العقلي.
""ضرب كثيرات الحدود" الصف السابع" - ضرب كثيرات الحدود في كثيرات الحدود. ضرب كثيرات الحدود. العمل في المنزل. أهداف الدرس. خوارزمية لضرب كثيرات الحدود. ضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد. قاعدة. درس حول موضوع "ضرب كثيرات الحدود". العمل وفقا لكتاب المشكلة. العمل الشفهي.
دعونا نفكر في موضوع تحويل التعبيرات بالقوى، ولكن دعونا نتناول أولاً عددًا من التحولات التي يمكن إجراؤها باستخدام أي تعبيرات، بما في ذلك تعبيرات القوة. سوف نتعلم كيف نفتح الأقواس، ونضيف الحدود المتشابهة، ونتعامل مع الأساسات والأسس، ونستخدم خواص القوى.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
ما هي تعبيرات القوة؟
في الدورات المدرسية، يستخدم عدد قليل من الناس عبارة "التعبيرات القوية"، ولكن هذا المصطلح موجود باستمرار في مجموعات التحضير لامتحان الدولة الموحدة. في معظم الحالات، تشير العبارة إلى التعبيرات التي تحتوي على درجات في إدخالاتها. وهذا ما سنعكسه في تعريفنا.
التعريف 1
تعبير عن القوةهو تعبير يحتوي على درجات.
دعونا نعطي عدة أمثلة لتعبيرات الأس، بدءًا من الأس ذي الأس الطبيعي وانتهاءً بالأس ذي الأس الحقيقي.
أبسط تعبيرات القوة يمكن اعتبارها قوى لعدد ذي أس طبيعي: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + أ 2, x 3 − 1 , (أ 2) 3 . وأيضًا للقوى ذات الأس الصفري: 0 5, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. والقوى ذات الأعداد الصحيحة السالبة: (0، 5) 2 + (0، 5) - 2 2.
من الأصعب قليلاً العمل بدرجة لها أسس عقلانية وغير عقلانية: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 أ - 1 6 · ب 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
يمكن أن يكون المؤشر هو المتغير 3 x - 54 - 7 3 x - 58 أو اللوغاريتم x 2 · l g x − 5 · x l g x.
لقد تعاملنا مع مسألة ما هي تعبيرات السلطة. الآن لنبدأ في تحويلها.
الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة
أولاً، سنلقي نظرة على تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات التي يمكن إجراؤها باستخدام تعبيرات القوة.
مثال 1
احسب قيمة تعبير القوة 2 3 (4 2 − 12).
حل
سنقوم بتنفيذ جميع التحولات وفقًا لترتيب الإجراءات. في هذه الحالة، سنبدأ بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين: سنستبدل الدرجة بقيمة رقمية ونحسب الفرق بين رقمين. لدينا 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
كل ما علينا فعله هو استبدال الدرجة 2 3 معناها 8 وحساب المنتج 8 4 = 32. وهنا جوابنا.
إجابة: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
مثال 2
تبسيط التعبير مع القوى 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7.
حل
يحتوي التعبير المعطى لنا في بيان المشكلة على مصطلحات مشابهة يمكننا تقديمها: 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7 = 5 أ 4 ب − 7 − 1.
إجابة: 3 · أ 4 · ب − 7 − 1 + 2 · أ 4 · ب − 7 = 5 · أ 4 · ب − 7 − 1 .
مثال 3
عبر عن التعبير بالقوى 9 - ب 3 · π - 1 2 كحاصل ضرب.
حل
دعونا نتخيل الرقم 9 كقوة 3 2 وتطبيق صيغة الضرب المختصرة:
9 - ب 3 π - 1 2 = 3 2 - ب 3 π - 1 2 = = 3 - ب 3 π - 1 3 + ب 3 π - 1
إجابة: 9 - ب 3 · π - 1 2 = 3 - ب 3 · π - 1 3 + ب 3 · π - 1 .
لننتقل الآن إلى تحليل تحويلات الهوية التي يمكن تطبيقها خصيصًا على تعبيرات القوة.
العمل مع القاعدة والأس
يمكن أن تحتوي الدرجة الموجودة في الأساس أو الأس على أرقام ومتغيرات وبعض التعبيرات. على سبيل المثال، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7و . العمل مع مثل هذه السجلات أمر صعب. من الأسهل كثيرًا استبدال التعبير الموجود في أساس الدرجة أو التعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا.
