Hvis du skal hæve et bestemt tal til en potens, kan du bruge . Vi vil nu se nærmere på egenskaber ved grader.

Eksponentielle talåbner op for store muligheder, de giver os mulighed for at konvertere multiplikation til addition, og addition er meget nemmere end multiplikation.

For eksempel skal vi gange 16 med 64. Produktet af at gange disse to tal er 1024. Men 16 er 4x4, og 64 er 4x4x4. Altså 16 gange 64=4x4x4x4x4, hvilket også er 1024.

Tallet 16 kan også repræsenteres som 2x2x2x2, og 64 som 2x2x2x2x2x2, og hvis vi multiplicerer, får vi igen 1024.

Lad os nu bruge reglen. 16=4 2 eller 2 4 , 64=4 3 eller 2 6 , mens 1024=6 4 = 4 5 eller 2 10 .

Derfor kan vores opgave skrives på en anden måde: 4 2 x4 3 =4 5 eller 2 4 x2 6 =2 10, og hver gang får vi 1024.

Vi kan løse en række lignende eksempler og se, at multiplikationen af ​​tal med potenser reducerer til tilføjelse af eksponenter, eller en eksponent, selvfølgelig, forudsat at faktorernes grundlag er ens.

Således kan vi uden at gange med det samme sige, at 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Denne regel gælder også, når man dividerer tal med potenser, men i dette tilfælde, f.eks divisors eksponent trækkes fra eksponenten for udbyttet. Således er 2 5:2 3 =2 2 , som i almindelige tal er 32:8=4, altså 2 2 . Lad os opsummere:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, hvor m og n er heltal.

Ved første øjekast kan det se ud som multiplikation og division af tal med potenser ikke særlig praktisk, for først skal du repræsentere tallet i eksponentiel form. Det er ikke svært at repræsentere tallene 8 og 16 i denne form, altså 2 3 og 2 4, men hvordan gør man det med tallene 7 og 17? Eller hvad man skal gøre i de tilfælde, hvor tallet kan repræsenteres i eksponentiel form, men grundlaget for eksponentielle udtryk for tal er meget forskellige. For eksempel er 8×9 2 3 x 3 2, i hvilket tilfælde vi ikke kan summere eksponenterne. Hverken 2 5 eller 3 5 er svaret, og svaret er heller ikke mellem de to.

Så er det overhovedet værd at genere denne metode? Helt klart det værd. Det giver store fordele, især ved komplekse og tidskrævende beregninger.

Hver regneoperation bliver nogle gange for besværlig at registrere, og de forsøger at forenkle det. Det plejede at være det samme med additionsoperationen. Det var nødvendigt for folk at udføre gentagne tilføjelser af samme type, for eksempel for at beregne prisen på hundrede persiske tæpper, hvis pris er 3 guldmønter for hver. 3+3+3+…+3 = 300. På grund af besværligheden blev det opfundet for at reducere notationen til 3 * 100 = 300. Faktisk betyder notationen "tre gange hundrede", at du skal tage et hundrede trillinger og læg dem sammen. Multiplikation slog rod, vandt generel popularitet. Men verden står ikke stille, og i middelalderen blev det nødvendigt at udføre gentagen multiplikation af samme type. Jeg husker en gammel indisk gåde om en klog mand, der bad om hvedekorn i følgende mængde som belønning for det udførte arbejde: for den første celle på skakbrættet bad han om et korn, for det andet - to, det tredje - fire , den femte - otte og så videre. Sådan opstod den første multiplikation af potenser, fordi antallet af korn var lig med to potensen af ​​celletallet. For eksempel vil der i den sidste celle være 2*2*2*…*2 = 2^63 korn, hvilket er lig med et tal på 18 tegn, hvilket faktisk er meningen med gåden.

