درجة بمؤشر منطقي ،

وظيفة الطاقة IV

§ 71. الدرجات ذات الأس صفر والسالب

في الفقرة 69 أثبتنا (انظر النظرية 2) ذلك من أجل ر> ن

(أ =/= 0)

من الطبيعي تمامًا أن ترغب في توسيع هذه الصيغة لتشمل الحالة عندما ر < ص . ولكن بعد ذلك الرقم ر - ص سيكون إما سالب أو صفر. ج: لقد تحدثنا حتى الآن فقط عن الدرجات ذات المؤشرات الطبيعية. وبالتالي ، فإننا نواجه الحاجة إلى إدخال قوى الأعداد الحقيقية ذات الأس صفر والسالب في الاعتبار.

التعريف 1. أي رقم أ , لا يساوي صفرًا ، أس صفر يساوي واحدًا, ذلك حين أ =/= 0

أ 0 = 1. (1)

على سبيل المثال ، (-13.7) 0 = 1 ؛ π 0 = 1 ؛ (√2) 0 = 1. الرقم 0 ليس له درجة صفرية ، أي أن التعبير 0 0 غير معرّف.

التعريف 2. اذا كان أ= / = 0 و صهو رقم طبيعي ، إذن

أ - ن = 1 /أ ن (2)

هذا هو درجة أي رقم لا يساوي صفرًا ، مع أس صحيح سالب ، يساوي كسرًا بسطه واحد ، والمقام هو قوة نفس الرقم أ ، ولكن مع الأس المقابل للأس هذا الأس.

فمثلا،

مع وضع هذه التعريفات في الاعتبار ، يمكن إثبات ذلك أ = / = 0 ، الصيغة

صحيح لأي أعداد طبيعية ر و ن ، ليس فقط من أجل ر> ن . لإثبات ذلك ، يكفي النظر في حالتين فقط: ر = ن و ر< .п منذ القضية م> ن سبق تناولها في الفقرة 69.

يترك ر = ن ؛ ومن بعد . ومن ثم ، فإن الجانب الأيسر من المساواة (3) يساوي 1. الجانب الأيمن عند ر = ن يصبح

أ م ن = أ ن - ن = أ 0 .

لكن بالتعريف أ 0 = 1. وبالتالي ، فإن الجانب الأيمن من المساواة (3) يساوي أيضًا 1. لذلك ، من أجل ر = ن الصيغة (3) صحيحة.

افترض الآن ذلك ر< п . قسمة بسط الكسر ومقامه على أ م ، نحن نحصل:

لان ن> ر ، ومن بعد . لهذا . باستخدام تعريف الدرجة ذات الأس السالب ، يمكن للمرء أن يكتب .

لذلك ، في التي كان من المقرر إثباتها. تم الآن إثبات الصيغة (3) لأي أعداد طبيعية ر و ص .

تعليق. تسمح لك الأسس السالبة بكتابة كسور بدون مقامات. فمثلا،

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - واحد ؛ عموما، أ / ب = أ ب - 1

ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أنه باستخدام مثل هذا الترميز ، تتحول الكسور إلى أعداد صحيحة. على سبيل المثال ، 3 - 1 هو نفس الكسر مثل 1/3، 2 5 - 1 هو نفس الكسر مثل 2/5 ، إلخ.

تمارين

529. احسب:

530. اكتب بدون مقامات كسر:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. اكتب هذه الكسور العشرية على شكل تعبيرات عددية باستخدام المؤشرات السالبة:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

هناك قاعدة مفادها أن أي عدد غير الصفر ، مرفوعًا إلى أس صفر ، سيكون مساويًا للواحد:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

ومع ذلك ، لماذا هذا؟

عندما يتم رفع رقم إلى قوة ذات أس طبيعي ، فهذا يعني أنه يتم ضربه بنفسه عدة مرات مثل الأس:
43 = 4...

0 0

في الجبر ، يعد الرفع إلى أس صفر أمرًا شائعًا. ما هي الدرجة 0؟ ما هي الأعداد التي يمكن رفعها إلى الأس صفر وأيها لا يمكن رفعها؟

تعريف.

أي عدد أس صفر ، باستثناء الصفر ، يساوي واحدًا:

وبالتالي ، بغض النظر عن الرقم الذي يتم رفعه إلى قوة 0 ، فإن النتيجة ستكون هي نفسها دائمًا - واحد.