يتم إجراء تحويلات الدرجة والأس وفقًا للقواعد المعروفة لدينا بشكل منفصل عن بعضها البعض. الشيء الأكثر أهمية هو أن التحويل يؤدي إلى تعبير مطابق للعبارة الأصلية.
الغرض من التحويلات هو تبسيط التعبير الأصلي أو الحصول على حل للمشكلة. على سبيل المثال، في المثال الذي قدمناه أعلاه، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 يمكنك اتباع الخطوات للوصول إلى الدرجة 4 , 1 1 , 3 . ومن خلال فتح القوسين، يمكننا تقديم مصطلحات مشابهة لأساس القوة (أ · (أ + 1) − أ 2) 2 · (س + 1)والحصول على تعبير القوة لشكل أبسط أ 2 (س + 1).
استخدام خصائص الدرجة
تعد خصائص القوى، المكتوبة في صورة مساواة، إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى. ونعرض هنا أهمها مع مراعاة ذلك أو بهي أي أرقام إيجابية، و صو س- الأعداد الحقيقية التعسفية:
التعريف 2
- أ ص · أ ق = أ ص + ق ;
- أ ص: أ ق = أ ص − ق ;
- (أ · ب) ص = أ ص · ب ص ;
- (أ: ب) ص = أ ص: ب ص ;
- (أ ص) س = أ ص · ق .
في الحالات التي نتعامل فيها مع الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، يمكن أن تكون القيود المفروضة على الأرقام a وb أقل صرامة بكثير. لذلك، على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى المساواة أ م · أ ن = أ م + ن، أين مو نهي أعداد طبيعية، فسيكون ذلك صحيحًا بالنسبة لأي قيم a، سواء كانت إيجابية أو سلبية، وكذلك بالنسبة لـ أ = 0.
يمكن استخدام خصائص القوى دون قيود في الحالات التي تكون فيها أسس القوى موجبة أو تحتوي على متغيرات نطاق قيمها المسموح بها بحيث تأخذ القواعد عليها قيما موجبة فقط. في الواقع، في منهج الرياضيات المدرسي، مهمة الطالب هي اختيار خاصية مناسبة وتطبيقها بشكل صحيح.
عند التحضير لدخول الجامعات، قد تواجه مشكلات يؤدي فيها التطبيق غير الدقيق للخصائص إلى تضييق نطاق التعلم وصعوبات أخرى في حلها. في هذا القسم سوف ندرس حالتين فقط من هذا القبيل. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذا الموضوع في موضوع "تحويل التعبيرات باستخدام خصائص القوى".
مثال 4
تخيل التعبير أ 2 , 5 (أ 2) − 3: أ − 5 , 5على شكل قوة ذات قاعدة أ.
حل
أولًا، نستخدم خاصية الأسية ونحول العامل الثاني باستخدامها (أ 2) - 3. ثم نستخدم خصائص ضرب وقسمة القوى ذات الأساس نفسه:
أ 2 , 5 · أ − 6: أ − 5 , 5 = أ 2 , 5 − 6: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5 − (− 5 , 5) = أ 2 .
إجابة:أ 2, 5 · (أ 2) − 3: أ − 5, 5 = أ 2.
يمكن تحويل تعبيرات القوة وفقًا لخاصية القوى من اليسار إلى اليمين وفي الاتجاه المعاكس.
مثال 5
أوجد قيمة تعبير القوة 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
حل
إذا طبقنا المساواة (أ · ب) ص = أ ص · ب ص، من اليمين إلى اليسار، نحصل على حاصل الضرب بالشكل 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ثم 21 1 3 · 21 2 3 . لنجمع الأسس عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
هناك طريقة أخرى لتنفيذ التحول:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
إجابة: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
مثال 6
نظرا لتعبير السلطة أ 1، 5 − أ 0، 5 − 6، أدخل متغيرًا جديدًا ر = 0.5.
حل
دعونا نتخيل الدرجة أ 1، 5كيف 0.5 3. استخدام خاصية الدرجات إلى الدرجات (أ ص) ق = أ ص · قمن اليمين إلى اليسار ونحصل على (أ 0, 5) 3: أ 1, 5 − أ 0, 5 − 6 = (أ 0, 5) 3 − أ 0, 5 − 6. يمكنك بسهولة إدخال متغير جديد في التعبير الناتج ر = 0.5: نحن نحصل ر 3 – ر − 6.
إجابة:ر 3 − ر − 6 .
