Sakhalin-regionen

"Erhvervsskole nr. 13"

Metodiske instruktioner til selvstændigt arbejde af studerende

Aleksandrovsk-Sakhalinsky

Tilnærmede værdier af mængder og tilnærmelsesfejl: Metode spec. / Komp.

GBOU NPO "Vocational School No. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

Metodiske instruktioner er beregnet til studerende fra alle professioner, der studerer matematikkurset

Formand for MK

Tilnærmet værdi af mængde og tilnærmelsesfejl.

I praksis kender vi næsten aldrig de nøjagtige værdier af mængderne. Ingen vægt, uanset hvor nøjagtig den er, viser vægten nøjagtigt; ethvert termometer viser temperaturen med en eller anden fejl; intet amperemeter kan give nøjagtige aflæsninger af strøm osv. Derudover er vores øje ikke i stand til at aflæse aflæsningerne af måleinstrumenter helt korrekt. Derfor, i stedet for at beskæftige os med de sande værdier af mængder, er vi tvunget til at operere med deres omtrentlige værdier.

Det faktum, at en" er den omtrentlige værdi af tallet -en , er skrevet som følger:

a ≈ a" .

Hvis en en" er en omtrentlig værdi af mængden -en , så forskellen Δ = a-a" hedder tilnærmelsesfejl*.

* Δ - græsk bogstav; læs: delta. Dernæst kommer endnu et græsk bogstav ε (læs: epsilon).

For eksempel, hvis tallet 3.756 erstattes af dets omtrentlige værdi på 3.7, vil fejlen være lig med: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Hvis vi tager 3,8 som en omtrentlig værdi, vil fejlen være lig med: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

I praksis bruges tilnærmelsesfejlen oftest Δ , og den absolutte værdi af denne fejl | Δ |. I det følgende vil vi blot henvise til denne absolutte værdi af fejlen som absolut fejl. Det anses for, at en tilnærmelse er bedre end en anden, hvis den absolutte fejl i den første tilnærmelse er mindre end den absolutte fejl i den anden tilnærmelse. For eksempel er tilnærmelsen 3,8 for tallet 3,756 bedre end tilnærmelsen 3,7, fordi for den første tilnærmelse
|Δ | = | - 0,044| =0,044, og for den anden | Δ | = |0,056| = 0,056.

Nummer en" -en op tilε , hvis den absolutte fejl i denne tilnærmelse er mindre endε :

|a-a" | < ε .

For eksempel er 3,6 en tilnærmelse af 3,671 til inden for 0,1, fordi |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Ligeledes kan -3/2 opfattes som en tilnærmelse af -8/5 til inden for 1/5, da

< -en , derefter en" kaldes den omtrentlige værdi af tallet -en med en ulempe.

Hvis en" > -en , derefter en" kaldes den omtrentlige værdi af tallet -en i overskud.

For eksempel er 3,6 en omtrentlig værdi på 3,671 med en ulempe, da 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Hvis vi i stedet for tal -en og b lægge deres omtrentlige værdier sammen en" og b" , så resultatet a" + b" vil være en omtrentlig værdi af summen a + b . Spørgsmålet opstår: hvordan estimerer man nøjagtigheden af ​​dette resultat, hvis nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen af ​​hvert udtryk er kendt? Løsningen af ​​dette og lignende problemer er baseret på følgende egenskab af den absolutte værdi:

|a + b | < |-en | + |b |.

Den absolutte værdi af summen af ​​to tal overstiger ikke summen af ​​deres absolutte værdier.

Fejl

Forskellen mellem det nøjagtige tal x og dets omtrentlige værdi a kaldes fejlen for dette omtrentlige tal. Hvis det vides, at | | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Forholdet mellem den absolutte fejl og modulet af den omtrentlige værdi kaldes den relative fejl af den omtrentlige værdi. Den relative fejl udtrykkes normalt som en procentdel.

Eksempel. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Virkelig,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Øvelser til selvstændigt arbejde.

