Matematik blev født, da en person blev bevidst om sig selv og begyndte at positionere sig selv som en selvstændig enhed i verden. Ønsket om at måle, sammenligne, beregne, hvad der omgiver dig, er det, der ligger til grund for en af ​​vore dages grundlæggende videnskaber. Først var disse partikler af elementær matematik, som gjorde det muligt at forbinde tal med deres fysiske udtryk, senere begyndte konklusionerne kun at blive præsenteret teoretisk (på grund af deres abstrakthed), men efter et stykke tid, som en videnskabsmand udtrykte det, " matematik nåede kompleksitetens loft, når alle tal." Begrebet "kvadratrod" dukkede op på et tidspunkt, hvor det let kunne understøttes af empiriske data, der gik ud over beregningsplanet.

Hvordan det hele begyndte

Den første omtale af roden, som i øjeblikket betegnes som √, blev registreret i de babylonske matematikeres skrifter, som lagde grundlaget for moderne aritmetik. Selvfølgelig lignede de lidt den nuværende form - forskerne i disse år brugte først omfangsrige tabletter. Men i det andet årtusinde f.Kr. e. de kom med en omtrentlig regneformel, der viste, hvordan man tager kvadratroden. Billedet nedenfor viser en sten, hvorpå babyloniske videnskabsmænd huggede outputprocessen √2, og den viste sig at være så korrekt, at uoverensstemmelsen i svaret kun blev fundet i tiende decimal.

Desuden blev roden brugt, hvis det var nødvendigt at finde siden af ​​en trekant, forudsat at de to andre var kendt. Nå, når man løser andengradsligninger, er der ingen vej til at udtrække roden.

Sammen med de babylonske værker blev artiklens genstand undersøgt i det kinesiske værk "Matematik i ni bøger", og de gamle grækere kom til den konklusion, at ethvert tal, hvorfra roden ikke udvindes uden en rest, giver et irrationelt resultat.

Oprindelsen af ​​dette udtryk er forbundet med den arabiske repræsentation af tallet: gamle videnskabsmænd troede, at kvadratet af et vilkårligt tal vokser fra roden, som en plante. På latin lyder dette ord som radix (man kan spore et mønster - alt, der har en "rod" semantisk belastning er konsonant, det være sig radise eller iskias).

Forskere fra efterfølgende generationer tog denne idé op og betegnede den som Rx. For eksempel, i det 15. århundrede, for at angive, at kvadratroden er taget fra et vilkårligt tal a, skrev de R 2 a. "Ticken" √, der er kendt for det moderne udseende, dukkede først op i det 17. århundrede takket være Rene Descartes.

Vores dage

Matematisk er kvadratroden af ​​y tallet z, hvis kvadrat er y. Med andre ord er z 2 =y ækvivalent med √y=z. Denne definition er dog kun relevant for den aritmetiske rod, da den indebærer en ikke-negativ værdi af udtrykket. Med andre ord, √y=z, hvor z er større end eller lig med 0.

Generelt, hvilket er gyldigt til at bestemme en algebraisk rod, kan værdien af ​​et udtryk være enten positiv eller negativ. På grund af det faktum, at z 2 =y og (-z) 2 =y, har vi: √y=±z eller √y=|z|.

På grund af det faktum, at kærlighed til matematik kun er steget med udviklingen af ​​videnskab, er der forskellige manifestationer af kærlighed til det, ikke udtrykt i tørre beregninger. For eksempel, sammen med sådanne interessante begivenheder som Pi-dagen, fejres kvadratrodens helligdage også. De fejres ni gange om hundrede år, og bestemmes efter følgende princip: de tal, der angiver dagen og måneden i rækkefølge, skal være kvadratroden af ​​året. Så næste gang vil denne ferie blive fejret den 4. april 2016.

Egenskaber af kvadratroden på feltet R

Næsten alle matematiske udtryk har et geometrisk grundlag, denne skæbne gik ikke forbi og √y, som er defineret som siden af ​​en firkant med området y.

Hvordan finder man roden af ​​et tal?

Der er flere beregningsalgoritmer. Den enkleste, men samtidig ret besværlige, er den sædvanlige aritmetiske beregning, som er som følger:

1) fra det tal, hvis rod vi har brug for, trækkes ulige tal efter tur - indtil resten af ​​outputtet er mindre end det fratrukne eller lige er lig med nul. Antallet af træk bliver til sidst det ønskede antal. For eksempel ved at beregne kvadratroden af ​​25:

Det næste ulige tal er 11, resten er: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Til sådanne tilfælde er der en Taylor-serieudvidelse:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , hvor n tager værdier fra 0 til

+∞ og |y|≤1.

Grafisk fremstilling af funktionen z=√y

Overvej en elementær funktion z=√y på feltet af reelle tal R, hvor y er større end eller lig med nul. Hendes diagram ser således ud:

Kurven vokser fra origo og krydser nødvendigvis punktet (1; 1).

Egenskaber for funktionen z=√y på feltet af reelle tal R

1. Definitionsdomænet for den betragtede funktion er intervallet fra nul til plus uendeligt (nul er inkluderet).

2. Værdiintervallet for den betragtede funktion er intervallet fra nul til plus uendeligt (nul er igen inkluderet).

3. Funktionen tager kun minimumsværdien (0) ved punktet (0; 0). Der er ingen maksimumværdi.

4. Funktionen z=√y er hverken lige eller ulige.

5. Funktionen z=√y er ikke periodisk.

6. Der er kun ét skæringspunkt for grafen for funktionen z=√y med koordinatakserne: (0; 0).

7. Skæringspunktet for grafen for funktionen z=√y er også nulpunktet for denne funktion.

8. Funktionen z=√y vokser konstant.

9. Funktionen z=√y tager kun positive værdier, derfor optager dens graf den første koordinatvinkel.

Muligheder for visning af funktionen z=√y

I matematik, for at lette beregningen af ​​komplekse udtryk, bruges magtformen til at skrive kvadratroden nogle gange: √y=y 1/2. Denne mulighed er praktisk, for eksempel til at hæve en funktion til en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denne metode er også en god repræsentation for differentiering med integration, da kvadratroden takket være den repræsenteres af en almindelig potensfunktion.

Og i programmering er erstatningen for symbolet √ kombinationen af ​​bogstaver sqrt.

Det er værd at bemærke, at i dette område er kvadratroden meget efterspurgt, da den er en del af de fleste af de geometriske formler, der er nødvendige for beregninger. Selve tællealgoritmen er ret kompliceret og er baseret på rekursion (en funktion der kalder sig selv).

Kvadratroden i det komplekse felt C

I det store og hele var det emnet for denne artikel, der stimulerede opdagelsen af ​​feltet med komplekse tal C, da matematikere var hjemsøgt af spørgsmålet om at opnå en lige gradsrod fra et negativt tal. Sådan fremstod den imaginære enhed i, som er karakteriseret ved en meget interessant egenskab: dens kvadrat er -1. Takket være dette fik andengradsligninger og med en negativ diskriminant en løsning. I C, for kvadratroden, er de samme egenskaber relevante som i R, det eneste er, at begrænsningerne på rodudtrykket fjernes.

Eleverne spørger altid: ”Hvorfor kan jeg ikke bruge en lommeregner til en matematikeksamen? Hvordan udtrækker man kvadratroden af ​​et tal uden en lommeregner? Lad os prøve at besvare dette spørgsmål.

Hvordan udtrækker man kvadratroden af ​​et tal uden hjælp fra en lommeregner?