Operationen med at hæve til en potens slog ret hurtigt rod, og det blev også hurtigt nødvendigt at foretage addition, subtraktion, division og multiplikation af grader. Sidstnævnte er værd at overveje mere detaljeret. Formlerne til at tilføje kræfter er enkle og nemme at huske. Derudover er det meget let at forstå, hvor de kommer fra, hvis potensdriften erstattes af multiplikation. Men først skal du forstå den elementære terminologi. Udtrykket a ^ b (læs "a i potensen af ​​b") betyder, at tallet a skal ganges med sig selv b gange, og "a" kaldes gradens basis, og "b" er eksponenten. Hvis potensgrundlaget er det samme, så er formlerne afledt ganske enkelt. Specifikt eksempel: find værdien af ​​udtrykket 2^3 * 2^4. For at vide, hvad der skal ske, bør du finde ud af svaret på computeren, før du starter løsningen. Hvis du indtaster dette udtryk i en hvilken som helst online lommeregner, søgemaskine, skriver "multiplikation af potenser med forskellige baser og det samme" eller en matematisk pakke, vil outputtet være 128. Lad os nu skrive dette udtryk: 2^3 = 2*2*2, og 2^4 = 2 *2*2*2. Det viser sig, at 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Det viser sig, at produktet af potenser med samme grundtal er lig med grundtallet hævet til en potens lig med summen af ​​de to foregående potenser.

Du tror måske, at dette er et uheld, men nej: ethvert andet eksempel kan kun bekræfte denne regel. Generelt ser formlen således ud: a^n * a^m = a^(n+m) . Der er også en regel om, at ethvert tal i nulpotensen er lig med én. Her bør vi huske reglen om negative magter: a^(-n) = 1 / a^n. Det vil sige, hvis 2^3 = 8, så er 2^(-3) = 1/8. Ved at bruge denne regel kan vi bevise ligheden a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) kan reduceres og forbliver en. Heraf udledes reglen om, at kvotienten af ​​potenser med samme base er lig med denne base i en grad, der er lig med kvotienten af ​​dividenden og divisoren: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Eksempel: Forenkle udtrykket 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Multiplikation er en kommutativ operation, så multiplikationseksponenterne skal først tilføjes: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Dernæst skal du håndtere opdelingen i negativ grad. Det er nødvendigt at trække divisoreksponenten fra dividendeeksponenten: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Det viser sig, at operationen med at dividere med en negativ grad er identisk med operationen af ​​multiplikation med en lignende positiv eksponent. Så det endelige svar er 8.

Der er eksempler, hvor ikke-kanonisk multiplikation af potenser finder sted. At multiplicere potenser med forskellige baser er meget ofte meget vanskeligere, og nogle gange endda umuligt. Der bør gives flere eksempler på forskellige mulige tilgange. Eksempel: forenkle udtrykket 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Det er klart, at der er en multiplikation af potenser med forskellige grundtal. Men det skal bemærkes, at alle baser er forskellige kræfter af en triple. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Ved at bruge reglen (a^n) ^m = a^(n*m) , bør du omskrive udtrykket i en mere bekvem form: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Svar: 3^11. I tilfælde, hvor der er forskellige baser, fungerer reglen a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n for lige store indikatorer. For eksempel, 3^3 * 7^3 = 21^3. Ellers, når der er forskellige baser og indikatorer, er det umuligt at lave en fuld multiplikation. Nogle gange kan du delvist forenkle eller ty til hjælp fra computerteknologi.

Hvordan multiplicerer man potenser? Hvilke potenser kan ganges, og hvilke kan ikke? Hvordan ganger man et tal med en potens?

I algebra kan du finde produktet af potenser i to tilfælde:

1) hvis graderne har samme grundlag;

2) hvis graderne har samme indikatorer.

Når potenser ganges med samme grundtal, skal grundtallet forblive det samme, og eksponenterne skal tilføjes:

Når grader ganges med de samme indikatorer, kan den samlede indikator tages ud af parentes:

Overvej hvordan man multiplicerer potenser med specifikke eksempler.

Enheden i eksponenten skrives ikke, men når graderne ganges, tager de hensyn til:

Ved multiplikation kan antallet af grader være et hvilket som helst. Det skal huskes, at du ikke kan skrive multiplikationstegnet før bogstavet:

I udtryk udføres eksponentiering først.