1. Med hvilken nøjagtighed kan længder måles med en almindelig lineal?

2. Hvor nøjagtigt er uret?

3. Ved du med hvilken nøjagtighed kropsvægt kan måles på moderne elektriske vægte?

4. a) Hvad er grænserne for antallet -en , hvis dens omtrentlige værdi inden for 0,01 er lig med 0,99?

b) Hvad er grænserne for antallet -en , hvis dens mangelfulde omtrentlige værdi inden for 0,01 er 0,99?

c) Hvad er rækkevidden af ​​tallet? -en , hvis dens omtrentlige værdi med et overskud inden for 0,01 er 0,99?

5 . Hvad er det omtrentlige antal π ≈ 3,1415 er bedre: 3,1 eller 3,2?

6. Kan den omtrentlige værdi af et bestemt tal med en nøjagtighed på 0,01 betragtes som en omtrentlig værdi af det samme tal med en nøjagtighed på 0,1? Og omvendt?

7. På tallinjen, positionen af ​​punktet svarende til tallet -en . Peg på denne linje:

a) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til de omtrentlige værdier af tallet -en med en ulempe med en nøjagtighed på 0,1;

b) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til tallets omtrentlige værdier -en i overskud med en nøjagtighed på 0,1;

c) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til tallets omtrentlige værdier -en med en nøjagtighed på 0,1.

8. I hvilket tilfælde er den absolutte værdi af summen af ​​to tal:

a) mindre end summen af ​​de absolutte værdier af disse tal;

b) er lig med summen af ​​de absolutte værdier af disse tal?

9. Bevis ulighederne:

a) | a-b | < |-en| + |b |; b)* | a - b | > ||-en | - | b ||.

Hvornår optræder lighedstegnet i disse formler?

Litteratur:

1. Sko (grundniveau) 10-11 celler. - M., 2012

2. Bashmakov, 10 celler. Samling af opgaver. - M: Publishing Center "Academy", 2008

3., Mordkovich: Referencematerialer: Bog for studerende.-2. udg.-M.: Enlightenment, 1990

4. Encyklopædisk ordbog over en ung matematiker / Comp. .-M.: Pædagogik, 1989

Emne" ” studeres i 9. klasse flydende. Og studerende udvikler som regel ikke fuldt ud færdighederne i dens beregning.

Men med praktisk anvendelse relativ fejlnummer , såvel som med den absolutte fejl, vi støder på ved hvert trin.

Under reparationsarbejdet målte vi (i centimeter) tykkelsen m tæppe og bredde n nød. Vi fik følgende resultater:

m≈0,8 (nøjagtig til 0,1);

n≈100,0 (nøjagtig til 0,1).

Bemærk, at den absolutte fejl for hver af disse målinger ikke er mere end 0,1.

Dog er 0,1 en solid del af tallet 0,8. Som fornummer 100 repræsenterer en mindre hast. Dette viser, at kvaliteten af ​​den anden måling er meget højere end kvaliteten af ​​den første.

Til at vurdere kvaliteten af ​​målingen bruges relativ fejl af det omtrentlige antal.

Definition.

Relativ fejl af det omtrentlige tal (værdi) er forholdet mellem den absolutte fejl og modulet af den omtrentlige værdi.

Vi blev enige om at udtrykke den relative fejl som en procentdel.

Eksempel 1

Overvej brøken 14,7 og rund den op til heltal. Vi finder også relativ fejl af det omtrentlige antal:

14,7≈15.

For at beregne den relative fejl skal du ud over den omtrentlige værdi som regel også kende den absolutte fejl. Den absolutte fejl er ikke altid kendt. Så beregn umulig. Og i dette tilfælde er det nok at angive et estimat af den relative fejl.

Husk eksemplet, der blev givet i begyndelsen af ​​artiklen. Der var specificerede tykkelsesmål m tæppe og bredde n nød.

Ifølge resultaterne af målinger m≈0,8 med en nøjagtighed på 0,1. Vi kan sige, at den absolutte målefejl ikke er mere end 0,1. Dette betyder, at resultatet af at dividere den absolutte fejl med den omtrentlige værdi (og dette er den relative fejl) er mindre end eller lig med 0,1 / 0,8 = 0,125 = 12,5%.

Den relative tilnærmelsesfejl er således ≤ 12,5 %.

På samme måde beregner vi den relative fejl af møtrikbreddetilnærmelsen; det er ikke mere end 0,1/100 = 0,001 = 0,1 %.

Det siges, at i det første tilfælde blev målingen foretaget med en relativ nøjagtighed på op til 12,5 %, og i det andet tilfælde med en relativ nøjagtighed på op til 0,1 %.

