Сахалинской области

«Профессиональное училище № 13»

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Александровск-Сахалинский

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Председатель МК

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

Если а" есть приближенное значение величины а , то разность Δ = а - а" называется погрешностью приближения *.

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ , а абсолютной величиной этой погрешности |Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью . Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ | = | - 0,044| =0,044, а для второго |Δ | = |0,056| = 0,056.

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку

< а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а" и b" , то результат а" + b" будет приближенным значением суммы а + b . Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

|а + b | < |a | + |b |.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Действительно,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Упражнения для самостоятельной работы.

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

2. С какой точностью показывают время часы?

3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?

4. а) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5 . Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?

6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?

7 . На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а . Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

a) |a - b | < |a | + |b |; б)* |а - b | > ||а | - | b ||.

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

Литература:

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

2. Башмаков, 10 кл. Сборник задач. - М: Издательский центр «Академия», 2008

3. , Мордкович:Справочные материалы: Книга для учашихся.-2-е изд.-М.: Просвещение, 1990

4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. .-М.: Педагогика,1989

Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.

А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:

m≈0,8 (с точностью до 0,1);

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.

Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.

Определение.

Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность договорились выражать в процентах.

Пример 1.

Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:

14,7≈15.

Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.

Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.

По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

Подведем итог.

Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .

Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .

Пример 2.

Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.

Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )

Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.

Пример 3.

Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Результаты действий с числами дают: с приближенными числами приближенные числа. Например. Во время эпидемии 60% жителей Санкт-Петербурга болеют гриппом. Это приблизительно 3млн человек. с точными числами точное числа Например. В аудитории на лекции по математике 65 человек. приближенные числа Например. Средняя температура тела пациента в течение дня 37,3: утро: 37,2 ; день:36,8 ; вечер38.

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Округление: а) до десятых 12,34 12,3; б) до сотых 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тысячных 3,4335 3,434. г) до тысяч; При этом учитывают следующее:

Величины, наиболее часто измеряемые в медицине: масса m, длина l, скорость процесса v, время t, температура t, объём V и т.д. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу. 9 Единицы измерения физических величин: О с н о в н ы е Длина - 1 м - (метр) Время - 1 с - (секунда) Масса - 1 кг - (килограмм) П р о и з в о д н ы е Объем - 1 м³ - (метр кубический) Скорость - 1 м/с - (метр в секунду)

Приставки к названиям единиц: Кратные приставки - увеличивают в 10, 100, 1000 и т.д. раз г - гекто (×100) к – кило (× 1000) М – мега (×) 1 км (километр) 1 кг (килограмм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольные приставки – уменьшают в 10, 100, 1000 и т.д. раз д – деци (×0, 1) с – санти (× 0, 01) м – милли (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (миллиметр) 1мм = 0,001 м Кратные приставки используют при измерении больших расстояний, масс, объемов, скоростей и т. п. Дольные приставки используют при измерении малых расстояний, скоростей, масс, объёмов и т.п.

Для диагностики, лечения, профилактики заболеваний в медицине используется различная измерительная медицинская аппаратура.

Термометр. Во-первых, нужно учесть верхний и нижний пределы измерений. Нижний предел – это минимальное, а верхний – максимальное измеряемое значение. Если неизвестно предполагаемое значение измеряемой величины, лучше взять прибор с «запасом». Например, измерение температуры горячей воды не стоит проводить уличным или комнатным термометром. Лучше найти прибор с верхним пределом 100 °С. Во-вторых, нужно понять, насколько точно должна быть измерена величина. Так как погрешность измерений зависит от цены деления, для более точных измерений выбирается прибор с меньшей ценой деления.

Погрешности измерений. Для измерения разных диагностических параметров величин нужен свой прибор. Например, длину измеряют линейкой, а температуру – термометром. Но линейки, термометры, тонометры и другие приборы бывают разными, поэтому чтобы измерить какую- либо физическую величину, нужно выбрать подходящий именно для этого измерения прибор.

Цена деления прибора. Температуру тела человека нужно определять точно, лекарства вводить строго определенное количество,поэтому Цена делений шкалы измерительного прибора – важная характеристика каждого прибора. Правило для вычисления цены деления прибора.. Чтобы подсчитать цену делений шкалы, нужно: а) выбрать на шкале два ближайших оцифрованных штриха; б) сосчитать количество делений между ними; в) разность значений около выбранных штрихов разделить на количество делений.