Handling kvadratrodsudvinding det modsatte af kvadreringens handling.

√81= 9 9 2 =81

Hvis vi tager kvadratroden af ​​et positivt tal og kvadrerer resultatet, får vi det samme tal.

Fra små tal, der er nøjagtige kvadrater af naturlige tal, for eksempel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kan kvadratrødder udtrækkes verbalt. Normalt lærer de i skolen en tabel med kvadrater med naturlige tal op til tyve. Ved at kende denne tabel er det let at udtrække kvadratrødderne fra tallene 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Fra tal større end 400 kan du udtrække ved hjælp af udvælgelsesmetoden ved hjælp af nogle tip. Lad os prøve et eksempel for at overveje denne metode.

Eksempel: Udtræk roden af ​​tallet 676.

Vi bemærker, at 20 2 \u003d 400 og 30 2 \u003d 900, hvilket betyder 20< √676 < 900.

Nøjagtige kvadrater af naturlige tal ender på 0; en; fire; 5; 6; 9.
Tallet 6 er givet ved 4 2 og 6 2 .
Så hvis roden er taget fra 676, så er den enten 24 eller 26.

Det er tilbage at kontrollere: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √676 = 26 .

Mere eksempel: √6889 .

Siden 80 2 \u003d 6400, og 90 2 \u003d 8100, derefter 80< √6889 < 90.
Tallet 9 er givet af 3 2 og 7 2, så er √6889 enten 83 eller 87.

Tjek: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83 .

Hvis du har svært ved at løse med udvælgelsesmetoden, så kan du faktorisere rodudtrykket.

For eksempel, find √893025.

Lad os faktorisere tallet 893025, husk, du gjorde det i sjette klasse.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mere eksempel: √20736. Lad os faktorisere tallet 20736:

Vi får √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring kræver naturligvis viden om delelighedskriterier og factoringfærdigheder.

Og endelig er der kvadratrodsregel. Lad os se på denne regel med et eksempel.

Beregn √279841.

For at udtrække roden af ​​et flercifret heltal opdeler vi det fra højre til venstre i ansigter, der indeholder 2 cifre hver (der kan være et ciffer i venstre yderste ansigt). Skriv sådan 27'98'41

For at få det første ciffer af roden (5), udtrækker vi kvadratroden af ​​det største nøjagtige kvadrat, der er indeholdt i den første venstre side (27).
Derefter trækkes kvadratet af det første ciffer i roden (25) fra den første side, og den næste side (98) tilskrives (nedrives) til forskellen.
Til venstre for det resulterende tal 298 skriver de tocifret i roden (10), dividerer med det antallet af alle tiere af det tidligere opnåede tal (29/2 ≈ 2), oplev kvotienten (102 ∙ 2 = 204 bør ikke være mere end 298) og skriv (2) efter det første ciffer i roden.
Derefter trækkes den resulterende kvotient 204 fra 298, og den næste facet (41) tilskrives (nedrives) til forskellen (94).
Til venstre for det resulterende tal 9441 skriver de dobbeltproduktet af cifrene i roden (52 ∙ 2 = 104), divider med dette produkt antallet af alle tiere af tallet 9441 (944/104 ≈ 9), erfaring kvotienten (1049 ∙ 9 = 9441) skal være 9441 og skriv den ned (9) efter det andet ciffer i roden.

Vi fik svaret √279841 = 529.

Tilsvarende uddrag rødder af decimaler. Kun det radikale tal skal opdeles i ansigter, så kommaet er mellem ansigterne.

Eksempel. Find værdien √0,00956484.

Bare husk, at hvis decimalbrøken har et ulige antal decimaler, er kvadratroden ikke ligefrem udtrukket fra den.

Så nu har du set tre måder at udtrække roden på. Vælg den, der passer dig bedst, og øv dig. For at lære at løse problemer, skal du løse dem. Og hvis du har spørgsmål, .

blog.site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Hvad er en kvadratrod?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materiale i specialafsnit 555.
For dem, der stærkt "ikke særlig..."
Og for dem, der "meget...")

Dette koncept er meget enkelt. Naturlig, vil jeg sige. Matematikere forsøger at finde en reaktion for hver handling. Der er addition og der er subtraktion. Der er multiplikation og der er division. Der er kvadratur ... Så der er også udtrække kvadratroden! Det er alt. denne handling ( tager kvadratroden) i matematik er angivet med dette ikon:

Selve ikonet kaldes det smukke ord " radikal".

Hvordan udvinder man roden? Det er bedre at overveje eksempler.

Hvad er kvadratroden af ​​9? Og hvilket tal i anden anden giver os 9? 3 kvadrat giver os 9! De der:

Hvad er kvadratroden af ​​nul? Intet problem! Hvilket tal i anden kvadrat med nul giver? Ja, han giver selv nul! Midler:

Fanget hvad er en kvadratrod? Så overvejer vi eksempler:

Svar (i uorden): 6; en; fire; 9; 5.

Besluttet? Ja, hvor er det nemmere?

Men... Hvad gør en person, når han ser en opgave med rødder?

En person begynder at længes ... Han tror ikke på røddernes enkelhed og lethed. Selvom han lader til at vide det hvad er kvadratrod...

Dette skyldes, at en person har ignoreret flere vigtige punkter, når han studerede rødderne. Så hævner disse moder sig brutalt på prøver og eksamener ...

Punkt et. Rødder skal genkendes ved synet!

Hvad er kvadratroden af ​​49? Syv? Ret! Hvordan vidste du, at der var syv? Kvadrat med syv og fik 49? Korrekt! Bemærk, at udtrække roden ud af 49, var vi nødt til at udføre den omvendte operation - felt 7! Og sørg for, at vi ikke går glip af. Eller de kunne savne...

Deri ligger vanskeligheden rodudvinding. Kvadrering ethvert nummer er muligt uden problemer. Gang tallet med sig selv i en kolonne - og det er alt. Men for rodudvinding der findes ikke en sådan enkel og problemfri teknologi. tager højde for Saml op svar og tjek det for ramt af kvadrat.

Denne komplekse kreative proces - at vælge et svar - er meget forenklet, hvis du Husk kvadrater af populære tal. Som en multiplikationstabel. Hvis du f.eks. skal gange 4 med 6 - du tilføjer ikke de fire 6 gange, vel? Svaret dukker straks op 24. Selvom ikke alle har det, ja ...

For frit og vellykket arbejde med rødder er det nok at kende kvadraterne af tal fra 1 til 20. Desuden, der og tilbage. De der. du burde nemt kunne navngive både f.eks. 11 i anden og kvadratroden af ​​121. For at opnå denne memorering er der to måder. Den første er at lære tabellen med kvadrater. Dette vil hjælpe meget med eksempler. Det andet er at løse flere eksempler. Det er dejligt at huske tabellen med firkanter.

Og ingen lommeregnere! Kun til verifikation. Ellers vil du sænke farten nådesløst under eksamen ...

Så, hvad er kvadratrod Og hvor udvinde rødder- Jeg synes, det er forståeligt. Lad os nu finde ud af, HVAD du kan udtrække dem fra.

Punkt to. Root, jeg kender dig ikke!

Hvilke tal kan du tage kvadratrødder fra? Ja, næsten alle. Det er nemmere at forstå hvad det er forbudt udtrække dem.

Lad os prøve at beregne denne rod:

For at gøre dette skal du hente et tal, der i anden kvadrat giver os -4. Vi vælger.

