VINKEL MELLEM FLY

Betragt to planer α 1 og α 2, defineret af henholdsvis ligningerne:

Under vinkel mellem to planer vil vi forstå en af ​​de dihedriske vinkler dannet af disse planer. Det er indlysende, at vinklen mellem normalvektorerne og planerne α 1 og α 2 er lig med en af ​​de angivne tilstødende dihedrale vinkler eller . Derfor . Fordi Og , At

.

Eksempel. Bestem vinklen mellem planer x+2y-3z+4=0 og 2 x+3y+z+8=0.

Betingelse for parallelitet af to planer.

To planer α 1 og α 2 er parallelle, hvis og kun hvis deres normalvektorer er parallelle, og derfor .

Så to planer er parallelle med hinanden, hvis og kun hvis koefficienterne for de tilsvarende koordinater er proportionale:

eller

Betingelse for vinkelrethed af planer.

Det er klart, at to planer er vinkelrette, hvis og kun hvis deres normale vektorer er vinkelrette, og derfor eller .

Dermed, .

Eksempler.

LIGE I RUMMET.

VEKTORLIGNING FOR EN LINJE.

PARAMETRISKE DIREKTE LIGNINGER

Positionen af ​​en linje i rummet bestemmes fuldstændigt ved at angive et hvilket som helst af dets fikspunkter M 1 og en vektor parallel med denne linje.

En vektor parallel med en linje kaldes guider vektor af denne linje.

Så lad den lige linje l går gennem et punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1), liggende på en linje parallel med vektoren.

Overvej et vilkårligt punkt M(x,y,z) på en lige linje. Det fremgår tydeligt af figuren .

Vektorer og er collineære, så der er sådan et tal t, hvad , hvor er multiplikatoren t kan tage enhver numerisk værdi afhængigt af punktets position M på en lige linje. Faktor t kaldet en parameter. Efter at have udpeget radiusvektorerne for punkter M 1 og M henholdsvis gennem og , vi opnår . Denne ligning kaldes vektor ligning af en ret linje. Det viser det for hver parameterværdi t svarer til radiusvektoren for et punkt M, liggende på en lige linje.

Lad os skrive denne ligning i koordinatform. Læg mærke til det , og herfra

De resulterende ligninger kaldes parametrisk ligninger af en ret linje.

Ved ændring af en parameter t koordinater ændres x, y Og z og periode M bevæger sig i en lige linje.

DIREKTETS KANONISKE LIGNINGER

Lade M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – et punkt, der ligger på en lige linje l, Og er dens retningsvektor. Lad os igen tage et vilkårligt punkt på linjen M(x,y,z) og overvej vektoren.

Det er klart, at vektorerne også er kollineære, så deres tilsvarende koordinater skal være proportionale, derfor

– kanonisk ligninger af en ret linje.

Note 1. Bemærk, at linjens kanoniske ligninger kunne opnås fra de parametriske ved at eliminere parameteren t. Faktisk ud fra de parametriske ligninger, vi får eller .

Eksempel. Skriv linjens ligning ned i parametrisk form.

Lad os betegne , herfra x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Note 2. Lad den rette linje være vinkelret på en af ​​koordinatakserne, for eksempel aksen Okse. Så er linjens retningsvektor vinkelret Okse, derfor, m=0. Følgelig vil linjens parametriske ligninger antage formen

Udelukker parameteren fra ligningerne t, får vi linjens ligninger i formen

Men også i dette tilfælde er vi enige om formelt at skrive kanoniske ligninger lige i formen . Så hvis nævneren for en af ​​brøkerne er nul, betyder det, at den rette linje er vinkelret på den tilsvarende koordinatakse.

Svarende til de kanoniske ligninger svarer til en ret linje vinkelret på akserne Okse Og Åh eller parallelt med aksen Oz.

Eksempler.

GENERELLE LIGNINGER AF EN LIGE LINJE SOM Skæringslinier af to planer

Gennem hver lige linje i rummet er der utallige planer. Hvilke som helst to af dem, der krydser hinanden, definerer det i rummet. Som følge heraf repræsenterer ligningerne for alle to sådanne planer, betragtet sammen, ligningerne for denne linje.

Generelt er to ikke det parallelle planer, givet ved generelle ligninger

bestemme den rette linje i deres skæringspunkt. Disse ligninger kaldes generelle ligninger lige.

