خصائص الطائرات المتوازية. المستويات المتوازية ، وعلامات وشروط توازي المستويات

الدواء

( أنانحن سوف)

مدرس الرياضيات PU №3

Tuaeva Z.S.

2015

موضوع الدرس "التوازي بين المستويات"

نوع الدرس: درس في تعلم مواد جديدة.

الهدف الأساسي:

قدم مفهوم الطائرات المتوازية.

إثبات معيار لتوازي مستويين.

ضع في اعتبارك خصائص الطائرات المتوازية.

مهام:

تعليمي :

لتكوين مهارة تطبيق إشارة التوازي بين مستويين والخصائص المدروسة للمستويات المتوازية في حل المسائل.

تعليمي :

تنمية الخيال المكاني للطلاب ،

تنمية النشاط العقلي للطلاب.

تنمية التفكير المنطقي والعقلاني والنقدي والإبداعي والقدرات المعرفية لدى الطلاب.

تعليمي :

تعليم الدقة ، محو الأمية الرسومية.

استخدام تقنيات تعليمية جديدة: استخدام تكنولوجيا التعلم المشكلة.

خطة الدرس

II. تعلم مادة جديدة على السبورة التفاعلية بنموذج:

تعريف الطائرات المتوازية.

علامة التوازي بين طائرتين.

خصائص الطائرات المتوازية.

محادثة مع الطلاب حول القضايا التي يقوم فيها المعلم بإنشاء مواقف مشكلة بشكل منهجي وتنظيم أنشطة الطلاب لحل المشكلات التعليمية ، ويضمن الجمع الأمثل لأنشطتهم البحثية المستقلة مع استيعاب الاستنتاجات الجاهزة للعلم.

ثالثا. تكوين المهارات والقدرات

حل المشكلات ليستخدمها الطلابعلامة على التوازي بين مستويين وخصائص المستويات المتوازية. العمل المستقل للسيطرة على المكتسبة وإجراء الدمج الأولي للمواد

رابعا. الواجب المنزلي

تعليقات المعلم على الواجب المنزلي

خلال الفصول:

1. رسالة الموضوع والغرض من الدرس. رسالة خطة الدرس.

2. مرحلة تحديث المعرفة.

أسئلة للطلاب:

1. ما هي الخطوط في الفضاء تسمى متوازية؟

(يسمى خطان في الفضاء بالتوازي إذا كانا يقعان في نفس المستوى وليس لهما نقاط مشتركة)

2. صياغة تعريف التوازي للخط المستقيم والمستوى؟

(يسمى الخط والمستوى بالتوازي إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة)

3. صياغة البديهية الثالثة للقياس الفراغي؟

(إذا كانت هناك نقطة مشتركة بين طائرتين ، فسيكون لديهما خط مشترك تقع عليه جميع النقاط المشتركة لهذه الطائرات)

4. كيف يمكن تحديد موقع طائرتين في الفضاء؟

(مستويان إما يتقاطعان في خط مستقيم (الشكل 1 ، أ) أو لا يتقاطعان (الشكل 1 ، ب))

الشكل 1 ، الشكل 1 ، ب

3. تعلم مواد جديدة.

1. مشكلة التعلم : تحديد الطائرات المتوازية.

حالة التعلم :

أسئلة للطلاب:

1. كم عدد النقاط المشتركة بين طائرتين غير متقاطعتين؟

(ليست نقطة واحدة مشتركة)

2. ما هي أسماء الطائرات التي ليس لها نقطة مشتركة واحدة؟

(الطائرات المتوازية)

3. صياغة تعريف المستويات المتوازية ، بالنظر إلى عدد النقاط المشتركة بينهما؟

تسمى طائرتان بالتوازي إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة.

4. تحديد نماذج المستويات المتوازية على أغراض حجرة الدراسة؟

(أرضية وسقف خزانة ، جداران متقابلان ، سطح طاولة وطائرة أرضية)

2. مشكلة التعلم : صياغة وإثبات علامة على التوازي بين مستويين.

حالة التعلم :

يتم إعطاء الطلاب نموذج متوازي السطوح.

أسئلة للطلاب:

1. ما هو الموقع النسبي للطائرات و ?

(طائرة و موازى)

2. قم بتسمية أي خطين مستقيمين متقاطعين

(مستقيم AB ، مستقيم قبل الميلاد)

3. قم بتسمية الطائرات المستقيمة ، موازية للخطوط المستقيمةABو شمس ?

(
║
║

4. ما هو الوضع النسبي للخط المستقيمABوالطائرة ؟ برر الجواب.

(AB║ على أساس التوازي لخط مستقيم ومستوى: إذا كان خط مستقيم لا يقع في مستوى معين (
) ، يوازي بعض الخطوط المستقيمة الموجودة في هذا المستوى (
║

إذا وجد الطلاب صعوبة في تبرير الإجابة ، فلفت انتباههم إلى علامة التوازي لخط مستقيم ومستوى.

5. ما هو الموضع النسبي للخطشمسوالطائرة ؟ برر الجواب.

(صن على أساس التوازي لخط مستقيم ومستوى: إذا كان خط مستقيم لا يقع في مستوى معين (
) ، يوازي بعض الخطوط المستقيمة الموجودة في هذا المستوى (
║
) ، ثم موازية للمستوى نفسه)

6. افترض الطائرات و ليست موازية. كيف سيتم تحديد موقعهم بعد ذلك؟

(سوف تتقاطع الطائرات على طول خط مستقيم ج)

7. كيف سيتم تحديد موقع الخطوط في هذه الحالةAB ومع ?

(مع AB حسب العقار
) بالتوازي مع مستوى آخر (AB║
║AB))

8. كيف سيتم تحديد موقع الخطوط في هذه الحالةشمس ومع ?

(مع ║BC ، حسب الملكية : إذا مرت الطائرة عبر الخط المحدد (
) موازية لطائرة أخرى (BC║ ) ، ويتقاطع مع هذا المستوى (
) ، ثم يكون خط تقاطع المستويات موازٍ للخط المحدد (مع ║VS))

9. كم عدد الخطوط الموازية للخطمع يمر بالنقطةفي ?

(خطان: الخط AB ، الخط BC)

10. هل من الممكن؟

(هذا غير ممكن ، لأنه وفقًا لنظرية الخطوط المتوازية: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين ، يمر خط موازٍ للخط المعطى ، وعلاوة على ذلك ، يمر خط واحد فقط)

11. ما هو الاستنتاج الذي يمكن استخلاصه؟ هل افتراضنا صحيح؟

(افتراضنا غير صحيح ، يبقى أن نعترف بذلك ║)

12. كم عدد الخطوط المستقيمة المطلوبة في الطائرة الى الطائرة و كانت متوازية؟

(خطان مستقيمان)

13. ماذا يجب أن تكون هذه السطور فيما بينها؟

(متقاطعة)

14. كم عدد الخطوط المستقيمة التي يجب أن تكون موازية للمستوى ?

(اثنين)

15. صياغة علامة التوازي بين مستويين ، مع الأخذ في الاعتبار عدد الخطوط في مستوى واحد موازية لخطوط مستوى آخر؟

نتيجة خاتمة الطلاب:

إذا كان هناك خطان متقاطعتان في مستوى واحد متوازيين على التوالي لخطين من مستوى آخر ، فإن هذين المستويين متوازيين.

3. مشكلة التعلم : صياغة وإثبات خصائص الطائرات المتوازية.