Hvad er ikke valgt? 2 2 giver +4. (-2) 2 giver +4 igen! Det er det ... Der er ingen tal, der, når de kvadreres, vil give os et negativt tal! Selvom jeg kender tallene. Men jeg vil ikke fortælle dig.) Gå på college og find ud af det selv.

Den samme historie vil være med ethvert negativt tal. Deraf konklusionen:

Et udtryk, hvor et negativt tal er under kvadratrodstegnet - giver ikke mening! Dette er en forbudt operation. Så forbudt som at dividere med nul. Husk dette faktum! Eller med andre ord:

Du kan ikke udtrække kvadratrødder fra negative tal!

Men af ​​alt det andet - det kan du. Det er for eksempel muligt at beregne

Ved første øjekast er dette meget svært. Saml brøker, men kvadrat op ... Bare rolig. Når vi beskæftiger os med røddernes egenskaber, vil sådanne eksempler blive reduceret til den samme tabel med kvadrater. Livet bliver lettere!

Okay brøker. Men vi støder stadig på udtryk som:

Det er ok. Alt det samme. Kvadratroden af ​​to er det tal, der, når det kvadreres, giver os en toer. Kun tallet er helt ujævnt ... Her er det:

Interessant nok slutter denne brøk aldrig... Sådanne tal kaldes irrationelle. I kvadratrødder er dette det mest almindelige. Det er i øvrigt derfor, der kaldes udtryk med rødder irrationel. Det er klart, at det er ubelejligt at skrive sådan en uendelig brøk hele tiden. Derfor, i stedet for en uendelig brøk, lader de det være sådan her:

Hvis du, når du løser eksemplet, får noget, der ikke kan udvindes, såsom:

så lader vi det være sådan. Dette vil være svaret.

Det er nødvendigt klart at forstå, hvad der er under ikonerne

Selvfølgelig, hvis roden af ​​tallet er taget glat, det skal du gøre. Besvarelsen af ​​opgaven i skemaet f.eks

ret fuldstændigt svar.

Og selvfølgelig skal du kende de omtrentlige værdier fra hukommelsen:

Denne viden hjælper meget til at vurdere situationen i komplekse opgaver.

Punkt tre. Den mest snedige.

Den største forvirring i arbejdet med rødderne kommer netop af denne fadæse. Det er ham, der giver tvivl om sig selv ... Lad os håndtere denne fadæse ordentligt!

Til at begynde med udtrækker vi igen kvadratroden af ​​deres fire. Hvad, har jeg allerede fået dig med denne rod?) Ikke noget, nu bliver det interessant!

Hvilket tal vil give i kvadratet af 4? Nå, to, to - jeg hører utilfredse svar ...

Ret. To. Men også minus to vil give 4 i kvadrat ... I mellemtiden svaret

korrekt og svaret

groveste fejl. Sådan her.

Så hvad er aftalen?

Faktisk, (-2) 2 = 4. Og under definitionen af ​​kvadratroden af ​​fire minus to ganske passende ... Dette er også kvadratroden af ​​fire.

Men! I skoleforløbet i matematik er det sædvanligt at overveje kvadratrødder kun ikke-negative tal! Dvs nul og alt positivt. Selv et særligt udtryk blev opfundet: fra nummeret -en- dette er ikke-negativ tal, hvis kvadrat er -en. Negative resultater ved udtrækning af den aritmetiske kvadratrod kasseres simpelthen. I skolen er alle kvadratrødder - aritmetik. Selvom det ikke er specifikt nævnt.

Okay, det er forståeligt. Det er endnu bedre ikke at rode rundt med negative resultater... Det er ikke forvirring endnu.

Forvirringen begynder, når man løser andengradsligninger. For eksempel skal du løse følgende ligning.

Ligningen er enkel, vi skriver svaret (som lært):

Dette svar (i øvrigt helt korrekt) er kun en forkortet notation to svar:

Stop stop! Lidt højere skrev jeg, at kvadratroden er et tal altid ikke-negativ! Og her er et af svarene - negativ! Sygdom. Dette er det første (men ikke det sidste) problem, der forårsager mistillid til rødderne ... Lad os løse dette problem. Lad os skrive svarene ned (rent for at forstå!) sådan:

Parenteserne ændrer ikke på essensen af ​​svaret. Jeg har lige adskilt med beslag tegn fra rod. Nu ses det tydeligt, at selve roden (i parentes) stadig er et ikke-negativt tal! Og tegnene er resultatet af at løse ligningen. Når alt kommer til alt, når vi løser en ligning, skal vi skrive alle x, som, når den indsættes i den oprindelige ligning, vil give det korrekte resultat. Roden af ​​fem (positiv!) er velegnet til vores ligning med både plus og minus.

Sådan her. hvis du bare tag kvadratroden fra noget du altid få en ikke-negativ resultat. For eksempel:

Fordi det - aritmetisk kvadratrod.

Men hvis du løser en andengradsligning som:

derefter altid det viser sig to svar (med plus og minus):

Fordi det er løsningen på en ligning.

Håber, hvad er kvadratrod du fik ret med dine pointer. Nu er det tilbage at finde ud af, hvad der kan gøres med rødderne, hvad er deres egenskaber. Og hvad er moder og undervandskasser ... undskyld mig, sten!)

Alt dette - i de næste lektioner.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Sokolov Lev Vladimirovich

Objektiv: find og vis de metoder til at udtrække kvadratrødder, som kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden.

Hent:

Eksempel:

Regional videnskabelig og praktisk konference

studerende fra Tugulym bydistrikt

Udtræk kvadratrødder fra store tal uden en lommeregner

Komponist: Lev Sokolov

MKOU "Tugulymskaya V (C) OSH",

8. klasse

Leder: Sidorova Tatiana

Nikolaevna

r.p. Tugulym, 2016

Indledning 3

Kapitel 1

kapitel 2

Kapitel 3

Kapitel 4

Kapitel 6. Canadisk metode 7

Kapitel 7

Kapitel 8 Ulige tal restmetode 8

Konklusion 10

Referencer 11

Bilag 12

Introduktion

Relevansen af ​​forskning,da jeg studerede emnet kvadratrødder i dette akademiske år, var jeg interesseret i spørgsmålet om, hvordan du kan udtrække kvadratroden af ​​store tal uden en lommeregner.

Jeg blev interesseret og besluttede at studere dette spørgsmål dybere, end det er angivet i skolens læseplan, og også udarbejde en minibog med de enkleste måder at udtrække kvadratrødder fra store tal uden en lommeregner.

Objektiv: find og vis de metoder til at udtrække kvadratrødder, som kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden.

Opgaver:

1. Studer litteraturen om dette emne.
2. Overvej funktionerne i hver fundet metode og dens algoritme.
3. Vis den praktiske anvendelse af den erhvervede viden og vurder

Sværhedsgraden ved at bruge forskellige metoder og algoritmer.

1. Lav en minibog om de mest interessante algoritmer.

Studieobjekt:matematiske symboler er kvadratrødder.

Undersøgelsens emne:funktioner i måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner.

Forskningsmetoder:

1. Søg efter metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden en lommeregner.
2. Sammenligning af de fundne metoder.
3. Analyse af de opnåede metoder.

Alle ved, at det er meget svært at tage kvadratroden uden en lommeregner.

en opgave. Når der ikke er nogen lommeregner ved hånden, begynder vi at bruge udvælgelsesmetoden til at forsøge at huske dataene fra tabellen med kvadrater af heltal, men det hjælper ikke altid. For eksempel giver tabellen med kvadrater af heltal ikke et svar på sådanne spørgsmål, som for eksempel tager roden af ​​75, 37,885,108,18061 og andre, selv cirka.