Sammenfatte.

Absolut fejl omtrentlige antal er forskellenmellem det nøjagtige antal x og dens omtrentlige værdi en.

Hvis forskellens modul | x – -en| mindre end nogle D -en, derefter værdien D -en hedder absolut fejl omtrentlige antal -en.

Relativ fejl af det omtrentlige tal er det absolutte fejlforhold D -en til modulet af et tal -en, det erD -en / |-en| =d -en .

Eksempel 2

Overvej den kendte omtrentlige værdi af tallet π≈3.14.

Givet dens værdi med en nøjagtighed på hundrede tusindedele, kan du angive dens fejl 0.00159 ... (det vil hjælpe med at huske cifrene i tallet π )

Den absolutte fejl af tallet π er lig med: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Den relative fejl af tallet π er: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Eksempel 3

Prøv selv at regne ud relativ fejl af det omtrentlige antal √2. Der er flere måder at huske cifrene i kvadratroden af ​​2 på.

1. Tallene er nøjagtige og omtrentlige. De tal, vi møder i praksis, er af to slags. Nogle giver den sande værdi af mængden, andre kun omtrentlige. Den første kaldes eksakt, den anden - omtrentlig. Oftest er det praktisk at bruge et omtrentligt tal i stedet for et nøjagtigt tal, især da det nøjagtige tal i mange tilfælde slet ikke kan findes.

Resultaterne af operationer med tal giver: med omtrentlige tal omtrentlige tal. For eksempel. Under epidemien får 60 % af indbyggerne i Sankt Petersborg influenza. Det er cirka 3 millioner mennesker. med nøjagtige tal nøjagtige tal F.eks. Der er 65 tilskuere til et foredrag om matematik. omtrentlige tal F.eks. Gennemsnitlig kropstemperatur for patienten i løbet af dagen 37.3: morgen: 37.2; dag: 36,8 ; aften 38.

Teorien om omtrentlige beregninger tillader: 1) at kende graden af ​​nøjagtighed af dataene for at vurdere graden af ​​nøjagtighed af resultaterne; 2) tage data med en passende grad af nøjagtighed, tilstrækkelig til at sikre den nødvendige nøjagtighed af resultatet; 3) rationalisere beregningsprocessen, frigør den fra de beregninger, der ikke vil påvirke nøjagtigheden af ​​resultatet.

1) hvis det første (venstre) af de kasserede cifre er mindre end 5, så ændres det sidste resterende ciffer ikke (afrunding nedad); 2) hvis det første kasserede ciffer er større end 5 eller lig med 5, så øges det sidste resterende ciffer med et (runding op). Afrunding: a) til tiendedele 12,34 12,3; b) op til hundrededele 3,2465 3,25; 1038,79. c) op til tusindedele 3,4335 3,434. d) op til tusindvis; Dette tager højde for følgende:

De mængder, der oftest måles i medicin: masse m, længde l, proceshastighed v, tid t, temperatur t, volumen V osv. At måle en fysisk størrelse betyder at sammenligne den med en homogen mængde taget som en enhed. 9 måleenheder for fysiske størrelser: Grundlængde - 1 m - (meter) Tid - 1 s - (sekund) Masse - 1 kg - (kilogram) Produkter Volumen - 1 m³ - (kubikmeter) Hastighed - 1 m/s - (meter pr. sekund)

Præfikser til navnene på enheder: Flere præfikser - øg med 10, 100, 1000 osv. gange g - hekto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometer) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g fald med 10 , 100, 1000 osv. gange d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - milli (× 0,001) 1 dm (decimeter) 1 dm = 0,1 m 1 cm (centimeter) 1 cm = 0,01 m 1 mm (millimeter) 1 mm = 0,001 m

Til diagnosticering, behandling, forebyggelse af sygdomme i medicin bruges forskelligt medicinsk måleudstyr.

Termometer. Først skal du tage højde for de øvre og nedre grænser for måling. Den nedre grænse er minimum, og den øvre grænse er den maksimale målbare værdi. Hvis den forventede værdi af den målte værdi er ukendt, er det bedre at tage enheden med en "margin". For eksempel bør måling af varmt vands temperatur ikke udføres med et gade- eller rumtermometer. Det er bedre at finde en enhed med en øvre grænse på 100 ° C. For det andet skal du forstå, hvor nøjagtigt mængden skal måles. Da målefejlen afhænger af divisionsværdien, vælges et instrument med en lavere divisionsværdi for mere nøjagtige målinger.