و 1 أس 0 ، و 2 أس 0 وأي رقم آخر - عدد صحيح ، كسري ، موجب ، سالب ، منطقي ، غير منطقي - عند رفعه إلى الأس صفر ، نحصل على واحد.

الاستثناء الوحيد هو باطل.

لم يتم تعريف صفر إلى الصفر ، مثل هذا التعبير لا معنى له.

أي أن أي عدد باستثناء الصفر يمكن رفعه إلى الأس صفر.

إذا ، عند تبسيط تعبير ذي قوى ، تم الحصول على رقم أس صفر ، فيمكن استبداله بوحدة:

إذا كان في ...

0 0

في إطار منهج المدرسة ، تعتبر قيمة التعبير $٪ 0 ^ 0 $٪ غير محددة.

من وجهة نظر الرياضيات الحديثة ، من المناسب افتراض أن $٪ 0 ^ 0 = 1 $٪. الفكرة هنا هي التالية. يجب أن يكون هناك منتج من أرقام $٪ n $٪ بالصيغة $٪ p_n = x_1x_2 \ ldots x_n $٪. لجميع $٪ n \ ge2 $٪ المساواة $٪ p_n = x_1x_2 \ ldots x_n = (x_1x_2 \ ldots x_ (n-1)) x_n = p_ (n-1) x_n $٪ راضية. من المناسب اعتبار هذه المساواة ذات مغزى حتى بالنسبة إلى $٪ n = 1 $٪ ، مع تعيين $٪ p_0 = 1 $٪. المنطق هنا هو كما يلي: عند حساب المنتجات ، نأخذ أولاً 1 ، ثم نضرب بالتتابع في $٪ x_1 $٪ ، $٪ x_2 $٪ ، ... ، $٪ x_n $٪. يتم استخدام هذه الخوارزمية عند البحث عن الأعمال عند كتابة البرامج. إذا لم يحدث الضرب لسبب ما ، فسيظل المنتج مساويًا للواحد.

بعبارة أخرى ، من الملائم اعتبار مفهوم مثل "نتاج عوامل 0" له معنى ، معتبرا أنه يساوي 1. في هذه الحالة ، يمكن للمرء أيضًا التحدث عن "منتج فارغ". إذا ضربنا رقمًا بهذا ...

0 0

صفر - إنه صفر. بشكل تقريبي ، أي قوة لأي رقم هي حاصل ضرب واحد ويضرب الأس هذا الرقم. اثنان في الثلث ، لنفترض أنه 1 * 2 * 2 * 2 ، اثنان في سالب الأول يساوي 1/2. ومن ثم من الضروري عدم وجود ثغرة في الانتقال من القوى الموجبة إلى القوى السالبة والعكس صحيح.

x ^ n * x ^ (- n) = 1 = x ^ (n-n) = x ^ 0

هذا هو بيت القصيد.

بسيط وواضح شكرا

س ^ 0 = (س ^ 1) * (س ^ (- 1)) = (1 / س) * (س / 1) = 1

من الضروري ، على سبيل المثال ، ببساطة إذن أن بعض الصيغ الصالحة للمؤشرات الإيجابية - على سبيل المثال x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - لا تزال صالحة.
بالمناسبة ، الأمر نفسه ينطبق على تعريف الدرجة السالبة وكذلك الدرجة المنطقية (أي ، على سبيل المثال ، 5 أس 3/4)

> ولماذا هو مطلوب أصلاً؟
على سبيل المثال ، في الإحصاء والنظرية ، غالبًا ما يلعب المرء بقوى صفرية.

هل الدرجات السالبة تزعجك؟
...

0 0

نستمر في النظر في خصائص الدرجات ، على سبيل المثال ، 16: 8 = 2. بما أن 16 = 24 و 8 = 23 ، يمكن كتابة القسمة في الصورة الأسية كما يلي: 24: 23 = 2 ، لكن إذا طرحنا الأسس ، فإن 24: 23 = 21. وبالتالي ، علينا أن نعترف بأن 2 و 21 متماثلان ، وبالتالي 21 = 2.

تنطبق نفس القاعدة على أي رقم أسي آخر ، لذلك يمكن تحديد القاعدة بطريقة عامة:

يبقى أي رقم مرفوع للقوة الأولى دون تغيير

قد يكون هذا الاستنتاج قد فاجأك. لا يزال بإمكانك بطريقة أو بأخرى فهم معنى التعبير 21 = 2 ، على الرغم من أن التعبير "واحد رقم اثنين مضروبًا في نفسه" يبدو غريبًا نوعًا ما. لكن التعبير 20 يعني "ليس رقم واحد اثنين ، ...