تحويل الكسور التي تحتوي على القوى
نتعامل عادة مع نسختين من تعبيرات القوة مع الكسور: التعبير يمثل كسرًا بقوة أو يحتوي على مثل هذا الكسر. جميع التحويلات الأساسية للكسور قابلة للتطبيق على هذه التعبيرات دون قيود. يمكن تصغيرها أو إحضارها إلى مقام جديد أو العمل بشكل منفصل مع البسط والمقام. دعونا نوضح ذلك بالأمثلة.
مثال 7
بسّط تعبير القوة 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
حل
نحن نتعامل مع كسر، لذلك سنقوم بإجراء التحويلات في كل من البسط والمقام:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - × 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - س 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - س 2
ضع علامة الطرح أمام الكسر لتغيير إشارة المقام: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
إجابة: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = - 12 2 + × 2
يتم اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بنفس طريقة الكسور المنطقية. للقيام بذلك، تحتاج إلى إيجاد عامل إضافي وضرب بسط ومقام الكسر به. من الضروري تحديد عامل إضافي بحيث لا يصل إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.
مثال 8
اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) أ + 1 أ 0، 7 إلى المقام أ, ب) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · 1 6 + 4 · y 1 3 إلى المقام x + 8 · y 1 2 .
حل
أ) دعونا نختار عاملاً يسمح لنا بالاختزال إلى مقام جديد. أ 0، 7 أ 0، 3 = أ 0، 7 + 0، 3 = أ،ولذلك، كعامل إضافي سوف نأخذ أ 0، 3. يشمل نطاق القيم المسموح بها للمتغير a مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة. شهادة في هذا المجال أ 0، 3لا يذهب إلى الصفر.
دعونا نضرب بسط ومقام الكسر في أ 0، 3:
أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ 0، 7 أ 0، 3 = أ + 1 أ 0، 3 أ
ب) دعونا ننتبه إلى المقام:
س 2 3 - 2 س 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 2 - س 1 3 2 ص 1 6 + 2 ص 1 6 2
لنضرب هذا التعبير في x 1 3 + 2 · y 1 6، نحصل على مجموع المكعبات x 1 3 و 2 · y 1 6، أي. س + 8 · ص 1 2 . هذا هو المقام الجديد الذي علينا تبسيط الكسر الأصلي إليه.
هكذا وجدنا العامل الإضافي x 1 3 + 2 · 1 6 . على نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات سو ذالتعبير x 1 3 + 2 y 1 6 لا يختفي، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = x 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 + 2 ص 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 3 + 2 ص 1 6 3 = س 1 3 + 2 ص 1 6 س + 8 ص 1 2
إجابة:أ) أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = x 1 3 + 2 ص 1 6 x + 8 · ص 1 2 .
مثال 9
اختزل الكسر: أ) 30 × 3 (س 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3، ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2.
حل
أ) نستخدم القاسم المشترك الأكبر (GCD)، والذي يمكننا من خلاله تقليل البسط والمقام. بالنسبة للرقمين 30 و45، يكون العدد 15. يمكننا أيضًا إجراء تخفيض بواسطة ×0.5+1وعلى x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
نحن نحصل:
30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 × 3 3 (× 0، 5 + 1)
ب) هنا ليس من الواضح وجود عوامل متطابقة. سيتعين عليك إجراء بعض التحويلات للحصول على نفس العوامل في البسط والمقام. للقيام بذلك، نقوم بتوسيع المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:
أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 2 - ب 1 2 2 = = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 + ب 1 4 أ 1 4 - ب 1 4 = 1 أ 1 4 + ب 1 4
إجابة:أ) 30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 · × 3 3 · (س 0 , 5 + 1) , ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = 1 أ 1 4 + ب 1 4 .
تتضمن العمليات الأساسية مع الكسور تحويل الكسور إلى مقام جديد وتقليل الكسور. يتم تنفيذ كلا الإجراءين وفقًا لعدد من القواعد. عند جمع وطرح الكسور، يتم أولاً اختزال الكسور إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إجراء العمليات (الجمع أو الطرح) مع البسطين. يبقى القاسم كما هو. نتيجة أفعالنا هي كسر جديد، بسطه هو حاصل ضرب البسطين، ومقامه هو حاصل ضرب المقامات.