Målefejl. For at måle forskellige diagnostiske parametre har du brug for din egen enhed. For eksempel måles længde med en lineal, og temperatur med et termometer. Men linealer, termometre, tonometre og andre enheder er forskellige, så for at måle enhver fysisk mængde, skal du vælge en enhed, der er egnet til denne måling.

Prisen for opdeling af enheden. Temperaturen af ​​den menneskelige krop skal bestemmes nøjagtigt, lægemidler skal administreres i en strengt defineret mængde, derfor er prisen på opdelinger af måleapparatets skala en vigtig egenskab ved hver enhed. Reglen for beregning af enhedens prisopdeling For at beregne prisen på opdelinger af skalaen skal du: a) vælge de to nærmeste digitaliserede streger på skalaen; b) tælle antallet af divisioner mellem dem; c) Divider forskellen i værdier omkring de valgte streger med antallet af divisioner.

Prisen for opdeling af enheden. Divisionsværdi (50-30)/4=5 (ml) Divisionsværdi: (40-20)/10=2 km/t, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 sek.

Bestem prisen for opdeling af enheder: 16

Absolut målefejl. Fejl er bundet til at forekomme i enhver måling. Disse fejl skyldes forskellige faktorer. Alle faktorer kan opdeles i tre dele: fejl forårsaget af ufuldkommenhed af instrumenter; fejl forårsaget af ufuldkommenhed af målemetoder; fejl på grund af påvirkning af tilfældige faktorer, der ikke kan elimineres. Når man måler en værdi, vil man ikke kun vide dens værdi, men også hvor meget denne værdi kan stole på, hvor nøjagtig den er. For at gøre dette er det nødvendigt at vide, hvor meget den sande værdi af en mængde kan afvige fra den målte. Til disse formål introduceres begrebet absolutte og relative fejl.

Absolutte og relative fejl. Den absolutte fejl viser, hvor meget den reelle værdi af en fysisk størrelse afviger fra den målte. Det afhænger af selve enheden (instrumentel fejl) og af måleprocessen (aflæsningsfejl på skalaen). Instrumentfejlen skal angives i instrumentets pas (som regel er det lig med instrumentets skalainddeling). Læsefejlen tages normalt lig med halvdelen af ​​divisionsværdien. Den absolutte fejl af en omtrentlig værdi er forskellen Δ x \u003d | x - x 0 |, hvor x 0 er en omtrentlig værdi, og x er den nøjagtige værdi af den målte værdi, eller nogle gange i stedet for x bruger de A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Absolutte og relative fejl. Eksempel. Det er kendt, at -0,333 er en omtrentlig værdi for -1/3. Så ved definition af absolut fejl Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. I mange praktisk vigtige tilfælde er det umuligt at finde den absolutte fejl i tilnærmelsen på grund af det faktum, at den nøjagtige værdi af mængden er ukendt. Du kan dog angive et positivt tal, som denne absolutte fejl ikke kan være mere. Dette er et hvilket som helst tal h, der opfylder uligheden | ∆x | h Det kaldes den absolutte fejlgrænse.

I dette tilfælde siger de, at værdien af ​​x er cirka op til h lig med x 0. x \u003d x 0 ± h eller x 0 - h x x 0 + h

Absolutte instrumentelle fejl af måleinstrumenter

Estimering af instrumentelle fejl af målte værdier. For de fleste måleinstrumenter er instrumentets fejl lig med dets skalainddeling. Undtagelsen er digitale instrumenter og måleurer. For digitale enheder er fejlen angivet i deres pas og er normalt flere gange højere end enhedens skalainddeling. For pointermåleinstrumenter er fejlen bestemt af deres nøjagtighedsklasse, som er angivet på instrumentets skala, og målegrænsen. Nøjagtighedsklassen er angivet på enhedens skala som et tal, der ikke er omgivet af nogen rammer. For eksempel, i den viste figur, er trykmålerens nøjagtighedsklasse 1,5. Nøjagtighedsklassen viser, hvor mange procent fejlen for enheden er fra grænsen for dens målinger. For en pointer trykmåler er målegrænsen henholdsvis 3 atm, trykmålingsfejlen er 1,5 % af 3 atm, det vil sige 0,045 atm. Det skal bemærkes, at for de fleste pointer-enheder viser deres fejl sig at være lig med enhedens divisionsværdi. Som i vores eksempel, hvor divisionsprisen på barometeret er 0,05 atm.