Det er også ofte forbudt at bruge en lommeregner ved eksamen i OGE og Unified State Examination

tabeller med kvadrater af heltal, men du skal tage roden af ​​3136 eller 7056 osv.

Men ved at studere litteraturen om dette emne lærte jeg at udtrække rødder fra sådanne tal

måske uden en tabel og en lommeregner, lærte folk længe før opfindelsen af ​​mikroberegneren. Ved at undersøge dette emne fandt jeg flere måder at løse dette problem på.

Kapitel 1

For at udtrække kvadratroden kan du dekomponere tallet i primfaktorer og tage kvadratroden af ​​produktet.

Det er kutyme at bruge denne metode, når man løser opgaver med rødder i skolen.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Mange bruger det med succes og betragter det som det eneste. At udtrække en rod ved factoring er en besværlig opgave, som heller ikke altid fører til det ønskede resultat. Prøv at udtrække kvadratroden af ​​tallet 209764? Nedbrydning til primfaktorer giver produktet 2∙2∙52441. Og hvordan kommer man videre? Alle står over for dette problem, og skriv roligt resten af ​​udvidelsen ned under rodtegnet i svaret. Ved forsøg og fejl, ved udvælgelse kan nedbrydning naturligvis ske, hvis man er sikker på, at man får et smukt svar, men praksis viser, at opgaver med fuldstændig nedbrydning meget sjældent tilbydes. Oftere ser vi, at roden ikke kan trækkes helt ud.

Derfor løser denne metode kun delvist problemet med at udtrække uden en lommeregner.

kapitel 2

For at udtrække kvadratroden med et hjørne ogLad os se på algoritmen:
1. trin. Nummeret 8649 er opdelt i ansigter fra højre mod venstre; som hver skal indeholde to cifre. Vi får to kanter:.
2. trin. Vi udtrækker kvadratroden af ​​den første flade 86, vi fårmed en ulempe. Tallet 9 er det første ciffer i roden.
3. trin. Tallet 9 er kvadratisk (9 2 = 81) og tallet 81 trækkes fra det første ansigt, får vi 86- 81=5. Tallet 5 er den første rest.
4. trin. Til de resterende 5 tilskriver vi den anden side 49, vi får tallet 549.

5. trin . Vi fordobler det første ciffer af roden af ​​9, og skriver til venstre, får vi -18

Det er nødvendigt at tilskrive et sådant største ciffer til tallet, så produktet af tallet, som vi får ved dette ciffer, enten ville være lig med tallet 549 eller mindre end 549. Dette er tallet 3. Det findes ved udvælgelse: antallet af tiere af tallet 549, det vil sige, at tallet 54 er divideret med 18, får vi 3, da 183 ∙ 3 \u003d 549. Tallet 3 er det andet ciffer i roden.

6. trin. Vi finder resten 549 - 549 = 0. Da resten er nul, fik vi den nøjagtige værdi af roden - 93.

Jeg vil give et andet eksempel: uddrag √212521

	Algoritme trin	Eksempel	Kommentarer
	Opdel nummeret i grupper med 2 cifre hver fra højre mod venstre	21’ 25’ 21	Det samlede antal dannede grupper bestemmer antallet af cifre i svaret
	For den første gruppe af cifre skal du vælge det ciffer, hvis kvadrat vil være det største, men ikke overskride antallet af den første gruppe	1 gruppe - 21 4 2 =16 nummer - 4	Det fundne tal skrives i første omgang i svaret.
	Fra den første gruppe af cifre skal du trække kvadratet af det første ciffer af svaret, der blev fundet i trin 2	21’ 25’ 21
	Til resten fundet i trin 3 skal du tilføje den anden gruppe af tal til højre (nedrivning)	21’ 25’ 21 16__
	Til det fordoblede første ciffer i svaret skal du tildele et ciffer til højre, således at produktet af det resulterende tal med dette ciffer er det største, men ikke overstiger tallet i trin 4	4*2=8 nummer - 6 86*6=516	Det fundne tal er skrevet på andenpladsen i svaret.
	Fra tallet opnået i trin 4 trækkes tallet fra trin 5. Nedbryd den tredje gruppe til resten	21’ 25’ 21
	Til det fordoblede tal, der består af de første to cifre i svaret, tildeles et sådant ciffer til højre, at produktet af det resulterende tal og dette ciffer er det største, men ikke overstiger det tal, der blev opnået i trin 6	46*2=92 nummer 1 921*1=921	Det fundne nummer er noteret i svaret på tredjepladsen.
	Optag svar	√212521=461

Kapitel 3

Jeg lærte om denne metode fra internettet. Metoden er meget enkel og giver øjeblikkelig udtrækning af kvadratroden af ​​ethvert heltal fra 1 til 100 med en nøjagtighed på tiendedele uden en lommeregner. En betingelse for denne metode er tilstedeværelsen af ​​en tabel med kvadrater med tal op til 99.

(Det er i alle algebra-lærebøger i klasse 8 og tilbydes som referencemateriale til OGE-eksamenen.)

Åbn tabellen og kontroller hastigheden for at finde svaret. Men først et par anbefalinger: kolonnen længst til venstre - disse vil være heltal i svaret, den øverste linje - det er tiendedelene i svaret. Og så er alt simpelt: Luk de sidste to cifre af tallet i tabellen og find det nummer, du har brug for, ikke overstiger rodnummeret, og følg derefter reglerne i denne tabel.

Lad os se på et eksempel. Lad os finde værdien √87.

Vi lukker de sidste to cifre for alle tal i tabellen og finder tætte for 87 - der er kun to af dem 86 49 og 88 37. Men 88 er allerede meget.

Så der er kun én ting tilbage - 8649.

Den venstre kolonne giver svaret 9 (disse er heltal), og den øverste linje er 3 (disse er tiendedele). Så √87≈ 9,3. Lad os se på MK √87 ≈ 9.327379.

Hurtigt, nemt og overkommeligt til eksamen. Men det er umiddelbart klart, at rødder større end 100 ikke kan udvindes ved denne metode. Metoden er praktisk til opgaver med små rødder og i nærværelse af et bord.

Kapitel 4

De gamle babyloniere brugte følgende metode til at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden af ​​deres x-tal. De repræsenterede tallet x som summen af ​​a 2 + b, hvor a 2 det nøjagtige kvadrat af et naturligt tal a (a 2 . (1)

Ved hjælp af formel (1) udtrækker vi kvadratroden, for eksempel fra tallet 28:

Resultatet af at udtrække roden af ​​28 ved hjælp af MK 5.2915026.

Som du kan se, giver den babylonske metode en god tilnærmelse til den nøjagtige værdi af roden.

Kapitel 5

(kun for firecifrede tal)

Det er værd at præcisere med det samme, at denne metode kun er anvendelig til at udtrække kvadratroden fra et nøjagtigt kvadrat, og findealgoritmen afhænger af værdien af ​​rodtallet.

1. Udtræk rødder op til tallet 75 2 = 5625

For eksempel: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Vi repræsenterer tallet 3844 som en sum ved at vælge kvadratet 144 fra dette tal, derefter kasserer vi det valgte kvadrat, for atantallet af hundreder af den første periode(37) tilføj altid 25 . Vi får svaret 62.

Så du kan kun tage kvadratrødder op til tallet 75 2 =5625!

2) Udtræk rødder efter tallet 75 2 = 5625

Hvordan man verbalt udtrækker kvadratrødder fra tal større end 75 2 =5625?

