اعتمادًا على شكل المسار ، يمكن تقسيم الحركة إلى مستقيمة وخطوط منحنية. في أغلب الأحيان ، ستواجه حركات منحنية عندما يتم تمثيل المسار على شكل منحنى. مثال على هذا النوع من الحركة هو مسار جسم يُلقى بزاوية مع الأفق ، وحركة الأرض حول الشمس ، والكواكب ، وما إلى ذلك.

الصورة 1 . المسار والإزاحة في حركة منحنية

التعريف 1

حركة منحنيةتسمى الحركة ، ومسارها عبارة عن خط منحني. إذا تحرك الجسم على طول مسار منحني ، فسيتم توجيه متجه الإزاحة s → على طول الوتر ، كما هو موضح في الشكل 1 ، و l هو طول المسار. يكون اتجاه السرعة اللحظية للجسم مماسيًا في نفس نقطة المسار حيث يوجد الجسم المتحرك حاليًا ، كما هو موضح في الشكل 2.

الشكل 2. سرعة لحظية في حركة منحنية

التعريف 2

حركة منحنية لنقطة ماديةيسمى منتظم عندما يكون معامل السرعة ثابتًا (حركة في دائرة) ، ومتسارع بشكل منتظم مع تغير الاتجاه ومعامل السرعة (حركة الجسم الملقى).

يتم دائمًا تسريع الحركة المنحنية. هذا ما يفسره حقيقة أنه حتى مع وجود معامل سرعة غير متغير ، ولكن اتجاه متغير ، فهناك دائمًا تسارع.

من أجل التحقيق في الحركة المنحنية لنقطة مادية ، يتم استخدام طريقتين.

ينقسم المسار إلى أقسام منفصلة ، يمكن اعتبار كل منها مستقيماً ، كما هو موضح في الشكل 3.

الشكل 3. تقسيم الحركة المنحنية إلى متعدية

الآن لكل قسم ، يمكنك تطبيق قانون الحركة المستقيمة. هذا المبدأ مقبول.

تعتبر طريقة الحل الأكثر ملاءمة هي تمثيل المسار كمجموعة من عدة حركات على طول أقواس الدوائر ، كما هو موضح في الشكل 4. سيكون عدد الأقسام أقل بكثير مما كان عليه في الطريقة السابقة ، بالإضافة إلى أن الحركة حول الدائرة منحنية بالفعل.

الشكل 4. تقسيم الحركة المنحنية إلى حركات على طول أقواس الدوائر

ملاحظة 1

لتسجيل حركة منحنية الخطوط ، من الضروري أن تكون قادرًا على وصف الحركة على طول الدائرة ، لتمثيل حركة تعسفية في شكل مجموعات من الحركات على طول أقواس هذه الدوائر.

تتضمن دراسة الحركة المنحنية تجميع معادلة حركية تصف هذه الحركة وتسمح لك بتحديد كل خصائص الحركة من الظروف الأولية المتاحة.

مثال 1

إعطاء نقطة مادية تتحرك على طول منحنى ، كما هو موضح في الشكل 4. تقع مراكز الدوائر O 1 ، O 2 ، O 3 على خط مستقيم واحد. بحاجة إلى إيجاد حركة
→ s وطول المسار l أثناء الحركة من النقطة A إلى B.

المحلول

بشرط أن تكون مراكز الدائرة تنتمي إلى خط مستقيم واحد ، ومن ثم:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3.

بما أن مسار الحركة هو مجموع أنصاف الدائرة ، إذن:

ل ~ A B \ u003d π R 1 + R 2 + R 3.

إجابه: s → \ u003d R 1 + 2 R 2 + R 3، l ~ A B \ u003d π R 1 + R 2 + R 3.

مثال 2

يتم إعطاء اعتماد المسار الذي يقطعه الجسم في الوقت المحدد ، ممثلة بالمعادلة s (t) \ u003d A + B t + C t 2 + D t 3 (C \ u003d 0 ، 1 m / s 2 ، D \ u003d 0 ، 003 م / ث 3). احسب بعد أي فترة من الزمن بعد بدء الحركة سيكون تسارع الجسم مساويًا لـ 2 م / ث 2

المحلول

الجواب: ر = 60 ث.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

حركيات النقطة. طريق. يتحرك. السرعة والتسارع. توقعاتهم على محاور الإحداثيات. حساب المسافة المقطوعة. متوسط ​​القيم.

حركيات النقطة- قسم الكينماتيكا الذي يدرس الوصف الرياضي لحركة النقاط المادية. تتمثل المهمة الرئيسية للكينماتيكا في وصف الحركة بمساعدة جهاز رياضي دون معرفة الأسباب التي تسبب هذه الحركة.

المسار والحركة.يسمى الخط الذي تتحرك عليه نقطة الجسم مسار. طول المسار يسمى الطريقة التي سافرنا بها. يتم استدعاء المتجه الذي يربط بين نقطتي البداية والنهاية للمسار حركة. سرعة- متجه الكمية الفيزيائية التي تميز سرعة حركة الجسم ، مساوية عدديًا لنسبة الحركة في فترة زمنية صغيرة إلى قيمة هذه الفترة. يعتبر الفاصل الزمني صغيرًا بدرجة كافية إذا لم تتغير السرعة أثناء الحركة غير المتساوية خلال هذه الفترة. الصيغة المحددة للسرعة هي v = s / t. وحدة السرعة م / ث. عمليا ، وحدة السرعة المستخدمة هي km / h (36 km / h = 10 m / s). قياس السرعة باستخدام عداد السرعة.