مثال 10
قم بتنفيذ الخطوات x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
حل
لنبدأ بطرح الكسور الموجودة بين قوسين. فلنضعهم في قاسم مشترك:
× 1 2 - 1 × 1 2 + 1
دعونا نطرح البسطين:
س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = = س 1 2 + 1 س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 - س 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 × 1 2 + 1 1 × 1 2
الآن نضرب الكسور:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
دعونا نقلل بمقدار قوة × 1 2، نحصل على 4 × 1 2 - 1 · × 1 2 + 1 .
بالإضافة إلى ذلك، يمكنك تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: المربعات: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
إجابة:س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = 4 س - 1
مثال 11
بسّط تعبير قانون القوى x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
حل
يمكننا تقليل الكسر بواسطة (× ٢ ، ٧ + ١) ٢. نحصل على الكسر x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
لنواصل تحويل قوى x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. الآن يمكنك استخدام خاصية تقسيم القوى بنفس الأساس: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 ، 7 + 1 .
ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
إجابة:س 3 4 × 2، 7 + 1 2 س - 5 8 × 2، 7 + 1 3 = × 1 3 8 × 2، 7 + 1.
في معظم الحالات، يكون من الملائم أكثر نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام والعودة، مع تغيير إشارة الأس. يتيح لك هذا الإجراء تبسيط القرار الإضافي. لنعطي مثالاً: يمكن استبدال تعبير القوة (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 بـ x 3 · (x + 1) 0, 2.
تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى
في المسائل هناك تعبيرات قوة لا تحتوي فقط على قوى ذات أسس كسرية، بل تحتوي أيضًا على جذور. من المستحسن اختصار هذه التعبيرات إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. يُفضل الحصول على الدرجات العلمية لأنها أسهل في العمل. يُفضل هذا الانتقال بشكل خاص عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالقوى دون الحاجة إلى الوصول إلى المعامل أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات.
مثال 12
عبر عن التعبير x 1 9 · x · x 3 6 كقوة.
حل
نطاق القيم المتغيرة المسموح بها سيتم تعريفه من خلال اثنين من عدم المساواة س ≥ 0و x x 3 ≥ 0، والتي تحدد المجموعة [ 0 , + ∞) .
في هذه المجموعة لنا الحق في الانتقال من الجذور إلى القوى:
س 1 9 · س · س 3 6 = س 1 9 · س · س 1 3 1 6
باستخدام خصائص القوى، نقوم بتبسيط تعبير القوة الناتج.
× 1 9 · × · × 1 3 1 6 = × 1 9 · × 1 6 · × 1 3 1 6 = × 1 9 · × 1 6 · × 1 · 1 3 · 6 = = × 1 9 · × 1 6 س 1 18 = س 1 9 + 1 6 + 1 18 = س 1 3
إجابة: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
تحويل القوى مع المتغيرات في الأس
من السهل جدًا إجراء هذه التحويلات إذا كنت تستخدم خصائص الدرجة بشكل صحيح. على سبيل المثال، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
يمكننا الاستعاضة عن ذلك بمنتج القوى، التي تكون أسسها مجموع متغير ما وعدد. على الجانب الأيسر، يمكن القيام بذلك باستخدام الحدين الأول والأخير من الجانب الأيسر من التعبير:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
الآن دعونا نقسم طرفي المساواة على 7 2 س. هذا التعبير للمتغير x يأخذ القيم الموجبة فقط:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 × 7 2 × - 3 5 × 7 × 7 × 7 × - 2 7 2 × 7 2 × = 0
دعونا نبسط الكسور بالقوى، نحصل على: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
أخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى النسب، مما يؤدي إلى المعادلة 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0، أي ما يعادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
دعونا نقدم متغيرًا جديدًا t = 5 7 x، مما يقلل حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.
تحويل التعبيرات مع القوى واللوغاريتمات
التعبيرات التي تحتوي على القوى واللوغاريتمات موجودة أيضًا في المشكلات. مثال على هذه التعبيرات: 1 4 1 - 5 · سجل 2 3 أو سجل 3 27 9 + 5 (1 - سجل 3 5) · سجل 5 3. يتم تحويل هذه التعبيرات باستخدام أساليب وخصائص اللوغاريتمات التي تمت مناقشتها أعلاه، والتي ناقشناها بالتفصيل في موضوع "تحويل التعبيرات اللوغاريتمية".