Eksempler.

Konstruer en linje givet ved ligningerne

For at konstruere en lige linje er det nok at finde to af dens punkter. Den nemmeste måde er at vælge skæringspunkterne for en lige linje med koordinatplaner. For eksempel skæringspunktet med planet xOy vi får ud fra ligningerne for den rette linje, forudsat z= 0:

Efter at have løst dette system, finder vi pointen M 1 (1;2;0).

Tilsvarende, forudsat y= 0, får vi skæringspunktet for linjen med planet xOz:

Fra de generelle ligninger for en ret linje kan man gå videre til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For at gøre dette skal du finde et punkt M 1 på en ret linje og retningsvektoren for en ret linje.

Punktkoordinater M 1 får vi fra dette ligningssystem, hvilket giver en af ​​koordinaterne en vilkårlig værdi. For at finde retningsvektoren skal du bemærke, at denne vektor skal være vinkelret på begge normalvektorer Og . Derfor ud over retningsvektoren for den lige linje l du kan tage det vektor produkt normale vektorer:

.

Eksempel. Giv generelle ligninger for linjen til den kanoniske form.

Lad os finde et punkt, der ligger på en linje. For at gøre dette vælger vi vilkårligt en af ​​koordinaterne, f.eks. y= 0 og løs ligningssystemet:

Normalvektorerne for de planer, der definerer linjen, har koordinater Derfor vil retningsvektoren være lige

. Derfor, l: .

VINKEL MELLEM LIGEREDE

Vinkel mellem rette linjer i rummet vil vi kalde enhver af de tilstødende vinkler dannet af to rette linjer trukket gennem et vilkårligt punkt parallelt med dataene.

Lad to linjer angives i rummet:

Det er klart, at vinklen φ mellem rette linjer kan tages som vinklen mellem deres retningsvektorer og . Siden , så ved hjælp af formlen for cosinus af vinklen mellem vektorer får vi

Vinkel mellem rette linjer i rummet vil vi kalde enhver af de tilstødende vinkler dannet af to rette linjer trukket gennem et vilkårligt punkt parallelt med dataene.

Lad to linjer angives i rummet:

Det er klart, at vinklen φ mellem rette linjer kan tages som vinklen mellem deres retningsvektorer og . Siden , så ved hjælp af formlen for cosinus af vinklen mellem vektorer får vi

Betingelserne for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer svarer til betingelserne for parallelitet og vinkelrethed af deres retningsvektorer og:

To lige parallel hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, dvs. l 1 parallel l 2 hvis og kun hvis parallelt .

To lige vinkelret hvis og kun hvis summen af ​​produkterne af de tilsvarende koefficienter er lig med nul: .

U mål mellem linje og fly

Lad det være lige d- ikke vinkelret på θ-planet;
d′− projektion af en linje d til θ-planet;
Den mindste vinkel mellem rette linjer d Og d"Vi ringer vinkel mellem en ret linje og et plan.
Lad os betegne det som φ=( d,θ)
Hvis d⊥θ, derefter ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:

θ: Økse+Ved+Cz+D=0

Vi antager, at den rette linje er defineret af et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så er det tilbage at finde ud af vinklen mellem vektorerne n→ og s→, lad os betegne det som γ=( n→,s→).

Hvis vinklen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Hvis vinklen er γ>π/2, så er den ønskede vinkel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Derefter, vinkel mellem ret linje og plan kan beregnes ved hjælp af formlen:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Spørgsmål 29. Begrebet kvadratisk form. Tegnbestemthed af kvadratiske former.

Kvadratisk form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle variable x 1, x 2, …, x n kaldes summen af ​​formen
, (1)

Hvor en ij – nogle tal kaldet koefficienter. Uden tab af almenhed kan vi antage det en ij = en ji.

Den kvadratiske form kaldes gyldig, Hvis en ij Î GR. Matrix af kvadratisk form kaldes en matrix, der består af dens koefficienter. Den kvadratiske form (1) svarer til den eneste symmetriske matrix
Det er A T = A. Følgelig kan den kvadratiske form (1) skrives i matrixform j ( x) = x T Ah, Hvor x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

Og omvendt svarer hver symmetrisk matrix (2) til en unik kvadratisk form op til notationen af ​​variable.

