كيف تجد خطوة أضعافا مضاعفة. التقدم الهندسي بالأمثلة
بالفعل في مصر القديمة ، لم يعرفوا الحساب فحسب ، بل عرفوا أيضًا التقدم الهندسي. هنا ، على سبيل المثال ، مهمة من بردية Rhind: "سبعة وجوه لها سبع قطط ؛ كل قطة تأكل سبعة فئران ، كل فأر يأكل سبع سنابل من الذرة ، كل أذن يمكن أن تنمو سبعة مقاييس من الشعير. ما هو حجم الأرقام في هذه السلسلة ومجموعها؟
 |
|
أرز. 1. مشكلة التقدم الهندسي المصري القديم |
تكررت هذه المهمة عدة مرات مع اختلافات مختلفة بين الشعوب الأخرى في أوقات أخرى. على سبيل المثال ، كتب في القرن الثالث عشر. يوجد في "كتاب العداد" لليوناردو بيزا (فيبوناتشي) مشكلة تظهر فيها سبع نساء كبيرات السن في طريقهن إلى روما (من الواضح أن الحجاج) ، كل واحدة منها بها 7 بغال ، كل منها بها 7 أكياس ، كل منها بها 7 أرغفة ، كل منها به 7 سكاكين ، كل منها في 7 أغماد. تسأل المشكلة كم عدد العناصر الموجودة.
مجموع أول ن أعضاء للتقدم الهندسي S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). يمكن إثبات هذه الصيغة ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: S n \ u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
دعنا نضيف الرقم b 1 q n إلى S n ونحصل على:
|
ومن ثم S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ، ونحصل على الصيغة اللازمة.
بالفعل على أحد الألواح الطينية لبابل القديمة ، التي يعود تاريخها إلى القرن السادس. قبل الميلاد على سبيل المثال ، يحتوي على المجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. صحيح ، كما هو الحال في عدد من الحالات الأخرى ، لا نعرف أين كانت هذه الحقيقة معروفة للبابليين .
يستخدم النمو السريع للتقدم الهندسي في عدد من الثقافات ، على وجه الخصوص ، في الهند ، مرارًا وتكرارًا كرمز واضح لعظمة الكون. في الأسطورة المعروفة عن ظهور الشطرنج ، يمنح الحاكم مخترعه الفرصة لاختيار المكافأة بنفسه ، ويسأل عن هذا العدد من حبات القمح التي سيتم الحصول عليها إذا تم وضع أحدهم في الخلية الأولى من الخلية. رقعة الشطرنج ، اثنان في الثاني ، أربعة في الثالث ، ثمانية في الرابع ، وما إلى ذلك ، في كل مرة يتم مضاعفة الرقم. اعتقد فلاديكا أنها كانت ، على الأكثر ، مجرد أكياس قليلة ، لكنه أخطأ في الحسابات. من السهل ملاحظة أنه بالنسبة لجميع المربعات الـ 64 من رقعة الشطرنج ، كان من المفترض أن يكون المخترع قد تلقى (2 64-1) حبة ، والتي يتم التعبير عنها كرقم مكون من 20 رقمًا ؛ حتى لو تم زرع سطح الأرض بالكامل ، فسيستغرق الأمر 8 سنوات على الأقل لجمع العدد المطلوب من الحبوب. يتم تفسير هذه الأسطورة أحيانًا على أنها إشارة إلى الاحتمالات غير المحدودة تقريبًا المخبأة في لعبة الشطرنج.
من السهل رؤية حقيقة أن هذا الرقم يتكون من 20 رقمًا بالفعل:
2 64 \ u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \ u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \ u003d 1.6 10 19 (حساب أكثر دقة يعطي 1.84 10 19). لكني أتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة الرقم الذي ينتهي به هذا الرقم؟
يتزايد التقدم الهندسي إذا كان المقام أكبر من 1 في القيمة المطلقة ، أو يتناقص إذا كان أقل من واحد. في الحالة الأخيرة ، يمكن أن يصبح الرقم q n صغيرًا بشكل تعسفي لـ n كبير بدرجة كافية. بينما يزيد الأسي المتزايد بسرعة غير متوقعة ، يتناقص الأسي المتناقص بنفس السرعة.
أكبر n ، أضعف الرقم q n يختلف عن الصفر ، وكلما اقترب مجموع n من أعضاء التقدم الهندسي S n \ u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) إلى الرقم S \ u003d b 1 / (1 - ف). (مسبب لذلك ، على سبيل المثال ، F. Viet). الرقم S يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. ومع ذلك ، لقرون عديدة ، لم يكن السؤال عن معنى مجموع كل التقدم الهندسي ، مع عدد لا حصر له من المصطلحات ، واضحًا بما يكفي لعلماء الرياضيات.