حالة التعلم :

أسئلة للطلاب:

و ?

(الطائرات متوازية)

فيما يتعلق بالطائرات و ?

(طائرة يعبر الطائرة و )

3. ماذا يمكنك أن تقول عن خطوط تقاطع الطائرات؟

(خطوط تقاطع الطائرات متوازية مع بعضها البعض)

4. برّر إجابتك باستخدام تعريف الخطوط المتوازية في الفراغ.

(الخطان أ و ب يقعان في نفس المستوى) ولا تتقاطع ، لأنه إذا تقاطعت الخطوط ، فإن الطائرات و سيكون لها نقطة مشتركة ، وهو أمر مستحيل ، لأن هذه الطائرات متوازية)

5. قم بصياغة الخاصية الأولى للمستويات المتوازية ، مع مراعاة الموقع النسبي لخطوط التقاطعأو في ?

نتيجة خاتمة الطلاب:

إذا تقاطعت طائرتان متوازيتان بمقدار ثالث ، فإن خطوط تقاطعهما تكون متوازية.

حالة التعلم :

يُعطى الطلاب نموذجًا للمستويات المتوازية التي يتقاطع معها مستوى ثالث.

أسئلة للطلاب:

1. ما هو الموقع النسبي للطائرات و ?

(الطائرات متوازية)

2. كيف تقع الطائرة فيما يتعلق بالطائرات و ?

(طائرة يعبر الطائرة و )

3. ماذا يمكنك أن تقول عن الشرائحABو من د ?

(شرائح مجموعة من د بالتوازي مع بعضها البعض)

4. ماذا يمكنك أن تقول عن الشرائحتيار مترددو في د ?

(شرائح AU و في د موازية لبعضها البعض من خلال الخاصية 1 )

5. ما اسم الشكل الرباعي الذي يكون أضلاعه المتقابلة متوازية؟

(متوازي الاضلاع)

6. ما هي خصائص متوازي الأضلاع التي تعرفها؟

في متوازي الأضلاع ، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية

يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع

7. ماذا يمكنك أن تقول عن الشرائحABو من د باستخدام الخاصية الأولى لمتوازي الأضلاع؟

(شرائح مجموعة من د متساوون)

8. قم بصياغة الخاصية الثانية للطائرات المتوازية باستخدام مساواة المقاطعABو من د ?

نتيجة خاتمة الطلاب:

أجزاء الخطوط المتوازية المحاطة بين المستويات المتوازية متساوية.

4. تكوين المهارات والقدرات.

حل المشاكل

رقم المهمة 1. (رقم 54) (للعمل على علامة التوازي لطائرتين)

معطى :

يثبت :

║

تجد :

دليل - إثبات:

1.
- خط الوسط
MN ║ تيار متردد .

2. NP - خط الوسط
NP ║ قرص مضغوط .

MN ║ تيار متردد
( MNP )║( ADC ) على أساس التوازي 2 رر.

NP ║ قرص مضغوط

4.
مماثل
وفقًا للإشارة الثالثة للتشابه بين المثلثات (إذا كانت ثلاثة جوانب لمثلث واحد تتناسب مع ثلاثة جوانب أخرى ، فإن هذه المثلثات متشابهة)
(لأن نسبة مساحات مثلثين متشابهين تساوي مربع معامل التشابه)

إجابه :
.

رقم المهمة 2. (رقم 63 (أ)) (لحساب خصائص واحدة للطائرات المتوازية)

معطى:

║

تجد:

المحلول:

1. دعونا نثبت ذلك
║
.

لان

║(حسب الشرط)

║
. (بواقع خاصية واحدة للطائرات المتوازية)

2. دعونا نثبت ذلك
مماثل
.

، على النحو المقابل في
║
.and secant

وسائل،
مماثل
في زاويتين.

3. البحث
.

حسب الشرط

4. البحث
.

دعونا نصنع نسبة:

إجابه :

رقم المهمة 3. (رقم 65) (لممارسة خاصيتين للطائرات المتوازية)

معطى :

║

║
║

حدد :

نوع من رباعي الأضلاع

يثبت:

المحلول:

1. النظر في شكل رباعي
.

║
(حسب الشرط)

=

رباعي

2. النظر في شكل رباعي
.

║
(حسب الشرط)

=
(كأجزاء من خطوط متوازية محاطة بين مستويات متوازية ، الخاصية 2)
رباعي
متوازي الأضلاع

3. النظر في شكل رباعي
.

║
(حسب الشرط)

=
(كأجزاء من خطوط متوازية محاطة بين مستويات متوازية ، الخاصية 2)
رباعي
يقطع مثلثًا مشابهًا للمثلث المعطى. : ║ الواجب المنزلي.

§ 10 (ص 10-11) ص (20-21)

رقم 53 ، رقم 63 (ب).

الكتاب المدرسي: L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S.B Kadomtsev، L. S. Kiseleva، E.G Poznyak. الهندسة 10 ، 11. موسكو“ تعليم ” , 2002.

6. نتيجة الدرس.

قدمنا اليوم في الدرس مفهوم المستويات المتوازية ، وأثبتنا بشكل مستقل علامة التوازي بين طائرتين ، معتبرين خصائص المستويات المتوازية. تعلمنا حل مسائل الإثبات باستخدام إشارة التوازي بين مستويين ، لتطبيق الخصائص المدروسة للمستويات المتوازية في حل المسائل.

يتم النظر في علاقة التوازي بين المستويات وخصائصها وتطبيقاتها.

تمثيل مرئي لموقع شخصين

تعطي الطائرات النمذجة باستخدام أسطح أسطح الجدران المجاورة ، وسقف وأرضية الغرفة ، وأسرّة بطابقين ، ورقتين مثبتتين من الورق

السحرة ، إلخ (الشكل 242-244).

على الرغم من وجود عدد لا حصر له من الخيارات للوضع النسبي لمختلف المستويات ، لتحديد وتوصيف قياسات الزوايا والمسافات التي سيتم تطبيقها لاحقًا ، سنركز أولاً على تلك التي يتم فيها التصنيف (بالإضافة إلى الخطوط ذات المستويات) يعتمد على عدد النقاط المشتركة بينهما.

1. تحتوي طائرتان على ثلاث نقاط مشتركة على الأقل لا تقع على نفس الخط المستقيم. تتطابق هذه المستويات (البديهية C 2 ، §7).

2. توجد النقاط المشتركة لطائرتين على خط مستقيم واحد ، وهو خط تقاطع هذين المستويين (بديهية C 3 ، الفقرة 7). تتقاطع هذه الطائرات.

3. لا توجد نقاط مشتركة بين الطائرتين.

في في هذه الحالة يتم استدعاؤهمموازى-

تسمى طائرتان بالتوازي إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة.

يُشار إلى التوازي بين المستويات بواسطة ||: α || β.

كما هو الحال دائمًا ، عند تقديم المفاهيم الهندسية ،

هناك مشكلة في وجودهم. وجود الصليب-

الطائرات هي سمة مميزة للفضاء ،

وقد استخدمناه مرات عديدة من قبل. اقل وضوحا

وجود طائرات موازية. لا يوجد

يشك في أن ، على سبيل المثال ، طائرات الوجوه المتقابلة

المكعبات موازية لها ، أي أنها لا تتقاطع. لكن على الفور

بالتأكيد ، بحكم التعريف ، من المستحيل إثبات ذلك. للحل

السؤال المطروح ، فضلا عن القضايا الأخرى ذات الصلة

توازي المستويات ، من الضروري أن يكون لديك علامة على التوازي.