Rang af kvadratisk form kaldes rangen af ​​dens matrix. Den kvadratiske form kaldes ikke-degenereret, hvis dens matrix er ikke-singular EN. (husk på, at matrixen EN kaldes ikke-degenereret, hvis dens determinant ikke er lig med nul). Ellers er den kvadratiske form degenereret.

positiv bestemt(eller strengt taget positiv) hvis

j ( x) > 0 , for enhver x = (x 1 , x 2 , …, x n), undtagen x = (0, 0, …, 0).

Matrix EN positiv bestemt andengradsform j ( x) kaldes også positiv bestemt. Derfor svarer en positiv bestemt kvadratisk form til en unik positiv bestemt matrix og omvendt.

Den kvadratiske form (1) kaldes negativt defineret(eller strengt negativ) hvis

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), undtagen x = (0, 0, …, 0).

På samme måde som ovenfor kaldes en matrix af negativ bestemt kvadratisk form også negativ bestemt.

Følgelig vil den positive (negative) bestemte andengradsform j ( x) når minimum (maksimum) værdi j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Noter det mest af kvadratiske former er ikke tegnbestemte, det vil sige, at de hverken er positive eller negative. Sådanne kvadratiske former forsvinder ikke kun ved oprindelsen af ​​koordinatsystemet, men også på andre punkter.

Hvornår n> 2, kræves særlige kriterier for at kontrollere fortegn på en kvadratisk form. Lad os se på dem.

Større mindreårige andengradsform kaldes mindreårige:

det vil sige, disse er mindreårige af størrelsesordenen 1, 2, ..., n matricer EN, placeret i øverste venstre hjørne, falder den sidste af dem sammen med matrixens determinant EN.

Positivt bestemthedskriterium (Sylvester-kriterium)

x) = x T Ah var positiv bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at alle større mindreårige i matrixen EN var positive, dvs. M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negativt sikkerhedskriterium For at den kvadratiske form j ( x) = x T Ah var negativ bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens primære mindreårige af lige orden er positive og af ulige orden - negative, dvs. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Dette materiale er afsat til et sådant koncept som vinklen mellem to skærende linjer. I det første afsnit vil vi forklare, hvad det er og vise det i illustrationer. Derefter vil vi se på de måder, hvorpå du kan finde sinus, cosinus for denne vinkel og selve vinklen (vi vil separat overveje tilfælde med et plan og tredimensionelt rum), vi vil give de nødvendige formler og vise med eksempler nøjagtigt hvordan de bruges i praksis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

For at forstå, hvad den vinkel, der dannes, når to linjer skærer hinanden, er, skal vi huske selve definitionen af ​​vinkel, vinkelrethed og skæringspunkt.

Definition 1

Vi kalder to linjer, der skærer hinanden, hvis de har ét fælles punkt. Dette punkt kaldes skæringspunktet mellem to linjer.

Hver lige linje er opdelt af et skæringspunkt i stråler. Begge rette linjer danner 4 vinkler, hvoraf to er lodrette, og to er tilstødende. Hvis vi kender målet for en af ​​dem, så kan vi bestemme de resterende.

Lad os sige, at vi ved, at en af ​​vinklerne er lig med α. I dette tilfælde vil den vinkel, der er lodret i forhold til den, også være lig med α. For at finde de resterende vinkler skal vi beregne forskellen 180 ° - α. Hvis α er lig med 90 grader, vil alle vinkler være rette vinkler. Linjer, der skærer i rette vinkler, kaldes vinkelrette (en separat artikel er afsat til begrebet vinkelrethed).

Tag et kig på billedet:

Lad os gå videre til at formulere hoveddefinitionen.

Definition 2

Vinklen dannet af to skærende linjer er målet for den mindste af de 4 vinkler, der danner disse to linjer.

En vigtig konklusion må drages af definitionen: størrelsen af ​​vinklen i dette tilfælde vil blive udtrykt ved et hvilket som helst reelt tal i intervallet (0, 90]. Hvis linjerne er vinkelrette, så vil vinklen mellem dem under alle omstændigheder være lig med 90 grader.

Evnen til at finde målet for vinklen mellem to skærende linjer er nyttig til at løse mange praktiske problemer. Løsningsmetoden kan vælges blandt flere muligheder.