يمكن ملاحظة التقدم الهندسي المتناقص ، على سبيل المثال ، في زينو aporias "العض" و "أخيل والسلحفاة". في الحالة الأولى ، من الواضح أن الطريق بالكامل (بافتراض الطول 1) هي مجموع عدد لا حصر له من الأجزاء 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، إلخ. وهذا بالطبع هو الحال من وجهة نظر الأفكار حول التقدم الهندسي المحدود اللانهائي. ومع ذلك - كيف يمكن أن يكون هذا؟
|
أرز. 2. التقدم بمعامل 1/2 |
في aporia حول Achilles ، يكون الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لأن قاسم التقدم هنا لا يساوي 1/2 ، ولكن لبعض الأرقام الأخرى. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن أخيل يجري بسرعة v ، والسلحفاة تتحرك بسرعة u ، والمسافة الأولية بينهما هي l. سيجري Achilles هذه المسافة في الوقت l / v ، وستتحرك السلحفاة لمسافة lu / v خلال هذا الوقت. عندما يمر أخيل خلال هذا الجزء ، ستصبح المسافة بينه وبين السلحفاة مساوية لـ l (u / v) 2 ، وما إلى ذلك. اتضح أن اللحاق بالسلحفاة يعني إيجاد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مع الأول المصطلح l والمقام u / v. هذا المجموع - الجزء الذي سيديره أخيل في النهاية إلى نقطة التقاء السلحفاة - يساوي l / (1 - u / v) = lv / (v - u). لكن ، مرة أخرى ، كيف يجب تفسير هذه النتيجة ولماذا يكون لها أي معنى على الإطلاق ، لم يكن واضحًا للغاية لفترة طويلة.
|
أرز. 3. التدرج الهندسي بمعامل 2/3 |
استخدم أرخميدس مجموع التقدم الهندسي عند تحديد مساحة قطعة من القطع المكافئ. دع الجزء المعطى من القطع المكافئ يتم تحديده بواسطة الوتر AB ودع المماس عند النقطة D من القطع المكافئ يكون موازيًا لـ AB. لنفترض أن C هي نقطة المنتصف AB ، E نقطة منتصف AC ، F نقطة منتصف CB. ارسم خطوطًا موازية للتيار المستمر من خلال النقاط A و E و F و B ؛ دع المماس مرسومًا عند النقطة D ، تتقاطع هذه الخطوط عند النقاط K ، L ، M ، N. لنرسم أيضًا المقاطع AD و DB. دع الخط EL يتقاطع مع الخط AD عند النقطة G ، والقطع المكافئ عند النقطة H ؛ يتقاطع الخط FM مع الخط DB عند النقطة Q ، والخط المكافئ عند النقطة R. وفقًا للنظرية العامة للمقاطع المخروطية ، فإن DC هو قطر القطع المكافئ (أي قطعة موازية لمحورها) ؛ يمكن أن يكون هو والماس عند النقطة D بمثابة محاور إحداثيات x و y ، حيث يتم كتابة معادلة القطع المكافئ y 2 \ u003d 2px (x هي المسافة من D إلى أي نقطة من قطر معين ، y هو طول a مقطع موازٍ لظل معين من نقطة القطر هذه إلى نقطة ما على القطع المكافئ نفسه).
بحكم معادلة القطع المكافئ ، DL 2 = 2 ∙ p LH ، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ، وبما أن DK = 2DL ، ثم KA = 4LH. منذ KA = 2LG ، LH = HG. مساحة المقطع ADB للقطع المكافئ تساوي مساحة المثلث ΔADB ومناطق المقطعين AHD و DRB مجتمعين. في المقابل ، فإن مساحة المقطع AHD تساوي بالمثل مساحة المثلث AHD والأجزاء المتبقية AH و HD ، مع كل منهما يمكن إجراء نفس العملية - مقسمة إلى مثلث (Δ) و الجزءان المتبقيان () ، إلخ:
مساحة المثلث ΔAHD تساوي نصف مساحة المثلث ΔALD (لديهم قاعدة مشتركة AD ، والارتفاعات تختلف بمقدار مرتين) ، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المثلث ΔAKD ، وبالتالي نصف مساحة المثلث ACD. وبالتالي ، فإن مساحة المثلث ΔAHD تساوي ربع مساحة المثلث ΔACD. وبالمثل ، فإن مساحة المثلث ΔDRB تساوي ربع مساحة المثلث ΔDFB. إذن ، مساحة المثلثات ∆AHD و ∆DRB ، مجتمعة ، تساوي ربع مساحة المثلث ∆ADB. سيؤدي تكرار هذه العملية كما هو مطبق على المقاطع AH و HD و DR و RB أيضًا إلى تحديد مثلثات منها ، والتي ستكون مساحتها ، مجتمعة ، أقل 4 مرات من مساحة المثلثات ΔAHD و ΔDRB ، المأخوذة معًا ، وبالتالي أقل بمقدار 16 مرة من مساحة المثلث ADB. وهلم جرا:
وهكذا ، أثبت أرخميدس أن "كل جزء محاط بين خط مستقيم ومقطع مكافئ هو أربعة أرباع مثلث له نفس القاعدة والارتفاع المتساوي معه".
مستوى اول
المتوالية الهندسية. دليل شامل بأمثلة (2019)
تسلسل رقمي
لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على التسلسل الرقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.
عادة ما نطلق على التسلسل بأكمله بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.
في حالتنا هذه:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي العمليات الحسابية والهندسية. في هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.
لماذا نحتاج إلى التقدم الهندسي وتاريخه.