0 0

تعريفات الدرجة:

1. درجة الصفر

أي عدد غير صفري مرفوع إلى أس صفر يساوي واحدًا. لم يتم تعريف صفر مرفوعًا إلى أس الصفر

2. درجة طبيعية غير الصفر

أي عدد x مرفوع إلى قوة طبيعية n ، بخلاف الصفر ، يساوي ضرب n عدد x فيما بينها

3.1 جذر درجة طبيعية زوجية بخلاف الصفر

جذر قوة طبيعية زوجية n ، تختلف عن صفر ، عن أي رقم موجب x ، هو رقم موجب y ، والذي عند رفعه إلى قوة n ، يعطي الرقم الأصلي x

3.2 جذر طبيعي غريب

الجذر الطبيعي الفردي n لأي عدد x هو الرقم y الذي ، عند رفعه إلى أس n ، يعطي الرقم الأصلي x

3.3 جذر أي قوة طبيعية كقوة كسرية

استخراج جذر أي قوة طبيعية n غير الصفر من أي عدد x هو نفس رفع هذا الرقم x إلى القوة الكسرية 1 / n

0 0

مرحبا عزيزي روسيل!

عند تقديم مفهوم الدرجة ، يوجد مثل هذا الترميز: »قيمة التعبير a ^ 0 = 1»! هذا بحكم المفهوم المنطقي للدرجة ولا شيء غير ذلك!
إنه أمر يستحق الثناء عندما يحاول الشاب الوصول إلى حقيقة الأمر! لكن هناك أشياء يجب أن تؤخذ كأمر مسلم به!
يمكنك بناء رياضيات جديدة فقط عندما تدرس ما تم اكتشافه بالفعل منذ قرون!
بالطبع ، إذا استثنينا أنك "لست من هذا العالم" وأنك أعطيت أكثر بكثير من بقيتنا خطاة!

ملاحظة: حاولت آنا ميشيفا إثبات ما لا يمكن إثباته! أيضا جدير بالثناء!
ولكن هناك واحدة كبيرة "ولكن" - أهم عنصر مفقود من دليلها: حالة القسمة على الصفر!

انظر بنفسك إلى ما يمكن أن يحدث: 0 ^ 1/0 ^ 1 = 0/0 !!!

لكن لا يمكنك القسمة على الصفر!

من فضلك كن أكثر حذرا!

مع الكثير من أطيب التمنيات والسعادة في حياتك الشخصية ...

0 0

الإجابات:

بدون اسم

إذا أخذنا في الاعتبار أن a ^ x = e ^ x * ln (a) ، فقد اتضح أن 0 ^ 0 = 1 (حد ، لـ x-> 0)
على الرغم من أن الإجابة "عدم اليقين" مقبولة أيضًا

الصفر في الرياضيات ليس فراغًا ، هذا الرقم قريب جدًا من "لا شيء" ، تمامًا مثل اللانهاية فقط في الاتجاه المعاكس

اكتب:
0 ^ 0 = 0 ^ (أ-أ) = 0 ^ أ * 0 ^ (- أ) = 0 ^ أ / 0 ^ أ = 0/0
اتضح في هذه الحالة أننا نقسم على صفر ، وهذه العملية في مجال الأعداد الحقيقية غير محددة.

منذ 6 سنوات

RPI.su هي أكبر قاعدة بيانات باللغة الروسية للأسئلة والأجوبة. تم تنفيذ مشروعنا باعتباره استمرارًا للخدمة الشهيرة otvety.google.ru ، والتي تم إغلاقها وإزالتها في 30 أبريل 2015. قررنا إحياء خدمة Google Answers المفيدة بحيث يمكن لأي شخص أن يكتشف بشكل عام إجابة سؤاله من مجتمع الإنترنت.

تم نسخ جميع الأسئلة التي تمت إضافتها إلى موقع إجابات Google وحفظها هنا. يتم أيضًا عرض أسماء المستخدمين القدامى بالشكل الذي كانوا موجودين فيه سابقًا. ما عليك سوى إعادة التسجيل لتتمكن من طرح الأسئلة أو الإجابة على الآخرين.