Цена деления прибора. Цена деления (50-30)/4=5 (мл) Цена деления: (40-20)/10=2 км/ч, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR, (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп, (4-2)/10=0,2 с

Определите цену деления приборов: 16

Абсолютная погрешность измерения. При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три части: ошибки, вызванные несовершенством приборов; ошибки, вызванные несовершенством методов проведения измерений; ошибки обусловленные влиянием случайных факторов, от которых невозможно избавиться. Измеряя какую-либо величину, хочется знать не только её значение, но и то, насколько этому значению можно доверять, насколько оно точно. Для этого необходимо знать, насколько истинное значение величины может отличаться от измеренного. Для этих целей вводится понятие абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность показывает, на сколько реальное значение физической величины отличается от измеренного. Она зависит от самого прибора (инструментальная погрешность) и от процесса измерений (погрешность отсчёта по шкале). Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется разность Δ x = |x – x 0 |, где х 0 - приближенное значение, а х – точное значение измеряемой величины или иногда вместо х употребляют А ΔА = |А – А 0 |.

Абсолютная и относительная погрешности. Пример. Известно, что -0,333 приближенное значение для -1/3. Тогда по определению абсолютной погрешности Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность не может быть. Это любое число h,удовлетворяющее неравенству | Δ x | h Оно называется границей абсолютной погрешности.

В этом случае говорят, что величина х приближенно с точностью до h равна x 0. х=х 0 ± h или х 0 - h х х 0 + h

Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений

Оценка приборных погрешностей измеряемых величин. Для большинства измерительных приборов, погрешность прибора равна цене его деления. Исключение составляют цифровые приборы и стрелочные измерительные приборы. Для цифровых приборов погрешность указывается в их паспорте и обычно в раз превышает цену деления прибора. Для стрелочных измерительных приборов погрешность определяется их классом точности, который указывается на шкале прибора, и пределом измерений. Класс точности указывается на шкале прибора как число, которое не обведено никакими рамками. Например, на приведенном рисунке класс точности манометра равен 1,5. Класс точности показывает, сколько процентов составляет погрешность прибора от предела его измерений. Для стрелочного манометра предел измерений составляет 3 атм, соответственно погрешность измерения давления равна 1,5% от 3 атм, то есть 0,045 атм. Следует отметить, что для большинства стрелочных приборов их погрешность оказывается равной цене деления прибора. Как и в нашем примере, где цена деления барометра равна 0,05 атм.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность нужна для определения диапазона, в который может попасть истинное значение, но для оценки точности результата в целом она не очень показательна. Ведь измерение длины в 10 м с погрешностью в 1 мм безусловно является весьма точным, в то же время измерение длины в 2 мм с погрешностью в 1 мм очевидно является крайне неточным. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры ΔА 0,17 0,2. Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности А=10,332 10,3

Абсолютная и относительная погрешности. Наряду с абсолютной погрешностью принято рассматривать и относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению самой величины. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: Е = Δx. 100% х 0 Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла произойти ошибка и является показательной при оценки качества результатов эксперимента.

Пример. При измерении длины и диаметра капилляра получили l =(10,0 ±0,1)см, d=(2,5 ±0,1)мм. Какое из этих измерений точнее? При измерении длины капилляра допускается абсолютная погрешность 10мм на 100мм следовательно абсолютная погрешность10/100=0,1=10%. При измерении диаметра капилляра допустимая абсолютная погрешность 0,1/2,5=0,04=4% Следовательно измерение диаметра капилляра выполнено точнее.