Til at begynde med kan vi tage geometriske metoder. Hvis vi ved noget om supplerende vinkler, så kan vi relatere dem til den vinkel, vi har brug for, ved at bruge egenskaberne for ens eller lignende figurer. For eksempel, hvis vi kender siderne i en trekant og skal beregne vinklen mellem de linjer, som disse sider er placeret på, så er cosinussætningen egnet til vores løsning. Hvis vi har tilstanden retvinklet trekant, så vil vi til beregninger også have brug for viden om sinus, cosinus og tangens af en vinkel.

Koordinatmetoden er også meget praktisk til at løse problemer af denne type. Lad os forklare, hvordan du bruger det korrekt.

Vi har et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem O x y, hvor der er givet to rette linjer. Lad os betegne dem med bogstaverne a og b. De rette linjer kan beskrives ved hjælp af nogle ligninger. De oprindelige linjer har et skæringspunkt M. Hvordan bestemmer man den nødvendige vinkel (lad os betegne den α) mellem disse lige linjer?

Lad os starte med at formulere det grundlæggende princip om at finde en vinkel under givne forhold.

Vi ved, at begrebet en ret linje er tæt forbundet med begreber som en retningsvektor og en normalvektor. Hvis vi har en ligning for en bestemt linje, kan vi tage koordinaterne for disse vektorer fra den. Vi kan gøre dette for to skærende linjer på én gang.

Vinklen underspændt af to skærende linjer kan findes ved hjælp af:

• vinkel mellem retningsvektorer;
• vinkel mellem normale vektorer;
• vinklen mellem den ene linjes normalvektor og den andens retningsvektor.

Lad os nu se på hver metode separat.

1. Lad os antage, at vi har en linje a med en retningsvektor a → = (a x, a y) og en linje b med en retningsvektor b → (b x, b y). Lad os nu plotte to vektorer a → og b → fra skæringspunktet. Herefter vil vi se, at de vil være placeret på hver deres lige linje. Så har vi fire muligheder for deres relative arrangement. Se illustration:

Hvis vinklen mellem to vektorer ikke er stump, så vil det være den vinkel, vi skal bruge mellem de skærende linjer a og b. Hvis den er stump, vil den ønskede vinkel være lig med vinklen, der støder op til vinklen a →, b → ^. Således er α = a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° og α = 180 ° - a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .

Baseret på, at cosinuserne lige store vinkler er lige, kan vi omskrive de resulterende ligheder som følger: cos α = cos a → , b → ^ , hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, hvis a →, b → ^ > 90 °.

I det andet tilfælde blev reduktionsformler brugt. Dermed,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Lad os skrive den sidste formel med ord:

Definition 3

Cosinus for vinklen dannet af to skærende rette linjer vil være lig med modulet af cosinus af vinklen mellem dens retningsvektorer.

Den generelle form for formlen for cosinus af vinklen mellem to vektorer a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) ser sådan ud:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ud fra det kan vi udlede formlen for cosinus af vinklen mellem to givne rette linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Så kan selve vinklen findes ved hjælp af følgende formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Her er a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) retningsvektorerne for de givne linjer.

Lad os give et eksempel på løsning af problemet.

Eksempel 1

I et rektangulært koordinatsystem på et plan er der givet to skærende linjer a og b. De kan beskrives ved de parametriske ligninger x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R og x 5 = y - 6 - 3. Beregn vinklen mellem disse linjer.

Løsning

Vi har en parametrisk ligning i vores tilstand, hvilket betyder, at vi for denne linje straks kan nedskrive koordinaterne for dens retningsvektor. For at gøre dette skal vi tage værdierne af koefficienterne for parameteren, dvs. den rette linje x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R vil have en retningsvektor a → = (4, 1).

Den anden linje er beskrevet ved hjælp af den kanoniske ligning x 5 = y - 6 - 3. Her kan vi tage koordinaterne fra nævnerne. Denne linje har således en retningsvektor b → = (5, - 3) .

Dernæst går vi direkte til at finde vinklen. For at gøre dette skal du blot erstatte de eksisterende koordinater for de to vektorer i ovenstående formel α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Vi får følgende:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Svar: Disse lige linjer danner en vinkel på 45 grader.