للاتصال بنا لأي سؤال حول الموقع (إعلان ، تعاون ، ملاحظات حول الخدمة) ، اكتب إلى البريد الإلكتروني [البريد الإلكتروني محمي]انشر فقط جميع الأسئلة العامة على الموقع ، ولن يتم الرد عليها بالبريد.

ما الذي يساوي صفر عند رفعه إلى أس صفر؟

لماذا عدد أس 0 يساوي 1؟ هناك قاعدة مفادها أن أي عدد غير الصفر ، مرفوعًا إلى أس صفر ، سيكون مساويًا لواحد: 20 = 1 ؛ 1.50 = 1 ؛ 100000 = 1 ومع ذلك ، لماذا هذا؟ عندما يتم رفع رقم إلى قوة ذات أس طبيعي ، فهذا يعني أنه يتم ضربه بنفسه عدة مرات مثل الأس: 43 = 4 × 4 × 4 ؛ 26 \ u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 عندما يكون الأس 1 ، فهناك عامل واحد فقط أثناء البناء (إذا كان بإمكاننا التحدث عن العوامل هنا على الإطلاق) ، وبالتالي نتيجة البناء متساوية إلى قاعدة الدرجة: 181 = 18 ؛ (–3.4) 1 = –3.4 ولكن ماذا عن الأس الصفري في هذه الحالة؟ ماذا يضرب بماذا؟ دعنا نحاول الذهاب في الاتجاه الآخر. من المعروف أنه إذا كانت هناك درجتان لهما نفس الأسس ، ولكن مؤشرات مختلفة ، فيمكن ترك القاعدة كما هي ، ويمكن إضافة المؤشرات إلى بعضها البعض (إذا تضاعفت الدرجات) ، أو طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر التوزيعات (إذا كانت الدرجات قابلة للقسمة): 32 × 31 = 32 + 1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45-3 = 42 = 4 × 4 = 16 الآن ضع في اعتبارك هذا المثال: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 =؟ ماذا لو لم نستخدم خاصية الدرجات التي لها نفس القاعدة وقمنا بإجراء الحسابات بالترتيب التالي: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 لذا حصلنا على الوحدة المطلوبة. وبالتالي ، فإن الأس الصفري ، كما كان ، يشير إلى أن الرقم لا يتم ضربه بنفسه ، بل يتم تقسيمه على نفسه. ومن هنا يتضح سبب عدم معنى التعبير 00. بعد كل شيء ، لا يمكنك القسمة على 0. يمكنك المجادلة بشكل مختلف. إذا كان هناك ، على سبيل المثال ، مضاعفة للقوى 52 × 50 = 52 + 0 = 52 ، فإن ذلك يعني أن 52 قد تم ضربها في 1. لذلك ، 50 = 1.

من خصائص الدرجات: a ^ n / a ^ m = a ^ (n-m) إذا كان n = m ، ستكون النتيجة واحدة ، باستثناء بالطبع a = 0 ، في هذه الحالة (نظرًا لأن الصفر لأي درجة سيكون صفرًا) ستحدث القسمة على الصفر ، لذلك لا يوجد 0 ^ 0

حساب بلغات مختلفة

أسماء الأرقام من 0 إلى 9 باللغات الشائعة في العالم.

لغة	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
إنجليزي	صفر	واحد	اثنين	ثلاثة	أربعة	خمسة	ستة	سبعة	ثمانية	تسع
البلغارية	صفر	واحد	اثنين	ثلاثة	أربعة	حيوان أليف	عمود	سيدم	أوسيم	ديفت
المجرية	نية	مصر	كيتي	هاروم	نيجي	بعد التمديد	قبعة	هيت	نيولك	فرن
هولندي	لا شيء	عين	تو	دري	فير	فيجف	zes	زيفين	acht	نجن
دانماركي	لا شيء	en	إلى	تري	نار	فيم	الجنسين	syv	otte	ني
الأسبانية	سيرو	أونو	دوس	تريس	كواترو	سينكو	seis	سيت	ocho	الجديد
إيطالي	صفر	أونو	بسبب	تري	كواترو	سينك	ساي	سيت	أوتو	الجديد
الليتوانية	لاغية	فيناس	دو	يحاول	كيتوري	بينكي	ري	سبتيني	aðtuoni	ديفينى
الألمانية	لا شيء	عين	زوي	دري	فير	متعة	sechs	سيبين	acht	النيون
الروسية	صفر	واحد	اثنين	ثلاثة	أربعة	خمسة	ستة	سبعة	ثمانية	تسع
تلميع	صفر	جيدن	دوا	trzy	cztery	بيو	sze¶æ	سيدم	أوسيم	dziewiêæ
البرتغالية	أم	دويس	المسارات	كوادرو	سينكو	seis	سيت	ايتو	الجديد
فرنسي	صفر	الأمم المتحدة	deux	تريس	ميدان	سينك	ستة	سبتمبر	huit	نيوف
التشيكية	نولا	جدنا	dva	toi	ityoi	حفرة	¹est	سيدم	osm	متعصب
السويدية	نول	إلخ	tva	تري	فيرا	فيم	الجنس	sju	عطا	نيو
الإستونية	لا شيء	يوكس	kaks	كولم	نيلي	السادس	كو	seitse	kaheksa	uheksa