Во многих случаях нельзя найти абсолютную погрешность. Следовательно и относительную погрешность. Но можно найти границу относительной погрешности. Любое число δ,удовлетворяющее неравенству | Δ x | / | x о | δ,является границей относительной погрешности. В частности, если h–граница абсолютной погрешности, то число δ= h/| x о |, является границей относительной погрешности приближения x о. Отсюда. Зная границу отн.п-и. δ можно найти границу абсолютной погрешности h. h= δ | x о |

Пример. Известно, что 2=1,41… Найти относительную точность приближенного равенства или границу отн.погрешности приближенного равенства 2 1,41. Здесь х = 2, x о = 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x о 0,01/1,41=1/141, Граница абс.погрешности равна 0,01, аграница относительной погрешности равна 1/141

Пример. При считывании показаний со шкалы важно, чтобы ваш взгляд падал перпендикулярно шкале прибора, при этом ошибка будет меньше. Для определения показания термометра: 1.определяем количество делений, 2. умножаем их на цену деления 3. учитываем погрешность 4.записываем окончательный результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Это означает, что температура лежит в пределах от 18,5° до 21,5°. То есть она может быть, например, и 19, и 20 и 21 градусов Цельсия. Чтобы увеличить точность измерений, принято повторить их не менее трёх раз и вычислить среднее значение измеряемой величины

Н А Х О Ж Д Е Н И Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н И Я Результаты измерений С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33,5 С 5 = 54,2 а)Найдем среднее значение четырех величин с ср = (с 1 + с 2 + с 3 + с 4):4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 б)Найдем отклонение величины от среднего значения Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

В)Найдем абсолютную погрешность Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Найдем относительную погрешность δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9 % д) Запишем окончательный ответ с = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Подготовиться к к практическому занятию по материалам лекции. Выполнить задание. Найти среднее значение и погрешность: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Создать презентации по темам: «Округление величин в медицине», «Погрешности измерений», «Медицинская измерительная аппаратура»

Для современных задач необходимо использовать сложный математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто приходится встречаться с задачами, для которых аналитическое решение, т.е. решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов.

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

1. величина и число. Величиной называется то, что в определенных единицах может быть выражено числом.

Когда говорят о значении величины, то имеют в виду некоторое число, называемое числовым значением величины, и единицу ее измерения.

Таким образом, величиной называют характеристику свойства объекта или явления, которая является общей для множества объектов, но имеет индивидуальные значения для каждого из них.

Величины могут быть постоянными и переменными. Если при некоторых условиях величина принимает только одно значение и не может его изменять, то она называется постоянной, если же она может принимать различные значения, то – переменной. Так, ускорение свободного падения тела в данном месте земной поверхности есть величина постоянная, принимающая единственное числовое значение g=9,81… м/с2, в то время как путь s, проходимый материальной точкой при ее движении, – величина переменная.

2. приближенные значения чисел. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называется точным. Часто, однако, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение. В практике вычислений чаще всего приходится иметь дело с приближенными значениями чисел. Так, p – число точное, но вследствие его иррациональности можно пользоваться лишь его приближенным значением.

Во многих задачах из-за сложности, а часто и невозможности получения точных решений применяются приближенные методы решения, к ним относятся: приближенное решение уравнений, интерполирование функций, приближенное вычисление интегралов и др.

Главным требованием к приближенным расчетам является соблюдение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как увеличение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности.

Существуют два класса ошибок, получающихся при вычислениях и округлении чисел – абсолютные и относительные.

1. Абсолютная погрешность (ошибка).

Введем обозначения:

Пусть А – точное значение некоторой величины, Запись а » А будем читать "а приближенно равно А". Иногда будем писать А = а, имея в виду, что речь идет о приближенном равенстве.

Если известно, что а < А, то а называют приближенным значением величины А с недостатком. Если а > А, то а называют приближенным значением величины А с избытком.

Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения и обозначается D, т.е.

D = А – а (1)

Погрешность D приближения может быть как числом положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы охарактеризовать отличие приближенного значения величины от точного, часто бывает достаточно указать абсолютную величину разности точного и приближенного значений.

Абсолютная величина разности между приближенным а и точным А значениями числа называется абсолютной погрешностью (ошибкой) приближения и обозначается D а :

D а = ½а – А ½ (2)

Пример 1. При измерении отрезка l использовали линейку, цена деления шкалы которой равна 0,5 см. Получили приближенное значение длины отрезка а = 204 см.

Понятно, что при измерении могли ошибиться не более, чем на 0,5 см, т.е. абсолютная погрешность измерения не превышает 0,5 см.

Обычно абсолютная ошибка неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки:

D а <= D а пред . (3)

где D а пред . – предельная ошибка (число, большее нуля), задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.