للبحث عن علامة ، فمن المستحسن النظر في الطائرة ،

"المنسوجة" من خطوط مستقيمة. من الواضح أن كل سطر من

يجب أن تكون الطائرات المتوازية موازية للطائرات الأخرى.

خلاف ذلك ، سيكون للطائرات نقطة مشتركة. دوستا-

هي توازيات المستوى β بالضبط لمستوى واحد مستقيم α

بحيث تكون الطائرات α و متوازيتين؟ غير مشروط

لكن لا (تبرر ذلك!). تظهر التجربة العملية ذلك

اثنين من هذه الخطوط المتقاطعة كافية. ليثبت

على الصاري منصة موازية للأرض ، يكفي وضعها

على عوارض متصلة بالصاري ، متوازية
ناي الأرض (الشكل 245). يمكن إحضار المزيد
أمثلة على تطبيق طريقة التقديم هذه
توازي الأسطح المسطحة الحقيقية
الأشياء (جربها!).
المنطق أعلاه يسمح لنا بالصياغة
قدم التأكيد التالي.
		(علامة الطائرات المتوازية).
		خطوط مستقيمة متقاطعة لمستوى واحد

موازية للمستوى الثاني ، فهذه المستويات متوازية.

 اجعل الخطوط المتقاطعة a و b للمستوى α موازية للمستوى β. دعنا نثبت أن المستويين α و متوازيان بالتناقض. لهذا ، نفترض أن المستويين α و يتقاطعان على طول الخط المستقيم

ر (الشكل 246). لا يمكن أن يتقاطع السطران أ و ب مع خطوط مستقيمة بافتراض. ومع ذلك ، في المستوى α ، يتم رسم خطين مستقيمين من خلال نقطة واحدة ، لا يتقاطعان مع الخط المستقيم m ، أي موازٍ له. إنه تناقض

ويكمل إثبات النظرية.

تُستخدم علامة توازي المستويات في الوضع الأفقي للهياكل المسطحة (الألواح الخرسانية ، والأرضيات ، ومقاييس الزوايا القرصية ، وما إلى ذلك) باستخدام مستويين موضوعين في مستوى الهيكل على خطوط متقاطعة. بناءً على هذه الميزة ، يمكنك بناء طائرة موازية للطائرة المحددة.

المهمة 1. من خلال نقطة تقع خارج المستوى المحدد ، ارسم مستوى موازيًا للمستوى المحدد.

اترك المستوي β والنقطة M خارج المستوي (الشكل 247 ، أ). لنرسم من خلال النقطة M خطين مستقيمين متقاطعين أ وب ، موازيين للمستوى β. للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ المستوى β خطين متقاطعين ج و د (الشكل 247 ، ب). ثم من خلال النقطة M ، ارسم خطوطًا مستقيمة أ وب ، موازية للخطوط المستقيمة ج ود ، على التوالي.

لكن (الشكل 247 ، ج).

الخطوط المتقاطعة أ و ب موازية للمستوى β ، بمعيار موازاة الخط والمستوى (نظرية 1 §11). إنها تحدد بشكل فريد الطائرة α. حسب المعيار المثبت α || β.

مثال 1. تم إعطاء المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، والنقاط M ، N ، P هي نقاط المنتصف للحواف BC ، B 1 C 1 ، A 1 D 1 ، على التوالي. اضبط الوضع النسبي للطائرات: 1) ABB 1 و PNM ؛ 2) NMA و A 1 C 1 C ؛ 3) 1 ميل بحري

وجهاز الكمبيوتر 1 ج ؛ 4) 1 درهم وديسيبل 1 ج.

 1) المستويان ABB 1 و РNM (الشكل 248) متوازيان ، على أساس التوازي بين المستويات (النظرية 1). في الواقع ، يتقاطع الخطان PN و NM ويتوازيان مع المستوي ABB 1 ، على أساس التوازي بين الخط والمستوى (النظرية 1 § 11) ، لأن المقاطع PN و NM يربطان بين نقاط المنتصف في الجانبين المتقابلين المربعات ، بحيث تكون موازية لجوانب المربعات:

PN || A 1 B 1، NM || B 1 B.

2) تتقاطع الطائرتان NMA و A 1 C 1 C على طول الخط المستقيم AA 1 (الشكل 249). في الواقع ، الخطان AA 1 و CC 1 متوازيان بحكم توازي المستقيمين (AA 1 || ВB 1، ВB 1 || СC 1). لذلك ، يقع الخط المستقيم AA 1 في المستوى A 1 C 1 C. إن انتماء الخط المستقيم AA 1 إلى المستوى NMA له ما يبرره بطريقة مماثلة.

3) المستويان A 1 NM و PC 1 C (الشكل 250) متوازيان ، على أساس التوازي بين المستويات. في الواقع ، NM || С 1 C. لذلك ، يكون الخط NM موازيًا للمستوى PC 1 C. الأجزاء PC 1 و A 1 N متوازيتان أيضًا ، نظرًا لأن الكمبيوتر الرباعي 1 NA 1 متوازي الأضلاع (A 1 P || NC 1، A 1 P = NC 1). وهكذا ، فإن الخط A 1 N موازٍ للمستوى PC 1 C. يتقاطع الخطان A 1 N و NM.

4) تتقاطع الطائرات MAD 1 و DB 1 C (الشكل 251). على الرغم من أنه ليس من السهل رسم خط تقاطعهما ، إلا أنه ليس من الصعب الإشارة إلى نقطة واحدة من هذا الخط. في الواقع ، الخطان A 1 D و B 1 C متوازيان ، لأن الشكل الرباعي A 1 B 1 CD متوازي أضلاع (A 1 B 1 = AB = CD ، A 1 B 1 || AB ، AB || CD). لذلك ، ينتمي الخط A 1 D إلى المستوى DB 1 C. يتقاطع الخطان A 1 D و AD 1 عند نقطة مشتركة بين المستويين MAD 1 و DB 1 C.


		انخفاض علامة التوازي بين الطائرات
		انخفاض علامة التوازي بين الطائرات
		في بعض الأحيان يكون من الأنسب استخدامه بشكل مختلف قليلاً


	1 ′ (علامة المستويات المتوازية).

باستخدام علامة التوازي لخط مستقيم ومستوى (نظرية 1 §11) ، من السهل إثبات أن حالة النظرية 1 تنبع من حالة النظرية 1 ′. ′.

بطبيعة الحال ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه حول تفرد البناء الوارد في المشكلة 1. نظرًا لأنه سيتعين علينا استخدام هذه الخاصية أكثر من مرة ، فإننا نفصلها كنظرية منفصلة. أولا ، ومع ذلك ، النظر في بيان آخر.

النظرية 2 (على تقاطع مستويين متوازيين بمقدار ثالث).

إذا تقاطعت طائرتان متوازيتان بواسطة مستوى ثالث ، فإن خطوط تقاطع المستويين تكون متوازية.

دع المستويين المتوازيين α و والمستوى يتقاطعان بينهما (الشكل 252). تشير إلى خطوط التقاطع

من خلال أ و ب. تقع هذه الخطوط في المستوى γ ولا تتقاطع ، لأن المستويين α و ليس لهما نقاط مشتركة. لذلك ، مباشرة

بلدي أ وب متوازيان.