For eksempel: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

For at præcisere er 7225 repræsenteret som summen af ​​7000 og den fremhævede firkant 225. Derefterlæg kvadratroden til hundredvis ud af 225, svarende til 15.

Vi får svaret 85.

Denne metode til at finde er meget interessant og til en vis grad original, men i løbet af min forskning mødte jeg kun én gang i arbejdet med en Perm-lærer.

Måske er det lidt undersøgt eller har nogle undtagelser.

Det er ret svært at huske på grund af algoritmens dualitet og gælder kun for firecifrede tal med nøjagtige rødder, men jeg har gennemarbejdet mange eksempler og sikret mig, at det er korrekt. Derudover er denne metode tilgængelig for dem, der allerede har husket kvadraterne af tal fra 11 til 29, for uden deres viden vil det være ubrugeligt.

Kapitel 6

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S) hvor X er tallet, der skal tages kvadratroden af, og S er tallet på det nærmeste perfekte kvadrat.

Lad os prøve at tage kvadratroden af ​​75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Med en detaljeret undersøgelse af denne metode kan man let bevise dens lighed med den babylonske og argumentere for ophavsretten til opfindelsen af ​​denne formel, hvis nogen, i virkeligheden. Metoden er enkel og praktisk.

Kapitel 7

Denne metode tilbydes af engelske studerende fra London College of Mathematics, men alle i deres liv brugte mindst en gang ufrivilligt denne metode. Det er baseret på udvælgelsen af ​​forskellige værdier af kvadraterne med tætte tal ved at indsnævre søgeområdet. Alle kan mestre denne metode, men det er usandsynligt at bruge det, fordi det kræver gentagen beregning af produktet af en kolonne med ikke altid korrekt gættede tal. Denne metode taber både i løsningens skønhed og i tid. Algoritmen er enkel:

Lad os sige, at du vil tage kvadratroden af ​​75.

Siden 8 2 = 64 og 9 2 = 81, du ved, svaret er et sted midt imellem.

Prøv at rejse 8.5 2 og du får 72,25 (for lidt)

Prøv nu 8.6 2 og du får 73,96 (for lille, men kommer tættere på)

Prøv nu 8.7 2 og du får 75,69 (for stor)

Nu ved du, at svaret er mellem 8,6 og 8,7

Prøv at rejse 8.65 2 og du får 74.8225 (for lidt)

Prøv nu 8,66 2 ... og så videre.

Bliv ved, indtil du får et svar, der er præcist nok for dig.

Kapitel 8 Ulige tal subtraktionsmetode

Mange kender metoden til at udtrække kvadratroden ved at dekomponere et tal i primfaktorer. I mit arbejde vil jeg præsentere en anden måde, hvorpå du kan finde ud af heltalsdelen af ​​kvadratroden af ​​et tal. Metoden er meget enkel. Bemærk, at følgende ligheder er sande for kvadraterne af tal:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Regel: Du kan finde ud af den heltallige del af kvadratroden af ​​et tal ved at trække alle de ulige tal fra det i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste subtraherede tal eller lig med nul, og tælle antallet af udførte handlinger.

For eksempel, for at få kvadratroden af ​​36 og 121 er:

Samlet antal subtraktioner = 6, så kvadratroden af ​​36 = 6.

Samlede subtraktioner = 11, så √121 = 11.

Et andet eksempel: find √529

Løsning: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Svar: √529 = 23

Forskere kalder denne metode for den aritmetiske kvadratrod og bag øjnene "skildpaddemetoden" på grund af dens langsomhed.
Ulempen ved denne metode er, at hvis den udtrukne rod ikke er et heltal, så kan du kun finde ud af dens heltalsdel, men ikke mere præcist. Samtidig er denne metode ret tilgængelig for børn, der løser de enkleste matematiske problemer, der kræver udvinding af en kvadratrod. Prøv at udtrække kvadratroden af ​​et tal som 5963364 på denne måde, og du vil opdage, at det "virker", helt sikkert uden fejl for nøjagtige rødder, men meget, meget lang i opløsning.

Konklusion

Rodekstraktionsmetoderne beskrevet i papiret findes i mange kilder. Det viste sig dog at være en vanskelig opgave for mig at forstå dem, hvilket vakte betydelig interesse. De præsenterede algoritmer giver alle, der er interesseret i dette emne, mulighed for hurtigt at mestre færdighederne til at beregne kvadratroden, de kan bruges til at kontrollere din løsning og ikke afhænge af en lommeregner.

Som et resultat af forskningen kom jeg til den konklusion, at forskellige metoder til at udtrække kvadratroden uden lommeregner er nødvendige i skolens matematikkursus for at udvikle regnefærdigheder.

Undersøgelsens teoretiske betydning - de vigtigste metoder til at udvinde kvadratrødder er systematiseret.

Praktisk betydning:i at lave en minibog indeholdende et referenceskema til udtræk af kvadratrødder på forskellige måder (bilag 1).

Litteratur og internetsider:

1. I. Sergeev, S.N. Olechnik, S.B. Gashkov "Anvend matematik". - M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "Hvordan finder man en hel rod?" Populærvidenskabeligt fysik og matematik tidsskrift "Kvant" №2, 1980
3. Petrakov I.S. "matematikcirkler i klasse 8-10"; Bogen til læreren.

–M.: Oplysning, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. "Historier om anvendt matematik" - M.: Nauka. Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1979
2. Tkacheva M.V. Hjemmematematik. En bog for studerende i 8. klasse af uddannelsesinstitutioner. - Moskva, Oplysningstiden, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referencetabeller i matematik.-M .: LLC "Publishing house" ROSMEN-PRESS ", 2004.-120 s.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://en.wikipedia.ord/wiki/theorema/

God eftermiddag, kære gæster!

Jeg hedder Lev Sokolov, jeg går i 8. klasse på en aftenskole.

Jeg præsenterer for din opmærksomhed arbejdet med emnet:Udtræk kvadratrødder fra store tal uden en lommeregner.

Når man studerer et emnekvadratrødder i dette akademiske år var jeg interesseret i spørgsmålet om, hvordan du kan udtrække kvadratroden af ​​store tal uden en lommeregner, og jeg besluttede at studere det dybere, da jeg næste år skal tage en eksamen i matematik.

Formålet med mit arbejde:finde og vise måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner

For at nå målet løste jeg følgende opgaver:

1. Studer litteraturen om dette spørgsmål.

2. Overvej funktionerne i hver fundet metode og dens algoritme.

3. Vis praktisk anvendelse af den erhvervede viden og vurder sværhedsgraden ved at anvende forskellige metoder og algoritmer.

4. Lav en minibog ifølge de mest interessante algoritmer.

Formålet med min undersøgelse varkvadratrødder.

Undersøgelsens emne:måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner.

Forskningsmetoder:

1. Søg efter metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden lommeregner.

2. Sammenligning og analyse af de fundne metoder.

Jeg fandt og studerede 8 måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner og omsætte dem i praksis. Navnene på de fundne metoder er angivet på sliden.

Jeg vil fokusere på dem, jeg kunne lide.

Jeg vil ved eksempel vise, hvordan det er muligt at udtrække kvadratroden af ​​tallet 3025 ved nedbrydningsmetoden til primfaktorer.

Den største ulempe ved denne metode- det tager meget tid.

Ved at bruge formlen fra det gamle Babylon vil jeg udtrække kvadratroden af ​​det samme tal 3025.

Metoden er kun praktisk til små tal.

Fra det samme tal 3025 trækker vi kvadratroden ud med et hjørne.