Absolutte og relative fejl. Absolut fejl er nødvendig for at bestemme det interval, hvori den sande værdi kan falde, men for at vurdere nøjagtigheden af ​​resultatet som helhed er det ikke meget vejledende. Når alt kommer til alt, er måling af en længde på 10 m med en fejl på 1 mm bestemt meget præcis, samtidig er det åbenbart ekstremt unøjagtigt at måle en længde på 2 mm med en fejl på 1 mm. Den absolutte målefejl rundes normalt op til ét signifikant tal ΔA 0,17 0,2. Den numeriske værdi af måleresultatet er afrundet, så dets sidste ciffer er i samme ciffer som fejltallet A=10.332 10.3

Absolutte og relative fejl. Sammen med den absolutte fejl er det sædvanligt at betragte den relative fejl, som er lig med forholdet mellem den absolutte fejl og værdien af ​​selve mængden. Den relative fejl af et tilnærmet tal er forholdet mellem den absolutte fejl af et tilnærmet tal og dette tal selv: E = Δx. 100 % x 0 Den relative fejl viser, hvor mange procent af selve værdien en fejl kan forekomme og er vejledende ved vurdering af kvaliteten af ​​forsøgsresultaterne.

Eksempel. Ved måling af kapillærens længde og diameter blev l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm opnået. Hvilken af ​​disse målinger er mere nøjagtig? Ved måling af kapillærens længde tillades en absolut fejl på 10 mm pr. 100 mm, derfor er den absolutte fejl 10/100=0,1=10%. Ved måling af kapillardiameteren er den tilladte absolutte fejl 0,1/2,5=0,04=4% Derfor er målingen af ​​kapillærdiameteren mere nøjagtig.

I mange tilfælde kan der ikke findes nogen absolut fejl. Derfor den relative fejl. Men du kan finde grænsen for den relative fejl. Ethvert tal δ, der opfylder uligheden | ∆x | / | x o | δ, er grænsen for den relative fejl. Især hvis h er den absolutte fejlgrænse, så er tallet δ= h/| x o |, er grænsen for den relative fejl af tilnærmelsen x o. Herfra. At kende grænsen rel.p-i. δ, kan man finde grænsen for den absolutte fejl h. h=δ | x o |

Eksempel. Det er kendt, at 2=1,41... Find den relative nøjagtighed af den omtrentlige lighed eller grænsen for den relative fejl af den omtrentlige lighed 2 1,41. Her x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Naturligvis 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, Absolut fejlgrænse er 0,01, relativ fejlgrænse er 1/141

Eksempel. Når du aflæser aflæsningen fra skalaen, er det vigtigt, at dit blik falder vinkelret på instrumentets skala, mens fejlen bliver mindre. For at bestemme termometerstanden: 1. Bestem antallet af divisioner, 2. gang dem med divisionsprisen 3. tag højde for fejlen 4. skriv det endelige resultat ned. t = 20 °C ± 1,5 °C Det betyder, at temperaturen ligger mellem 18,5° og 21,5°. Det vil sige, at det for eksempel kan være 19, og 20 og 21 grader celsius. For at øge nøjagtigheden af ​​målingerne er det sædvanligt at gentage dem mindst tre gange og beregne gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Måleresultater C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33,5 C 5 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33,5 C 5 \u003d 5 \u003d 3d \u003d 1's gennemsnitsværdien af ​​c 4' 5 + 4 c 4 + 5'. 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Find værdiens afvigelse fra gennemsnitsværdien Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Find den absolutte fejl Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Find den relative fejl δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100 % = 0,9 % e) Skriv det endelige svar ned c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

LEKTIONER Forbered dig på en praktisk lektion baseret på forelæsningsmaterialer. Udfør en opgave. Find middelværdien og fejlen: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Lav oplæg om emnerne: "Afrunding af værdier i medicin", "Målefejl", "Medicinsk måleudstyr"

For moderne problemer er det nødvendigt at bruge et komplekst matematisk apparat og udviklede metoder til at løse dem. I dette tilfælde støder man ofte på problemer, hvor den analytiske løsning, dvs. en løsning i form af et analytisk udtryk, der forbinder de indledende data med de nødvendige resultater, er enten umuligt overhovedet, eller er udtrykt i så besværlige formler, at det er upraktisk at bruge dem til praktiske formål.