سالب وقوة صفرية لرقم

القوى الصفرية والسالبة والكسرية

مؤشر الصفر

لرفع رقم معين إلى قوة معينة يعني تكراره مع عامل يساوي عدد مرات وجود وحدات في الأس.

وبحسب هذا التعريف فإن التعبير: أ 0 لا معنى له. ولكن لكي يكون لقاعدة قسمة قوى نفس الرقم معنى حتى في الحالة التي يكون فيها مؤشر المقسوم عليه مساويًا لمؤشر الأرباح ، يتم تقديم التعريف:

القوة الصفرية لأي عدد تساوي واحدًا.

مؤشر سلبي

تعبير صباحا، في حد ذاته لا معنى له. ولكن لكي يكون لقاعدة قسمة قوى نفس العدد معنى حتى في الحالة التي يكون فيها مؤشر المقسوم عليه أكبر من مؤشر الأرباح ، يتم تقديم التعريف:

مثال 1. إذا كان عدد معين يتكون من 5 مئات و 7 عشرات و 2 وحدة و 9 أجزاء ، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10-1 + 9 × 10-2 = 572.09

مثال 2. إذا كان عدد معين يتكون من عشرات ، ب ، وحدات ، ج أعشار ، د من الألف ، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

أ× 10 1 + ب× 10 0 + ج× 10 -1 + د× 10 -3

الإجراءات على القوى ذات الأسس السالبة

عند ضرب قوى العدد نفسه ، يتم جمع الأس معًا.

عند قسمة قوى نفس الرقم ، يتم طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر المقسوم.

لرفع منتج إلى قوة ، يكفي رفع كل عامل على حدة إلى هذه القوة:

لرفع الكسر إلى أس ، يكفي رفع كلا حدي الكسر بشكل منفصل إلى هذه القوة:

عندما يتم رفع قوة إلى قوة أخرى ، يتم ضرب الأسس.

أس كسري

اذا كان كليس متعدد ن، ثم التعبير: لا معنى له. ولكن من أجل قاعدة استخراج الجذر من الدرجة لأية قيمة للأس ، يتم تقديم التعريف:

بفضل إدخال رمز جديد ، يمكن دائمًا استبدال استخراج الجذر بالأُس.

الإجراءات على القوى ذات الأسس الكسرية

يتم تنفيذ الإجراءات على الدرجات ذات الأسس الكسرية وفقًا لنفس القواعد التي تم تحديدها للأسس الصحيحة.

عند إثبات هذا الموضع ، سنفترض أولاً أن شروط الكسور: وأن تكون بمثابة الأسس ، فهي موجبة.

في حالة معينة نأو فقد تكون مساوية لواحد.

عند ضرب قوى نفس العدد ، تضيف المؤشرات الكسرية:

عند قسمة قوى العدد نفسه على الأس الكسري ، يتم طرح الأس المقسوم عليه من الأس المقسوم:

لرفع قوة لقوة أخرى في حالة الأسس الكسرية ، يكفي ضرب الأسس:

لاستخراج جذر الأس الكسري ، يكفي قسمة الأس على الأس الجذر:

قواعد العمل لا تنطبق فقط على إيجابيالأرقام الكسرية ، ولكن أيضًا نفي.

هناك قاعدة مفادها أن أي عدد غير الصفر ، مرفوعًا إلى أس صفر ، سيكون مساويًا للواحد:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
ومع ذلك ، لماذا هذا؟
عندما يتم رفع رقم إلى قوة ذات أس طبيعي ، فهذا يعني أنه يتم ضربه بنفسه عدة مرات مثل الأس:
4 3 = 4 × 4 × 4 ؛ 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
عندما يكون الأس 1 ، فهناك عامل واحد فقط أثناء البناء (إذا كان بإمكاننا التحدث عن العوامل على الإطلاق) ، وبالتالي تكون نتيجة البناء مساوية لقاعدة الدرجة:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
لكن ماذا عن الصفر في هذه الحالة؟ ماذا يضرب بماذا؟
دعنا نحاول الذهاب في الاتجاه الآخر.

لماذا عدد أس 0 يساوي 1؟

من المعروف أنه إذا كانت هناك درجتان لهما نفس الأسس ، ولكن مؤشرات مختلفة ، فيمكن ترك القاعدة كما هي ، ويمكن إضافة المؤشرات إلى بعضها البعض (إذا تضاعفت الدرجات) ، أو طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر الأرباح (إذا كانت الدرجات قابلة للقسمة):
3 2 × 3 1 = 3 ^ (2 + 1) = 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4 ^ (5−3) = 4 2 = 4 × 4 = 16
الآن ضع في اعتبارك هذا المثال:
8 2 ÷ 8 2 = 8 ^ (2−2) = 8 0 =؟
ماذا لو لم نستخدم خاصية القوى التي لها نفس الأساس وقمنا بإجراء العمليات الحسابية بترتيب تسلسلها:
8 2 ÷ 8 2 = 64 64 = 1
لذلك حصلنا على الوحدة المرغوبة. وبالتالي ، فإن الأس الصفري ، كما كان ، يشير إلى أن الرقم لا يتم ضربه بنفسه ، بل يتم تقسيمه على نفسه.
ومن هنا يتضح سبب عدم وجود معنى للتعبير 0 0. بعد كل شيء ، لا يمكنك القسمة على 0.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا الدرجات العلمية مطلوبة؟ أين تريدهم؟ لماذا تحتاج لقضاء الوقت في دراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية ، وما الغرض منها ، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية ، اقرأ هذا المقال.

وبالطبع ، فإن معرفة الدرجات العلمية سيقربك من اجتياز اختبار OGE أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ودخول جامعة أحلامك.

هيا بنا هيا بنا!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت هراءًا بدلاً من الصيغ ، فقم بمسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك ، اضغط على CTRL + F5 (في نظام Windows) أو Cmd + R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو نفس العملية الحسابية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء بلغة البشر باستخدام أمثلة بسيطة للغاية. كن حذرا. الأمثلة أولية ، لكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالجمع.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: هناك ثمانية منا. تحتوي كل زجاجة على زجاجتين من الكولا. كم كولا؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بطريقة مختلفة:. علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسولون. يلاحظون أولاً بعض الأنماط ، ثم يتوصلون إلى طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا ، لاحظوا أن كل فرد من الأشخاص الثمانية لديه نفس عدد زجاجات الكولا وابتكروا تقنية تسمى الضرب. موافق ، يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك ، للعد بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء ، ما عليك سوى أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع ، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأصعب ومع وجود أخطاء! ولكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وآخر أجمل:

وما هي حيل العد الصعبة الأخرى التي توصل إليها علماء الرياضيات الكسالى؟ بشكل صحيح - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات ، فإن علماء الرياضيات يقولون إنك تحتاج إلى رفع هذا الرقم إلى الأس الخامس. فمثلا، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس الخامس هو. وهم يحلون مثل هذه المشاكل في أذهانهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأعداد. صدقني ، ستجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة ، لماذا تسمى الدرجة الثانية ميدانالأرقام ، والثالث مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك كل من المربعات والمكعبات.

مثال من الحياة الواقعية # 1

لنبدأ بمربع أو القوة الثانية لعدد.

تخيل بركة مربعة قياسها متر في متر. المجمع في الفناء الخلفي الخاص بك. الجو حار وأريد السباحة حقًا. لكن ... بركة بلا قاع! من الضروري تغطية قاع البركة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ لتحديد ذلك ، تحتاج إلى معرفة مساحة قاع البركة.

يمكنك ببساطة العد عن طريق نقر إصبعك على أن قاع البركة يتكون من مكعبات مترًا بعد متر. إذا كان البلاط الخاص بك مترًا بعد متر ، فستحتاج إلى قطع. إنه سهل ... لكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ ويفضل أن تكون البلاطة سم × سم ، وبعد ذلك سوف تتعذب من خلال "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتكاثر. لذلك ، على جانب واحد من قاع البركة ، سنقوم بتركيب البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا ، البلاط. بالضرب ، تحصل على مربعات ().

هل لاحظت أننا ضربنا نفس العدد في نفسه لتحديد مساحة قاع البركة؟ ماذا يعني ذلك؟ نظرًا لأنه يتم ضرب نفس العدد ، يمكننا استخدام تقنية الأس. (بالطبع ، عندما يكون لديك رقمان فقط ، ما زلت بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهم ، فإن رفعها إلى قوة يكون أسهل بكثير ، كما أن هناك أخطاء أقل في الحسابات. بالنسبة للامتحان ، هذا مهم جدًا).
إذن ، ثلاثون درجة إلى الدرجة الثانية ستكون (). أو يمكنك القول أن ثلاثين تربيع ستكون. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لرقم ما على شكل مربع. والعكس صحيح ، إذا رأيت مربعًا ، فهو دائمًا القوة الثانية لبعض الأرقام. المربع هو صورة للقوة الثانية لعدد.

مثال من الحياة الواقعية # 2

هذه مهمة لك ، احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم ... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم ، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية ، أو ... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج هي مربع به ضلع ، فيمكنك تربيع ثمانية. احصل على الخلايا. () لذا؟

مثال من الحياة الواقعية # 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة لعدد. نفس البركة. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا البركة. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة ، الأحجام والسوائل تقاس بالمتر المكعب. غير متوقع ، أليس كذلك؟) ارسم حوضًا: قاع بحجم متر واحد وعمق متر وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في المتر التي ستدخل حمام سباحة.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ... اثنان وعشرون ، ثلاثة وعشرون ... ما مقدار ما حدث؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى ، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم البركة ، تحتاج إلى ضرب طولها وعرضها وارتفاعها ببعضها البعض. في حالتنا ، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات ... أسهل ، أليس كذلك؟

تخيل الآن كيف أن علماء الرياضيات كسالى وماكرون إذا جعلوا ذلك سهلاً للغاية. اختزل كل شيء لعمل واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساويون وأن نفس العدد يضرب في نفسه ... وماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك استخدام الدرجة. إذن ، ما عدته بإصبع مرة ، يفعلونه في إجراء واحد: ثلاثة في مكعب متساوية. إنه مكتوب على هذا النحو:

يبقى فقط احفظ جدول الدرجات. ما لم تكن ، بالطبع ، كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت ترغب في العمل الجاد وارتكاب الأخطاء ، يمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا ، من أجل إقناعك أخيرًا أن الدرجات العلمية اخترعها المتسكعون والأشخاص الماكرة لحل مشاكل حياتهم ، وليس لخلق مشاكل لك ، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال من الحياة الواقعية # 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام ، تربح مليونًا آخر مقابل كل مليون. أي أن كل مليون في بداية كل عام يتضاعف. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت جالسًا الآن و "تعد بإصبعك" ، فأنت شخص مجتهد جدًا و .. غبي. لكن على الأرجح ستقدم إجابة في بضع ثوانٍ ، لأنك ذكي! إذن ، في السنة الأولى - مرتين مرتين ... في السنة الثانية - ما حدث ، مرتين أخريين ، في السنة الثالثة ... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرة واحدة. إذن اثنان أس الخامس يساوي مليون! تخيل الآن أن لديك منافسة والشخص الذي يحسب أسرع سيحصل على هذه الملايين ... هل يستحق تذكر درجات الأرقام ، ما رأيك؟

مثال من الحياة الواقعية # 5

لديك مليون. في بداية كل عام ، تكسب اثنين آخرين مقابل كل مليون. إنه شيء رائع ، أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ لنعد. السنة الأولى - اضرب في ، ثم النتيجة في أخرى ... إنها ممل بالفعل ، لأنك فهمت بالفعل كل شيء: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن القوة الرابعة هي مليون. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي أو.

أنت تعلم الآن أنه من خلال رفع رقم إلى قوة ، ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعنا نلقي نظرة إضافية على ما يمكنك فعله بالدرجات وما تحتاج إلى معرفته عنها.

المصطلحات والمفاهيم ... حتى لا يتم الخلط

لذا ، أولاً ، دعنا نحدد المفاهيم. ما رأيك، ما هو الأس؟ إنه بسيط للغاية - هذا هو الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليس علميًا ولكنه واضح وسهل التذكر ...

حسنًا ، في نفس الوقت ، ماذا هذه القاعدة من الدرجة؟ أبسط من ذلك هو الرقم الموجود في الأسفل ، في القاعدة.

إليك صورة لتتأكد منها.

حسنًا ، بشكل عام ، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل ... تُقرأ الدرجة التي تحتوي على أساس "" والمؤشر "" على أنها "في الدرجة" وتتم كتابتها على النحو التالي:

قوة عدد مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم ، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأرقام الطبيعية هي تلك التي تُستخدم في العد عند سرد العناصر: واحد ، اثنان ، ثلاثة ... عندما نحسب العناصر ، لا نقول: "ناقص خمسة" ، "ناقص ستة" ، "ناقص سبعة". لا نقول "ثلث" أو "صفر فاصلة خمسة أعشار" أيضًا. هذه ليست أعدادًا طبيعية. ما رأيك في هذه الأرقام؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة" و "ناقص ستة" و "ناقص سبعة" الأعداد الكلية.بشكل عام ، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية ، والأرقام المقابلة للأرقام الطبيعية (أي مأخوذة بعلامة ناقص) ، ورقم. من السهل فهم الصفر - يحدث هذا عندما لا يكون هناك شيء. وماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للدلالة على الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل ، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أعداد منطقية. كيف جاءوا ، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين ، اكتشف أسلافنا أنه ليس لديهم أعداد طبيعية كافية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى أرقام نسبية… مثير للاهتمام ، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أعداد غير منطقية. ما هذه الأرقام؟ باختصار ، كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال ، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها ، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعنا نحدد مفهوم الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. لتربيع رقم هو ضربه في نفسه:
3. لتكعيب رقم هو ضربه بنفسه ثلاث مرات:

تعريف.لرفع رقم إلى قوة طبيعية هو ضرب الرقم في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجة

من أين أتت هذه الخصائص؟ سأريك الآن.

دعونا نرى ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات هناك في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا العوامل إلى العوامل ، والنتيجة هي العوامل.

ولكن بحكم التعريف ، هذه هي درجة الرقم مع الأس ، أي: ، التي كان مطلوبًا إثباتها.

مثال: تبسيط التعبير.

المحلول:

مثال:تبسيط التعبير.

المحلول:من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون نفس السبب!
لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتجات القوى!

تحت أي ظرف من الظروف لا يجب أن تكتب ذلك.

2. هذا هو - القوة رقم

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير قد تم ضربه بنفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة العشر للعدد:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟

لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟

بدرجات من مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟ في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "ناقص ضرب سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا قمنا بالضرب في ، يتبين لنا ذلك.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

إليكم الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة على الممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم الذي كان عليه -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، لا يزال بإمكانك الحصول على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ما هي الدرجة السالبة ، دعنا نفعل نفس الشيء كما في المرة السابقة: نضرب بعض الأعداد العادية في نفس الدرجة في درجة سالبة:

من هنا ، من السهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وستتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع نطاق الأعداد "المناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر ، وأين وأعداد صحيحة ، علاوة على ذلك.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

لنرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

لقد أتضح أن. من الواضح أنه يمكن تمديد هذه الحالة الخاصة:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

تعتبر القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نقوم بتكوين "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى "رقم فارغ" معين وهو الرقم ؛

...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

فمثلا:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابه: .

2. نضع الكسور في الأسس على نفس الشكل: إما كلاهما عشري أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

القوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعنا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون له نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبها على النحو التالي:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون فهرسالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "ناقص ضرب سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. يمكنك صياغة هذه القواعد البسيطة:

1. حتىدرجة - رقم إيجابي.
2. رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
3. الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
4. صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا كنت تتذكر ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل تحليل القاعدة الأخيرة ، دعنا نحل بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن استبداله بتغيير واحد فقط غير مقبول ناقصًا لنا!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. أي ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ​​، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح وعقلاني ، في كل مرة نقوم بتكوين "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات عدد صحيح سالب - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب في نفسه ، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، هو كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع فكرة الدرجة إلى مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

فمثلا:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
2. نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
3. لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

• رفع الرقم السالب إلى حتىدرجة - رقم إيجابي.
• رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
• الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجات العلمية.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!