Efter min mening er dette den mest universelle måde, den kan anvendes til alle tal.

PÅ moderne videnskab kender mange måder at udtrække kvadratroden uden en lommeregner, men jeg har ikke studeret alt.

Den praktiske betydning af mit arbejde:i tilblivelsen af ​​en minibog indeholdende et referenceskema til udtræk af kvadratrødder på forskellige måder.

Resultaterne af mit arbejde kan med succes anvendes i undervisningen i matematik, fysik og andre fag, hvor rodudvinding er påkrævet uden en lommeregner.

Tak for din opmærksomhed!

Eksempel:

For at bruge forhåndsvisningen af ​​præsentationer skal du oprette en Google-konto (konto) og logge ind: https://accounts.google.com

Slides billedtekster:

Udtræk kvadratrødder fra store tal uden lommeregner Udøver: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V (C) OSH", 8. klasse Vejleder: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategori, lærer i matematik r.p. Tugulym

Den korrekte anvendelse af metoder kan læres ved at anvende og bruge en række eksempler. G. Zeiten Formålet med arbejdet: at finde og vise de metoder til at udtrække kvadratrødder, der kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden. Opgaver: - At studere litteraturen om dette emne. - Overvej funktionerne i hver fundet metode og dens algoritme. - Vise den praktiske anvendelse af den erhvervede viden og vurdere sværhedsgraden ved at anvende forskellige metoder og algoritmer. - Lav en minibog om de mest interessante algoritmer.

Undersøgelsens genstand: kvadratrødder Undersøgelsesemne: metoder til udtrækning af kvadratrødder uden lommeregner. Forskningsmetoder: Søg efter metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden lommeregner. Sammenligning af de fundne metoder. Analyse af de opnåede metoder.

Kvadratrodsmetoder: 1. Primfaktoriseringsmetode 2. Hjørnekvadratrodsudvinding 3. Tocifret kvadratrodsmetode 4. Ancient Babylons formel 5. Fuldkvadratafvisningsmetode 6. Canadisk metode 7. Gættemetode 8. Reduktionsmetode ulige tal

Primfaktoriseringsmetode For at udtrække kvadratroden kan du faktorisere et tal til primfaktorer og udtrække kvadratroden af ​​produktet. 3136. 52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Det er ikke altid let at nedbryde. helt fjernet, det tager meget tid.

Formel for det gamle Babylon (babylonsk metode) En algoritme til at udtrække kvadratroden ved hjælp af den gamle babylonske metode. en . Fremstil tallet c som en sum a ² + b, hvor a ² er nærmest tallet c det nøjagtige kvadrat af det naturlige tal a (a ² ≈ c); 2. Den omtrentlige værdi af roden beregnes med formlen: Resultatet af at udtrække roden ved hjælp af lommeregneren er 5,292.

Udtræk af kvadratroden med et hjørne Metoden er næsten universel, da den kan anvendes på alle tal, men at kompilere en rebus (at gætte tallet i slutningen af ​​tallet) kræver logik og gode computerfærdigheder i en kolonne.

Algoritme til at udtrække kvadratroden med et hjørne 1. Opdel tallet (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64) 2. Udtræk kvadratroden fra den første venstre gruppe (- nummer 2). Så vi får det første ciffer i tallet. 3. Find kvadratet af det første ciffer (2 2 \u003d 4). 4. Find forskellen mellem den første gruppe og kvadratet på det første ciffer (5-4=1). 5. Vi river de næste to cifre ned (vi fik tallet 196). 6. Vi fordobler det første tal, vi fandt, skriver det ned til venstre bag stregen (2*2=4). 7. Nu skal du finde det andet ciffer i tallet: det fordoblede første ciffer, som vi fandt, bliver cifferet for tallets tiere, når ganget med antallet af enheder, skal du få et tal mindre end 196 (dette er tallet 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 er det andet ciffer i &. 8. Find forskellen (196-176=20). 9. Vi river den næste gruppe ned (vi får tallet 2033). 10. Vi fordobler tallet 24, vi får 48. 11. 48 tiere i tallet, når ganget med antallet af enheder, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Antallet af enheder fundet af os (4) er det tredje ciffer i nummeret. Derefter gentages processen.

Ulige tal subtraktionsmetode (aritmetisk metode) Kvadratrodsalgoritme: Træk ulige tal fra i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste tal, der skal trækkes fra, eller lig med nul. Tæl antallet af udførte handlinger - dette tal er den heltallige del af tallet på den udtrukne kvadratrod. Eksempel 1: Beregn 1. 9 − 1 = 8; 8 - 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 trin gennemført

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 samlede subtraktioner = 6, så kvadratroden af ​​36 = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117 - 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Samlet antal subtraktioner = 11, så kvadratroden af ​​121 = 11. 5963364 = ??? Russiske videnskabsmænd "bag deres ryg" kalder det "skildpaddemetoden" på grund af dens langsomhed. Det er ubelejligt for store antal.

Undersøgelsens teoretiske betydning - de vigtigste metoder til at udvinde kvadratrødder er systematiseret. Praktisk betydning: i skabelsen af ​​en minibog indeholdende et referenceskema til udtræk af kvadratrødder på forskellige måder.

Tak for din opmærksomhed!

Eksempel:

Når du løser nogle problemer, skal du tage kvadratroden af ​​et stort tal. Hvordan gør man det?

Ulige tal subtraktionsmetode.

Metoden er meget enkel. Bemærk, at følgende ligheder er sande for kvadraterne af tal:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Herske: du kan finde ud af den heltallige del af kvadratroden af ​​et tal ved at trække alle ulige tal fra det i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste subtraherede tal eller lig med nul, og tælle antallet af udførte handlinger.

For eksempel, for at få kvadratroden af ​​36 og 121 er:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Samlet antal subtraktioner = 6, altså kvadratroden af 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Samlet antal subtraktioner = 11, altså√121 = 11.

canadisk metode.

Denne hurtige metode blev opdaget af unge videnskabsmænd ved et af Canadas førende universiteter i det 20. århundrede. Dens nøjagtighed er ikke mere end to eller tre decimaler. Her er deres formel:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), hvor X er det tal, der skal kvadratroden af, og S er tallet på det nærmeste perfekte kvadrat.

Eksempel. Tag kvadratroden af ​​75.

X = 75, S = 81. Det betyder, at √ S = 9.

Lad os beregne √75 ved hjælp af denne formel: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

En metode til at udtrække kvadratroden med et hjørne.

1. Opdel nummeret (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64)

2. Vi udtrækker kvadratroden af ​​den første gruppe til venstre (- nummer 2). Så vi får det første ciffer i tallet.

3. Find kvadratet af det første ciffer (2 2 =4).

4. Find forskellen mellem den første gruppe og kvadratet på det første ciffer (5-4=1).

5. Vi river de næste to cifre ned (vi fik tallet 196).

6. Vi fordobler det første tal, vi fandt, skriver det ned til venstre bag stregen (2*2=4).

7. Nu skal du finde det andet ciffer i tallet: det fordoblede første ciffer, som vi fandt, bliver cifferet for tallets tiere, når ganget med antallet af enheder, skal du få et tal mindre end 196 (dette er tallet 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 er det andet ciffer i &.

8. Find forskellen (196-176=20).

9. Vi river den næste gruppe ned (vi får tallet 2033).

10. Fordoble tallet 24, vi får 48.

11,48 tiere i et tal, når ganget med antallet af enheder, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Antallet af enheder fundet af os (4) er det tredje ciffer i nummeret.

Handling kvadratrodsudvindingdet modsatte af kvadreringens handling.