النظرية 3 (حول وجود وتفرد مستوى موازٍ لطائرة معينة).

من خلال نقطة خارج مستوى معين ، يوجد مستوى واحد فقط موازٍ للمستوى المحدد.

 يتم تنفيذ بناء مثل هذا المستوى في المشكلة 1. وسوف نثبت تفرد البناء بالتناقض. لنفترض أن طائرتين مختلفتين α و تم رسمهما من خلال النقطة M ، pa-

المستويات المتوازية β (الشكل 253) ، والخط المستقيم م هو خط تقاطعهما. لنرسم من خلال النقطة M المستوى δ المتقاطع مع الخط المستقيم

م والطائرة β (كيف يمكن القيام بذلك؟). دلالة بواسطة و ب

خط تقاطع المستوى δ مع المستويين α و ، وعبر خط تقاطع المستويين و (الشكل 253). وفقًا للنظرية 2 ، أ || ج

و ب || ج. وهذا هو ، في من خلال الطائرة

يتم تمرير النقطة M بخطين مستقيمين موازيين للخطوط المستقيمة. يشير التناقض إلى عدم صحة الافتراض.

علاقة التوازي بين المستويات لها عدد من الخصائص التي لها نظائرها في قياس الكواكب.

النظرية 4 (على مقاطع من الخطوط المتوازية بين المستويات المتوازية).

تتساوى أجزاء الخطوط المتوازية المقطوعة بمستويات متوازية مع بعضها البعض.

 دع طائرتين متوازيتين α و والقطاعات AB

و CD خطوط متوازية a و d ، مقطوعين بهذه المستويات (الشكل 254 ، أ). دعونا نرسم المستوى γ عبر الخطين أ ود (الشكل 254 ، ب). إنه يتقاطع مع المستويين α و على طول الخطين AC و BD ، اللذين ، وفقًا للنظرية 2 ، متوازيان. إذن ، الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع ، والضلعان المقابلان AC و BD متساويان.

ويترتب على الخاصية المذكورة أعلاه أنه إذا وضعنا جانبًا من جميع نقاط المستوى

مقاطع متوازية من نفس الطول على جانب واحد من المستوى ، ثم تشكل نهايات هذه المقاطع مستويين متوازيين. بناءً على هذه الخاصية ، يعتمد بناء خط متوازي عن طريق ترسيب المقاطع (الشكل 255).

النظرية 5 (حول عابرة علاقة التوازي بين المستويات).

إذا كانت كل من المستويين موازية للطائرة الثالثة ، فإن هذين المستويين متوازيان مع بعضهما البعض.

 دع الطائرتين α و موازية للمستوى γ. لنفترض ذلك

α و β ليست موازية. بعد ذلك ، يكون للمستويين α و نقطة مشتركة ، ويمر طائرتان مختلفتان عبر هذه النقطة ويتوازيان مع المستوى γ ، وهو ما يتعارض مع النظرية 3. لذلك ، لا يوجد لدى المستويين α و نقاط مشتركة ، أي أنهما موازى.

النظرية 5 هي علامة أخرى على التوازي بين المستويات. يستخدم على نطاق واسع في كل من الهندسة والأنشطة العملية. على سبيل المثال ، في مبنى متعدد الطوابق ، يضمن التوازي بين مستويات الأرضية والسقف في كل طابق التوازي في الطوابق المختلفة.

المشكلة 2. برهن أنه إذا تقاطع الخط a مع المستوى α ، فإنه يتقاطع أيضًا مع كل مستوى موازٍ للمستوى α.

 اجعل المستويين α و متوازيين ، والخط أ يتقاطع مع المستوى α عند النقطة أ. دعونا نثبت أنه يتقاطع أيضًا مع المستوى

β. لنفترض أن هذا ليس هو الحال. ثم الخط المستقيم a يوازي المستوى β. لنرسم المستوى γ عبر الخط المستقيم أ ونقطة اعتباطية للمستوى β (الشكل 256).

يتقاطع هذا المستوى مع المستويات المتوازية α و على طول الخطوط المستقيمة b و. شارك-

حسب النظرية 2، b || ج ، أي في المستوى γ عبر النقطة أ ، يمر خطان أ وب موازيان للخط ج . هذا التناقض يثبت التأكيد.

حاول أن تثبت بنفسك أنه إذا تقاطع مستوى α مع مستوى ، فإنه يتقاطع أيضًا مع كل مستوى موازي للمستوى β.

مثال 2. في رباعي السطوح ABCD ، النقاط K و F و E هي نقاط المنتصف للحواف DA و DC و DB و aM و P هي مراكز كتلة الوجوه ABD و BCD على التوالي.

1) تعيين الوضع النسبي لطائرات KEF و ABC ؛

DEF و ABC.

2) انشاء خط تقاطع طائرتى AFB و KEC.

3) أوجد مساحة المقطع العرضي للرباعي السطوح بواسطة مستوى موازٍ للمستوى ABD ويمر بالنقطة P ، إذا كانت جميع حواف رباعي الوجوه متساوية.

 لنقم ببناء صورة مطابقة للحالة (الشكل 257 ، أ). 1) المستويان KEF و ABC متوازيان ، على أساس التوازي بين المستويات (النظرية 1 '): الخطوط المتقاطعة KE و KF للمستوى KEF موازية للخطوط المتقاطعة AB و AC للمستوى ABC ( خطوط الوسط المقابلة

رسم مثلثات).

يتقاطع المستويان DEF و ABC على طول الخط BC ، نظرًا لأن الخط BC ينتمي إلى كلا المستويين ، ولا يمكن أن تتطابق - النقاط A و B و C و D لا تقع في نفس المستوى.

2) يتقاطع المستوى AFB مع المستوى KEC على طول خط مستقيم يحتوي على النقطة P ، نظرًا لأن الخطين CE و BF الموجودين في هذه الطائرات موجودان في المستوى BCD ويتقاطعان عند النقطة P. نقطة أخرى هي نقطة تقاطع خطوط Q AF و CK في المستوى ACD (الشكل 257 ، ب). من الواضح أن هذه النقطة هي مركز كتلة وجه ACD. التقاطع المطلوب هو الخط PQ.

3) دعونا نبني القسم المحدد في الشرط ، باستخدام علامة التوازي بين المستويات. دعونا نرسم خطوطًا من خلال النقطتين P و Q بالتوازي مع الخطين DB و DA ، على التوالي (الشكل 257 ، ج). تتقاطع هذه الخطوط مع مقطع CD عند النقطة L. هذا الأخير يأتي من خاصية مركز كتلة المثلث - يقسم متوسطات المثلث بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى. يبقى تطبيق نظرية طاليس. وبالتالي ، فإن الطائرات PLQ و BDA متوازيتان. المقطع المطلوب هو المثلث LSN.

من خلال البناء ، تتشابه المثلثات BCD و SCL مع معامل التشابه CE CP = 3 2. لذلك ، LS = 3 2 دينار بحريني. وبالمثل ، فإن

تمت إضافة المساواة: LN = 3 2 AD ، NS = 3 2 AB. هذا يعني أن المثلثات LSN و ABD متشابهة مع معامل التشابه 3 2. حسب خصائص مناطق المثلثات المتشابهة ،

S LNS = 4 9 S ABD. يبقى إيجاد مساحة المثلث ABD. بواسطة-

منذ ذلك الحين ، حسب الشرط ، جميع حواف رباعي الوجوه تساوي a ، ثم S ABD = 4 3 a 2.