Vi kan løse et lignende problem ved at finde vinklen mellem normale vektorer. Hvis vi har en linje a med en normalvektor n a → = (n a x , n a y) og en linje b med en normalvektor n b → = (n b x , n b y), så vil vinklen mellem dem være lig med vinklen mellem n a → og n b → eller den vinkel, der støder op til n a → , n b → ^ . Denne metode er vist på billedet:

Formler til beregning af cosinus af vinklen mellem skærende linjer og denne vinkel selv ved hjælp af koordinaterne for normale vektorer ser sådan ud:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a n n 2 y 2

Her betegner n a → og n b → normalvektorerne for to givne linjer.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er to rette linjer angivet ved hjælp af ligningerne 3 x + 5 y - 30 = 0 og x + 4 y - 17 = 0. Find sinus og cosinus for vinklen mellem dem og størrelsen af ​​denne vinkel selv.

Løsning

De oprindelige linjer er specificeret ved hjælp af normale linjeligninger på formen A x + B y + C = 0. Vi betegner normalvektoren som n → = (A, B). Lad os finde koordinaterne for den første normalvektor for en linje og skrive dem: n a → = (3, 5) . For den anden linje x + 4 y - 17 = 0, vil normalvektoren have koordinater n b → = (1, 4). Lad os nu tilføje de opnåede værdier til formlen og beregne totalen:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Hvis vi kender cosinus af en vinkel, så kan vi beregne dens sinus ved hjælp af det grundlæggende trigonometrisk identitet. Da vinklen α dannet af rette linjer ikke er stump, så er sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

I dette tilfælde er α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Svar: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Lad os analysere det sidste tilfælde - at finde vinklen mellem rette linjer, hvis vi kender koordinaterne for retningsvektoren for en ret linje og normalvektoren for den anden.

Lad os antage, at den rette linje a har en retningsvektor a → = (a x , a y) , og den rette linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi er nødt til at sætte disse vektorer til side fra skæringspunktet og overveje alle muligheder for deres relative positioner. Se på billedet:

Hvis vinklen mellem de givne vektorer ikke er mere end 90 grader, viser det sig, at den vil komplementere vinklen mellem a og b til en ret vinkel.

a → , n b → ^ = 90 ° - α hvis a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Hvis det er mindre end 90 grader, får vi følgende:

a → , n b → ^ > 90 ° , derefter a → , n b → ^ = 90 ° + α

Ved at bruge reglen om lighed af cosinus af lige vinkler skriver vi:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α for a → , n b → ^ > 90 ° .

Dermed,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Lad os formulere en konklusion.

Definition 4

For at finde sinus af vinklen mellem to linjer, der skærer hinanden på et plan, skal du beregne modulet for cosinus af vinklen mellem retningsvektoren for den første linje og normalvektoren for den anden.

Lad os skrive de nødvendige formler ned. Find sinus af en vinkel:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Find selve vinklen:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Her er a → retningsvektoren for den første linje, og n b → er normalvektoren for den anden.

Eksempel 3

To skærende linjer er givet ved ligningerne x - 5 = y - 6 3 og x + 4 y - 17 = 0. Find skæringsvinklen.

Løsning

Vi tager koordinaterne for guiden og normalvektoren fra de givne ligninger. Det viser sig a → = (- 5, 3) og n → b = (1, 4). Vi tager formlen α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 og beregner:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Bemærk venligst, at vi tog ligningerne fra den forrige opgave og opnåede nøjagtig det samme resultat, men på en anden måde.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Lad os præsentere en anden måde at finde den ønskede vinkel ved hjælp af vinkelkoefficienterne for givne rette linjer.

Vi har en linje a, som er defineret i et rektangulært koordinatsystem ved hjælp af ligningen y = k 1 x + b 1, og en linje b, defineret som y = k 2 x + b 2. Disse er ligninger af lige linjer med hældninger. For at finde skæringsvinklen bruger vi formlen:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, hvor k 1 og k 2 er hældningerne af de givne linjer. For at opnå denne registrering blev formler til bestemmelse af vinklen gennem koordinaterne af normale vektorer brugt.

Eksempel 4

Der er to linjer, der skærer hinanden i en plan, givet ved ligningerne y = - 3 5 x + 6 og y = - 1 4 x + 17 4. Beregn værdien af ​​skæringsvinklen.

Løsning

Vinkelkoefficienterne for vores linjer er lig med k 1 = - 3 5 og k 2 = - 1 4. Lad os tilføje dem til formlen α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 og beregne:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I konklusionerne af dette afsnit skal det bemærkes, at formlerne til at finde vinklen, der er givet her, ikke skal læres udenad. For at gøre dette er det nok at kende koordinaterne for guiderne og/eller normalvektorerne for givne linjer og være i stand til at bestemme dem vha. forskellige typer ligninger. Men det er bedre at huske eller skrive ned formlerne til beregning af cosinus af en vinkel.

Hvordan man beregner vinklen mellem skærende linjer i rummet

Beregningen af ​​en sådan vinkel kan reduceres til at beregne koordinaterne for retningsvektorerne og bestemme størrelsen af ​​den vinkel, der dannes af disse vektorer. For sådanne eksempler bruges den samme begrundelse, som vi gav før.

Lad os antage, at vi har et rektangulært koordinatsystem placeret i tredimensionelt rum. Den indeholder to lige linjer a og b med et skæringspunkt M. For at beregne koordinaterne for retningsvektorerne skal vi kende ligningerne for disse linjer. Lad os betegne retningsvektorerne a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . For at beregne cosinus af vinklen mellem dem bruger vi formlen:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

For at finde selve vinklen har vi brug for denne formel:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Eksempel 5

Vi har en linje defineret i tredimensionelt rum ved hjælp af ligningen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Det er kendt, at det skærer Oz-aksen. Beregn skæringsvinklen og cosinus for denne vinkel.

Løsning

Lad os betegne den vinkel, der skal beregnes, med bogstavet α. Lad os nedskrive koordinaterne for retningsvektoren for den første rette linje – a → = (1, - 3, - 2) . For den anvendte akse kan vi tage koordinatvektoren k → = (0, 0, 1) som en guide. Vi har modtaget de nødvendige data og kan tilføje dem til den ønskede formel:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som et resultat fandt vi ud af, at den vinkel, vi har brug for, vil være lig med a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Lad rette linjer gives i rummet l Og m. Gennem et punkt A i rummet tegner vi lige linjer l 1 || l Og m 1 || m(Fig. 138).

Bemærk, at punkt A især kan vælges vilkårligt, det kan ligge på en af ​​disse linjer. Hvis lige l Og m skærer hinanden, så kan A tages som skæringspunktet for disse linjer ( l 1 = l Og m 1 = m).

Vinkel mellem ikke-parallelle linjer l Og m er værdien af ​​den mindste af tilstødende vinkler dannet af skærende linjer l 1 Og m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Vinklen mellem parallelle linjer anses for lig med nul.

Vinkel mellem lige linjer l Og m angivet med \(\widehat((l;m))\). Af definitionen følger, at hvis det måles i grader, så 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, og hvis i radianer, så 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Opgave. Givet en terning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Find vinklen mellem rette linjer AB og DC 1.

Lige linjer AB og DC 1 krydser. Da lige linje DC er parallel med ret linje AB, er vinklen mellem rette linier AB og DC 1 ifølge definition lig med \(\widehat(C_(1)DC)\).

Derfor er \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkte l Og m hedder vinkelret, hvis \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. For eksempel i en terning

Beregning af vinklen mellem rette linjer.

Problemet med at beregne vinklen mellem to rette linjer i rummet løses på samme måde som i et plan. Lad os betegne med φ størrelsen af ​​vinklen mellem linjerne l 1 Og l 2, og gennem ψ - størrelsen af ​​vinklen mellem retningsvektorerne EN Og b disse lige linjer.

Så hvis

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. Det er klart, at i begge tilfælde er ligheden cos φ = |cos ψ| sand. Ifølge formlen (cosinus af vinklen mellem ikke-nul vektorer a og b er lig med skalarproduktet af disse vektorer divideret med produktet af deres længder) har vi

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

derfor,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Lad linjerne være givet ved deres kanoniske ligninger

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Og \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Derefter bestemmes vinklen φ mellem linjerne ved hjælp af formlen

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Hvis en af ​​linjerne (eller begge) er givet af ikke-kanoniske ligninger, skal du for at beregne vinklen finde koordinaterne for retningsvektorerne for disse linjer og derefter bruge formel (1).

Opgave 1. Beregn vinklen mellem linjer

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;og\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Retningsvektorer af rette linjer har koordinater:

a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Ved hjælp af formel (1) finder vi

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Derfor er vinklen mellem disse linjer 60°.

Opgave 2. Beregn vinklen mellem linjer

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) og \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases)$$

Bag guidevektoren EN På den første linje tager vi vektorproduktet af normale vektorer n 1 = (3; 0; -12) og n 2 = (1; 1; -3) planer, der definerer denne linje. Ved at bruge formlen \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) får vi

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

På samme måde finder vi retningsvektoren for den anden rette linje:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Men ved hjælp af formel (1) beregner vi cosinus for den ønskede vinkel:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Derfor er vinklen mellem disse linjer 90°.

Opgave 3. I den trekantede pyramide MABC er kanterne MA, MB og MC indbyrdes vinkelrette (fig. 207);

deres længder er henholdsvis 4, 3, 6. Punkt D er den midterste [MA]. Find vinklen φ mellem linjerne CA og DB.

Lad CA og DB være retningsvektorerne for rette linjer CA og DB.

Lad os tage punkt M som oprindelsen af ​​koordinater. Ved ligningens betingelse har vi A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Derfor \(\overhøjrepil(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overhøjrepil(DB)\)= (-2; 0; 3). Lad os bruge formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Ved hjælp af cosinustabellen finder vi, at vinklen mellem rette linjer CA og DB er ca. 72°.

Hvis vi på en ret linje i rummet markerer to vilkårlige punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), så skal koordinaterne for disse punkter opfylde den retlinjede ligning opnået ovenfor:

Derudover kan vi for punkt M 1 skrive:

.

Løser vi disse ligninger sammen får vi:

.

Dette er ligningen for en linje, der går gennem to punkter i rummet.

Generelle ligninger for en ret linje i rummet.

Ligningen for en ret linje kan betragtes som ligningen for skæringslinjen mellem to planer.

Generelle ligninger for en ret linje i koordinatform:

Den praktiske opgave er ofte at reducere ligningerne for lige linjer til generel opfattelse til den kanoniske form.

For at gøre dette skal du finde et vilkårligt punkt på linjen og tallene m, n, s.

I dette tilfælde kan den rette linjes retningsvektor findes som vektorproduktet af normalvektorerne til de givne planer.

Eksempel. Find den kanoniske ligning, hvis linjen er givet i formen:

For at finde et vilkårligt punkt på en linje tager vi dets koordinat x = 0 og erstatter derefter denne værdi i det givne ligningssystem.

De der. A(0, 2, 1).

Find komponenterne i den rette linjes retningsvektor.

Så linjens kanoniske ligninger:

Eksempel. Bring til kanonisk form ligningen for en linje givet i formen:

For at finde et vilkårligt punkt på en ret linje, som er skæringslinjen for ovenstående planer, tager vi z = 0. Så:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Vi får: A(-1; 3; 0).

Direkte vektor: .

Vinkel mellem fly.

Vinklen mellem to planer i rummet  er relateret til vinklen mellem normalerne til disse planer  1 ved relationen:  =  1 eller  = 180 0 -  1, dvs.

cos = cos 1 .

Lad os bestemme vinklen  1. Det er kendt, at fly kan specificeres ved relationerne:

, Hvor

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Vi finder vinklen mellem normalvektorerne ud fra dem prik produkt:

.

Således findes vinklen mellem planerne ved formlen:

Valget af tegnet for cosinus afhænger af, hvilken vinkel mellem planerne skal findes - spids eller støder op til den stump.

Betingelser for parallelitet og vinkelrethed af planer.

Ud fra formlen opnået ovenfor til at finde vinklen mellem planer, kan man finde betingelserne for parallelitet og vinkelrethed af planer.

For at planerne skal være vinkelrette, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at cosinus for vinklen mellem planerne er lig nul. Denne betingelse er opfyldt, hvis:

Planerne er parallelle, normalvektorerne er kollineære:  . Denne betingelse er opfyldt, hvis: .

Vinklen mellem rette linjer i rummet.

Lad to linjer være givet i rummet. Deres parametriske ligninger er:

Vinklen mellem rette linjer  og vinklen mellem retningsvektorerne  af disse rette linjer er relateret af relationen:  =  1 eller  = 180 0 -  1. Vinklen mellem retningsvektorerne findes ud fra skalarproduktet. Dermed:

.

Betingelser for parallelitet og vinkelrethed af linjer i rummet.

For at to linjer kan være parallelle, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at disse linjers retningsvektorer er kollineære, dvs. deres tilsvarende koordinater var proportionale.