√81= 9 9 2 =81.

udvælgelsesmetode.

Eksempel: Udtræk roden af ​​tallet 676.

Vi bemærker, at 20 2 \u003d 400 og 30 2 \u003d 900, hvilket betyder 20

Nøjagtige kvadrater af naturlige tal ender på 0; en; fire; 5; 6; 9.
Tallet 6 er givet af 4 2 og 6 2 .
Så hvis roden er taget fra 676, så er den enten 24 eller 26.

Tilbage til kontrol: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √ 676 = 26.

Et andet eksempel: √6889 .

Siden 80 2 \u003d 6400 og 90 2 \u003d 8100, derefter 80 Tallet 9 er givet af 3 2 og 7 2 , så er √6889 enten 83 eller 87.

Tjek: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83.

Hvis du har svært ved at løse med udvælgelsesmetoden, så kan du faktorisere rodudtrykket.

Find for eksempel √893025 .

Lad os faktorisere tallet 893025, husk, du gjorde det i sjette klasse.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babylonsk metode.

Trin 1. Udtryk tallet x som en sum: x=a 2 + b, hvor a 2 det nærmeste nøjagtige kvadrat af et naturligt tal a til x.

Trin #2. Brug formel:

Eksempel. Beregn .

aritmetisk metode.

Vi trækker alle ulige tal fra tallet i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste tal, der skal trækkes fra, eller lig med nul. Efter at have talt antallet af udførte handlinger, bestemmer vi heltalsdelen af ​​kvadratroden af ​​tallet.

Eksempel. Beregn heltalsdelen af ​​et tal.

Løsning. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - heltal del af tallet. Så, .

Metode (kendt som Newtons metode)er som følgende.

Lad en 1 - første tilnærmelse af et tal(som en 1 du kan tage værdierne af kvadratroden af ​​et naturligt tal - et nøjagtigt kvadrat, der ikke overstiger .

Denne metode giver dig mulighed for at udtrække kvadratroden af ​​et stort tal med enhver nøjagtighed, dog med en betydelig ulempe: besværligheden af ​​beregninger.

Vurderingsmetode.

Trin 1. Find ud af det interval, som den oprindelige rod ligger i (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Trin #2. Ved det sidste ciffer bestemmes hvilket ciffer det ønskede tal slutter med.

Ciffer af enheder af nummer x
Ciffer af enheder af nummer x 2

Trin #3. Kvadret de forventede tal og bestem det ønskede tal ud fra dem.

Eksempel 1. Beregn .

Løsning. 2500 50 2 2 50

= *2 eller = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Derfor = 58.

På cirklen viste hun, hvordan kvadratrødder kan udtrækkes i en søjle. Du kan beregne roden med vilkårlig præcision, finde så mange cifre som du vil i dens decimalnotation, selvom det viser sig at være irrationelt. Algoritmen blev husket, men spørgsmålene forblev. Det var ikke klart, hvor metoden kom fra, og hvorfor den giver det rigtige resultat. Dette stod ikke i bøgerne, eller måske kiggede jeg bare i de forkerte bøger. Som et resultat, ligesom meget af det, jeg ved og kan i dag, bragte jeg det selv frem. Jeg deler min viden her. Forresten, jeg ved stadig ikke, hvor begrundelsen for algoritmen er givet)))

Så først, med et eksempel, fortæller jeg dig "hvordan systemet fungerer", og derefter forklarer jeg, hvorfor det rent faktisk fungerer.

Lad os tage et tal (tallet er taget "fra loftet", det kom lige til at tænke på).

1. Vi opdeler dets tal i par: dem, der er til venstre for decimaltegnet, grupperer vi to fra højre mod venstre, og dem til højre - to fra venstre mod højre. Vi får .

2. Vi udtrækker kvadratroden fra den første gruppe af cifre til venstre - i vores tilfælde er det (det er klart, at den nøjagtige rod måske ikke kan udtrækkes, vi tager det tal, hvis kvadrat er så tæt som muligt på vores tal dannet af første gruppe af cifre, men overskrider den ikke). I vores tilfælde vil dette være et tal. Vi skriver som svar - dette er det højeste ciffer i roden.

3. Vi hæver det tal, der allerede er i svaret - dette er - i anden og trækker fra den første gruppe af tal til venstre - fra tallet. I vores tilfælde forbliver det

4. Vi tilskriver følgende gruppe af to tal til højre: . Tallet allerede i svaret ganges med , vi får .

5. Hold nu øje med. Vi skal tilføje et ciffer til tallet til højre og gange tallet med , altså med det samme tildelte ciffer. Resultatet skal være så tæt som muligt på , men igen ikke mere end dette tal. I vores tilfælde vil dette være et tal, vi skriver det som svar ved siden af, til højre. Dette er det næste ciffer i decimalnotationen for vores kvadratrod.

6. Trækker vi produktet fra, får vi.

7. Dernæst gentager vi de velkendte operationer: vi tilskriver følgende gruppe af cifre til højre, gange med, til det resulterende tal > tildeler et ciffer til højre, sådan at når vi ganges med det, får vi et tal mindre, men tættest på det - dette er cifferet - det næste ciffer i decimalnotation af roden.

Beregningerne vil blive skrevet som følger:

Og nu den lovede forklaring. Algoritmen er baseret på formlen

Kommentarer: 50

1. 2 Anton:

   For rodet og forvirrende. Del alt ned og nummerér dem. Plus: forklar, hvor i hver handling vi erstatter de nødvendige værdier. Jeg har aldrig regnet roden i en kolonne før – jeg regnede det ud med besvær.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23 er i øjeblikket skrevet til højre, det er de første to (venstre) allerede modtagne cifre i roden, der er i svaret. Vi gange med 2 ifølge algoritmen. Vi gentager trinene beskrevet i afsnit 4.

4. 7zzz:

   fejl i "6. Fra 167 trækker vi produktet 43 * 3 = 123 (129 nada), vi får 38."
   det er ikke klart, hvordan det efter kommaet blev 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Og selv i pre-beregneren æra, blev vi undervist i skolen ikke kun kvadratet, men også terningroden i en kolonne til at udtrække, men dette er mere kedeligt og omhyggeligt arbejde. Det var nemmere at bruge Bradis-tabellerne eller glidereglen, som vi allerede studerede i gymnasiet.

6. 10 :

   Alexander, du har ret, du kan udtrække i en kolonne og rødder af store grader. Jeg skal bare skrive om, hvordan man finder terningroden.

7. 12 Sergey Valentinovich:

   Kære Elizabeth Alexandrovna! I slutningen af ​​70'erne udviklede jeg et skema til automatisk (dvs. ikke ved udvælgelse) beregning af kvadrater. root på Felix tilføjelsesmaskine. Hvis du er interesseret, kan jeg sende en beskrivelse.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((udtrækker kvadratroden i en kolonne)))
   Algoritmen forenkles, hvis du bruger 2-talssystemet, som studeres i datalogi, men det er også nyttigt i matematik. A.N. Kolmogorov citerede denne algoritme i populære foredrag for skolebørn. Hans artikel kan findes i "Chebyshev Collection" (Mathematical Journal, se efter et link til det på internettet)
   Sig til lejligheden:
   G. Leibniz skyndte sig på et tidspunkt rundt med ideen om at gå fra det 10. talsystem til binært på grund af dets enkelhed og tilgængelighed for begyndere (juniorskolebørn). Men at bryde de etablerede traditioner er som at bryde fæstningens porte med panden: det er muligt, men det er nytteløst. Så viser det sig, som ifølge den skæggede filosof mest citeret i gamle dage: alle døde generationers traditioner undertrykker de levendes bevidsthed.