المنطقة المرغوبة هي 3 1 3 a 2.

من المناسب الانتباه إلى حقيقة أن الإجابة تعتمد فقط على مساحة الوجه ABD. لذلك ، فإن المساواة بين جميع الحواف ليست سوى وسيلة للعثور على هذه المنطقة. وبالتالي ، يمكن تعميم هذه المشكلة إلى حد كبير.

إجابه. 1) KEF || ABC ؛ 3) 3 1 3 أ 2.

 أسئلة التحكم

1. هل صحيح أن مستويين متوازيان إذا كان كل خط في مستوى واحد موازيًا للمستوى الآخر؟

2. المستويان α و متوازيان. هل توجد خطوط متقاطعة في هذه الطائرات؟

3. ضلعا مثلث متوازيان مع مستوى ما. هل الضلع الثالث في المثلث موازي لهذا المستوى؟

4. ضلعا متوازي الأضلاع متوازيان مع مستوى ما. هل صحيح أن مستوى متوازي الأضلاع يوازي المستوى المعطى؟

5. هل يمكن أن تكون أجزاء الخطين المستقيمين المقطوعين بمستويات متوازية غير متساوية؟

6. هل يمكن أن يكون المقطع العرضي للمكعب شبه منحرف متساوي الساقين؟ هل يمكن أن يكون قسم المكعب خماسيًا منتظمًا؟ هل صحيح أن مستويين متوازيين لخط واحد متوازيان؟

خطوط تقاطع المستويين α و بالمستوى γ موازية لبعضهما البعض. هل الطائرات α و متوازيتان؟

هل يمكن أن تكون ثلاثة أوجه للمكعب موازية لنفس المستوى؟

تمارين بيانية

1. يوضح الشكل 258 مكعبًا ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، والنقاط M ، N ، K ، L ، P هي النقاط الوسطى للحواف المقابلة. املأ الجدول وفقًا للعينة المحددة ، واختر الترتيب المطلوب للطائرات α و.

مشترك

موقعك

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1KP
و ADC	و BB1D	و MNP	و BMN

	B1KP	A1 DC1	A1 C1 ج
و PLN	و DMN	و AB1C	و MKP

2. في التين. يوضح الشكل 259 رباعي السطوح ABCD ، والنقاط K و F و M و N و Q هي نقاط المنتصف للحواف المقابلة. حدد:

1) طائرة تمر عبر النقطة K الموازية للمستوى ABC ؛

2) طائرة تمر عبر الخط BD الموازي للمستوى MNQ.

3. حدد قسم الشكل الذي يمر به مستوى يمر عبر النقاط الثلاث الموضحة في الشكل.

kah 260، a) –e) و 261، a) –d).

4. بناء رسم وفقا للبيانات المعطاة.

1) من رؤوس متوازي الأضلاع ABCD ، الواقعة في أحد المستويين المتوازيين ، يتم رسم خطوط متوازية تتقاطع مع المستوى الثاني ، على التوالي ، عند النقاط A 1 ، B 1 ، C 1 ، D 1.

2) المثلث A 1 B 1 C 1 هو إسقاط المثلث ABC على المستوى α الموازي له. النقطة M هي منتصف BC ، M 1 هي إسقاط النقطة M على المستوى α.

207. في المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 نقطة O ، O 1 هي مراكز الوجوه ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 على التوالي ، M هي منتصف الحافة AB.

1 °) تحديد الموقع النسبي للطائرات MO 1 O

و ADD 1 و ABD 1 و CO 1 C 1.

2 °) قم ببناء نقطة تقاطع المستوى DCC 1 والخط MO 1 وخط تقاطع المستويين MCC 1 و A 1 D 1 C 1.

3) أوجد مساحة المقطع العرضي للمكعب بمستوى موازٍ للمستوى AD 1 C 1 ويمر بالنقطة O 1 إذا كانت حافة المكعب تساوي a.

208. في النقاط الرباعية السطوح ABCD ، K ، L ، P هي مراكز كتلة الوجوه ABD ، BDC ، ABC على التوالي ، aM هي نقطة منتصف الحافة AD.

1 °) تحديد الوضع النسبي لطائرات ACD

و KLP ؛ MLK و ABC.

2 °) بناء نقطة تقاطع المستوى ABC والخط ML وخط تقاطع الطائرات MKL و ABC.

3) أوجد مساحة المقطع العرضي للرباعي السطوح بواسطة مستوى يمر عبر النقاط K و L و M الموازية للخط المستقيم AD ، إذا كانت جميع حواف الرباعي السطوح متساوية.

209- المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 معطى. النقاط L و M و M 1 هي نقاط المنتصف للحواف AB و AD و A 1 D 1 على التوالي.

1 °) تحديد الموقع النسبي للطائرات ب 1 د 1 د

و LMM1.

2) قم ببناء طائرة تمر عبر النقطة M الموازية للمستوى ACC 1.

3) قم بإنشاء قسم من المكعب بواسطة مستوى يمر عبر النقطة M 1 بالتوازي مع المستوى CDD 1.

4) تحديد الموقع النسبي للطائرات MA 1 IN 1

و CDM1.

5) قم ببناء مستوى يمر عبر الخط C 1 D 1 بالتوازي مع المستوى CDM 1.

210. في هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD ، جميع الأضلاع متساوية مع بعضها البعض. النقاط L و M و N هي نقاط المنتصف للحواف AS و BS و CS على التوالي.

1 °) تحديد الموضع النسبي لكل من: الخطوط المستقيمة LM و BC ؛ الخط المستقيم LN والمستوى ABD ؛ طائرات LMN و BDC.

2 °) إثبات أن المثلثين ABC و LMN متشابهان.

3) بناء قسم من الهرم بواسطة مستوي AMN ؛ طائرة LMN طائرة LBC.

4 *) أي قسم من أقسام الهرم المار بالرأس S به أكبر مساحة؟

التوازي بين الخطوط والطائرات

في رباعي الوجوه SABC ، تكون جميع الوجوه مثلثات منتظمة. النقاط L و M و N هي نقاط المنتصف للحواف AS و BS و CS على التوالي. 1 °) حدد الموضع النسبي للخطين LM و BC. 2 °) حدد الموضع النسبي للخط المستقيم LN والمستوى ABC.

3) إثبات أن المثلثين LMN و ABC متشابهان.