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
التعبيرات، تحويل التعبير
تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها
سنتحدث في هذه المقالة عن تحويل التعبيرات ذات الصلاحيات. أولاً، سنركز على التحويلات التي يتم إجراؤها باستخدام العبارات من أي نوع، بما في ذلك عبارات القوة، مثل فتح الأقواس وإحضار المصطلحات المتشابهة. وبعد ذلك سنقوم بتحليل التحويلات المتأصلة على وجه التحديد في التعبيرات ذات الدرجات: العمل مع الأساس والأس، واستخدام خصائص الدرجات، وما إلى ذلك.
التنقل في الصفحة.
ما هي تعبيرات القوة؟
مصطلح "تعبيرات القوة" لا يظهر عمليا في كتب الرياضيات المدرسية، ولكنه يظهر في كثير من الأحيان في مجموعات المسائل، وخاصة تلك المخصصة للتحضير لامتحان الدولة الموحدة واختبار الدولة الموحدة، على سبيل المثال. بعد تحليل المهام التي من الضروري فيها تنفيذ أي إجراءات ذات تعبيرات القوة، يصبح من الواضح أن تعبيرات القوة تُفهم على أنها تعبيرات تحتوي على صلاحيات في مدخلاتها. لذلك، يمكنك قبول التعريف التالي لنفسك:
تعريف.
تعبيرات القوةهي تعبيرات تحتوي على صلاحيات.
هيا نعطي أمثلة على تعبيرات القوة. علاوة على ذلك، سنعرضها بحسب كيفية حدوث تطور وجهات النظر من درجة ذات أس طبيعي إلى درجة ذات أس حقيقي.
كما هو معروف، نتعرف أولاً على أس العدد ذي الأس الطبيعي، وفي هذه المرحلة، يتم التعرف على أبسط تعبيرات الأس من النوع 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 تظهر −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 إلخ.
وبعد ذلك بقليل تتم دراسة أس عدد ذو أس صحيح، مما يؤدي إلى ظهور تعبيرات أس ذات أس عدد صحيح سالب، مثل ما يلي: 3 −2, 
, أ −2 +2 ب −3 +ج 2 .
في المدرسة الثانوية يعودون إلى الدرجات العلمية. هناك يتم تقديم درجة ذات أس عقلاني، مما يستلزم ظهور تعبيرات القوة المقابلة: 
, , 
وما إلى ذلك وهلم جرا. وأخيرا، تعتبر الدرجات ذات الأسس غير المنطقية والعبارات التي تحتوي عليها: , .
لا يقتصر الأمر على تعبيرات القوة المذكورة: علاوة على ذلك، يخترق المتغير الأس، وعلى سبيل المثال، تظهر التعبيرات التالية: 2 × 2 +1 أو 
. وبعد التعرف على ، تبدأ التعبيرات ذات القوى واللوغاريتمات في الظهور، على سبيل المثال، x 2·lgx −5·x lgx.
لذلك، تعاملنا مع مسألة ما تمثله تعبيرات القوة. بعد ذلك سوف نتعلم تحويلها.
الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة
باستخدام تعبيرات الطاقة، يمكنك إجراء أي من تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات. على سبيل المثال، يمكنك فتح الأقواس، واستبدال التعبيرات الرقمية بقيمها، وإضافة مصطلحات مماثلة، وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، في هذه الحالة، من الضروري اتباع الإجراء المعتمد لتنفيذ الإجراءات. دعونا نعطي أمثلة.
مثال.
احسب قيمة تعبير القوة 2 3 ·(4 2 −12) .
حل.
وفقًا لترتيب تنفيذ الإجراءات، قم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. هناك، أولاً، نستبدل القوة 4 2 بقيمتها 16 (انظر إذا لزم الأمر)، وثانيًا، نحسب الفرق 16−12=4. لدينا 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
في التعبير الناتج، نستبدل القوة 2 3 بقيمتها 8، وبعد ذلك نحسب حاصل الضرب 8·4=32. هذه هي القيمة المطلوبة.
لذا، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
إجابة:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
مثال.
تبسيط التعبيرات مع القوى 3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7.
حل.
من الواضح أن هذا التعبير يحتوي على مصطلحات متشابهة 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 ، ويمكننا تقديمها: .
إجابة:
3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7 =5 أ 4 ب −7 −1.
مثال.
التعبير عن التعبير بالصلاحيات كمنتج.
حل.
يمكنك التعامل مع المهمة من خلال تمثيل الرقم 9 كقوة 3 2 ثم استخدام صيغة الضرب المختصر - فرق المربعات: 
إجابة:
هناك أيضًا عدد من التحولات المتطابقة المتأصلة على وجه التحديد في تعبيرات القوة. سنقوم بتحليلها أكثر.