حتى في العصور القديمة ، تعامل عالم الرياضيات الإيطالي ، الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) ، مع الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة تحديد ما هو أصغر عدد من الأوزان يمكن استخدامه لوزن البضائع؟ يثبت فيبوناتشي في كتاباته أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع التقدم الهندسي ، والذي ربما سمعت عنه ولديك على الأقل فكرة عامة عنه. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا ، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
في الوقت الحاضر ، في ممارسة الحياة ، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك ، عندما يتم تحميل مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. بمعنى آخر ، إذا قمت بوضع أموال على وديعة لأجل في بنك ادخار ، فسيزداد الإيداع خلال عام من المبلغ الأصلي ، أي سيكون المبلغ الجديد مساويًا للمساهمة مضروبة في. في عام آخر ، سيزداد هذا المبلغ بمقدار ، أي. يتم ضرب المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف حالة مماثلة في مشاكل الحوسبة ما يسمى ب الفائدة المركبة- يتم احتساب النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود على الحساب مع مراعاة الفائدة السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. على سبيل المثال ، انتشار الإنفلونزا: قام شخص ما بإصابة شخص ما ، وقام بدوره بإصابة شخص آخر ، وبالتالي الموجة الثانية من العدوى - شخص ، وقاموا بدورهم بإصابة شخص آخر ... وهكذا ... .
بالمناسبة ، الهرم المالي ، نفس MMM ، هو حساب بسيط وجاف وفقًا لخصائص التقدم الهندسي. مثير للإعجاب؟ دعونا نفهم ذلك.
المتوالية الهندسية.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور أنه سهل وأن اسم مثل هذا التسلسل هو تقدم حسابي مع اختلاف أعضائه. ماذا عن شيء مثل هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي ، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وما إلى ذلك) ، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم تالي يكون أكبر بمرات من الرقم السابق!
يسمى هذا النوع من التسلسل المتوالية الهندسيةويتم وضع علامة.
التقدم الهندسي () هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود التي تشير إلى أن المصطلح الأول () ليس مساويًا وليست عشوائية. لنفترض أنه لا يوجد شيء ، وأن المصطلح الأول لا يزال متساويًا ، و q هو ، hmm .. دعنا نتضح:
توافق على أن هذا ليس تقدمًا.
كما تفهم ، سنحصل على نفس النتائج إذا كان أي رقم بخلاف الصفر ، ولكن. في هذه الحالات ، لن يكون هناك تقدم ببساطة ، لأن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما جميع الأصفار ، أو رقم واحد ، وجميع الأصفار المتبقية.
الآن دعنا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي ، أي حول.
دعنا نكرر: - هذا رقم ، كم مرة يتغير كل مصطلح لاحقالمتوالية الهندسية.
ماذا تعتقد يمكن أن يكون؟ هذا صحيح ، إيجابي وسلبي ، لكن ليس صفرًا (تحدثنا عن هذا أعلى قليلاً).
لنفترض أن لدينا إيجابية. دعونا في حالتنا ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟ يمكنك بسهولة الإجابة على ما يلي:
حسنا. وفقًا لذلك ، إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - هم إيجابي.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال ، أ. ما هو المصطلح الثاني و؟
إنها قصة مختلفة تمامًا
حاول أن تحسب مصطلح هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي ، إذا ، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي ، إذا رأيت تقدمًا بعلامات بديلة في أعضائها ، فإن قاسمها يكون سالبًا. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة في اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعنا نتدرب قليلاً: حاول تحديد أي التسلسلات العددية هي تسلسل هندسي ، وأيها متسلسل حسابي:
فهمتك؟ قارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3 ، 6.
- التقدم الحسابي - 2 ، 4.
- إنه ليس تطورًا حسابيًا ولا هندسيًا - 1 ، 5 ، 7.
دعنا نعود إلى التقدم الأخير ، ودعونا نحاول إيجاد حده بنفس الطريقة كما في الحساب. كما قد تكون خمنت ، هناك طريقتان للعثور عليه.
نضرب كل حد على التوالي في.
إذن ، العضو -th في التقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما تخمن بالفعل ، ستشتق الآن معادلة تساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل سبق لك أن أخرجته لنفسك ، واصفة كيفية العثور على العضو ال على مراحل؟ إذا كان الأمر كذلك ، فتحقق من صحة منطقك.
دعنا نوضح هذا بمثال العثور على العضو -th في هذا التقدم:
بعبارات أخرى:
اكتشف لنفسك قيمة عضو في تقدم هندسي معين.
حدث؟ قارن إجاباتنا:
انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما ضربنا على التوالي كل عضو سابق في التقدم الهندسي.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الموجبة والسالبة. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل عدت؟ لنقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على عضو في التقدم بنفس طريقة العضو ، ومع ذلك ، هناك احتمال لسوء التقدير. وإذا وجدنا بالفعل الحد الخامس للتقدم الهندسي ، أ ، فما الذي يمكن أن يكون أسهل من استخدام الجزء "المبتور" من الصيغة.
تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.
في الآونة الأخيرة ، تحدثنا عن ما يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر ، ومع ذلك ، هناك قيم خاصة يُطلق عليها اسم التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي.
لماذا تعتقد أنه يحمل مثل هذا الاسم؟
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من أعضاء.
دعنا نقول ، إذن:
نرى أن كل مصطلح لاحق أقل من السابق في الأوقات ، لكن هل سيكون هناك أي رقم؟ تجيب على الفور - "لا". هذا هو سبب التناقص اللامتناهي - النقصان ، النقصان ، لكن لا يصبح صفرًا أبدًا.