من رءوس متوازي الأضلاع ABCD الموجودة في أحد
طائرتان متوازيتان ، مرسومة في أزواج متوازية
خطوط مستقيمة lele تتقاطع مع المستوى الثاني المقابل
مباشرة عند النقاط أ 1 ، ب 1 ، ج 1 ، د 1.
1 °) برهن أن الشكل الرباعي A 1 B 1 C 1 D 1 متوازي

2 °) إثبات أن متوازي الأضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1
متساوون.
3 °) تحديد الموقع النسبي للطائرات ABB 1
و DD1 C1.
4) ارسم مستوى خلال منتصف الجزء AA 1 بحيث
بحيث يتقاطع مع الخطوط المعينة في النقاط التي -
برؤوس متوازي الأضلاع تساوي متوازي الأضلاع
mu ABCD.
بالنظر إلى طائرتين متوازيتين ونقطة O ، لا تنتمي إلى
الضغط على أي من هذه الطائرات وعدم الكذب بينهما
هم. من النقطة O		يتم رسم ثلاثة عوارض تتقاطع مع المستوى
العظام ، على التوالي ، عند النقاط أ ، ب ، ج ، أ 1 ، ب 1 ، ج 1 ولا تكذب
في نفس الطائرة.
1 °) تحديد الموقع النسبي لهذه الطائرات
وطائرة تمر عبر نقاط المنتصف للمقاطع AA 1 و BB 1 و CC 1.
2) أوجد محيط المثلث A 1 B 1 C 1 إذا كانت OA = m ،
AA 1 = n ، AB = c ، AC = b ، BC = a.
المثلث أ 1 ب 1 ج 1 إسقاط للمثلث أ ب ج
على المستوى α الموازي لها. النقطة M - منتصف المائة
روني قبل الميلاد ؛ م 1 - إسقاط النقطة م			إلى الطائرة α. نقطة ن
يقسم الضلع AB		بنسبة 1: 2.	الطائرة M 1 MN والمستقيمة
1) قم ببناء نقطة التقاطع N 1
بلدي أ 1 ب 1.
2) تحديد شكل الرباعي M 1 N 1 NM.
	يقع M خارج مستوى شبه المنحرف ABCB مع القاعدة-
ميل ميلادي	و BC. إنشاء خط تقاطع الطائرات:
1 °) ABM و CDM ؛		2) CBM و ADM.

قم ببناء قسم من المكعب يكون: 1) مثلث متساوي الأضلاع ؛ 2) البنتاغون.

217. أنشئ مقطعًا من رباعي السطوح متوازي الأضلاع.

218 درجة. إثبات أن الوجوه المقابلة لخط متوازي السطوح متوازية.

219- برهن على أن مجموعة جميع الخطوط التي تمر عبر نقطة معينة وبالتوازي مع مستوى معين تشكل مستوى موازيًا للمستوى المعطى.

220. نظرا لأربع نقاط A ، B ، C ، D ، عدم الكذب في نفس المستوى. أثبت أن كل مستوى موازي للخطين AB و CD يتقاطع مع الخطوط AC و AD و BD و BC عند رؤوس متوازي الأضلاع.

221. إثبات أن المستوى والخط غير المنتمين إلى هذا المستوى متوازيان إذا كانا متوازيان مع نفس المستوى.

222- يتم رسم مستوى من خلال نقطة التقاطع O لأقطار المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 الموازي للوجه ABCD. يتقاطع هذا المستوى مع الحواف BB 1 و CC 1 عند النقطتين M و N ، على التوالي. إثبات أن الزاوية MON هي الزاوية اليمنى.

223. إثبات أن مستويين متوازيان إذا وفقط إذا كان كل خط يتقاطع مع أحد المستويين يتقاطع مع الآخر.

224 *. في الهرم الثلاثي SABC من خلال المقطعين AD و CE ، حيث D هو منتصف SB ، و E هو منتصف SA ، ارسم أقسامًا من الهرم موازية لبعضها البعض.

225. ابحث عن أماكن هندسية:

1) نقاط المنتصف لجميع الأجزاء ذات النهايات على مستويين متوازيين معينين ؛ 2 *) نقاط المنتصف لمقاطع لها نهايات على خطين متقاطعين معينين.

226 *. الضلع AB للمثلث ABC الموجود في المستوى α يوازي المستوى β. مثلث متساوي الأضلاع A 1 B 1 C 1 هو إسقاط متوازي للمثلث ABC على المستوى β ؛ AB \ u003d 5 ، BC \ u003d 6 ، AC \ u003d 9.

1) اضبط الموضع النسبي للخطوط المستقيمة AB و A 1 B 1 ،

BC و B1 C1 و A1 C1 و AC.

2) أوجد مساحة المثلث أ 1 ب 1 ج 1.

227 *. نظرا لخطين متقاطعين. حدد مجموعة كل النقاط في الفراغ والتي يمكن من خلالها رسم خط يتقاطع مع كل من الخطين المحددين.

التعريف الأساسي

تم استدعاء الطائرتين

متوازية ،

إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

البيانات الرئيسية

علامة التوازي إذا كان هناك خطان متقاطعان في مستوى واحد من المستوى موازيان على التوالي لخطين من المستوى الثاني ، فإن هذه المستويات

العظام متوازية.

نظرية ني التوازي إذا تم تقاطع تقاطعين متوازيين لطائرتين متوازيتين بمستوى ثالث ، عندئذٍ

هؤلاء متوازون.

أ α ، ب α ، أ × ب ، ج β ، د β ، أ || ج ، ب || د α || β

α || β ، أ = γ∩α ، ب = γ∩βa || ب

Mα

β: α || β ، م β

الاستعداد للموضوعات

لمن تقييم حول موضوع "موازية الخطوط والطائرات"

مهام ضبط النفس

1. النقاط الأربع لا تنتمي إلى نفس المستوى. هل يمكن لثلاثة منهم أن يرقدوا على نفس الخط؟

2. هل يمكن أن تشترك ثلاث طائرات مختلفة في نقطتين بالضبط؟

3. هل يمكن أن يتوازى خطان متقاطعان مع خط ثالث في نفس الوقت؟

4. هل هذا صحيح على التواليلا يتوازى a و b إذا لم يكن هناك خط c موازٍ لـ a و b؟

5. هل يمكن أن يكون لشرائح متساوية توقعات غير متكافئة؟

6. هل يمكن أن يكون الشعاع إسقاطًا متوازيًا لخط؟

7. هل يمكن أن يكون المربع صورة لمكعب؟

8. هل صحيح أنه من خلال نقطة معينة في الفضاء لا يمكن أن يكون هناك سوى مستوى واحد موازٍ لخط معين؟

9. هل من الممكن دائمًا رسم خط عبر نقطة معينة موازية لمستويين معينين لا يحتويان على هذه النقطة؟

10. هل من الممكن رسم مستويات متوازية من خلال خطين متقاطعين؟

إجابات على مهام ضبط النفس

عينة الاختبار

متوازي الأضلاع ABCD و ABC 1 D 1 يقعان في مستويات مختلفة.

1 °) حدد الموضع النسبي للخطين CD و C 1 D 1.

2 °) حدد الموضع النسبي للخط ج 1 د 1 والمستوى

3 °) قم بإنشاء خط تقاطع للطائرات DD 1 C 1 و BCC 1.

4 °) تحديد الموضع النسبي للطائرات ADD 1 و BCC 1.

5) من خلال النقطة M ، قسمة الجزء AB على نسبة 2: 1 ، بالعد من النقطة A ، ارسم مستوى α موازٍ للمستوى C 1 قبل الميلاد. 6) أنشئ نقطة تقاطع الخط AC مع المستوى α وابحث عن النسبة التي تقسم بها هذه النقطة المقطع AC.