Предельная абсолютная погрешность называется также границей погрешности . Так, в приведенном примере,
D а пред . = 0,5 см.

Из (3) получаем: D а = ½а – А ½<= D а пред . . и тогда

а – D а пред . ≤ А ≤ а + D а пред . . (4)

Значит, а – D а пред . будет приближенным значением А с недостатком, а а + D а пред – приближенным значением А с избытком. Пользуются также краткой записью: А = а ± D а пред (5)

Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству (3), будет бесконечное множество. На практике стараются выбратьвозможно меньшее из чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству D а <= D а пред .

Пример 2. Определим предельную абсолютную погрешность числа а=3,14 , взятого в качестве приближенного значения числа π.

Известно, что 3,14<π<3,15. Отсюда следует, что

|а – π |< 0,01.

За предельную абсолютную погрешность можно принять число D а = 0,01.

Если же учесть, что 3,14<π<3,142 , то получим лучшую оценку: D а = 0,002, тогда π ≈3,14 ±0,002.

Относительная погрешность (ошибка). Знания только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения.

Пусть, например, при взвешивании двух тел получены следующие результаты:

Р 1 = 240,3 ±0,1 г.

Р 2 = 3,8 ±0,1 г.

Хотя абсолютные погрешности измерения обоих результатов одинаковы, качество измерения в первом случае будет лучшим, чем во втором. Оно характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (ошибкой) приближения числа А называется отношение абсолютной ошибки D а приближения к абсолютной величине числа А:

Так, как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением и тогда:

Предельной относительной погрешностью или границей относительной погрешности приближения, называется число d а пред. >0, такое, что:

d а <= d а пред.

За предельную относительную погрешность можно, очевидно, принять отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения:

Из (9) легко получается следующее важное соотношение:

∆ а пред. = |a | d а пред.

Предельную относительную погрешность принято выражать в процентах:

Пример. Основание натуральных логарифмов для расчета принято равным е =2,72. В качестве точного значения взяли е т = 2,7183. Найти абсолютную и относительную ошибки приближенного числа.

D е = ½е – е т ½=0,0017;

.

Величина относительной ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки. Так, у числа 634,7, рассчитанного с абсолютной ошибкой D = 1,3 и у числа 6347 с ошибкой D = 13 относительные ошибки одинаковы: d = 0,2.

В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, например результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.

Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).

Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.

Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:

Точные значения	Приближенные значения
1.Значения ряда переводных множителей перехода от одних единиц измерения к другим (1м = 1000 мм; 1ч = 3600 с) Многие переводные множители измерены и вычислены со столь высокой (метрологической) точностью, что практически их считают сейчас точными.	1. Большинство значений математических величин, заданных в таблицах (корни, логарифмы, значения тригонометрических функций, а также применяемые на практике значение числа и основания натуральных логарифмов (число е))
2.Масштабные множители. Если, например, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считают точными. Если указано, что в 1см – 4 м, то 1 и 4 – точные значения длины	2. Результаты измерений. (Некоторые основные константы: скорость света в вакууме, гравитационная постоянная, заряд и масса электрона и др.) Табличные значения физических величин (плотность вещества, температуры плавления и кипения и др.)
3.Тарифы и цены. (стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии – точное значение цены)	3. Проектные данные также являются приближенными, т.к. их задают с некоторыми отклонениями, которые нормируются ГОСТами. (Например, по стандарту размеры кирпича: длина 250 6 мм, ширина 120 4 мм, толщина 65 3 мм) К этой же группе приближенных значений чисел относятся размеры, взятые с чертежа
4.Условные значения величин (Примеры: абсолютный нуль температуры -273,15 С, нормальное атмосферное давление 101325 Па)
5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах ( ; %; и т.д.).
6. Результаты счета предметов (количество аккумуляторов в батарее; число пакетов молока, выпущенных заводом и подсчитанных фотоэлектрическим счетчиком)
7. Заданные значения величин (Например, в задаче, «Найти периоды колебаний маятников длиной 1 и 4 м» числа 1 и 4 можно считать точными значениями длины маятника)

Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:

1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:

1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3

2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с

3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)

4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С

5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1

6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16

2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:

1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.

2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».

3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?

1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?

2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.

3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.

4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.