I dette tilfælde anvendes numeriske løsningsmetoder, som gør det muligt ganske enkelt at få en numerisk løsning på problemet. Numeriske metoder implementeres ved hjælp af beregningsalgoritmer.

Hele rækken af ​​numeriske metoder er opdelt i to grupper:

Præcis - de antager, at hvis beregningerne udføres nøjagtigt, kan de nøjagtige værdier af de ønskede mængder opnås ved hjælp af et begrænset antal aritmetiske og logiske operationer.

Tilnærmet - som, selv under den antagelse, at beregningerne udføres uden afrunding, giver dig mulighed for kun at opnå en løsning på problemet med en given nøjagtighed.

1. værdi og antal. En mængde er noget, der kan udtrykkes som et tal i bestemte enheder.

Når de taler om værdien af ​​en mængde, mener de et bestemt tal, kaldet den numeriske værdi af mængden, og dens måleenhed.

Således er en mængde en karakteristik af en egenskab ved et objekt eller et fænomen, som er fælles for mange objekter, men har individuelle værdier for hver af dem.

Værdierne kan være konstante eller variable. Hvis en størrelse under visse forhold kun tager én værdi og ikke kan ændre den, så kaldes den en konstant, men hvis den kan antage forskellige værdier, så kaldes den en variabel. Accelerationen af ​​et legemes frie fald på et givet sted på jordoverfladen er således en konstant værdi, som får en enkelt talværdi g = 9,81 ... m / s2, mens stien s gennemløbes af et materielt punkt i løbet af dens bevægelse er en variabel værdi.

2. omtrentlige værdier af tal. Værdien af ​​mængden, hvis sandhed vi ikke tvivler på, kaldes nøjagtig. Når man leder efter værdien af ​​en mængde, får man dog ofte kun dens omtrentlige værdi. I praksis med beregninger er man ofte nødt til at beskæftige sig med omtrentlige værdier af tal. Så p er et nøjagtigt tal, men på grund af dets irrationalitet kan kun dets omtrentlige værdi bruges.

I mange problemer, på grund af kompleksiteten, og ofte umuligheden af ​​at opnå nøjagtige løsninger, anvendes omtrentlige løsningsmetoder, disse omfatter: omtrentlig løsning af ligninger, interpolation af funktioner, omtrentlig beregning af integraler osv.

Hovedkravet til omtrentlige beregninger er overholdelse af den angivne nøjagtighed af mellemberegninger og det endelige resultat. Samtidig er både en stigning i fejl (fejl) ved uberettiget forgrovning af beregninger og fastholdelse af overflødige tal, der ikke svarer til den faktiske nøjagtighed, ligeså uacceptabelt.

Der er to kategorier af fejl, der stammer fra beregninger og afrunding af tal - absolut og relativ.

1. Absolut fejl (fejl).

Lad os introducere notationen:

Lad A være den nøjagtige værdi af en mængde, Record en »A Vi vil læse "a er omtrent lig med A". Nogle gange vil vi skrive A = a, idet vi husker på, at vi taler om omtrentlig lighed.

Hvis det vides, at en< А, то а называют omtrentlige værdi af A med en ulempe. Hvis a > A, kaldes a den omtrentlige værdi af A overskydende.

Forskellen mellem den nøjagtige og omtrentlige værdi af en mængde kaldes tilnærmelsesfejl og er betegnet med D, dvs.

D \u003d A - a (1)

Fejlen D i tilnærmelsen kan være både positiv og negativ.

For at karakterisere forskellen mellem den omtrentlige værdi af en mængde og den nøjagtige værdi, er det ofte tilstrækkeligt at angive den absolutte værdi af forskellen mellem den nøjagtige og omtrentlige værdi.

Den absolutte værdi af forskellen mellem de omtrentlige -en og præcis MEN talværdier kaldes absolut fejl (fejl) ved tilnærmelse og betegnet med D -en:

D -en = ½ -en – MEN½ (2)

Eksempel 1 Når man måler en linje l brugt en lineal, hvis skaladelingsværdi er 0,5 cm. Vi fik en omtrentlig værdi for længden af ​​segmentet -en= 204 cm.

Det er klart, at de under målingen ikke kunne tage fejl af højst 0,5 cm, dvs. den absolutte målefejl overstiger ikke 0,5 cm.

Normalt er den absolutte fejl ukendt, da den nøjagtige værdi af tallet A er ukendt. Derfor er nogle evaluering absolut fejl:

D -en <= D-en Før. (3)

hvor D Før. – marginal fejl (tal, mere nul), som sættes under hensyntagen til den sikkerhed, hvormed tallet a er kendt.

Den begrænsende absolutte fejl kaldes også fejlmargin. Så i det givne eksempel,
D Før. = 0,5 cm.

Fra (3) får vi: D -en = ½ -en – MEN½<= D-en Før. . og så

-en- D -en Før. ≤ MEN≤ -en+ D -en Før. . (4)

Midler, a-D -en Før. vil være en tilnærmelse MEN med en ulempe og a + D -en Før – omtrentlige værdi MEN i overskud. De bruger også stenografi: MEN= -en±D -en Før (5)

Det følger af definitionen af ​​den begrænsende absolutte fejl, at tallene D -en Før, der opfylder ulighed (3), vil der være et uendeligt sæt. I praksis forsøger vi at vælge muligvis mindre fra nummer D Før, der opfylder uligheden D -en <= D-en Før.

Eksempel 2 Lad os bestemme den begrænsende absolutte fejl af tallet a=3,14, taget som en omtrentlig værdi af tallet π.

Det er kendt, at 3,14<π<3,15. Derfor følger det

|-en – π |< 0,01.

Tallet D kan tages som den begrænsende absolutte fejl -en = 0,01.

Men hvis vi tager det i betragtning 3,14<π<3,142 , så får vi et bedre skøn :D -en= 0,002, så π ≈3,14 ±0,002.

Relativ fejl (fejl). Kun at kende den absolutte fejl er ikke nok til at karakterisere kvaliteten af ​​målingen.

Lad, for eksempel, når du vejer to kroppe, følgende resultater opnås:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Selvom de absolutte målefejl for begge resultater er de samme, vil målekvaliteten i det første tilfælde være bedre end i det andet. Det er karakteriseret ved en relativ fejl.

Relativ fejl (fejl) tal tilnærmelse MEN kaldes det absolutte fejlforhold D a tilnærmelse til den absolutte værdi af tallet A:

Da den nøjagtige værdi af en mængde normalt er ukendt, erstattes den af ​​en omtrentlig værdi og derefter:

Begrænsning af relativ fejl eller grænse for relativ tilnærmelsesfejl, kaldte nummeret d og før.>0, sådan at:

d -en<= d og før.

For den begrænsende relative fejl kan man naturligvis tage forholdet mellem den begrænsende absolutte fejl og den absolutte værdi af den omtrentlige værdi:

Fra (9) opnås let følgende vigtige relation:

∆og før. = |-en| d og før.

Den begrænsende relative fejl udtrykkes normalt som en procentdel:

Eksempel. Grundlaget for naturlige logaritmer til beregningen tages lig med e=2,72. Vi tog den nøjagtige værdi e m = 2,7183. Find de absolutte og relative fejl af et omtrentligt tal.

D e = ½ e – e t½=0,0017;

.

Værdien af ​​den relative fejl forbliver uændret med en proportional ændring i det mest omtrentlige tal og dets absolutte fejl. Så for tallet 634,7, beregnet med en absolut fejl D = 1,3, og for tallet 6347 med en fejl D = 13, er de relative fejl de samme: d= 0,2.

I de fleste tilfælde er numeriske data i problemer omtrentlige. Under problemer kan man også støde på nøjagtige værdier, for eksempel resultaterne af at tælle et lille antal objekter, nogle konstanter osv.

For at angive den omtrentlige værdi af et tal, brug tegnet for omtrentlig lighed; læses således: "ca. ens" (skal ikke læses: "ca. ens").

At finde ud af arten af ​​numeriske data er et vigtigt forberedende skridt til at løse ethvert problem.

Følgende retningslinjer kan hjælpe dig med at genkende de nøjagtige og omtrentlige værdier af tal:

Præcise værdier	Tilnærmede værdier
1. Værdierne af en række konverteringsfaktorer for overgangen fra en måleenhed til en anden (1m \u003d 1000 mm; 1h \u003d 3600 s) Mange konverteringsfaktorer er blevet målt og beregnet med så høj (metrologisk) nøjagtighed at de i praksis nu anses for at være nøjagtige.	1. De fleste af værdierne for matematiske størrelser angivet i tabellerne (rødder, logaritmer, værdier af trigonometriske funktioner, såvel som værdien af ​​antallet og basis af naturlige logaritmer, der anvendes i praksis (antal) e))
2. Skalafaktorer. Hvis man for eksempel ved, at skalaen er 1:10000, så betragtes tallene 1 og 10000 som nøjagtige. Hvis det er angivet, at der er 4 m på 1 cm, så er 1 og 4 de nøjagtige længder	2. Måleresultater. (Nogle grundlæggende konstanter: lysets hastighed i et vakuum, gravitationskonstanten, ladningen og massen af ​​en elektron osv.) Tabelværdier af fysiske størrelser (tæthed af et stof, smelte- og kogepunkter osv.)
3. Takster og priser. (prisen på 1 kWh elektricitet er den nøjagtige værdi af prisen)	3. Designdata er også omtrentlige, fordi de er sat med nogle afvigelser, som er normaliseret af GOST'er. (For eksempel, i henhold til standarden, murstensdimensioner: længde 250 6 mm, bredde 120 4 mm, tykkelse 65 3 mm) Den samme gruppe af omtrentlige tal inkluderer dimensioner taget fra tegningen
4. Betingede værdier af mængder (Eksempler: absolut nultemperatur -273,15 C, normalt atmosfærisk tryk 101325 Pa)
5. Koefficienter og eksponenter fundet i fysiske og matematiske formler (;%; osv.).
6. Vareoptællingsresultater (antal batterier i batteriet; antal mælkekartoner produceret af fabrikken og optalt af den fotoelektriske tæller)
7. Givet værdier af mængder (for eksempel i opgaven "Find svingningsperioderne for penduler 1 og 4 m lange", kan tallene 1 og 4 betragtes som de nøjagtige værdier af længden af pendulet)

Komplet følgende opgaver, skriv svaret i form af en tabel:

1. Angiv hvilke af de givne værdier der er nøjagtige, som er omtrentlige:

1) Densitet af vand (4 C)………..………………………..……………1000kg/m 3

2) Lydens hastighed (0 С)………………………………………………………………….332 m/s

3) Luftens specifik varmekapacitet….………………………………………1,0 kJ/(kg∙K)

4) Vands kogepunkt ………………….……………………………………….100 C

5) Avogadros konstant….………………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1

6) Relativ atommasse af oxygen…………………………………………..16

2. Find nøjagtige og omtrentlige værdier under betingelserne for følgende opgaver:

1) I en dampmaskine oplever en bronzespole, hvis længde og bredde er henholdsvis 200 og 120 mm, et tryk på 12 MPa. Find den kraft, der kræves for at flytte spolen over cylinderens støbejernsoverflade. Friktionskoefficienten er 0,10.

2) Bestem modstanden af ​​glødetråden i den elektriske lampe i henhold til følgende markeringsdata: "220V, 60 W".

3. Hvilke svar - nøjagtige eller omtrentlige - får vi, når vi løser følgende problemer?

1) Hvad er hastigheden af ​​et frit faldende legeme i slutningen af ​​det 15. sekund, i betragtning af det præcise angivne tidsinterval?

2) Hvad er hastigheden af ​​remskiven, hvis dens diameter er 300 mm, rotationshastigheden er 10 rpm? Dataene anses for at være nøjagtige.

3) Bestem kraftmodulet. Skala 1 cm - 50N.

4) Bestem den statiske friktionskoefficient for et legeme placeret på et skråplan, hvis kroppen begynder at glide ensartet langs hældningen ved = 0,675, hvor er hældningsvinklen for planet.