		التوازي بين الخطوط والطائرات
الترتيب المتبادل للخطوط في الفضاء
			الجدول 21
	عدد النقاط المشتركة
اثنان على الأقل
		تكذب في واحد	لا تكذب في واحد
		طائرة	طائرة نوح

الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة والطائرات في الفضاء

			الجدول 22

	عدد النقاط المشتركة
اثنان على الأقل		مفقود

يكمن في α	ويتقاطع مع α	وأنا α - موازية-
(و α)	(أ × α)	نيويورك (أ \|\| α)
الترتيب المتبادل للطائرات في الفضاء
		الجدول 23
	عدد النقاط المشتركة
ثلاثة على الأقل	ليس أقل من واحد ولكن	مفقود
لا تكذب	لا توجد نقاط مشتركة ، لا	مفقود
خط مستقيم واحد	الضغط في خط مستقيم واحد

حساب المثاثات

لقد تعاملت بالفعل مع الدوال المثلثية في دروس الهندسة. حتى الآن ، اقتصرت تطبيقاتهم بشكل أساسي على حل المثلثات ، أي أنها كانت تتعلق بإيجاد بعض عناصر المثلث من الآخرين. من المعروف من تاريخ الرياضيات أن ظهور علم المثلثات مرتبط بقياس الأطوال والزوايا. ومع ذلك ، الآن النطاق

لها التطبيقات أوسع بكثير مما كانت عليه في العصور القديمة.

كلمة "علم المثلثات" تأتي من اليونانية τριγωνον

(تريغونون) - مثلث و µετρεω (ميتريو) - أقيس ، أغير

ريو. يعني حرفيا قياس المثلثات.

في ينظم هذا الفصل المادة المعروفة لك بالفعل من دورة الهندسة ، ويواصل دراسة الوظائف المثلثية وتطبيقاتها لتوصيف العمليات الدورية ، على وجه الخصوص ، الحركة الدورانية ، والعمليات التذبذبية ، إلخ.

تتعلق معظم تطبيقات علم المثلثات بالعمليات الدورية على وجه التحديد ، أي العمليات التي تتكرر على فترات منتظمة. إن شروق الشمس وغروبها ، وتغير الفصول ، ودوران العجلة هي أبسط الأمثلة على مثل هذه العمليات. التذبذبات الميكانيكية والكهرومغناطيسية هي أيضًا أمثلة مهمة للعمليات الدورية. لذلك ، فإن دراسة العمليات الدورية مهمة مهمة. ودور الرياضيات في حلها حاسم.

الاستعداد لدراسة موضوع "الدوال المثلثية"

يُنصح ببدء دراسة موضوع "الدوال المثلثية" بتكرار تعريفات وخصائص الدوال المثلثية لزوايا المثلثات وتطبيقاتها لحل المثلثات القائمة على الزاوية والمثلثات التعسفية.

الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزوايا مستطيل

مثلث

الجدول 24

جيب الزاوية الحادة هو نسبة الساق المعاكسة إلى الوتر:

sinα = أ ج.

جيب تمام الزاوية الحادة هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

cosα = ب ج.

ظل الزاوية الحادة هو نسبة الساق المقابلة إلى المجاورة:

tgα = أ ب.

ظل التمام للزاوية الحادة هو نسبة الساق المجاورة إلى الضلع المقابل:

ctga = أ ب.

الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا من 0 درجة إلى 180 درجة

الجدول 25

الخطيئة α = R y ؛ cosα = R x ؛

tgα = س ص ؛ ctga = x ذ.

(X;في) - إحداثيات النقطة لكنتقع على نصف الدائرة العلوي ، α - الزاوية التي شكلها نصف القطر OAدائرة مع المحور X.

قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل

بعض الزوايا

الجدول 26

ركن ر

0°

90°

180°

الخطيئة ر

كوس ر

tg ر

ctg ر

الدوال المثلثية

حل المثلثات العشوائية

الجدول 27

نظرية الجيب

تتناسب جوانب المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة:

الخطيئة أα = الخطيئة بβ = الخطيئة جγ .

نظرية جيب التمام

مربع الضلع العشوائي للمثلث يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين دون مضاعفة حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب تمام الزاوية بينهما:

ج2 = أ2 + ب2 − 2 أبكوس γ ،ب2 = أ2 + ج2 − 2 أكوس β , أ2 = ب2 + ج2 − 2 قبل الميلادكوس α .

مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ضلعيه وجيب الزاوية بينهما:

س=1 2 أبالخطيئةγ = 1 2 أالخطيئةβ = 1 2 قبل الميلادالخطيئةα .

الهويات المثلثية الأساسية

)

الجدول 28

0 ° ≤ α ≤ 180 درجة

الخطيئة 2 α + كوس 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180 درجة ، α ≠ 90 درجة

1 +tgα = كوس2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

الخطيئة 2 α

مثلث معين ABC,من= 90 درجة ، شمس=3 ,AB= 2. ما هو

في ?

ب. 45 °.

في. 60 °.

لكن. 30 °.

ج.من المستحيل الحساب بدون أدوات حسابية.

مثلث معين

ABC , من

شمس= 3,

في= 60 درجة. ما يساوي

AB ?

لكن. 3

ب. 6.

3 .

بالنظر إلى أضلاع المثلث القائم ، أوجد

جيب التمام لزاويته الأصغر: أ= 3,ب= 4,ج

لكن. 0,8.

أي من القيم المعطاة لا يمكن أن تأخذها

عقل زاوية حادة؟

7 − 1

7 2

لكن.

5. قارن مجموع جيوب الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية (نشير إليه بـلكن) مع الوحدة.

< 1. ب.لكن= 1.

> 1. ج.من المستحيل المقارنة. رتب بترتيب تصاعدي: أ= الخطيئة 30 درجة ، ب= cos 30 درجة ،

= Tg 30 درجة.

< ب<ج.ب.أ<ج<ب

الدوال المثلثية

لأي زوايا حادة يكون الجيب أقل من جيب التمام؟

للجميع.

لأصغر 45 درجة.

ل 45 درجة كبيرة.

ج.لا شيء.

ما هو جيب التمام

α ، إذا كانت α زاوية حادة لمثلث مستطيل

مربع و الخطيئةα =

12 .

طول ظل الشجرة 15 م ، تشكل أشعة الشمس زاوية

30 درجة مع سطح الأرض. ما هو الارتفاع التقريبي

شجرة؟ اختر النتيجة الأكثر دقة.

ب. 13 م.

في. 7 م.

ما هي قيمة التعبير

1 − x2

في X= – 0,8?

ب. –0,6.

ج.≈ 1,34.

من الصيغة أ2 +ب2 =4 التعبير ب< 0 черезأ.

لكن.ب=4 −أ2 .

ب.ب=أ2 −4 .

ب= −أ2

− 4 .

ب= −4 −أ2 .

نقطة لكن

تقع في الربع الثالث على مسافة 3 من المحور Xو

على مسافة

10 من الأصل. ما هي الاحداثيات

لديه نقطة لكن?

ب.(−1; 3).

في.(−1; −3).

ج.(−3; −1).

النقاط التالية

ينتمي

الدوائر

x 2+ ذ 2

= 1?

ب.(0,5; 0,5).

. ج.

15. حدد إحداثيات النقطةلكنملقاة على دائرة نصف قطرها 1 (انظر الشكل).

(−1; 0).ب.(1; 0).

(0; − 1). ج.(0; 1).لكن.في.

قد تكون طائرتان في الفضاء متوازيتين أو قد تتقاطعان ، كما هو موضح في الجدول التالي.

طائرتان متقاطعتان

تعريف:
تم استدعاء الطائرتين متقاطعة، اذا هم لا تتطابق، ولديهم هناك نقاط مشتركة. عندما تتقاطع طائرتان ، تداخلهذه الطائرات هو خط مستقيم.

طائرتان متوازيتان

تعريف:
طائرتان تسمى متوازية إذا كانت ليس لديهم نقاط مشتركة.