العمل مع القاعدة والأس
هناك درجات لا يكون أساسها و/أو أسها مجرد أرقام أو متغيرات، بل بعض التعبيرات. على سبيل المثال، نعطي المدخلات (2+0.3·7) 5−3.7 و (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
عند العمل مع مثل هذه التعبيرات، يمكنك استبدال كل من التعبير الموجود في قاعدة الدرجة والتعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا في ODZ لمتغيراته. بمعنى آخر، وفقًا للقواعد المعروفة لدينا، يمكننا تحويل أساس الدرجة بشكل منفصل والأس بشكل منفصل. ومن الواضح أنه نتيجة لهذا التحول، سيتم الحصول على تعبير مساوٍ تمامًا للتعبير الأصلي.
تتيح لنا مثل هذه التحولات تبسيط التعبيرات ذات القوى أو تحقيق أهداف أخرى نحتاجها. على سبيل المثال، في تعبير القوة المذكور أعلاه (2+0.3 7) 5−3.7، يمكنك إجراء عمليات باستخدام الأرقام الموجودة في الأساس والأس، مما سيسمح لك بالانتقال إلى الأس 4.1 1.3. وبعد فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة إلى قاعدة الدرجة (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)، نحصل على تعبير قوة بشكل أبسط a 2·(x+ 1) .
استخدام خصائص الدرجة
إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى هي المساواة التي تعكس . دعونا نتذكر أهمها. بالنسبة لأي أرقام موجبة a وb وأعداد حقيقية عشوائية r وs، فإن خصائص القوى التالية صحيحة:
- أ ص ·أ ق =أ ص+س ;
- أ ص:أ ق =أ ص−س ;
- (أ·ب) ص =أ ص ·ب ص ;
- (أ:ب) ص =أ ص:ب ص ;
- (أ ص) ث =أ ص·س .
لاحظ أنه بالنسبة للأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، فإن القيود المفروضة على الأرقام a وb قد لا تكون صارمة جدًا. على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية m وn، فإن المساواة a m ·a n =a m+n صحيحة ليس فقط بالنسبة للموجب a، ولكن أيضًا بالنسبة للسالب a، وبالنسبة لـ a=0.
في المدرسة، ينصب التركيز الأساسي عند تحويل تعبيرات القوة على القدرة على اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح. وفي هذه الحالة، تكون أسس الدرجات عادة موجبة، مما يسمح باستخدام خصائص الدرجات دون قيود. الأمر نفسه ينطبق على تحويل التعبيرات التي تحتوي على متغيرات في قواعد القوى - نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عادة ما يكون بحيث تأخذ القواعد قيمًا موجبة فقط عليها، مما يسمح لك باستخدام خصائص القوى بحرية . بشكل عام، عليك أن تسأل نفسك باستمرار ما إذا كان من الممكن استخدام أي خاصية للدرجات في هذه الحالة، لأن الاستخدام غير الدقيق للخصائص يمكن أن يؤدي إلى تضييق القيمة التعليمية ومشاكل أخرى. تمت مناقشة هذه النقاط بالتفصيل ومع الأمثلة في المقالة تحويل التعبيرات باستخدام خصائص القوى. وهنا سنقتصر على النظر في بعض الأمثلة البسيطة.
مثال.
عبر عن التعبير a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 كقوة ذات الأساس a.
حل.
أولاً، نحول العامل الثاني (a 2) −3 باستخدام خاصية رفع قوة إلى قوة: (أ 2) −3 =أ 2·(−3) =أ −6. تعبير القوة الأصلي سوف يأخذ الشكل a 2.5 ·a −6:a −5.5. من الواضح أنه يبقى استخدام خصائص ضرب وقسمة القوى بنفس الأساس الذي لدينا
أ 2.5 · أ −6:أ −5.5 =
أ 2.5−6:أ −5.5 =أ −3.5:أ −5.5 =
أ −3.5−(−5.5) =أ 2 .
إجابة:
أ 2.5 ·(أ 2) −3:أ −5.5 =أ 2.
يتم استخدام خصائص القوى عند تحويل تعبيرات الطاقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار.
مثال.
أوجد قيمة تعبير القوة.
حل.
المساواة (a·b) r =a r ·b r، المطبقة من اليمين إلى اليسار، تسمح لنا بالانتقال من التعبير الأصلي إلى منتج النموذج وأكثر من ذلك. وعند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن الأسس تضيف ما يلي: 
.