Hvis du skal gange et tal med en potens, skal du først udføre eksponentiering, og først derefter - multiplikation:

www.algebraclass.ru

Addition, subtraktion, multiplikation og division af potenser

Addition og subtraktion af potenser

Det er klart, tal med potenser kan tilføjes ligesom andre mængder , ved at tilføje dem én efter én med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2 .
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds de samme potenser af de samme variable kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis vi tager to kvadrater a, eller tre kvadrater a, eller fem kvadrater a.

Men grader forskellige variabler og forskellige grader identiske variabler, skal tilføjes ved at tilføje dem til deres skilte.

Så summen af ​​a 2 og a 3 er summen af ​​a 2 + a 3 .

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, hverken er to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at tegnene for subtrahend skal ændres i overensstemmelse hermed.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 - 4t 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Power multiplikation

Tal med potenser kan ganges som andre størrelser ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden multiplikationstegnet mellem dem.

Så resultatet af at gange a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje de samme variable.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3 .

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med sum grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n er;

Og a m , tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge eksponenterne sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er − negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal er lig med summen eller forskellen af ​​deres kvadrater.

Hvis summen og forskellen af ​​to tal hæves til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grad.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Magtfordeling

Tal med potenser kan divideres som andre tal ved at trække fra divisoren eller ved at placere dem i form af en brøk.

Så a 3 b 2 divideret med b 2 er a 3 .

At skrive en 5 divideret med en 3 ligner $\frac $. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når potenser divideres med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vil sige $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ gradværdier.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Reducer eksponenter i $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Reducer eksponenterne i $\frac$. Svar: $\frac $ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er en -2 første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

grad egenskaber

Vi minder dig om, at vi i denne lektion forstår grad egenskaber med naturlige indikatorer og nul. Grader med rationelle indikatorer og deres egenskaber vil blive diskuteret i lektioner for klasse 8.

En eksponent med en naturlig eksponent har flere vigtige egenskaber, der giver dig mulighed for at forenkle beregninger i eksponenteksempler.

Ejendom #1
Produkt af magter

Når potenser ganges med samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og eksponenterne tilføjes.

a m a n \u003d a m + n, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Denne egenskab ved magter påvirker også produktet af tre eller flere potenser.

Forenkle udtrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Til stede som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Til stede som en grad.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bemærk venligst, at det i den angivne egenskab kun handlede om at gange potenser med samme grundtal.. Det gælder ikke for deres tilføjelse.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5 . Dette er forståeligt hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 og 3 5 = 243

Ejendom #2
Private grader

Når potenser divideres med samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og divisorens eksponent trækkes fra udbyttets eksponent.

Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Beregn.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruger egenskaben for delvise grader.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved hjælp af egenskab nr. 1 og nr. 2 kan du nemt forenkle udtryk og udføre beregninger.

Eksempel. Forenkle udtrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Eksempel. Find værdien af ​​et udtryk ved hjælp af gradegenskaber.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bemærk venligst, at ejendom 2 kun omhandlede magtfordeling med samme grundlag.

Du kan ikke erstatte forskellen (4 3 −4 2) med 4 1 . Dette er forståeligt, hvis du beregner (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Ejendom #3
Eksponentiering

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen af ​​potensen uændret, og eksponenterne ganges.

(a n) m \u003d a n m, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Bemærk venligst, at egenskab nr. 4, ligesom andre egenskaber for grader, også anvendes i omvendt rækkefølge.

(a n b n)= (a b) n

Det vil sige, at for at gange grader med de samme eksponenter, kan du gange baserne og lade eksponenten være uændret.

Eksempel. Beregn.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Eksempel. Beregn.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mere komplekse eksempler kan der være tilfælde, hvor multiplikation og division skal udføres på potenser med forskellige baser og forskellige eksponenter. I dette tilfælde råder vi dig til at gøre følgende.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Eksempel på eksponentiering af en decimalbrøk.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = fire

Egenskaber 5
Kvotens magt (brøker)

For at hæve en kvotient til en potens, kan du hæve dividenden og divisoren separat til denne potens og dividere det første resultat med det andet.

(a: b) n \u003d a n: b n, hvor "a", "b" er alle rationelle tal, b ≠ 0, n er ethvert naturligt tal.

Eksempel. Udtryk udtrykket som partielle magter.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minder om, at en kvotient kan repræsenteres som en brøk. Derfor vil vi dvæle ved emnet at hæve en brøk til en potens mere detaljeret på næste side.

Grader og rødder

Operationer med kræfter og rødder. Grad med negativ ,

nul og brøk indikator. Om udtryk, der ikke giver mening.

Operationer med grader.

1. Når potenser ganges med samme grundtal, lægges deres indikatorer sammen:

en m · a n = a m + n.

2. Når du deler grader med samme base, deres indikatorer trukket fra .

3. Graden af ​​produktet af to eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer.

4. Graden af ​​forholdet (brøk) er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet (tæller) og divisor (nævner):

(a/b) n = a n/b n.

5. Når man hæver en grad til en potens, ganges deres indikatorer:

Alle ovenstående formler læses og udføres i begge retninger fra venstre mod højre og omvendt.

EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operationer med rødder. I alle nedenstående formler betyder symbolet aritmetisk rod(radikal udtryk er positivt).

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​forholdet er lig med forholdet mellem rødderne af udbyttet og divisor:

3. Når man hæver en rod til en magt, er det nok at hæve til denne magt rodnummer:

4. Hvis du øger graden af ​​roden m gange og samtidig hæver rodtallet til m -te grad, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis du reducerer graden af ​​roden med m gange og samtidig udtrækker roden af ​​den m-te grad fra radikaltallet, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Udvidelse af gradsbegrebet. Hidtil har vi kun overvejet grader med en naturlig indikator; men operationer med beføjelser og rødder kan også føre til negativ, nul og fraktioneret indikatorer. Alle disse eksponenter kræver en yderligere definition.

Grad med negativ eksponent. Graden af ​​et bestemt tal med en negativ (heltal) eksponent er defineret som én divideret med graden af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den negative eksponent:

Nu formlen en m : en n = en m-n kan bruges ikke kun til m, mere end n, men også kl m, Mindre end n .

EKSEMPEL -en 4: -en 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Hvis vi vil have formlen en m : en n = en m — n var fair kl m = n, har vi brug for en definition af nulgraden.

Grad med nul eksponent. Graden af ​​ethvert ikke-nul tal med nul eksponent er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

En grad med en brøkeksponent. For at hæve et reelt tal a til potensen m / n, skal du udtrække roden af ​​den n. grad fra den mte potens af dette tal a:

Om udtryk, der ikke giver mening. Der er flere sådanne udtryk.

hvor -en ≠ 0 , eksisterer ikke.

Faktisk, hvis vi antager det x er et vist tal, så har vi i overensstemmelse med definitionen af ​​divisionsoperationen: -en = 0· x, dvs. -en= 0, hvilket modsiger betingelsen: -en ≠ 0

— ethvert nummer.

Faktisk, hvis vi antager, at dette udtryk er lig med et eller andet tal x, så har vi ifølge definitionen af ​​divisionsoperationen: 0 = 0 x. Men denne ligestilling holder for ethvert tal x, hvilket skulle bevises.

0 0 — ethvert nummer.

Løsning. Overvej tre hovedsager:

1) x = 0 – denne værdi opfylder ikke denne ligning

2) hvornår x> 0 får vi: x / x= 1, dvs. 1 = 1, hvorfra følger,

hvad x- ethvert nummer; men under hensyntagen til det

vores sag x> 0 , er svaret x > 0 ;

Regler for multiplikation af potenser med forskellige baser

GRAD MED EN RATIONEL INDIKATOR,

POWER FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation og deling af potenser med samme grundtal

Sætning 1. For at gange potenser med de samme grundtal er det nok at lægge eksponenterne sammen og lade grundtallet være det samme, dvs.

Bevis. Per definition af grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vi har betragtet produktet af to magter. Faktisk er den beviste egenskab sand for et hvilket som helst antal magter med de samme baser.

Sætning 2. For at dividere potenser med de samme baser, når indikatoren for udbyttet er større end indikatoren for divisoren, er det nok at trække divisorindikatoren fra indikatoren for udbyttet og lade basen være den samme, dvs. på t > n

(-en =/= 0)

Bevis. Husk, at kvotienten ved at dividere et tal med et andet er det tal, der, når det ganges med en divisor, giver udbyttet. Bevis derfor formlen , hvor -en =/= 0, det er som at bevise formlen

Hvis en t > n , derefter nummeret t - s vil være naturligt; derfor ved sætning 1

Sætning 2 er bevist.

Bemærk, at formlen

bevist af os kun under den antagelse, at t > n . Derfor er det, ud fra det, der er blevet bevist, endnu ikke muligt at drage f.eks. følgende konklusioner:

Derudover har vi endnu ikke overvejet grader med negative eksponenter, og vi ved endnu ikke, hvilken betydning der kan tillægges udtrykket 3 - 2 .

Sætning 3. For at hæve en potens til en potens, er det nok at gange eksponenterne, så eksponentens basis er den samme, det er

Bevis. Ved at bruge definitionen af ​​grad og sætning 1 i dette afsnit får vi:

Q.E.D.

For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (mundtlig.) Bestem x fra ligningerne:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Justeret) Forenkle:

520. (Justeret) Forenkle:

521. Præsenter disse udtryk som grader med de samme baser:

1) 32 og 64; 3) 85 og 163; 5) 4 100 og 32 50;

2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.

Det er klart, tal med potenser kan tilføjes ligesom andre mængder , ved at tilføje dem én efter én med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2 .
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 - d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds de samme potenser af de samme variable kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis vi tager to kvadrater a, eller tre kvadrater a, eller fem kvadrater a.

Men grader forskellige variabler og forskellige grader identiske variabler, skal tilføjes ved at tilføje dem til deres skilte.

Så summen af ​​a 2 og a 3 er summen af ​​a 2 + a 3 .

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, hverken er to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at tegnene for subtrahend skal ændres i overensstemmelse hermed.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Power multiplikation

Tal med potenser kan ganges som andre størrelser ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden multiplikationstegnet mellem dem.

Så resultatet af at gange a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje de samme variable.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3 .

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med sum grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n er;

Og a m , tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge eksponenterne sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er - negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal er lig med summen eller forskellen af ​​deres kvadrater.

Hvis summen og forskellen af ​​to tal hæves til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grad.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Magtfordeling

Tal med potenser kan divideres som andre tal ved at trække fra divisoren eller ved at placere dem i form af en brøk.

Så a 3 b 2 divideret med b 2 er a 3 .

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

At skrive en 5 divideret med en 3 ser ud som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når potenser divideres med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vil sige $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ gradværdier.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Reducer eksponenterne i $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reducer eksponenterne i $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er en -2 første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Divider (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.

Power formler bruges i processen med at reducere og forenkle komplekse udtryk, ved løsning af ligninger og uligheder.

Nummer c er n-te potens af et tal -en hvornår:

Operationer med grader.

1. Hvis du multiplicerer grader med den samme base, summeres deres indikatorer:

en ma n = a m + n.

2. I opdelingen af ​​grader med samme base trækkes deres indikatorer fra:

3. Graden af ​​produktet af 2 eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Graden af ​​en brøk er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet og divisoren:

(a/b) n = a n/b n .

5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er korrekt i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationer med rødder.

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​forholdet er lig med forholdet mellem udbyttet og divisor af rødderne:

3. Når du hæver en rod til en potens, er det nok at hæve rodtallet til denne potens:

4. Hvis vi øger graden af ​​roden ind nén gang og samtidig hæve til n potens er et rodtal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis vi mindsker graden af ​​roden ind n rod på samme tid n grad fra det radikale tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Grad med negativ eksponent. Graden af ​​et bestemt tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med graden af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den ikke-positive eksponent:

Formel en m:a n = a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n blev fair kl m=n, du har brug for tilstedeværelsen af ​​nulgraden.

Grad med nul eksponent. Potensen af ​​ethvert ikke-nul tal med en nuleksponent er lig med en.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

En grad med en brøkeksponent. At hæve et reelt tal -en til en vis grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m potens af dette tal -en.