لفهم ما يبدو عليه هذا بصريًا بوضوح ، دعنا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذلك ، في حالتنا ، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية ، اعتدنا أن نبني الاعتماد على:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول ، أظهرنا اعتماد قيمة عضو التقدم الهندسي على رقمه الترتيبي ، وفي الإدخال الثاني ، أخذنا ببساطة قيمة عضو التقدم الهندسي لـ ، و رقم سريلا يتم تعريفه على أنه ، ولكن على أنه. كل ما تبقى هو رسم الرسم البياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
نرى؟ تتناقص الدالة ، وتميل إلى الصفر ، ولكنها لا تتجاوزها أبدًا ، لذا فهي تتناقص بلا حدود. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني ، وفي نفس الوقت ماذا يعني الإحداثي:
حاول رسم رسم بياني للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان المصطلح الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟
هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي حصلت عليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو ، وتعرف كيفية العثور على المصطلح ، وتعرف أيضًا ما هو التدرج الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية أعضاء التقدم الحسابي؟ نعم ، نعم ، كيف تجد قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء هذا التقدم. تذكرت؟ هذه:
نحن الآن نواجه نفس السؤال تمامًا عن شروط التقدم الهندسي. لاشتقاق مثل هذه الصيغة ، لنبدأ في الرسم والاستدلال. سترى ، الأمر سهل للغاية ، وإذا نسيت ، يمكنك إخراجها بنفسك.
لنأخذ تقدمًا هندسيًا بسيطًا آخر نعرفه و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي ، يكون هذا سهلًا وبسيطًا ، ولكن كيف يتم ذلك هنا؟ في الواقع ، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى رسم كل قيمة مُعطاة لنا وفقًا للصيغة.
أنت تسأل ، والآن ماذا نفعل بها؟ نعم ، بسيط جدا. بادئ ذي بدء ، دعنا نصور هذه الصيغ في الشكل ، ونحاول إجراء العديد من التلاعبات بها من أجل الوصول إلى قيمة.
نحن نستخلص من الأرقام التي حصلنا عليها ، سنركز فقط على تعبيرها من خلال صيغة. علينا إيجاد القيمة المميزة باللون البرتقالي ، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعنا نحاول تنفيذ إجراءات مختلفة معهم ، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعنا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير ، كما ترى ، لن نتمكن من التعبير بأي شكل من الأشكال ، لذلك سنجرب خيارًا آخر - الطرح.
الطرح.
كما ترى ، لا يمكننا التعبير عن هذا أيضًا ، لذلك سنحاول ضرب هذه التعبيرات ببعضها البعض.
عمليه الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا ، بضرب شروط التقدم الهندسي المعطى لنا مقارنة بما يجب إيجاده:
خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح ، لإيجاده ، نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للعدد المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
ها أنت ذا. أنت نفسك استنتجت خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟
هل نسيت الشرط متى؟ فكر في سبب أهميته ، على سبيل المثال ، حاول حسابه بنفسك ، على. ما يحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، هراء كامل ، لأن الصيغة تبدو كالتالي:
وعليه لا تنسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما هو
اجابة صحيحة - ! إذا لم تنسَ القيمة الثانية المحتملة عند الحساب ، فأنت زميل رائع ويمكنك المتابعة فورًا إلى التدريب ، وإذا نسيت ، اقرأ ما تم تحليله أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذور في الإجابة .
دعنا نرسم كلاً من التدرجات الهندسية - أحدهما له قيمة ، والآخر بقيمة ، ونتحقق مما إذا كان كلاهما لهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا ، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين جميع أعضائه المعينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن إشارة المصطلح المطلوب تعتمد على ما إذا كانت موجبة أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو ، علينا كتابة كلتا الإجابتين بعلامة زائد وناقص.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة لخاصية التقدم الهندسي ، ابحث عن ، وعرف ، و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك ، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم أعضاء التقدم الهندسي المجاور للعدد المطلوب ، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال ، نحن بحاجة إلى إيجاد وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي اشتقناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة ، ووصف ما تتكون منه كل قيمة ، كما فعلت عند اشتقاق الصيغة في البداية ، باستخدام.
على ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الجواربالشروط المطلوبة للتقدم الهندسي ، ولكن أيضًا مع متساوي البعدمما يبحث عنه الأعضاء.
وهكذا تصبح صيغتنا الأصلية:
أي ، إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى ، نقول الآن إنه يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد طبيعي أقل. الشيء الرئيسي هو أن تكون متماثلًا لكلا الرقمين المعينين.
تدرب على أمثلة محددة ، فقط كن حذرًا للغاية!
- و. تجد.
- و. تجد.
- و. تجد.
لقد اتخذت القرار؟ أتمنى أن تكون منتبهاً للغاية ولاحظت مشكلة صغيرة.
نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين ، نطبق الصيغة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
في الحالة الثالثة ، بعد دراسة دقيقة للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا ، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: إنه الرقم السابق ، ولكن تم إزالته في الموضع ، لذلك لا يمكن لتطبيق الصيغة.
كيف حلها؟ في الواقع ليس الأمر صعبًا كما يبدو! دعنا نكتب معك ما يتكون منه كل رقم معطى لنا والرقم المطلوب.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا فعله معهم. أقترح تقسيم. نحن نحصل:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها - لهذا علينا أخذ الجذر التكعيبي للعدد الناتج.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ، لكن علينا أن نجد ، وهذا بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى بنفسك:
معطى: ،
تجد:
كم لم تحصل عليه؟ أملك - .