كان من الممكن تحويل التعبير الأصلي بطريقة أخرى: 
إجابة:
.
مثال.
بالنظر إلى تعبير الطاقة a 1.5 −a 0.5 −6، أدخل متغيرًا جديدًا t=a 0.5.
حل.
يمكن تمثيل الدرجة a 1.5 على أنها 0.5 3 وبعد ذلك، بناءً على خاصية الدرجة إلى الدرجة (a r) s =a r s، المطبقة من اليمين إلى اليسار، قم بتحويلها إلى الشكل (a 0.5) 3. هكذا، أ 1.5 −أ 0.5 −6=(أ 0.5) 3 −أ 0.5 −6. الآن أصبح من السهل إدخال متغير جديد t=a 0.5، نحصل على t 3 −t−6.
إجابة:
ر 3 −t−6 .
تحويل الكسور التي تحتوي على القوى
يمكن أن تحتوي تعبيرات القوة على أو تمثل كسورًا ذات قوى. أي من التحويلات الأساسية للكسور المتأصلة في الكسور من أي نوع تنطبق بالكامل على هذه الكسور. أي أنه يمكن اختزال الكسور التي تحتوي على قوى، واختزالها إلى مقام جديد، والعمل بشكل منفصل مع بسطها وبشكل منفصل مع المقام، وما إلى ذلك. لتوضيح هذه الكلمات، فكر في حلول عدة أمثلة.
مثال.
تبسيط التعبير عن السلطة 
.
حل.
تعبير القوة هذا عبارة عن كسر. دعونا نعمل مع البسط والمقام. في البسط نفتح الأقواس ونبسط التعبير الناتج باستخدام خصائص القوى، وفي المقام نقدم مصطلحات مشابهة: 
ولنغير أيضًا إشارة المقام بوضع علامة ناقص أمام الكسر: 
.
إجابة:
.
يتم تنفيذ اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بشكل مشابه لاختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد. وفي هذه الحالة، يتم أيضًا العثور على عامل إضافي ويتم ضرب بسط الكسر ومقامه به. عند تنفيذ هذا الإجراء، تجدر الإشارة إلى أن التخفيض إلى قاسم جديد يمكن أن يؤدي إلى تضييق VA. ولمنع حدوث ذلك، من الضروري ألا يصل العامل الإضافي إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.
مثال.
اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) إلى المقام أ، ب) 
إلى القاسم.
حل.
أ) في هذه الحالة، من السهل جدًا معرفة المضاعف الإضافي الذي يساعد على تحقيق النتيجة المرجوة. هذا مضاعف 0.3، حيث أن 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. لاحظ أنه في نطاق القيم المسموح بها للمتغير a (هذه هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة)، لا تختفي قوة 0.3، لذلك يحق لنا ضرب البسط والمقام لمعطى معين الكسر بهذا العامل الإضافي: 
ب) بإلقاء نظرة فاحصة على المقام، ستجد ذلك 
وضرب هذا التعبير في سيعطي مجموع المكعبات و . وهذا هو المقام الجديد الذي علينا تبسيط الكسر الأصلي إليه.
وهكذا وجدنا عاملاً إضافياً. في نطاق القيم المسموح بها للمتغيرين x و y، لا يختفي التعبير، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به: 
إجابة:
أ) 
، ب) 
.
كما أنه لا جديد في اختزال الكسور التي تحتوي على قوى: يتم تمثيل البسط والمقام بعدد من العوامل، ويتم اختزال نفس عوامل البسط والمقام.
مثال.
تقليل الكسر: أ) 
، ب) .
حل.
أ) أولاً، يمكن اختزال البسط والمقام بالرقمين 30 و45، وهو ما يساوي 15. ومن الواضح أيضًا أنه من الممكن إجراء تخفيض بمقدار x 0.5 +1 وبواسطة 
. وهنا ما لدينا: 
ب) في هذه الحالة، العوامل المتطابقة في البسط والمقام ليست مرئية على الفور. للحصول عليها، سيتعين عليك إجراء التحولات الأولية. في هذه الحالة، تتمثل في تحليل المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: 
إجابة:
أ) 
ب) 
.