   Vi ses næste gang.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, ja, jeg er interesseret ... ((

   Jeg vil vædde på, at dette er en Felix-variation af den babylonske metode til at udvinde den firkantede hest ved successive tilnærmelser. Denne algoritme blev tilsidesat af Newtons metode (tangensmetode)

   Jeg spekulerer på, om jeg lavede en fejl i vejrudsigten?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, algoritmen i binær skal være enklere, det er ret indlysende.

    Om Newtons metode. Måske er det, men det er stadig interessant

11. 20 Cyril:

    Mange tak. Og der er ingen algoritme, det vides ikke, hvor det kom fra, men resultatet er korrekt. MANGE TAK! Har ledt efter dette i lang tid

12. 21 Alexander:

    Og hvordan vil udtrækningen af ​​roden fra tallet gå, hvor den anden gruppe fra venstre mod højre er meget lille? for eksempel er alles favoritnummer 4 398 046 511 104. efter den første subtraktion er det umuligt at fortsætte alt i henhold til algoritmen. Kan du forklare venligst.

13. 22 Alexey:

    Ja, jeg ved det på denne måde. Jeg kan huske, at jeg læste det i bogen "Algebra" i en gammel udgave. Så, analogt, udledte han selv, hvordan man udtrak terningroden i samme kolonne. Men det er allerede mere kompliceret der: hvert ciffer bestemmes ikke længere i et (som for et kvadrat), men i to subtraktioner, og endda der, hver gang du skal gange lange tal.

14. 23 Artem:

    Der er stavefejl i eksemplet med at tage kvadratroden af ​​56789.321. Gruppen af ​​numre 32 tildeles to gange til tallene 145 og 243, i tallet 2388025 skal det andet 8 erstattes af 3. Så skal den sidste subtraktion skrives som følger: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Derudover, når vi dividerer resten med den fordoblede værdi af svaret (eksklusive kommaet), får vi et yderligere antal signifikante cifre (47975/(2*238305) = 0,100658819…), som skal lægges til svaret (√56789.321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Tilsyneladende kom algoritmen fra Isaac Newtons bog "General aritmetic or a book about aritmetic syntese and analysis". Her er et uddrag af det:

    OM RØDDER

    For at udtrække kvadratroden fra et tal, skal du først og fremmest sætte en prik over dets tal gennem et, begyndende fra enheder. Så er det nødvendigt at skrive i kvotienten eller ved roden det tal, hvis kvadrat er lig med eller nærmest i defekt til tallene eller tallet foran det første punkt. Efter at have trukket dette kvadrat fra, vil de resterende cifre i roden successivt blive fundet ved at dividere resten med det dobbelte af værdien af ​​den allerede udtrukne del af roden og hver gang fra resten af ​​kvadratet trække det sidst fundne ciffer og dets tidoblede produkt med den navngivne divisor.

16. 25 Sergey:

    Ret titlen på bogen "Generel aritmetik eller en bog om aritmetisk syntese og analyse"

17. 26 Alexander:

    Tak for det interessante indhold. Men denne metode forekommer mig noget mere kompliceret, end den er nødvendig, for eksempel for en skoledreng. Jeg bruger en mere simpel metode baseret på udvidelsen af ​​en kvadratisk funktion ved hjælp af de to første afledede. Dens formel er:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 hvor
    A1 er et heltal, hvis kvadrat er tættest på x;
    A2 er en brøk, i tælleren x-A1, i nævneren 2*A1.
    For de fleste af de tal, der findes i skoleforløbet, er dette nok til at få et resultat nøjagtigt til hundrededele.
    Hvis du har brug for et mere præcist resultat, så tag
    A3 er en brøk, i tælleren A2 i anden kvadrat, i nævneren 2 * A1 + 1.
    Selvfølgelig skal du bruge en tabel med kvadrater af heltal for at anvende, men det er ikke et problem i skolen. Det er ret simpelt at huske denne formel.
    Det forvirrer mig dog, at jeg fik A3 empirisk som følge af forsøg med et regneark og ikke helt forstår, hvorfor dette udtryk har sådan en form. Måske du kan rådgive?

18. 27 Alexander:

    Ja, jeg har også overvejet disse overvejelser, men djævelen er i detaljerne. Du skriver:
    "fordi a2 og b allerede adskiller sig en del." Spørgsmålet er præcis hvor lidt.
    Denne formel fungerer godt på tallene for de anden ti og meget værre (ikke op til hundrededele, kun op til tiendedele) på tallene for de første ti. Hvorfor dette sker, er allerede svært at forstå uden at involvere derivater.

19. 28 Alexander:

    Jeg vil præcisere, hvor jeg ser fordelen ved den formel, jeg foreslog. Det kræver ikke den ikke helt naturlige opdeling af tal i par af cifre, som erfaringsmæssigt ofte udføres med fejl. Dens betydning er indlysende, men for en person, der er fortrolig med analyse, er den triviel. Fungerer godt på tal fra 100 til 1000, det mest almindelige i skolen.

20. 29 Alexander:

    Forresten gravede jeg lidt og fandt det nøjagtige udtryk for A3 i min formel:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    I vores tid, den udbredte brug af computerteknologi, er spørgsmålet om at udtrække en firkantet hest fra et antal fra et praktisk synspunkt ikke det værd. Men for elskere af matematik er selvfølgelig forskellige muligheder for at løse dette problem af interesse. I skolepensum bør metoden til denne beregning uden at tiltrække yderligere midler foregå på linje med multiplikation og division i en kolonne. Beregningsalgoritmen skal ikke kun huskes, men også forståelig. Den klassiske metode, der er tilvejebragt i dette materiale til diskussion med afsløringen af ​​essensen, opfylder fuldt ud ovenstående kriterier.
    En væsentlig ulempe ved metoden foreslået af Alexander er brugen af ​​en tabel med kvadrater af heltal. Med hvilket flertal af de tal, man støder på i skoleforløbet, det er begrænset, er forfatteren tavs. Med hensyn til formlen imponerer den mig i det hele taget i lyset af den relativt høje nøjagtighed af beregningen.

22. 31 Alexander:

    for 30 vasil stryzhak
    Jeg savnede ikke noget. Tabellen med kvadrater skal være op til 1000. I min tid på skolen lærte de den simpelthen udenad i skolen, og den stod i alle matematikbøger. Jeg navngav udtrykkeligt dette interval.
    Hvad angår computerteknologi, bruges den ikke hovedsageligt i matematiktimerne, medmindre der er et særligt emne om at bruge en lommeregner. Lommeregnere er nu indbygget i enheder, der er forbudt at bruge til eksamen.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, tak for afklaringen! Jeg troede, at for den foreslåede metode er det teoretisk nødvendigt at huske eller bruge tabellen med kvadrater af alle to-cifrede tal. Derefter kan du bruge radikale tal, der ikke er inkluderet i intervallet fra 100 til 10.000, metoden til at øge eller mindske dem med det nødvendige antal ordrer ved at flytte kommaet.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MIT FØRSTE PROGRAM PÅ SPROGET "YAMB" PÅ DEN SOVJETISKE MASKIN "ISKRA 555" BLEV SKREVET FOR AT UDTREKKE KVADRATRODEN FRA ET TAL I HENHOLD TIL UDDRAGELSEN TIL EN KOLONNE-ALGORITME! og nu har jeg glemt, hvordan man udpakker det manuelt!