كما ترون ، في الواقع ، أنت بحاجة تذكر صيغة واحدة فقط-. كل ما تبقى يمكنك الانسحاب دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك ، اكتب ببساطة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق واكتب ما ، وفقًا للصيغة أعلاه ، كل رقم من أرقامها يساوي.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن ضع في اعتبارك الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع شروط التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المحدود ، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:
انظر عن كثب: ما هو القاسم المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح ، الأعضاء العاديون ، على سبيل المثال وما إلى ذلك ، باستثناء العضو الأول والأخير. دعنا نحاول طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟
عبر الآن من خلال صيغة عضو في التقدم الهندسي واستبدل التعبير الناتج في صيغتنا الأخيرة:
جمّع التعبير. يجب ان تحصل على:
كل ما تبقى هو التعبير عن:
تبعا لذلك ، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل إذن؟ تخيل تقدمًا هندسيًا في. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة بشكل صحيح ، على التوالي ، ستبدو الصيغة كما يلي:
كما هو الحال مع التقدم الحسابي والهندسي ، هناك العديد من الأساطير. واحد منهم هو أسطورة سيث ، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي ، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المواقف الممكنة فيها. عندما علم أنه اخترعها أحد رعاياه ، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. اتصل بالمخترع وأمره بأن يطلب منه ما يريد ، واعدًا بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير ، وعندما ظهر سيتا في اليوم التالي أمام الملك ، فاجأ الملك بتواضع لا مثيل له في طلبه. طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج ، وحنطة للمربع الثاني ، والثالث ، والرابع ، وهكذا.
كان الملك غاضبًا وطرد Seth بعيدًا ، قائلاً إن طلب الخادم لا يستحق كرم الملك ، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل جميع خلايا اللوحة.
والسؤال الآن هو: باستخدام صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي ، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يتلقاها Seth؟
لنبدأ بالمناقشة. نظرًا لأن سيث ، وفقًا للشرط ، طلب حبة قمح للخلية الأولى من رقعة الشطرنج ، للخلية الثانية ، للخلية الثالثة ، للرابع ، إلخ ، نرى أن المشكلة تتعلق بالتقدم الهندسي. ما هو المتساوي في هذه الحالة؟
بشكل صحيح.
مجموع خلايا رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات ، يبقى فقط الاستبدال في الصيغة والحساب.
لتمثيل "مقاييس" رقم معين على الأقل تقريبًا ، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع ، إذا أردت ، يمكنك أن تأخذ آلة حاسبة وتحسب نوع الرقم الذي ستنتهي به ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتعين عليك أن تأخذ كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
هذا هو:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
فوه) إذا كنت تريد تخيل ضخامة هذا الرقم ، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
مع ارتفاع الحظيرة م وعرض م ، يجب أن يمتد طولها إلى كيلومتر ، أي ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
إذا كان الملك قوياً في الرياضيات ، فيمكنه أن يعرض على العالم نفسه لعد الحبوب ، لأنه من أجل عد مليون حبة ، سيحتاج على الأقل ليوم واحد من العد الدؤوب ، وبالنظر إلى أنه من الضروري عد الكوينتيليونات ، يجب أن تحسب الحبوب طوال حياته.
والآن سنحل مسألة بسيطة تتعلق بمجموع حدود التقدم الهندسي.
أصيب فاسيا ، طالب الصف الخامس ، بالأنفلونزا ، لكنه استمر في الذهاب إلى المدرسة. كل يوم ، يصيب فاسيا شخصين يصيبان بدوره شخصين آخرين ، وهكذا دواليك. فقط شخص واحد في الفصل. في كم يوم سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
إذن ، أول عضو في التقدم الهندسي هو فاسيا ، أي شخص. العضو العاشر في التقدم الهندسي ، هذان الشخصان اللذان أصابهما في اليوم الأول من وصوله. المجموع الكلي لأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب 5A. وفقًا لذلك ، نحن نتحدث عن تقدم يتم فيه:
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغة لمجموع شروط التقدم الهندسي:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تؤمن بالصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "إصابة" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظر كيف تبدو بالنسبة لي:
احسب لنفسك عدد الأيام التي سيصاب فيها الطلاب بالأنفلونزا إذا أصاب الجميع شخصًا ما ، وكان هناك شخص في الفصل.
ما هي القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأوا يمرضون بعد يوم.
كما ترون ، فإن مثل هذه المهمة والرسم لها يشبه الهرم ، حيث "يجلب" كل شخص لاحقًا أشخاصًا جددًا. ومع ذلك ، عاجلاً أم آجلاً ، تأتي لحظة لا يستطيع فيها الأخير جذب أي شخص. في حالتنا ، إذا تخيلنا أن الفصل معزول ، فإن الشخص من يغلق السلسلة (). وبالتالي ، إذا كان شخص ما متورطًا في هرم مالي تم فيه منح المال إذا أحضرت مشاركين آخرين ، فلن يقوم الشخص (أو في الحالة العامة) بإحضار أي شخص ، على التوالي ، سيخسر كل ما استثمره في عملية الاحتيال المالية هذه .
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تناقص أو زيادة التقدم الهندسي ، ولكن كما تتذكر ، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. كيف تحسب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم له ميزات معينة؟ دعونا نفهمها معًا.
لذا ، بالنسبة للمبتدئين ، دعونا ننظر مرة أخرى إلى هذه الصورة للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
والآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي ، المشتقة قبل ذلك بقليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح ، يوضح الرسم البياني أنه يميل إلى الصفر. أي عندما تكون متساوية تقريبًا ، على التوالي ، عند حساب التعبير ، سنحصل تقريبًا. في هذا الصدد ، نعتقد أنه عند حساب مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يمكن إهمال هذه الشريحة ، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
مهم!لا نستخدم صيغة مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحةً على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع بلا نهايةعدد الأعضاء.
إذا تمت الإشارة إلى رقم محدد n ، فإننا نستخدم صيغة مجموع عدد n ، حتى لو أو.
والآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي مع و.
- أوجد مجموع شروط التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذرا جدا. قارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي ، وقد حان الوقت للانتقال من النظرية إلى الممارسة. المشاكل الأسية الأكثر شيوعًا الموجودة في الاختبار هي مشاكل الفائدة المركبة. سنتحدث عنهم.
مشاكل حساب الفائدة المركبة.
لابد أنك سمعت عن ما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ما تعنيه؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنكتشف ذلك ، لأنك بعد أن أدركت العملية نفسها ، ستفهم على الفور ما يجب أن يفعله التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: هذا هو المصطلح ، والصيانة الإضافية ، والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.
من مصلحة بسيطةكل شيء واضح إلى حد ما: يتم تحصيل الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. أي ، إذا كنا نتحدث عن وضع 100 روبل في السنة ، فسيتم تقييدها فقط في نهاية العام. وفقًا لذلك ، بحلول نهاية الإيداع ، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبةهو الخيار الذي رسملة الفائدة، بمعنى آخر. إضافتهم إلى مبلغ الإيداع والحساب اللاحق للدخل ليس من المبلغ الأولي ، ولكن من المبلغ المتراكم للإيداع. لا تحدث الكتابة بالأحرف الكبيرة باستمرار ، ولكن مع بعض التواتر. كقاعدة عامة ، تكون هذه الفترات متساوية ، وغالبًا ما تستخدم البنوك شهرًا أو ربعًا أو سنة.
لنفترض أننا وضعنا كل الروبل نفسه سنويًا ، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نحصل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلنأخذ الأمر خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر ، يجب أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من روبلنا بالإضافة إلى الفائدة عليه ، أي:
أنا موافق؟
يمكننا إخراجها من القوس ثم نحصل على:
موافق ، هذه الصيغة تشبه بالفعل تلك التي كتبناها في البداية. يبقى التعامل مع النسب المئوية
في حالة المشكلة ، يتم إخبارنا عن السنوي. كما تعلم ، نحن لا نضرب في - نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية ، أي:
حق؟ الآن تسأل ، من أين أتى الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: حالة المشكلة تقول عنها سنويالفوائد المستحقة شهريا. كما تعلم ، في غضون عام من الأشهر ، على التوالي ، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدرك؟ حاول الآن كتابة الشكل الذي سيبدو عليه هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة تحسب يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ لنقارن النتائج:
أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا للشهر الثاني ، مع الأخذ في الاعتبار أن الفائدة يتم خصمها على مبلغ الإيداع المتراكم.
هذا ما حدث لي:
أو بعبارة أخرى:
أعتقد أنك قد لاحظت بالفعل نمطًا ورأيت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سيساوي أعضائه ، أو بعبارة أخرى ، مقدار الأموال التي سنحصل عليها في نهاية الشهر.
فعلت؟ تدقيق!
كما ترى ، إذا وضعت أموالًا في أحد البنوك لمدة عام بفائدة بسيطة ، فستتلقى روبل ، وإذا وضعتها بسعر مركب ، فستتلقى روبل. الفائدة صغيرة ، لكن هذا يحدث فقط خلال العام الثالث ، ولكن لفترة أطول ، تكون الرسملة أكثر ربحية:
ضع في اعتبارك نوعًا آخر من مشاكل الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته ، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. لذا فإن المهمة هي:
بدأت Zvezda الاستثمار في الصناعة في عام 2000 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2001 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. ما مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة Zvezda في نهاية عام 2003 ، إذا لم يتم سحب الربح من التداول؟
عاصمة شركة زفيزدا عام 2000.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2001.
- عاصمة شركة زفيزدا عام 2002.
- عاصمة شركة زفيزدا 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
لحالتنا:
2000 و 2001 و 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
لاحظ أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة إما بواسطة أو بواسطة ، حيث يتم إعطاء النسبة المئوية سنويًا ويتم احتسابها سنويًا. أي عند قراءة مشكلة الفائدة المركبة ، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة ، وفي أي فترة يتم تحصيلها ، وبعد ذلك فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
اكتشف - حل.
- ابحث عن مصطلح للتقدم الهندسي إذا كان معروفًا ، و
- أوجد مجموع المصطلحات الأولى للتقدم الهندسي ، إذا كان معروفًا ذلك ، و
- بدأت MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003 برأس مال بالدولار. في كل عام منذ عام 2004 ، حققت ربحًا يساوي رأس مال العام السابق. بدأت شركة "MSK Cash Flows" الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار ، وبدأت في تحقيق ربح في عام 2006 بمبلغ. ما هو عدد الدولارات التي يتجاوز فيها رأس مال شركة واحدة رأس مال شركة أخرى في نهاية عام 2007 ، إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن حالة المشكلة لا تشير إلى أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب للعثور على مجموع عدد معين من أعضائها ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة "MDM Capital":2003 ، 2004 ، 2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ ، أي مرتين.
على التوالى:
روبل
التدفقات النقدية لل MSK:2005 ، 2006 ، 2007.
- يزيد بمقدار مرات.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) التقدم الهندسي () هو متتالية عددية يختلف حدها الأول عن الصفر ، وكل حد يبدأ من الثاني يساوي السابق مضروبًا في نفس العدد. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة أعضاء التدرج الهندسي -.
3) يمكن أن تأخذ أي قيمة ، باستثناء و.
- إذا ، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم لديهم نفس العلامة - هم إيجابي;
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (الشروط المجاورة)
أو
، في (شروط متساوية البعد)
عندما تجده ، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتان..
فمثلا،
5) يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي ، فحينئذٍ:
أو
مهم!لا نستخدم صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي إلا إذا كان الشرط ينص صراحة على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
6) تُحسب أيضًا مهام الفائدة المركبة وفقًا لصيغة العضو الرابع في التدرج الهندسي ، بشرط ألا يتم سحب الأموال من التداول:
المتوالية الهندسية. باختصار حول الرئيسي
المتوالية الهندسية() هو متتالية عددية ، الحد الأول منها يختلف عن الصفر ، وكل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي السابق ، مضروبًا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا كان لدى جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم نفس العلامة - فهم إيجابيون ؛
- إذا ، ثم جميع الأعضاء اللاحقين للتقدم علامات بديلة ؛
- عندما - يسمى التقدم بالتناقص اللانهائي.
معادلة أعضاء التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيمحسوبة بالصيغة:
أو
المتوالية الهندسيةلا تقل أهمية في الرياضيات عن الحساب. التقدم الهندسي هو عبارة عن سلسلة من الأرقام b1 ، b2 ، ... ، b [n] يتم الحصول على كل عضو تالي عن طريق ضرب الرقم السابق في رقم ثابت. يسمى هذا الرقم ، الذي يميز أيضًا معدل النمو أو انخفاض التقدم مقام التقدم الهندسيوالدلالة
من أجل التخصيص الكامل للتقدم الهندسي ، بالإضافة إلى المقام ، من الضروري معرفة أو تحديد مصطلحه الأول. للحصول على قيمة موجبة للمقام ، يكون التقدم عبارة عن تسلسل رتيب ، وإذا كان هذا التسلسل من الأرقام يتناقص بشكل رتيب ويتزايد بشكل رتيب عندما. لا يتم النظر في الحالة التي يكون فيها المقام مساويًا لواحد من الناحية العملية ، نظرًا لأن لدينا سلسلة من الأرقام المتطابقة ، وجمعها ليس ذا فائدة عملية
مصطلح عام للتقدم الهندسيمحسوبة حسب الصيغة
مجموع أول n من الحدود للتقدم الهندسيتحددها الصيغة
دعونا نفكر في حلول مشاكل التقدم الهندسي الكلاسيكي. لنبدأ بأبسط ما يمكن فهمه.
مثال 1. الحد الأول للتقدم الهندسي هو 27 ، ومقامه 1/3. أوجد أول ستة حدود للتقدم الهندسي.
الحل: نكتب حالة المشكلة في النموذج
بالنسبة للحسابات ، نستخدم صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي
بناءً عليه ، نجد أعضاء غير معروفين من التقدم
كما ترى ، فإن حساب شروط التقدم الهندسي ليس بالأمر الصعب. سيبدو التقدم نفسه هكذا
مثال 2. يتم إعطاء العناصر الثلاثة الأولى للتقدم الهندسي: 6 ؛ -12 ؛ 24. أوجد المقام والحد السابع.
الحل: نحسب مقام التقدم الهندسي بناءً على تعريفه
حصلنا على تقدم هندسي متبادل مقامه -2. يتم حساب الحد السابع بواسطة الصيغة
في هذه المهمة يتم حلها.
مثال 3. يتم إعطاء تقدم هندسي من قبل اثنين من أعضائها 
. أوجد الحد العاشر من التقدم.
المحلول:
دعنا نكتب القيم المعطاة من خلال الصيغ
وفقًا للقواعد ، سيكون من الضروري إيجاد المقام ، ثم البحث عن القيمة المرغوبة ، ولكن بالنسبة للحد العاشر لدينا
يمكن الحصول على نفس الصيغة على أساس التلاعب البسيط ببيانات الإدخال. نقسم الحد السادس من المتسلسلة على آخر ، ونتيجة لذلك نحصل على
إذا تم ضرب القيمة الناتجة في الحد السادس ، نحصل على العاشرة
وبالتالي ، لمثل هذه المشاكل ، بمساعدة التحولات البسيطة بطريقة سريعة ، يمكنك إيجاد الحل الصحيح.
مثال 4. يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغ المتكررة
أوجد مقام التقدم الهندسي ومجموع أول ستة حدود.