يتم استخدام تحويل الكسور إلى مقام جديد وتصغير الكسور بشكل أساسي للتعامل مع الكسور. يتم تنفيذ الإجراءات وفقًا للقواعد المعروفة. عند جمع (طرح) الكسور، يتم اختزالها إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إضافة (طرح) البسط، ولكن يبقى المقام كما هو. والنتيجة هي كسر بسطه حاصل ضرب البسطين، ومقامه حاصل ضرب المقامين. القسمة على الكسر هي الضرب على معكوسه.
مثال.
اتبع الخطوات 
.
حل.
أولًا، نطرح الكسور الموجودة بين قوسين. للقيام بذلك، نأتي بهم إلى قاسم مشترك، وهو 
، وبعد ذلك نطرح البسطين: 
الآن نضرب الكسور: 
من الواضح أنه من الممكن التخفيض بقوة x 1/2، وبعد ذلك لدينا 
.
يمكنك أيضًا تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: 
.
إجابة:
مثال.
تبسيط تعبير القوة 
.
حل.
من الواضح أنه يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار (x 2.7 +1) 2، وهذا يعطي الكسر 
. من الواضح أنه يجب القيام بشيء آخر باستخدام صلاحيات X. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الكسر الناتج إلى منتج. وهذا يتيح لنا فرصة الاستفادة من خاصية تقسيم القوى على نفس الأسس: 
. وفي نهاية العملية ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر.
إجابة:
.
ودعنا نضيف أيضًا أنه من الممكن، ومن المرغوب فيه في كثير من الحالات، نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام أو من المقام إلى البسط، مما يؤدي إلى تغيير إشارة الأس. غالبًا ما تعمل مثل هذه التحولات على تبسيط الإجراءات الإضافية. على سبيل المثال، يمكن استبدال تعبير الطاقة بـ .
تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى
في كثير من الأحيان، في التعبيرات التي تتطلب بعض التحويلات، تكون الجذور ذات الأسس الكسرية موجودة أيضًا جنبًا إلى جنب مع القوى. لتحويل مثل هذا التعبير إلى الشكل المطلوب، يكفي في معظم الحالات الانتقال إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. ولكن بما أنه أكثر ملاءمة للعمل مع القوى، فإنها عادة ما تنتقل من الجذور إلى القوى. ومع ذلك، فمن المستحسن إجراء مثل هذا الانتقال عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالصلاحيات دون الحاجة إلى الرجوع إلى الوحدة النمطية أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات (ناقشنا هذا بالتفصيل في انتقال المقال من الجذور إلى القوى والعودة بعد التعرف على الدرجة ذات الأس الكسرى يتم تقديم درجة ذات أس غير عقلاني، مما يسمح لنا بالحديث عن درجة ذات أس حقيقي اعتباطي، وفي هذه المرحلة تبدأ المدرسة في يذاكر وظيفة الأسية، والتي يتم إعطاؤها تحليليًا بواسطة قوة، أساسها رقم، والأس متغير. لذلك نحن نواجه تعبيرات القوة التي تحتوي على أرقام في أساس القوة، وفي الأس - تعبيرات ذات متغيرات، ومن الطبيعي أن تنشأ الحاجة إلى إجراء تحويلات لمثل هذه التعبيرات.
يجب أن يقال أن تحويل التعبيرات من النوع المحدد عادة ما يتم إجراؤه عند الحل المعادلات الأسيةو عدم المساواة الأسية، وهذه التحويلات بسيطة للغاية. في الغالبية العظمى من الحالات، تعتمد على خصائص الدرجة وتهدف، في معظمها، إلى إدخال متغير جديد في المستقبل. المعادلة سوف تسمح لنا بإظهارها 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
أولاً، يتم استبدال القوى، التي في أسسها مجموع متغير معين (أو تعبير مع متغيرات) ورقم، بالمنتجات. ينطبق هذا على الحدين الأول والأخير من التعبير الموجود على الجانب الأيسر:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
بعد ذلك، يتم تقسيم طرفي المساواة بالتعبير 7 2 x، والذي يأخذ قيمًا موجبة فقط في ODZ للمتغير x للمعادلة الأصلية (هذه تقنية قياسية لحل المعادلات من هذا النوع، نحن لسنا كذلك نتحدث عنه الآن، لذلك ركز على التحولات اللاحقة للتعبيرات مع القوى ): 
الآن يمكننا إلغاء الكسور ذات القوى، وهو ما يعطي 
.
وأخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى العلاقات، مما يؤدي إلى المعادلة 
، وهو ما يعادل 
. تتيح لنا التحويلات التي تم إجراؤها إدخال متغير جديد، مما يقلل من حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية
