يفجيني شيرييف ، محاضر ورئيس مختبر الرياضيات في متحف البوليتكنيك، أخبر AiF.ru عن القسمة على صفر:

1. اختصاص القضية

موافق ، الحظر يعطي استفزازا خاصا للقاعدة. كيف هو مستحيل؟ الذي حظر؟ لكن ماذا عن حقوقنا المدنية؟

لا دستور الاتحاد الروسي ولا القانون الجنائي ولا حتى ميثاق مدرستك يعترضان على العمل الفكري الذي يهمنا. هذا يعني أن الحظر ليس له قوة قانونية ، ولا شيء يمنع هنا ، على صفحات AiF.ru ، من محاولة تقسيم شيء ما على صفر. على سبيل المثال ، ألف.

2. تقسيم كما علمنا

تذكر ، عندما تعلمت كيفية القسمة لأول مرة ، تم حل الأمثلة الأولى عن طريق التحقق من الضرب: النتيجة مضروبة في القاسم يجب أن تتطابق مع القسمة. لم تتطابق - لم تقرر.

مثال 1 1000: 0 =...

دعنا ننسى القاعدة المحظورة لمدة دقيقة ونقوم بعدة محاولات لتخمين الإجابة.

خطأ سيقطع الشيك. كرر على الخيارات: 100 ، 1 ، −23 ، 17 ، 0 ، 10000. لكل منها ، سيعطي الاختبار نفس النتيجة:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10000 0 = 0

الصفر عن طريق الضرب يحول كل شيء إلى نفسه وليس إلى ألف. الاستنتاج سهل الصياغة: لن يجتاز أي رقم الاختبار. أي أنه لا يمكن لأي رقم أن يكون نتيجة قسمة عدد غير صفري على صفر. مثل هذا التقسيم ليس محظورًا ، لكن ببساطة ليس له نتيجة.

3. فارق بسيط

ضيعت فرصة واحدة تقريبًا لدحض الحظر. نعم ، نحن ندرك أن الرقم غير الصفري لن يقبل القسمة على 0. ولكن ربما يمكن للصفر نفسه؟

مثال 2 0: 0 = ...

اقتراحاتك للخصوصية؟ 100؟ من فضلك: حاصل قسمة 100 مضروبًا في المقسوم عليه 0 يساوي القسمة على 0.

المزيد من الخيارات! واحد؟ مناسب أيضًا. و -23 و 17 وجميع الكل. في هذا المثال ، سيكون فحص النتيجة موجبًا لأي رقم. ولكي نكون صادقين ، لا ينبغي تسمية الحل في هذا المثال برقم ، بل مجموعة من الأرقام. الجميع. ولن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للاتفاق على أن أليس ليست أليس ، بل ماري آن ، وكلاهما حلم أرنب.

4. ماذا عن الرياضيات العليا؟

تم حل المشكلة ، وأخذ الفروق الدقيقة في الاعتبار ، ووضع النقاط ، وكل شيء واضح - لا يوجد رقم يمكن أن يكون الجواب في المثال مع القسمة على صفر. حل مثل هذه المشاكل ميؤوس منه ومستحيل. مثير جدا! ضعف اثنين.

مثال 3 اكتشف كيفية قسمة 1000 على 0.

لكن بأي حال من الأحوال. لكن يمكن بسهولة قسمة 1000 على أرقام أخرى. حسنًا ، دعنا على الأقل نفعل ما ينجح ، حتى لو قمنا بتغيير المهمة. وهناك ، كما ترى ، سننجرف ، وستظهر الإجابة من تلقاء نفسها. انسى الصفر لمدة دقيقة واقسم على مائة:

مائة بعيدة عن الصفر. لنأخذ خطوة نحوها بتقليل المقسوم عليه:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

ديناميات واضحة: كلما اقترب المقسوم عليه من الصفر ، زاد حاصل القسمة. يمكن ملاحظة الاتجاه بشكل أكبر ، والانتقال إلى الكسور والاستمرار في تقليل البسط:

يبقى أن نلاحظ أنه يمكننا الاقتراب من الصفر بقدر ما نحب ، مما يجعل حاصل القسمة كبيرًا بشكل تعسفي.

لا يوجد صفر في هذه العملية ولا حاصل قسمة أخير. أشرنا إلى الحركة تجاههم من خلال استبدال الرقم بتسلسل يتقارب مع الرقم الذي يهمنا:

هذا يعني استبدالًا مشابهًا للأرباح:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

الأسهم على الوجهين لسبب: بعض التسلسلات يمكن أن تتقارب مع الأرقام. ثم يمكننا ربط متتالية بحدها العددي.

لنلقِ نظرة على تسلسل حواجز القسمة:

إنها تنمو إلى أجل غير مسمى ، وتسعى جاهدة بلا عدد وتتفوق على أي منها. يضيف علماء الرياضيات رموزًا إلى الأرقام ∞ لتتمكن من وضع سهم على الوجهين بجوار مثل هذا التسلسل:

تسمح لنا مقارنة أعداد التسلسلات بحدود باقتراح حل للمثال الثالث:

بقسمة تسلسل يتقارب إلى 1000 عنصر من خلال سلسلة من الأرقام الموجبة المتقاربة مع 0 ، نحصل على تسلسل يتقارب مع ∞.

5. وهنا فارق بسيط بين اثنين من الأصفار

ماذا ستكون نتيجة قسمة متتابعين من الأعداد الموجبة التي تقترب من الصفر؟ إذا كانت هي نفسها ، فإن الوحدة المتطابقة. إذا تقارب توزيع الأرباح المتسلسلة إلى الصفر أسرع ، ثم في تسلسل معين بحد صفر. وعندما تنخفض عناصر المقسوم عليه بشكل أسرع بكثير من المقسوم ، فإن تسلسل حاصل القسمة سينمو بقوة:

حالة غير مؤكدة. وهكذا يطلق عليه: الشك في الشكل 0/0 . عندما يرى علماء الرياضيات متواليات تتناسب مع عدم اليقين هذا ، فإنهم لا يتسرعون في تقسيم رقمين متطابقين على بعضهما البعض ، لكنهم يكتشفون أي التسلسل يصل إلى الصفر بشكل أسرع وكيف. ولكل مثال إجابته الخاصة!

6. في الحياة

يتعلق قانون أوم بالتيار والجهد والمقاومة في الدائرة. غالبًا ما يتم كتابته بهذا الشكل:

دعونا نهمل الفهم المادي الدقيق وننظر رسميًا إلى الجانب الأيمن على أنه حاصل قسمة رقمين. تخيل أننا نحل مشكلة مدرسية تتعلق بالكهرباء. تُعطى الحالة الجهد بالفولت والمقاومة بالأوم. السؤال واضح ، القرار في فعل واحد.

الآن دعونا نلقي نظرة على تعريف الموصلية الفائقة: هذه خاصية لبعض المعادن أن يكون لها مقاومة كهربائية صفرية.

حسنًا ، دعنا نحل مشكلة الدائرة فائقة التوصيل؟ فقط ضعها هكذا ص = 0 لا ينجح ، تطرح الفيزياء مشكلة مثيرة للاهتمام ، ومن الواضح أن وراءها اكتشاف علمي. والأشخاص الذين تمكنوا من القسمة على الصفر في هذه الحالة حصلوا على جائزة نوبل. من المفيد أن تكون قادرًا على تجاوز أي محظورات!

اعتمد الدرس على الإجراءات المستقلة للطلاب في كل مرحلة ، والانغماس الكامل في مهمة التعلم. تم تسهيل ذلك من خلال تقنيات مثل العمل في مجموعات ، والتحقق الذاتي والمتبادل ، وخلق حالة من النجاح ، والمهام المتباينة ، والتفكير الذاتي.

تحميل:

معاينة:

كتاب مدرسي: "الرياضيات" الصف 3 M.I. مورو

أهداف الدرس:

أهداف الدرس:

لتحقيق الهدف ، تم تصميم الدرس مع مراعاةنهج النشاط.

تضمن هيكل الدرس ما يلي:

1. منظمة. لحظة ، والغرض منه هو إعداد الأطفال بشكل إيجابي لأنشطة التعلم.
2. تحفيز يسمح بتحديث المعرفة ، وتشكيل أهداف وغايات الدرس. تحقيقا لهذه الغاية ، كانت التعييناتإيجاد عدد إضافي ، وتصنيف الأمثلة في مجموعات ، وإضافة الأعداد الناقصة. في سياق حل هذه المهام ، واجه الأطفالمشكلة : كان هناك مثال على الحل لا توجد معرفة كافية به. لهذا السبب يا أطفالتحديد أهدافهم الخاصةوحدد أهداف التعلم للدرس.
3. البحث واكتشاف المعرفة الجديدةأعطي الأطفال الفرصةتقدم خيارات مختلفةحلول المهام.بناءً على المواد التي تم تعلمها مسبقًا ،كانوا قادرين على إيجاد الحل المناسب والتوصل إليهاستنتاج التي صيغت فيها القاعدة الجديدة.
4. أثناء التثبيت الأساسيعلق الطلاب على أفعالهم ، تعمل وفق القاعدة، بالإضافة إلى ذلكأمثلتهم على هذه القاعدة.
5. إلى عن على أتمتة الإجراءاتو القدرة على استخدام القواعد غير القياسيةالمهام ، حل الأطفال المعادلات ، والعبارات في العديد من الإجراءات.
6. عمل مستقلوالتدقيق أظهر أن معظم الأطفال تعلموا الموضوع.
7. أثناء التفكير استنتج الأطفال أن هدف الدرس قد تحقق وقيموا أنفسهم بمساعدة البطاقات.

اعتمد الدرس على الإجراءات المستقلة للطلاب في كل مرحلة ، والانغماس الكامل في مهمة التعلم. تم تسهيل ذلك من خلال تقنيات مثل العمل في مجموعات ، والتحقق الذاتي والمتبادل ، وخلق حالة من النجاح ، والمهام المتباينة ، والتفكير الذاتي.

درس الرياضيات في الصف الثالث.

موضوع الدرس: "قسمة 0 على رقم. لا يمكن القسمة على 0

أهداف الدرس: خلق الظروف لتشكيل القدرة على قسمة 0 على رقم.

أهداف الدرس:

• كشف معنى قسمة 0 على رقم من خلال علاقة الضرب والقسمة ؛
• تطوير الاستقلال والانتباه والتفكير ؛
• لتكوين مهارات حل أمثلة الضرب المجدول والقسمة.

خلال الفصول.

1. المرحلة التنظيمية.

تحقق من استعدادك للدرس ، واجلس بشكل مستقيم.
افرك أذنيك لزيادة تدفق الدم إلى عقلك. سيكون لديك اليوم الكثير من الأعمال الشيقة ، وأنا متأكد من أنك ستؤديها بشكل جيد للغاية.

1. (الشريحة 1 ؛ 2 ؛ 3)

دق جرس مرح

نبدأ درسنا.

هل يجلس الجميع بشكل صحيح؟

هل الجميع يشاهد؟

الكل يريد أن يتلقى

خمسة تقييمات فقط!

افتح دفاتر ملاحظاتك ، اكتب تاريخ اليوم.(الشريحة 4) ماذا يمكنك أن تقول عن الرقم 20؟ (يتكون من رقمين ، وهو رقم زوجي ، ويتكون من رقم عشرات ورقم وحدة).

كم عدد عشرات وكم هناك؟ (2 عشرات و 0 وحدة).

1. العد اللفظي.

1. لعبة "البحث عن الرقم الإضافي"(الشريحة 5)

من كل عمود ، حدد "الرقم الإضافي"

2. ابحث عن مناطق الأشكال:(الشريحة 6)

3. الإملاء الحسابي:

1. ما الرقم الذي يجب ضربه في 7 للحصول على 42؟
2. ما هو الرقم الأقل من 24 في 6؟
3. من أي عدد يجب طرح 18 للحصول على 3؟
4. كم مرة تكون 4 عشرات أكبر من 5؟
5. أوجد حاصل ضرب 9 و 3.
6. القسمة 36 ، حاصل القسمة 6. ما هو القاسم؟
7. زيادة 8 بمقدار 6 مرات.
8. ما هو العدد الذي يجب قسمة 28 عليه للحصول على 7؟

اكتب الإجابات فقط.

(الاختيار المتبادل: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (الشريحة 7)

4- العمل الفردي(العمل على البطاقات ، انظر المرفقات)

5. خلق حالة المشكلة
المهام في أزواج:
- ترتيب الأمثلة في مجموعتين:

لماذا يتم توزيعها على هذا النحو؟(بالإجابة 4 و 5)

أمثلة على الحل:
8 7-6 + 30: 6 =
28: (16: 4) 6 =
30-(20-10:2):5=
30- (20-10 2): 5 =

ماذا لاحظت؟ هل توجد أمثلة إضافية هنا؟
- هل استطعت حل جميع الأمثلة؟
- من الذي يواجه مشكلة؟
كيف يختلف هذا المثال عن الآخرين؟
- إذا قرر شخص ما ، فهذا أحسنت. لكن لماذا لا يستطيع الجميع التعامل مع هذا المثال؟

6. بيان بالمهمة التعليمية.
هذا مثال بالرقم 0. ومن 0 ، يمكنك توقع حيل مختلفة. هذا رقم غير عادي.
تذكر ما تعرفه عن 0؟(أ 0 = 0 ، 0 أ = 0 ، 0 + أ = أ)
أعط أمثلة.
انظروا كم هو غادر: عندما يتم إضافته ، فإنه لا يغير الرقم ، ولكن عند ضربه ، فإنه يحوله إلى 0.
هل تنطبق هذه القواعد على مثالنا؟ (لا)
كيف سيتصرف عند القسمة؟

1. الإبلاغ عن موضوع الدرس وأهدافه (الشريحة 8)

- إذن ما هو هدفنا؟ حل هذا المثال بشكل صحيح.

هدف

طاولة على السبورة.

ما هو المطلوب لذلك؟ تعلم قاعدة قسمة 0 على رقم.

مهمة

موضوع درسنا: "قسمة الصفر على رقم ، استحالة القسمة على صفر."

سننظر في تقنيات قسمة الصفر على رقم ، ودمج معرفة جدول الضرب ، والقدرة على حل المشكلات المركبة.

1. استيعاب المعرفة الجديدة وطرق العمل.

كيف تجد الحل الصحيح؟
ما هي عملية الضرب؟(مع تقسيم)
اعط مثالا
2 3 = 6
6: 2 = 3

هل يمكننا الآن 0: 5؟
هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد رقم ، عند ضربه في 5 ، سيكون 0.
س 5 = 0
هذا الرقم هو 0. لذا ، 0: 5 = 0.

أعط الأمثلة الخاصة بك.

1. على الشاشة: 0: 6 (الشريحة 9)

اختر رقمًا عند ضربه 6 سيكون 0؟ (إنها 0).

إذن ، 0: 6 = 0

يتم النظر في حالة التقسيم بالمثل. 0:9.

استنتاج: عندما يتم قسمة الصفر على أي رقم آخر ، يتم الحصول على الصفر.

تذكر لا يمكنك القسمة على الصفر!

لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟ برر جوابك.

(عند القسمة على 0 ، على سبيل المثال ، الرقم 6 أو أي رقم آخر غير الصفر ، لا يمكنك العثور على رقم ، بالضرب في صفر ، سيعطي 6 أو رقم آخر).

2. استمع قصة صفر. (الشرائح 10-16)

كانت بلاد سيفريا بعيدة ، بعيدة ، وراء البحار والجبال. عاشت فيه أعداد صادقة جدًا. فقط Null كان كسولًا وغير أمين.

بمجرد أن علم الجميع أنه بعيدًا عن الصحراء ، ظهرت الملكة الحسابية ، داعية سكان Cyphria لخدمتها. أراد الجميع خدمة الملكة. بين Cyphria ومملكة الحساب كانت توجد صحراء ، عبرتها أربعة أنهار: الجمع والطرح والضرب والقسمة. كيف تصل الى الحساب؟ قررت الأرقام أن تتحد (بعد كل شيء ، من الأسهل التغلب على الصعوبات مع الرفاق) ومحاولة عبور الصحراء.

في وقت مبكر من الصباح ، بمجرد أن لامست الشمس الأرض بأشعةها ، انطلقت الأرقام. ساروا لفترة طويلة تحت أشعة الشمس الحارقة ، وأخيراً وصلوا إلى نهر سلوجيني. هرعت الأعداد إلى النهر لكي تشرب ، لكن النهر قال: "زوج في أزواج واجمع ، ثم سأقدم لك شرابًا". استوفى الجميع ترتيب النهر ، وحققوا الرغبة والصفر الكسول. لكن الرقم الذي طوره ظل غير راضٍ: فبعد كل شيء ، أعطى النهر قدرًا من الماء بقدر ما كانت هناك وحدات في المجموع ، ولم يختلف المجموع عن الرقم.

الشمس تخبز أكثر. وصلنا إلى نهر الطرح. وطالبت أيضًا بدفع مبلغ مقابل الماء: كن أزواجًا واطرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر ، أيًا كان من يحصل على الإجابة الأصغر سيحصل على المزيد من الماء. ومرة أخرى رقم. كان الوقوف في زوج مع Zero هو الخاسر وكان منزعجًا.

وبواسطة River Division ، لم يرغب أي من الأرقام في أن يصبح زوجًا مع Zero. منذ ذلك الحين ، لم يتم القسمة على أي رقم على صفر.

صحيح ، قامت Queen Arithmetic بالتوفيق بين جميع الأرقام مع هذا الشخص الكسول: لقد بدأت ببساطة في تعيين صفر بجانب الرقم ، والذي زاد من هذا عشر مرات. وبدأت الأرقام تعيش وتعيش وتصنع الخير.

لقد فتحنا اليوم تركيزًا آخر على "الصفر". ما هو هذا "التركيز"؟ يجب تذكره لتجنب الأخطاء في الحسابات.

1. الاختبار الأساسي لفهم المدرس. عمل الكتاب المدرسي.

1. اقرأ القاعدة في الكتاب وقارن بينها.

ودعنا نحاول قسمة أي رقم على 0.
على سبيل المثال ، 5: 0. كم سوف يستغرق؟
لا توجد طريقة لإيجاد رقم يساوي 5 عند ضربه في 0.
الخلاصة: لا تقسم على 0.

ما هي المهام الأخرى التي قد تتطلب معرفة هذه القاعدة؟(في حل الأمثلة والمعادلات)

1. إنجازات رقم 1 ص 75 مع تعليق السلسلة.

تربية بدنية وتمارين للعيون (الشريحة 17-18)

في الصباح استيقظ اليعسوب

امتدت وابتسمت.

ذات مرة - اغتسلت بالندى ،

اثنان - حلقت برشاقة

ثلاثة - انحنى وجلس ،

أربعة - طار.

توقف عند النهر

حلقت فوق الماء.

1. العمل على المواد المكتسبة.

1) التنفيذ رقم 2 (شفهيًا).

2) إيجاد قيم التعابير№6 (1) صفحة 85

3) حل المشكلات№5 صفحة 85 (الشريحة 19)

كم مرة تعتقد أن الرقم 0 يستخدم في المهام؟
(لا ، في كثير من الأحيان ، لأن 0 لا شيء ، ويجب أن تحتوي المهام على قدر من شيء ما.)
ثم سنحل المشكلات التي توجد بها أرقام أخرى.
رسم طاولة على السبورة التفاعلية.

اقرأ حالة المشكلة وفكر في الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة ملاحظة قصيرة. (في الطاولة).

ما الأعمدة التي يجب أن تكون في الجدول؟

ما هو 8 كجم؟ (وزن صندوق واحد من الخوخ)

ماذا تعرف في المشكلة؟ (وزن صندوق واحد من الكمثرى. وزن كل علب البرقوق.)

ماذا يقال عن عدد علب الكمثرى؟ (هناك عدد مماثل). أو نفس المبلغ.

قم ببرمجة الحل واكتب الحل بنفسك.

ب) التحقق من الحل.

1) 48: 8 = 6 (صندوق)

2) 9 6 = 54 (كجم)

الإجابة: تم إحضار 54 كجم من الكمثرى إلى السوق.

4) حل المعادلات مع الشرح الشفهي.

№8 ص .85

5) ابحث عن نمط (مهمة على الشريحة)(الشريحة 20)

6 )عمل مستقل. (الشريحة 21)

(عمل التحقق ص 42 ، 43.)

1. ملخص الدرس

• ما الجديد الذي تعلمناه في الدرس؟
• ماذا يحدث عندما تقسم الصفر على أي رقم؟
• ما هي أهم قاعدة يجب تذكرها؟

1. معلومات حول الواجب المنزلي (الشريحة 22)

رقم 4 ، رقم 6 (2) ص .85.

انعكاس (انظر الملحق ؛ الشريحتان 23-24)

ما الموضوع الذي تعمل عليه اليوم؟ ما الذي لم تكن تعرفه في بداية الدرس؟
-ماذا كان هدفك؟
-هل حققته؟ ما هي القاعدة التي توصلت إليها؟
- رفاق! هل أعجبك الدرس؟

انظر إلى "fluffies". لديهم أمزجة مختلفة. لون "رقيق" الذي لديه نفس مزاجك. أظهر "الزغب" الخاص بك. (أنا سعيد بنفسي ، لقد فعلت ذلك ؛ كل شيء على ما يرام ، لكن يمكنني العمل بشكل أفضل ؛ الدرس عادي ، لا شيء مثير للاهتمام ؛ لم ينجح شيء) أحسنت! شكرا لك على الدرس! اراك قريبا!

في كثير من الأحيان ، يتساءل الكثير من الناس عن سبب استحالة استخدام القسمة على الصفر؟ في هذه المقالة ، سنخوض في تفاصيل كثيرة حول مصدر هذه القاعدة ، وكذلك الإجراءات التي يمكن تنفيذها بدون أي شيء.

في تواصل مع

يمكن تسمية الصفر بأحد أكثر الأرقام إثارة للاهتمام. هذا الرقم ليس له معنى، فهذا يعني الفراغ بالمعنى الحقيقي للكلمة. ومع ذلك ، إذا وضعت صفرًا بجوار أي رقم ، فستصبح قيمة هذا الرقم أكبر عدة مرات.

الرقم غامض جدا في حد ذاته. تم استخدامه من قبل شعب المايا القديم. بالنسبة للمايا ، الصفر يعني "البداية" ، كما بدأ العد التنازلي لأيام التقويم من الصفر.

هناك حقيقة مثيرة للاهتمام وهي أن علامة الصفر وعلامة عدم اليقين كانت متشابهة بالنسبة لهما. بهذا ، أراد المايا إظهار أن الصفر هو نفس علامة عدم اليقين. في أوروبا ، ظهر تحديد الصفر مؤخرًا نسبيًا.

أيضا ، يعرف الكثير من الناس الحظر المرتبط بالصفر. أي شخص سيقول ذلك لا يمكن أن تقسم على صفر. هذا ما قاله المعلمون في المدرسة ، وعادة ما يأخذ الأطفال كلمتهم على هذا النحو. عادةً ما يكون الأطفال إما غير مهتمين بمعرفة ذلك ، أو أنهم يعرفون ما سيحدث إذا سألوا فورًا ، عند سماعهم حظرًا مهمًا ، "لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟" ولكن عندما تكبر ، تستيقظ الفائدة ، وتريد معرفة المزيد عن أسباب هذا الحظر. ومع ذلك ، هناك أدلة معقولة.

الإجراءات مع صفر

تحتاج أولاً إلى تحديد الإجراءات التي يمكن تنفيذها بصفر. موجود عدة أنواع من الأنشطة:

• إضافة؛
• عمليه الضرب؛
• الطرح
• القسمة (صفر برقم) ؛
• الأس.

مهم!إذا تمت إضافة صفر إلى أي رقم أثناء الجمع ، فسيظل هذا الرقم كما هو ولن يغير قيمته الرقمية. يحدث نفس الشيء إذا طرحت صفرًا من أي رقم.

تختلف الأمور قليلاً مع الضرب والقسمة. اذا كان اضرب أي رقم في صفر، فسيصبح المنتج أيضًا صفرًا.

فكر في مثال:

دعنا نكتب هذا كإضافة:

هناك خمسة أصفار مضافة إجمالاً ، لذا اتضح ذلك

دعنا نحاول ضرب واحد في صفر. ستكون النتيجة فارغة أيضًا.

يمكن أيضًا قسمة الصفر على أي رقم آخر لا يساوي ذلك. في هذه الحالة ، سيظهر ، وستكون قيمته صفرًا أيضًا. نفس القاعدة تنطبق على الأعداد السالبة. إذا قسمت صفرًا على رقم سالب ، فستحصل على صفر.

يمكنك أيضًا رفع أي رقم إلى الصفر السلطة. في هذه الحالة ، تحصل على 1. من المهم أن تتذكر أن التعبير "صفر إلى صفر أس" لا معنى له على الإطلاق. إذا حاولت رفع الصفر إلى أي قوة ، فإنك تحصل على صفر. مثال:

نستخدم قاعدة الضرب ، نحصل على 0.

هل من الممكن القسمة على صفر

لذا ، نأتي هنا إلى السؤال الرئيسي. هل من الممكن القسمة على صفرعموما؟ ولماذا من المستحيل قسمة رقم على صفر ، مع العلم أن جميع العمليات الأخرى التي لا تحتوي على صفر موجودة بالكامل وتطبيقها؟ للإجابة على هذا السؤال ، عليك أن تلجأ إلى الرياضيات العليا.

لنبدأ بتعريف المفهوم ، ما هو الصفر؟ يدعي مدرسو المدارس أن الصفر ليس شيئًا. الفراغ. هذا يعني أنه عندما تقول أن لديك 0 أقلام ، فهذا يعني أنه ليس لديك أقلام على الإطلاق.

في الرياضيات العليا ، مفهوم "الصفر" أوسع. لا يعني ذلك فارغًا على الإطلاق. هنا ، الصفر يسمى عدم اليقين ، لأنه إذا قمت ببعض البحث ، فقد تبين أنه بقسمة الصفر على صفر ، يمكننا الحصول على أي رقم آخر نتيجة لذلك ، والذي قد لا يكون بالضرورة صفرًا.

هل تعلم أن العمليات الحسابية البسيطة التي درستها في المدرسة ليست متساوية فيما بينها؟ أبسط الخطوات هي الجمع والضرب.

لعلماء الرياضيات ، مفاهيم "" و "الطرح" غير موجودة. افترض: إذا تم طرح ثلاثة من خمسة ، فسيبقى اثنان. هذا ما يبدو عليه الطرح. ومع ذلك ، فإن علماء الرياضيات يكتبونها بهذه الطريقة:

وبالتالي ، اتضح أن الفرق المجهول هو رقم معين يجب إضافته إلى 3 للحصول على 5. أي أنك لست بحاجة إلى طرح أي شيء ، ما عليك سوى العثور على رقم مناسب. تنطبق هذه القاعدة على الإضافة.

الأمور مختلفة قليلا مع قواعد الضرب والقسمة.من المعروف أن الضرب في الصفر يؤدي إلى نتيجة صفرية. على سبيل المثال ، إذا كانت 3: 0 = x ، فعندئذٍ إذا قلبت السجل ، فستحصل على 3 * x = 0. والعدد المضروب في 0 سيعطي صفرًا في حاصل الضرب. اتضح أن الرقم الذي يعطي أي قيمة بخلاف الصفر في حاصل الضرب بصفر غير موجود. هذا يعني أن القسمة على صفر لا معنى لها ، أي أنها تناسب قاعدتنا.

لكن ماذا يحدث إذا حاولت قسمة الصفر على نفسه؟ لنأخذ x على أنه عدد غير محدد. اتضح المعادلة 0 * س \ u003d 0. يمكن حلها.

إذا حاولنا أخذ صفر بدلاً من x ، فسنحصل على 0: 0 = 0. يبدو منطقيا؟ ولكن إذا حاولنا أخذ أي رقم آخر بدلاً من x ، على سبيل المثال ، 1 ، فسننتهي بـ 0: 0 = 1. سيكون الوضع نفسه إذا أخذت أي رقم آخر و أدخلها في المعادلة.

في هذه الحالة ، اتضح أنه يمكننا أخذ أي عدد آخر كعامل. ستكون النتيجة عددًا لا نهائيًا من الأرقام المختلفة. في بعض الأحيان ، ومع ذلك ، فإن القسمة على 0 في الرياضيات العليا أمر منطقي ، ولكن عادة ما يكون هناك شرط معين بسببه لا يزال بإمكاننا اختيار رقم واحد مناسب. يسمى هذا الإجراء "الإفصاح عن عدم اليقين". في الحساب العادي ، ستفقد القسمة على الصفر معناها مرة أخرى ، لأننا لن نتمكن من اختيار أي رقم واحد من المجموعة.

مهم!لا يمكن قسمة الصفر على صفر.

الصفر واللانهاية

اللانهاية شائعة جدًا في الرياضيات العليا. نظرًا لأنه ببساطة ليس من المهم أن يعرف تلاميذ المدارس أنه لا تزال هناك عمليات حسابية مع ما لا نهاية ، لا يمكن للمدرسين أن يشرحوا للأطفال بشكل صحيح سبب استحالة القسمة على الصفر.

يبدأ الطلاب في تعلم الأسرار الرياضية الأساسية فقط في السنة الأولى من المعهد. توفر الرياضيات العليا مجموعة كبيرة من المسائل التي ليس لها حل. أشهر المشاكل هي مشاكل اللانهاية. يمكن حلها مع التحليل الرياضي.

يمكنك أيضًا التقديم على اللانهاية العمليات الحسابية الأولية:بالإضافة إلى الضرب برقم. يتم أيضًا استخدام الطرح والقسمة بشكل شائع ، لكن في النهاية لا يزالان ينخفضان إلى عمليتين بسيطتين.

يقولون أنه يمكنك القسمة على صفر إذا حددت نتيجة القسمة على صفر. فقط بحاجة إلى توسيع الجبر. من قبيل المصادفة الغريبة ، أنه ليس من الممكن العثور على بعض الأمثلة على الأقل ، ولكن يمكن فهمها بشكل أفضل وبسيطة ، لمثل هذا الامتداد. لإصلاح الإنترنت ، تحتاج إما إلى عرض توضيحي لإحدى طرق هذا الامتداد ، أو وصف سبب عدم إمكانية ذلك.

المقال مكتوب استمرارًا للاتجاه:

تنصل

الغرض من هذه المقالة هو شرح كيفية عمل الأسس الأساسية للرياضيات في "اللغة البشرية" ، وبناء المعرفة واستعادة علاقات السبب والنتيجة المفقودة بين أقسام الرياضيات. جميع الحجج فلسفية ، من حيث الأحكام التي تختلف عن تلك المقبولة عمومًا (وبالتالي ، لا تدعي أنها صارمة من الناحية الحسابية). المقال مصمم لمستوى القارئ "مر على البرج منذ سنوات عديدة".

من المستحسن فهم مبادئ الجبر الحسابي والابتدائي والعام والخطي والتحليل الرياضي وغير القياسي ونظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة والهندسة الإسقاطية والهندسة الأفينية ، ولكن ليس مطلوبًا.

خلال التجارب ، لم تتأثر أي لانهاية واحدة.

مقدمة

يعد الذهاب إلى "ما بعد" عملية طبيعية للبحث عن معرفة جديدة. ولكن ليس كل بحث يجلب معرفة جديدة وبالتالي يستفيد.

1. بشكل عام ، تم تقسيم كل شيء إلينا بالفعل!

1.1 التقريب تمديد خط الأعداد

لنبدأ من حيث ربما يبدأ جميع المغامرين عند القسمة على صفر. أذكر الرسم البياني للوظيفة .

إلى يسار ويمين الصفر ، تذهب الوظيفة في اتجاهات مختلفة من "عدم الوجود". عند نقطة الصفر ، يوجد "دوامة" بشكل عام ولا يوجد شيء مرئي.

بدلاً من رمي أنفسنا بتهور في "البركة" ، دعنا نرى ما يتدفق وما يتدفق من هناك. للقيام بذلك ، نستخدم الحد - الأداة الرئيسية للتحليل الرياضي. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في أن الحد يسمح لك بالانتقال إلى نقطة معينة في أقرب وقت ممكن ، ولكن ليس "خطوة على ذلك". مثل هذا "السياج" أمام "الدوامة".

إبداعي

حسنًا ، تم وضع "السياج". لم يعد الأمر مخيفًا بعد الآن. لدينا طريقان إلى "الدوامة". دعنا نذهب إلى اليسار - منحدر حاد ، إلى اليمين - صعود شديد الانحدار. مهما ذهبت إلى "السياج" ، فإنه لا يقترب. لا توجد طريقة لعبور "عدم الوجود" الأدنى والأعلى. أثيرت شكوك ، ربما نحن نسير في دوائر؟ على الرغم من الجواب ، فإن الأرقام تتغير ، لذلك ليس في دائرة. دعونا نفتش في الصندوق بأدوات التحليل الرياضي حتى الآن. بالإضافة إلى الحدود مع "السياج" ، تأتي المجموعة مع ما لا نهاية موجب وسالب. القيم مجردة تمامًا (وليست أرقامًا) ، ذات طابع رسمي جيد وجاهزة للاستخدام! يناسبنا. دعنا نكمل "وجودنا" (مجموعة الأعداد الحقيقية) مع اثنين من اللانهايات الموقعة.

اللغة الرياضية:

هذا الامتداد هو الذي يسمح لك بأخذ الحد عندما تميل الحجة إلى اللانهاية والحصول على اللانهاية كنتيجة لأخذ الحد.

يوجد فرعين للرياضيات يصفان الشيء نفسه باستخدام مصطلحات مختلفة.

كي تختصر:

في بقايا جافة. الأساليب القديمة لم تعد تعمل. زاد تعقيد النظام ، في شكل مجموعة من "ifs" ، "للجميع ما عدا" ، إلخ. كان لدينا شكلين فقط من عدم اليقين 1/0 و 0/0 (لم نفكر في عمليات الطاقة) ، لذلك كان هناك خمسة. وقد أدى الكشف عن حالة عدم يقين واحدة إلى المزيد من حالات عدم اليقين.

1.2 عجلة

لم يتوقف كل شيء عند إدخال اللانهاية غير الموقعة. من أجل الخروج من حالة عدم اليقين ، تحتاج إلى ريح ثانية.

إذن ، لدينا مجموعة من الأعداد الحقيقية واثنين من أوجه عدم اليقين 1/0 و 0/0. للقضاء على الأول ، أجرينا امتدادًا إسقاطيًا للخط الحقيقي (أي ، قدمنا ​​اللانهاية غير الموقعة). دعنا نحاول التعامل مع الارتياب الثاني في الشكل 0/0. لنفعل الشيء نفسه. دعنا نكمل مجموعة الأرقام بعنصر جديد يمثل الارتياب الثاني.

يعتمد تعريف القسمة على الضرب. لا يناسبنا. لنفك ربط العمليات ببعضها البعض ، لكن مع الحفاظ على السلوك المعتاد للأرقام الحقيقية. دعنا نحدد عملية القسمة الأحادية ، التي يُرمز إليها بـ "/".

دعونا نحدد العمليات.

هذا الهيكل يسمى "العجلة". تم أخذ المصطلح بسبب التشابه مع الصورة الطوبولوجية للامتداد الإسقاطي للخط الحقيقي والنقطة 0/0.

كل شيء يبدو على ما يرام ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل:

لتسوية جميع الميزات ، بالإضافة إلى توسيع مجموعة العناصر ، تتم إضافة مكافأة في شكل ليس واحد ، ولكن هويتين تصف قانون التوزيع.

اللغة الرياضية:

من وجهة نظر الجبر العام ، عملنا في الميدان. وفي الميدان ، كما تعلم ، يتم تحديد عمليتين فقط (الجمع والضرب). يُشتق مفهوم القسمة من خلال العناصر المعكوسة ، وإذا كانت أعمق ، فإن العناصر المفردة. التغييرات التي تم إجراؤها حولت نظامنا الجبري إلى أحادي الصيغة بالإضافة (مع الصفر كعنصر محايد) وفي الضرب (مع الوحدة كعنصر محايد).

في أعمال المكتشفين ، لا يتم استخدام الرموز ∞ و دائمًا. بدلاً من ذلك ، يمكنك رؤية الإدخال بالشكل / 0 و 0/0.

العالم لم يعد بهذا الجمال ، أليس كذلك؟ مع ذلك ، لا تتعجل. لنتحقق مما إذا كانت الهويات الجديدة لقانون التوزيع ستتكيف مع مجموعتنا الموسعة .

هذه المرة كانت النتيجة أفضل بكثير.

كي تختصر:

في بقايا جافة. يعمل الجبر بشكل رائع. ومع ذلك ، تم أخذ مفهوم "غير محدد" كأساس ، والذي بدأ يعتبر شيئًا موجودًا ويعمل به. في يوم من الأيام سيقول شخص ما أن كل شيء سيء وأنك بحاجة إلى تقسيم هذا "غير المحدد" إلى عدة "غير محددة" ولكن أصغر. سيقول الجبر العام: "لا مشكلة يا أخي!".
هذه هي الطريقة التي يتم بها افتراض إضافة علامات إضافة إلى وحدات تخيلية إضافية (ي و ك) في المربعات

يمكن تمثيل الرقم 0 كنوع من الحدود التي تفصل بين عالم الأعداد الحقيقية والأرقام التخيلية أو السالبة. نظرًا للموقف الغامض ، فإن العديد من العمليات ذات هذه القيمة العددية لا تخضع للمنطق الرياضي. مثال على ذلك استحالة القسمة على الصفر. ويمكن إجراء العمليات الحسابية المسموح بها بصفر باستخدام التعريفات المقبولة عمومًا.

تاريخ الصفر

الصفر هو النقطة المرجعية في جميع أنظمة الأرقام القياسية. إن استخدام الأوروبيين للرقم حديث نسبيًا ، لكن حكماء الهند القديمة استخدموا الصفر لألف عام قبل أن يستخدم علماء الرياضيات الأوروبيون الرقم الفارغ بانتظام. حتى قبل الهنود ، كان الصفر قيمة إلزامية في نظام المايا العددي. استخدم هذا الشعب الأمريكي النظام الاثني عشري ، وبدأوا اليوم الأول من كل شهر بصفر. ومن المثير للاهتمام أن علامة "الصفر" بين المايا تتزامن تمامًا مع علامة "اللانهاية". وهكذا ، خلص المايا القديمة إلى أن هذه الكميات كانت متطابقة وغير معروفة.

العمليات الحسابية بصفر

يمكن اختزال العمليات الحسابية القياسية بصفر إلى عدة قواعد.

الإضافة: إذا أضفت صفرًا إلى رقم عشوائي ، فلن تغير قيمته (0 + س = س).

الطرح: عند طرح الصفر من أي رقم ، تظل قيمة المطروح دون تغيير (x-0 = x).

الضرب: أي عدد مضروب في 0 يعطي 0 في المنتج (أ * 0 = 0).

القسمة: يمكن قسمة الصفر على أي رقم غير صفري. في هذه الحالة ، ستكون قيمة هذا الكسر 0. ويحظر القسمة على الصفر.

الأس. يمكن تنفيذ هذا الإجراء بأي رقم. الرقم التعسفي المرفوع إلى أس الصفر سيعطي 1 (× 0 = 1).

صفر إلى أي قوة يساوي 0 (0 أ \ u003d 0).

في هذه الحالة ، يظهر تناقض على الفور: التعبير 0 0 لا معنى له.

مفارقات الرياضيات

حقيقة أن القسمة على الصفر مستحيلة ، يعرفها كثير من الناس من المدرسة. لكن لسبب ما لا يمكن شرح سبب هذا الحظر. في الواقع ، لماذا لا توجد صيغة القسمة على صفر ، لكن الإجراءات الأخرى بهذا العدد معقولة جدًا وممكنة؟ الجواب على هذا السؤال من قبل علماء الرياضيات.

الشيء هو أن العمليات الحسابية المعتادة التي يدرسها تلاميذ المدارس في الصفوف الابتدائية بعيدة كل البعد عن أن تكون متساوية كما نعتقد. يمكن اختزال جميع العمليات البسيطة مع الأرقام إلى اثنين: الجمع والضرب. هذه العمليات هي جوهر مفهوم الرقم ، وتستند بقية العمليات على استخدام هاتين العمليتين.

الجمع والضرب

لنأخذ مثال طرح قياسي: 10-2 = 8. في المدرسة ، يعتبر الأمر ببساطة: إذا تم أخذ اثنين من عشرة أشياء ، يبقى ثمانية. لكن علماء الرياضيات ينظرون إلى هذه العملية بشكل مختلف تمامًا. بعد كل شيء ، لا توجد عملية مثل الطرح بالنسبة لهم. يمكن كتابة هذا المثال بطريقة أخرى: x + 2 = 10. بالنسبة لعلماء الرياضيات ، فإن الاختلاف المجهول هو ببساطة الرقم الذي يجب إضافته إلى اثنين ليصبح ثمانية. ولا يلزم الطرح هنا ، ما عليك سوى العثور على قيمة عددية مناسبة.

يتم التعامل مع الضرب والقسمة بنفس الطريقة. في مثال 12: 4 = 3 ، يمكننا أن نفهم أننا نتحدث عن تقسيم ثمانية أشياء إلى مجموعتين متساويتين. لكن في الواقع ، هذه مجرد صيغة مقلوبة لكتابة 3x4 \ u003d 12. مثل هذه الأمثلة للقسمة يمكن أن تعطى إلى ما لا نهاية.

أمثلة للقسمة على 0

هذا هو المكان الذي يتضح فيه قليلاً سبب استحالة القسمة على صفر. الضرب والقسمة على الصفر لهما قواعدهما الخاصة. يمكن صياغة جميع الأمثلة لكل قسمة لهذه الكمية على أنها 6: 0 = x. لكن هذا تعبير معكوس للتعبير 6 * س = 0. ولكن ، كما تعلم ، فإن أي رقم مضروب في 0 يعطي 0 فقط في المنتج ، وهذه الخاصية متأصلة في مفهوم القيمة الصفرية.

اتضح أن هذا الرقم ، عندما يضرب في 0 ، يعطي أي قيمة ملموسة ، لا وجود له ، أي أن هذه المشكلة ليس لها حل. لا ينبغي لأحد أن يخاف من مثل هذه الإجابة ، فهي إجابة طبيعية لمشاكل من هذا النوع. مجرد كتابة 6: 0 ليس له أي معنى ، ولا يمكنه شرح أي شيء. باختصار ، يمكن تفسير هذا التعبير من خلال "لا قسمة على صفر" الخالد.

هل هناك عملية 0: 0؟ في الواقع ، إذا كانت عملية الضرب في 0 قانونية ، فهل يمكن قسمة الصفر على صفر؟ بعد كل شيء ، معادلة النموذج 0x5 = 0 قانونية تمامًا. بدلاً من الرقم 5 ، يمكنك وضع 0 ، لن يتغير المنتج من هذا.

في الواقع ، 0x0 = 0. لكن ما زلت لا تستطيع القسمة على 0. كما قيل ، القسمة هي فقط معكوس الضرب. وبالتالي ، إذا كنت في المثال 0x5 = 0 ، تحتاج إلى تحديد العامل الثاني ، نحصل على 0x0 = 5. أو 10. أو اللانهاية. قسمة اللانهاية على الصفر - كيف تحبها؟

ولكن إذا كان أي رقم يتناسب مع التعبير ، فلا معنى له ، ولا يمكننا اختيار واحد من مجموعة لا نهائية من الأرقام. وإذا كان الأمر كذلك ، فهذا يعني أن التعبير 0: 0 لا معنى له. اتضح أنه حتى الصفر نفسه لا يمكن قسمة صفر.

رياضيات أعلى

يمثل القسمة على الصفر صداعًا للرياضيات في المدرسة الثانوية. يوسع التحليل الرياضي المدروس في الجامعات التقنية قليلاً مفهوم المشكلات التي ليس لها حل. على سبيل المثال ، إلى التعبير المعروف بالفعل 0: 0 ، تتم إضافة عبارات جديدة ليس لها حل في دورات الرياضيات المدرسية:

• اللانهاية مقسومة على اللانهاية: ∞: ∞؛
• ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية: ∞ − ∞ ؛
• وحدة مرفوعة إلى قوة لا نهائية: 1 ∞ ؛
• اللانهاية مضروبة في 0: ∞ * 0 ؛
• بعض الآخرين.

من المستحيل حل مثل هذه التعبيرات بالطرق الأولية. لكن الرياضيات العليا ، بفضل الاحتمالات الإضافية لعدد من الأمثلة المماثلة ، تقدم حلولاً نهائية. هذا واضح بشكل خاص في النظر في المشاكل من نظرية الحدود.

الإفصاح عن عدم اليقين

في نظرية الحدود ، يتم استبدال القيمة 0 بمتغير متناهي الصغر شرطي. ويتم تحويل التعبيرات التي يتم فيها الحصول على القسمة على الصفر عند استبدال القيمة المرغوبة. يوجد أدناه مثال معياري لتوسيع الحد باستخدام التحويلات الجبرية المعتادة:

كما ترى في المثال ، فإن الاختزال البسيط لكسر يرفع قيمته إلى إجابة منطقية تمامًا.

عند النظر في حدود الدوال المثلثية ، تميل تعبيراتهم إلى الحد الأول الملحوظ. عند النظر في الحدود التي ينتقل فيها المقام إلى 0 عند استبدال النهاية ، يتم استخدام الحد الملحوظ الثاني.

طريقة لوبيتال

في بعض الحالات ، يمكن استبدال حدود التعبيرات بحد مشتقاتها. غيوم لوبيتال - عالم رياضيات فرنسي ، مؤسس المدرسة الفرنسية للتحليل الرياضي. لقد أثبت أن حدود التعبيرات تساوي حدود مشتقات هذه التعبيرات. في التدوين الرياضي ، قاعدته هي كما يلي.