المحلول:
نكتب البيانات المعطاة في شكل نظام معادلات
عبر عن المقام بقسمة المعادلة الثانية على الأولى
أوجد الحد الأول من التقدم من المعادلة الأولى
احسب المصطلحات الخمسة التالية لإيجاد مجموع التقدم الهندسي
درس وعرض حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف التاسع
القوى والجذور وظائف ورسوم بيانية
يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.
المتوالية الهندسية
تعريف. يُطلق على التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد ، بدءًا من الثاني ، مساويًا لمنتج السابق وبعض الأرقام الثابتة ، التسلسل الهندسي.دعونا نحدد تسلسلنا بشكل متكرر: $ b_ (1) = b $ ، $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $ ،
حيث b و q أرقام معينة معينة. الرقم q يسمى مقام التقدم.
مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون العضو الأول يساوي واحدًا ، و $ q = 2 دولار.
مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي يكون أول حد له ثمانية ،
و $ q = 1 دولار.
مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ثلاثة ،
و $ q = -1 دولار.
التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، $ q> 1 $ ،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر في التقدم الهندسي محدودًا ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.
$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ أنه إذا كان التسلسل عبارة عن تسلسل هندسي ، فإن تسلسل تربيع الحدود هو أيضًا تقدم هندسي. التسلسل الثاني له الحد الأول $ b_ (1) ^ 2 $ والمقام $ q ^ 2 $.
صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي
يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيف نفعل ذلك:$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
يمكننا بسهولة رؤية النمط: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
تسمى صيغتنا "صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي".
دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.
مثال. 1،2،4،8،16 ... تسلسل هندسي يساوي حده الأول واحدًا ،
و $ q = 2 دولار.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.
مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ستة عشر و $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي حيث يكون الحد الأول ثمانية و $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 دولارات.
مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تقدم هندسي ، حده الأول هو ثلاثة و $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.
مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) = 6 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) = 6، q = 2، b_ (n) = 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q = -2، b_ (6) = 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) = - 2، b_ (12) = 4096 $. ابحث عن q.
المحلول.
أ) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 دولار.
ب) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ منذ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7 ؛ ن = 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 دولار.
د) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 دولار.
مثال. الفرق بين العضوين السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع العضوين الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد العضو العاشر في هذا التقدم.
المحلول.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 دولار.
حصلنا على نظام المعادلات:
$ \ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (الحالات) $.
معادلة ، تحصل معادلاتنا على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) = 2، q_ (2) = - 1 $.
استبدل على التوالي في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) = 4 ، q = 2 $.
لنجد المصطلح العاشر: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.
مجموع التقدم الهندسي المحدود
افترض أن لدينا تقدمًا هندسيًا محدودًا. دعنا ، بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، نحسب مجموع أعضائه.لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعونا نقدم تدوين مجموع أعضائها: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q = 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع العضو الأول ، فمن الواضح أن $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المبلغ أعلاه في q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.
مثال.
أوجد مجموع أول سبعة حدود للتقدم الهندسي الذي حده الأول 4 ومقامه 3.
المحلول.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 دولار.
مثال.
أوجد العضو الخامس في التقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) = - 3 $؛ $ b_ (n) = - 3072 $ ؛ $ S_ (ن) = - 4095 دولار.
المحلول.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) = 1024 دولار.
$ q ^ (n) = 1024q دولار.
$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 دولار.
-4095 دولارًا (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) دولار.
-4095 دولار (q-1) = - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا = 1024 ك -1 دولار.
341Q = 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار = 4 دولارات.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 دولار.
خاصية مميزة للتقدم الهندسي
يا رفاق ، بالنظر إلى التقدم الهندسي. لنفكر في أعضائها الثلاثة المتتاليين: $ b_ (n-1) ، b_ (n) ، b_ (n + 1) $.نحن نعلم ذلك:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
ثم:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
إذا كان التقدم محدودًا ، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع المصطلحات باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا نوع التسلسل الذي يحتويه التسلسل ، ولكن من المعروف أن: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
ثم يمكننا القول بأمان أن هذا تقدم هندسي.
التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل من مصطلحاته مساويًا لمنتج الحدين المجاورين للتقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للمدة الأولى والأخيرة.
لنلقِ نظرة على هذه الهوية: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ يسمى المتوسط الهندسي لـ a و b.
يساوي مقياس أي عضو في التقدم الهندسي المتوسط الهندسي للعضوين المجاورين له.
مثال.
أوجد x مثل هذا $ x + 2 ؛ 2x + 2 ؛ 3x + 3 $ كانت عبارة عن ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.
المحلول.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 = 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 = 0 دولار.
$ x_ (1) = 2 $ و $ x_ (2) = - 1 $.
عوض بالتسلسل في التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x = 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 هو تقدم هندسي مع $ q = 1.5 $.
مع $ x = -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x = 2. $
مهام الحل المستقل
1. ابحث عن العضو الثامن الأول في التقدم الهندسي 16 ؛ -8 ؛ 4 ؛ -2 ...2. أوجد العضو العاشر للتقدم الهندسي 11،22،44….
3. من المعروف أن $ b_ (1) = 5 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (7) $.
4. من المعروف أن $ b_ (1) = 8، q = -2، b_ (n) = 512 $. تجد n.
5. أوجد مجموع أول 11 عضوًا للتقدم الهندسي 3 ؛ 12 ؛ 48….
6. أوجد x بحيث يكون $ 3x + 4؛ 2x + 4 ؛ x + 5 $ هي ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.
