كيفية إيجاد مساحة الشكل بجوانب مختلفة. كيفية إيجاد المساحات الهندسية للأشكال

الأطعمة الخطرة

منطقة هندسية- خاصية عددية لشكل هندسي يوضح حجم هذا الشكل (جزء من السطح يحده محيط مغلق من هذا الشكل). يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الوحدات المربعة الموجودة فيها.

صيغ منطقة المثلث

صيغة مساحة المثلث للجانب والارتفاع
مساحة المثلثيساوي نصف حاصل ضرب طول ضلع في المثلث وطول الارتفاع المرسوم على هذا الجانب
صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحصورة
صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحيطية
مساحة المثلثيساوي حاصل ضرب نصف محيط المثلث ونصف قطر الدائرة المحيطية.

صيغ منطقة مربعة

صيغة مساحة المربع بمعلومية طول الضلع
مساحة مربعةيساوي مربع طول ضلعها.
صيغة مساحة المربع بمعلومية طول القطر
مساحة مربعةيساوي نصف مربع طول قطره.
S = 1 2
2

صيغة منطقة المستطيل

منطقة المستطيل

صيغ مساحة متوازي الأضلاع

صيغة مساحة متوازي الأضلاع لطول الضلع والارتفاع
منطقة متوازي الأضلاع
صيغة مساحة متوازي الأضلاع بمعلومية ضلعين والزاوية بينهما
منطقة متوازي الأضلاعيساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه مضروبًا في جيب الزاوية بينهما.
أ ب sinα

صيغ مساحة المعين

صيغة مساحة المعين مع إعطاء طول الضلع والارتفاع
منطقة المعينيساوي حاصل ضرب طول ضلعها وطول الارتفاع المخفض لهذا الجانب.
صيغة مساحة المعين بمعلومية طول الضلع والزاوية
منطقة المعينيساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعها وجيب الزاوية بين جانبي المعين.
صيغة مساحة المعين من أطوال أقطارها
منطقة المعينيساوي نصف حاصل ضرب أطوال قطريها.

صيغ منطقة شبه منحرف

صيغة مالك الحزين لشبه منحرف
حيث S هي مساحة شبه منحرف ،
- طول قواعد شبه المنحرف ،
- طول جوانب شبه منحرف ،

لحل المشاكل في الهندسة ، تحتاج إلى معرفة الصيغ - مثل مساحة المثلث أو مساحة متوازي الأضلاع - بالإضافة إلى الحيل البسيطة التي سنتحدث عنها.

أولاً ، دعنا نتعلم الصيغ الخاصة بمناطق الأشكال. لقد جمعناها خصيصًا في طاولة مريحة. اطبع وتعلم وطبق!

بالطبع ، ليست كل الصيغ الهندسية في طاولتنا. على سبيل المثال ، لحل المشكلات في الهندسة والقياس الفراغي في الجزء الثاني من اختبار الملف الشخصي في الرياضيات ، تُستخدم أيضًا الصيغ الأخرى لمنطقة المثلث. سنخبرك بالتأكيد عنهم.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى العثور ليس على مساحة شبه منحرف أو مثلث ، ولكن مساحة شكل معقد؟ هناك طرق عالمية! سوف نعرضهم باستخدام أمثلة من بنك مهام FIPI.

1. كيف تجد مساحة الشكل غير القياسي؟ على سبيل المثال ، رباعي تعسفي؟ تقنية بسيطة - دعنا نقسم هذا الرقم إلى تلك التي نعرفها جميعًا ، ونجد مساحتها - كمجموع مناطق هذه الأشكال.

قسّم هذا الشكل الرباعي بخط أفقي إلى مثلثين بأساس مشترك يساوي. ارتفاعات هذه المثلثات تساوي و. إذن مساحة الشكل الرباعي تساوي مجموع مساحات المثلثين:.

إجابه: .

2. في بعض الحالات ، يمكن تمثيل مساحة الشكل على أنها اختلاف في أي منطقة.

ليس من السهل حساب ما تساوي القاعدة والارتفاع في هذا المثلث! لكن يمكننا القول إن مساحته تساوي الفرق بين مساحة مربع به ضلع وثلاثة مثلثات قائمة الزاوية. أراهم في الصورة؟ نحن نحصل: .

إجابه: .

3. في بعض الأحيان يكون من الضروري في مهمة ما العثور على المنطقة ليس من الشكل بأكمله ، ولكن من جانبه. عادة نتحدث عن مساحة قطاع - جزء من دائرة. أوجد مساحة قطاع دائرة نصف قطرها طول قوسها يساوي.

في هذه الصورة نرى جزءًا من دائرة. مساحة الدائرة بأكملها تساوي ، منذ ذلك الحين. يبقى معرفة أي جزء من الدائرة يصور. نظرًا لأن طول الدائرة بأكملها (منذ ذلك الحين) ، وطول قوس هذا القطاع متساوٍ ، فإن طول القوس يكون عدة مرات أقل من طول الدائرة بأكملها. الزاوية التي يرتكز عليها هذا القوس هي أيضًا أقل مرات من الدائرة الكاملة (أي بالدرجات). هذا يعني أن مساحة القطاع ستكون عدة مرات أقل من مساحة الدائرة بأكملها.

مناطق الأشكال الهندسية هي قيم عددية تميز حجمها في الفضاء ثنائي الأبعاد. يمكن قياس هذه القيمة بوحدات النظام وغير النظام. لذلك ، على سبيل المثال ، وحدة المساحة خارج النظام هي مائة هكتار. هذا هو الحال إذا كان السطح المقاس قطعة أرض. وحدة مساحة النظام هي مربع الطول. في نظام SI ، من المعتاد اعتبار أن وحدة مساحة السطح المستوي هي متر مربع. في CGS ، يتم التعبير عن وحدة المساحة بالسنتيمتر المربع.

ترتبط صيغتا الهندسة والمساحة ارتباطًا وثيقًا. يكمن هذا الارتباط في حقيقة أن حساب مناطق الأشكال المسطحة يعتمد بدقة على تطبيقها. بالنسبة للعديد من الأشكال ، يتم اشتقاق العديد من الخيارات ، وفقًا لأحجام مربعاتها. بناءً على البيانات المأخوذة من بيان المشكلة ، يمكننا تحديد أبسط طريقة لحلها. هذا يسهل الحساب ويقلل من احتمال أخطاء الحساب إلى الحد الأدنى. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك المنطقة الرئيسية للأشكال في الهندسة.

يتم تقديم الصيغ الخاصة بإيجاد مساحة أي مثلث بعدة طرق:

1) تحسب مساحة المثلث من القاعدة a والارتفاع h. القاعدة هي جانب الشكل الذي ينخفض عليه الارتفاع. ثم مساحة المثلث هي:

2) يتم حساب مساحة المثلث القائم بنفس الطريقة بالضبط إذا كان الوتر يعتبر القاعدة. ومع ذلك ، إذا تم أخذ الساق كقاعدة ، فإن مساحة المثلث القائم الزاوية ستكون مساوية لمنتج الساقين إلى النصف.

لا تنتهي معادلات حساب مساحة أي مثلث عند هذا الحد. هناك تعبير آخر يحتوي على الجوانب a و b والدالة الجيبية للزاوية γ بين a و b. تم العثور على قيمة الجيب في الجداول. يمكن أيضًا العثور عليها باستخدام الآلة الحاسبة. ثم مساحة المثلث هي:

وفقًا لهذه المساواة ، يمكنك أيضًا التأكد من تحديد مساحة المثلث الأيمن من خلال أطوال الساقين. لان الزاوية γ هي الزاوية القائمة ، لذا تُحسب مساحة المثلث القائم دون الضرب في دالة الجيب.

3) ضع في اعتبارك حالة خاصة - مثلث عادي ، حيث يعرف الجانب أ بالحالة أو يمكن العثور على طوله عند الحل. لا يعرف أكثر عن الشكل في مشكلة الهندسة. ثم كيف تجد المنطقة تحت هذا الشرط؟ في هذه الحالة ، يتم تطبيق صيغة مساحة المثلث العادي:

مستطيل

كيفية إيجاد مساحة المستطيل واستخدام أبعاد الأضلاع التي لها رأس مشترك؟ تعبير الحساب هو:

إذا كنت تريد استخدام أطوال الأقطار لحساب مساحة المستطيل ، فأنت بحاجة إلى دالة الجيب للزاوية التي تشكلت عند تقاطعها. صيغة مساحة المستطيل هي:

ميدان

تُعرَّف مساحة المربع بأنها القوة الثانية لطول الضلع:

يأتي الدليل من تعريف أن المستطيل يسمى مربعًا. جميع الجوانب التي تشكل مربع لها نفس الأبعاد. لذلك ، يتم تقليل حساب مساحة هذا المستطيل إلى ضرب أحدهما في الآخر ، أي في القوة الثانية للجانب. وستأخذ صيغة حساب مساحة المربع الشكل المطلوب.

يمكن إيجاد مساحة المربع بطريقة أخرى ، على سبيل المثال ، إذا كنت تستخدم قطريًا:

كيف تحسب مساحة الشكل الذي يتكون من جزء من مستوى محاط بدائرة؟ لحساب المنطقة ، فإن الصيغ هي:

متوازي الاضلاع

بالنسبة إلى متوازي الأضلاع ، تحتوي الصيغة على الأبعاد الخطية للجانب والارتفاع والعملية الحسابية - الضرب. إذا كان الارتفاع غير معروف ، فكيف تجد مساحة متوازي الأضلاع؟ هناك طريقة أخرى للحساب. مطلوب قيمة معينة ، والتي سيتم أخذها من خلال الدالة المثلثية للزاوية التي تشكلها الجوانب المتجاورة ، وكذلك طولها.

الصيغ الخاصة بمنطقة متوازي الأضلاع هي:

معين

كيف تجد مساحة شكل رباعي تسمى المعين؟ يتم تحديد مساحة المعين باستخدام عمليات حسابية بسيطة بأقطار. يعتمد الدليل على حقيقة أن المقاطع القطرية عند d1 و d2 تتقاطع بزوايا قائمة. يوضح جدول الجيب أنه بالنسبة للزاوية القائمة ، فإن هذه الدالة تساوي واحدًا. لذلك ، يتم حساب مساحة المعين على النحو التالي:

يمكن أيضًا العثور على منطقة المعين بطريقة أخرى. كما أنه ليس من الصعب إثبات ذلك ، نظرًا لأن أضلاعه متساوية في الطول. ثم استبدل ناتجهم بتعبير مشابه لمتوازي أضلاع. بعد كل شيء ، هناك حالة خاصة لهذا الرقم المعين هي المعين. هنا γ هي الزاوية الداخلية للمعين. يتم تحديد مساحة المعين على النحو التالي:

أرجوحة

كيف يمكن إيجاد مساحة شبه منحرف من خلال القاعدتين (أ و ب) إذا كانت أطوالهما موضحة في المسألة؟ هنا ، بدون قيمة معروفة لطول الارتفاع h ، لن يكون من الممكن حساب مساحة شبه منحرف. لان تحتوي هذه القيمة على تعبير للحساب:

يمكن أيضًا حساب الحجم المربع لشبه منحرف مستطيل الشكل بنفس الطريقة. في الوقت نفسه ، يؤخذ في الاعتبار أنه في شبه منحرف مستطيل الشكل ، يتم الجمع بين مفاهيم الارتفاع والجانب. لذلك ، بالنسبة لشبه منحرف مستطيل ، تحتاج إلى تحديد طول الضلع بدلاً من الارتفاع.

اسطوانة ومتوازية

ضع في اعتبارك ما هو مطلوب لحساب سطح الأسطوانة بأكملها. مساحة هذا الشكل عبارة عن زوج من الدوائر تسمى القواعد وسطح جانبي. الدوائر المكونة للدوائر لها أطوال نصف قطرية تساوي r. بالنسبة لمساحة الاسطوانة ، يتم الحساب التالي:

كيف تجد مساحة خط الموازي الذي يتكون من ثلاثة أزواج من الوجوه؟ قياساته متوافقة مع زوج معين. الوجوه المعاكسة لها نفس المعايير. أوجد أولاً S (1) ، S (2) ، S (3) - الأبعاد المربعة للوجوه غير المتكافئة. ثم مساحة سطح خط الموازي:

جرس

دائرتان مع مركز مشترك يشكلان حلقة. كما أنها تحد من مساحة الحلقة. في هذه الحالة ، تأخذ كلا المعادلات الحسابية في الاعتبار أبعاد كل دائرة. الأول ، الذي يحسب مساحة الحلقة ، يحتوي على R أكبر ونصف قطر r أصغر. في كثير من الأحيان يطلق عليهم اسم خارجي وداخلي. في التعبير الثاني ، تُحسب منطقة الحلقة باستخدام القطر الأكبر D وقطر d الأصغر. وبالتالي ، يتم حساب مساحة الحلقة وفقًا لنصف القطر المعروف على النحو التالي:

يتم تحديد مساحة الحلقة باستخدام أطوال الأقطار على النحو التالي:

مضلع

كيف تجد مساحة المضلع الذي شكله غير صحيح؟ لا توجد صيغة عامة لمساحة هذه الأرقام. ولكن إذا تم تصويره على مستوى إحداثي ، على سبيل المثال ، يمكن أن يكون ورقًا متقلبًا ، فكيف يمكن العثور على مساحة السطح في هذه الحالة؟ هنا يستخدمون طريقة لا تتطلب قياس الشكل تقريبًا. يفعلون هذا: إذا وجدوا نقاطًا تقع في زاوية الخلية أو تحتوي على إحداثيات عدد صحيح ، فسيتم أخذها فقط في الاعتبار. لمعرفة ما هي المنطقة بعد ذلك ، استخدم الصيغة المثبتة بواسطة Pick. من الضروري إضافة عدد النقاط الموجودة داخل الخط المتعدد مع وضع نصف النقاط عليه وطرح واحدة ، أي يتم حسابها على هذا النحو:

حيث C ، D - عدد النقاط الموجودة داخل وعلى كامل الخطوط المتعددة ، على التوالي.

تعليمات

من المريح التصرف إذا كان الشكل الخاص بك مضلعًا. يمكنك دائمًا تقسيمها إلى رقم محدد ، وتحتاج فقط إلى تذكر صيغة واحدة - مساحة المثلث. إذن ، المثلث هو نصف حاصل ضرب طول ضلعه وطول الارتفاع المرسوم على هذا الضلع بالذات. من خلال تلخيص مناطق المثلثات الفردية ، التي يتحول إليها أكثر تعقيدًا من خلال إرادتك ، ستكتشف النتيجة المرجوة.

من الصعب حل مشكلة تحديد مساحة الشكل التعسفي. لا يمكن أن يكون لمثل هذا الرقم حدود منحنية الخطوط فحسب ، بل أيضًا. هناك طرق لتقريب الحساب. بسيط.

أولاً ، يمكنك استخدام لوحة. هذه أداة مصنوعة من مادة شفافة مع شبكة من المربعات أو المثلثات مع منطقة معروفة مطبقة على سطحها. من خلال تراكب اللوحة أعلى الشكل الذي تبحث عنه ، فإنك تعيد حساب عدد الوحدات التي تتداخل مع الصورة. اجمع بين وحدات القياس المغلقة بشكل غير كامل مع بعضها البعض ، واستكملها في عقلك لإكمال الوحدات. علاوة على ذلك ، بضرب مساحة شكل لوحة واحدة بالرقم الذي حسبته ، ستكتشف المساحة التقريبية للرقم التعسفي الخاص بك. من الواضح أنه كلما تم تطبيق الشبكة بشكل متكرر على لوح الألوان الخاص بك ، زادت دقة النتيجة.

ثانيًا ، يمكنك تحديد الحد الأقصى لعدد المثلثات داخل حدود الشكل التعسفي الذي تحدد مساحته. ابحث عن مساحة كل منها وأضف مناطقها. ستكون هذه نتيجة تقريبية للغاية. إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك أيضًا تحديد مساحة المقاطع التي تحدها الأقواس بشكل منفصل. للقيام بذلك ، تخيل أن الجزء جزء من. قم ببناء هذه الدائرة ، ثم ارسم نصف القطر من مركزها إلى حواف القوس. تشكل المقاطع زاوية α فيما بينها. يتم تحديد مساحة كل شيء بواسطة π * R ^ 2 * α / 360. لكل جزء أصغر من الشكل الخاص بك ، يمكنك تحديد المنطقة والحصول على النتيجة الإجمالية بإضافة النتائج.

الطريقة الثالثة أكثر صعوبة ولكنها أكثر دقة وأسهل بالنسبة لشخص ما. يمكن تحديد مساحة أي شكل باستخدام التكامل. توضح الوظيفة المحددة المنطقة من الرسم البياني للدالة إلى الإحداثي. يمكن تحديد المنطقة المحاطة بين رسمين بيانيين بطرح تكامل محدد ، بقيمة أصغر ، من تكامل ضمن نفس الحدود ، ولكن بقيمة أكبر. لاستخدام هذه الطريقة ، من الملائم نقل الرقم التعسفي الخاص بك إلى نظام الإحداثيات ثم تحديد وظائفهم واستخدام أساليب الرياضيات العليا ، والتي لن نتعمق فيها هنا والآن.

درس حول الموضوع: "صيغ لتحديد مساحة مثلث ، مستطيل ، مربع"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم. يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الخامس
محاكي للكتاب المدرسي من تأليف I.I. Zubareva و A.G. Mordkovich
محاكي للكتاب المدرسي من تأليف جي في دوروفيف وإل جي بيترسون

تعريف ومفهوم مساحة الشكل

لفهم مساحة الشكل بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك الشكل.
ينقسم هذا الرقم التعسفي إلى 12 مربعًا صغيرًا. طول ضلع كل مربع 1 سم ومساحة كل مربع 1 سم مربع وهو مكتوب على النحو التالي: 1 سم 2.

ثم مساحة الشكل 12 سم مربع. في الرياضيات ، يُشار إلى المنطقة بالحرف اللاتيني S.
إذن مساحة الشكل لدينا هي: أرقام S \ u003d 12 سم 2.

مساحة الشكل تساوي مساحة كل المربعات الصغيرة التي يتكون منها!

يا رفاق ، تذكر!
تُقاس المساحة بوحدات الطول المربعة. وحدات المساحة:
1. كيلومتر مربع - كم 2 (عندما تكون المساحات كبيرة جدًا ، على سبيل المثال ، بلد أو بحر).
2. متر مربع - م 2 (مناسب تمامًا لقياس مساحة قطعة الأرض أو الشقة).
3. سنتيمتر مربع - سم 2 (يستخدم عادة في دروس الرياضيات عند رسم الأشكال في دفتر ملاحظات).
4. مليمتر مربع - مم 2.

مساحة المثلث

فكر في نوعين من المثلثات: المستطيل والمثلثات العشوائية.

لإيجاد مساحة المثلث القائم ، تحتاج إلى معرفة طول القاعدة والارتفاع. في مثلث قائم الزاوية ، يحل أحد الأضلاع محل الارتفاع. لذلك ، في صيغة مساحة المثلث ، بدلًا من الارتفاع ، نعوض بأحد أضلاعه.
في مثالنا الأضلاع 7 سم و 4 سم ، وتكتب صيغة حساب مساحة المثلث على النحو التالي:
S للمثلث القائم الزاوية ABC = BC * SA: 2

S لمثلث قائم ABC = 7 سم * 4 سم: 2 \ u003d 14 سم 2

فكر الآن في المثلث التعسفي.

لمثل هذا المثلث ، من الضروري رسم الارتفاع إلى القاعدة.
في مثالنا الارتفاع 6 سم والقاعدة 8 سم وكما في المثال السابق نحسب المساحة باستخدام الصيغة:
S لمثلث عشوائي ABC = BC * h: 2.

استبدل بياناتنا في الصيغة واحصل على:
S لمثلث عشوائي ABC = 8 سم * 6 سم: 2 \ u003d 24 سم 2.

مساحة المستطيل والمربع

خذ مستطيل ABCD مع ضلعه 5 سم و 8 سم.

صيغة حساب مساحة المستطيل هي:
مستطيل S ABCD = AB * BC.

مستطيل S ABCD = 8 سم * 5 سم = 40 سم 2.

الآن دعونا نحسب مساحة المربع. على عكس المستطيل والمثلث ، لإيجاد مساحة المربع ، عليك أن تعرف ضلعًا واحدًا فقط. في مثالنا ، طول ضلع المربع ABCD يساوي 9 سم. S للمربع ABCD \ u003d AB * BC \ u003d AB 2.

استبدل بياناتنا في الصيغة واحصل على:
S مربع ABCD = 9 سم * 9 سم = 81 سم 2.