علامات التوازي بين طائرتين

أول علامة على التوازي بين طائرتين. إذا كان اثنان خطوط متقاطعةخطوط متقاطعة، يرقد في نفس الطائرة ، على التوالي متوازيةمتوازيةخطان مستقيمان يقعان في مستوى آخر ، ثم تكون هذه الطائرات متوازية.

دليل - إثبات . ضع في اعتبارك الشكل 1 ، الذي يوضح المستويين α و

يقع الخطان a و b في المستوى α ويتقاطعان عند النقطة K. يقع الخطان c و d في المستوى β وهما متوازيان مع الخطين a و b على التوالي.

سنثبت أول علامة على التوازي بين مستويين بطريقة "التناقض". للقيام بذلك ، نفترض أن المستويين α و ليسا متوازيين. لذلك ، يجب أن تتقاطع الطائرات α و وتتقاطع على طول خط مستقيم. نشير إلى الخط المستقيم الذي تتقاطع فيه الطائرات α و مع الحرف l (الشكل 2) ونستخدم علامة موازاة الخط المستقيم والمستوى.

يمر المستوى α عبر الخط a ، بالتوازي مع الخط c ، ويتقاطع مع المستوى β على طول الخط l. ومن ثم ، فإننا نستنتج أن المستقيمين a و l متوازيان. في الوقت نفسه ، يمر المستوى α عبر الخط b الموازي للخط d ويتقاطع مع المستوى β على طول الخط l. من هنا ، بحكم خاصية التوازي بين الخط والمستوى ، نستنتج أن الخطين b و l متوازيان. وهكذا ، حصلنا على أن سطرين يمران بالنقطة K على المستوى α ، وهما الخطان a و b , التي هي موازية للخط ل. التناقض الناتج مع بديهية الخطوط المتوازيةيجعل من الممكن التأكيد على أن الافتراض بأن المستويين α و يتقاطعان غير صحيح. تم الانتهاء من إثبات المعيار الأول للتوازي بين طائرتين.

العلامة الثانية للتوازي بين طائرتين. إذا كان هناك خطان متقاطعتان في مستوى واحد متوازيين مع مستوى آخر ، فإن هذه الطائرات تكون متوازية.

دليل - إثبات . ضع في اعتبارك الشكل 3 ، الذي يوضح المستويين α و.

يوضح هذا الشكل أيضًا الخطين a و b ، اللذين يقعان في المستوى α ويتقاطعان عند النقطة K. من خلال الافتراض ، يكون كل من الخطين a و b موازيين للمستوى β. مطلوب إثبات أن الطائرتين α و متوازيتان.

إن إثبات هذا التأكيد مشابه لإثبات المعيار الأول لكون مستويين متوازيين ، ونتركه للقارئ كتمرين مفيد.

على موقعنا الإلكتروني ، يمكنك أيضًا التعرف على المواد التعليمية التي طورها مدرسو مركز تدريب Resolventa للتحضير لامتحان الرياضيات.

دروس فردية مع مدرسين في الرياضيات واللغة الروسية

في هذا الدرس ، سنقدم تعريفًا للمستويات المتوازية ونتذكر البديهية حول تقاطع مستويين. بعد ذلك ، سنثبت نظرية - علامة على توازي المستويات ، وبالاعتماد عليها ، سنحل العديد من المشكلات على التوازي بين المستويات.

الموضوع: التوازي بين الخطوط والمستويات

الدرس: الطائرات المتوازية

في هذا الدرس ، سنقدم تعريفًا للمستويات المتوازية ونتذكر البديهية حول تقاطع مستويين.

تعريف.طائرتان تسمى متوازية إذا لم تتقاطع.

تعيين: .

توضيح الطائرات المتوازية(رسم بياني 1.)

1. ما تسمى الطائرات المتوازية؟

2. هل يمكن أن تكون الطائرات التي تمر عبر خطوط غير متوازية متوازية؟

3. ما هو الموضع النسبي لخطين مستقيمين ، يقع كل منهما في أحد المستويين المتوازيين المختلفين؟

4. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة مصححة ومكملة - م: Mnemozina، 2008. - 288 ص: مريضة.

المهام 1 ، 2 ، 5 صفحة 29

التوازي المستوي. إذا كان هناك خطان متقاطعان في مستوى واحد متوازيين على التوالي لخطين متقاطعين في مستوى آخر ، فإن هذين المستويين متوازيين.
دليل - إثبات. يترك أو ب- بيانات الطائرة ، أ 1و أ 2- خطوط مستقيمة في الطائرة أ، تتقاطع عند النقطة أ ، ب 1و ب 2الخطوط الموازية لهم في المستوى ب. دعونا نفترض أن الطائرات أو بليست متوازية ، أي أنها تتقاطع على طول بعض الخطوط مع. مستقيم أ 1 موازي للخط ب 1 ، لذلك فهو موازي للمستوى نفسه ب(علامة على التوازي لخط مستقيم ومستوى). مستقيم أ 2 موازية للخط ب 2 ،لذلك فهي موازية للمستوى نفسه. ب(علامة على التوازي لخط مستقيم ومستوى). مستقيم معينتمي إلى الطائرة أ، لذلك واحد على الأقل من السطور أ 1أو أ 2يعبر الخط مع،أي أن لديها نقطة مشتركة معها. لكن بشكل مستقيم معينتمي أيضا إلى الطائرة ب، مما يعني أن عبور الخط مع،مستقيم أ 1أو أ 2يعبر الطائرة ب، والتي لا يمكن أن تكون ، منذ المباشر أ 1و أ 2بالتوازي مع الطائرة ب. ويترتب على ذلك أن الطائرات أو بلا تتقاطع ، أي أنها متوازية.

نظرية 1 . إذا تقاطعت طائرتان متوازيتان مع مستوى ثالث ، فإن خطي التقاطع يكونان متوازيين.
دليل - إثبات. يترك أو بهي طائرات متوازية ، و ز - المستوي الذي يتقاطع بينهما. طائرة أتتقاطع مع الطائرة ز في خط مستقيم أ.طائرة بتتقاطع مع الطائرة زفي خط مستقيم ب.خطوط التقاطع أو بتقع في نفس الطائرة ز وبالتالي يمكن أن تكون إما خطوطًا متقاطعة أو متوازية. لكن ، بالانتماء إلى طائرتين متوازيتين ، لا يمكن أن يكون بينهما نقاط مشتركة. لذلك ، فهم متوازيان.

نظرية 2. أجزاء الخطوط المتوازية المحاطة بين مستويين متوازيين متساوية.
دليل - إثبات. يترك أو بهي طائرات متوازية ، و أ و بهي خطوط متوازية تتقاطع معها. من خلال خطوط مستقيمة أو بسوف نقضي طائرة ز (هذه الخطوط متوازية ، إذنتحديد مستوى واحد فقط). طائرة أتتقاطع مع الطائرة ز خط مستقيم AB . طائرة بتتقاطع مع الطائرة زعلى طول الخط SD. وفقًا للنظرية السابقة ، الخط معبالتوازي مع خط مستقيم د. مباشر أ،ب، AB و SD تنتمي إلى الطائرة زرباعي الزوايا الذي تحده هذه الخطوط متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متوازية). وبما أنه متوازي أضلاع ، فإن أضلاعه المقابلة متساوية ، أي AD \ u003d BC