التسريع- الكمية المادية للمتجه التي تميز معدل تغير السرعة ، مساوية عدديًا لنسبة التغير في السرعة إلى الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا التغيير. إذا تغيرت السرعة كما هي خلال فترة الحركة بأكملها ، فيمكن حساب التسارع بالصيغة a = Δv / t. وحدة التسارع - م / ث 2

السرعة والتسارع في حركة منحنية. التسارع المماسي والطبيعي.

حركات منحنية- الحركات التي لا تكون مساراتها مستقيمة بل خطوط منحنية.

حركة منحنية- إنها دائمًا حركة مع تسارع ، حتى لو كانت القيمة المطلقة للسرعة ثابتة. تحدث الحركة المنحنية مع تسارع ثابت دائمًا في المستوى الذي توجد فيه متجهات التسارع والسرعات الأولية للنقطة. في حالة الحركة المنحنية مع تسارع ثابت في المستوي xOyالتوقعات الخامس سو الخامس ذسرعته على المحور ثورو أويوالإحداثيات xو ذنقطة في أي وقت رتحددها الصيغ

v x \ u003d v 0 x + a x t، x \ u003d x 0 + v 0 x t + a x t + a x t 2/2؛ v y \ u003d v 0 y + a y t، y \ u003d y 0 + v 0 y t + a y t 2/2

حالة خاصة من الحركة المنحنية هي الحركة الدائرية. الحركة الدائرية ، حتى المنتظمة ، هي دائمًا حركة متسارعة: يتم توجيه وحدة السرعة دائمًا بشكل عرضي إلى المسار ، وتغير الاتجاه باستمرار ، وبالتالي تحدث الحركة الدائرية دائمًا مع تسارع الجاذبية | أ | = ت 2 / ص حيث صهو نصف قطر الدائرة.

يتم توجيه متجه التسارع عند التحرك على طول دائرة باتجاه مركز الدائرة وعمودي على متجه السرعة.

مع الحركة المنحنية ، يمكن تمثيل التسارع على أنه مجموع المكونات العادية والماسية:

التسارع العادي (الجاذب) موجه نحو مركز انحناء المسار ويميز التغير في السرعة في الاتجاه:

الخامس-سرعة لحظية، صهو نصف قطر انحناء المسار عند نقطة معينة.

يتم توجيه التسارع المماسي بشكل عرضي إلى المسار ويميز التغيير في نمط السرعة.

التسارع الكلي الذي تتحرك به نقطة مادية يساوي:

العجله عرضيةيميز سرعة التغيير في سرعة الحركة بالقيمة العددية ويتم توجيهه بشكل عرضي إلى المسار.

بالتالي

تسارع طبيعييميز معدل تغير السرعة في الاتجاه. دعنا نحسب المتجه:

4. حركيات الجسم الصلب. دوران حول محور ثابت. السرعة الزاوية والتسارع. العلاقة بين السرعة الزاوية والخطية والتسارع.

حركيات الحركة الدورانية.

يمكن أن تكون حركة الجسم انتقالية ودورانية. في هذه الحالة ، يتم تمثيل الجسم كنظام من نقاط المواد المترابطة بشكل صارم.

مع الحركة الانتقالية ، يتحرك أي خط مستقيم مرسوم في الجسم بالتوازي مع نفسه. وفقًا لشكل المسار ، يمكن أن تكون الحركة الانتقالية مستقيمة ومنحنية الخطوط. في الحركة الانتقالية ، تقوم جميع نقاط الجسم الصلب لنفس الفترة الزمنية بعمل حركات متساوية في الحجم والاتجاه. لذلك ، فإن سرعات وتسارع جميع نقاط الجسم في أي لحظة من الوقت هي نفسها أيضًا. لوصف الحركة الانتقالية ، يكفي تحديد حركة نقطة واحدة.

الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابتتسمى هذه الحركة التي تتحرك فيها جميع نقاط الجسم على طول دوائر ، تقع مراكزها على خط مستقيم واحد (محور الدوران).

يمكن أن يمر محور الدوران عبر الجسم أو يقع خارجه. إذا مر محور الدوران عبر الجسم ، فإن النقاط الموجودة على المحور تظل ثابتة أثناء دوران الجسم. نقاط الجسم الصلب ، الموجودة على مسافات مختلفة من محور الدوران ، تسافر مسافات مختلفة في نفس الفترات الزمنية ، وبالتالي لها سرعات خطية مختلفة.

عندما يدور جسم حول محور ثابت ، فإن نقاط الجسم لنفس الفترة الزمنية تحدث نفس الإزاحة الزاوية. الوحدة تساوي زاوية دوران الجسم حول المحور في الوقت المناسب ، فإن اتجاه متجه الإزاحة الزاوي مع اتجاه دوران الجسم متصل بقاعدة المسمار: إذا جمعت اتجاهات دوران المسمار مع اتجاه دوران الجسم ، ثم المتجه سوف يتزامن مع الحركة متعدية المسمار. يتم توجيه المتجه على طول محور الدوران.

يحدد معدل التغيير في الإزاحة الزاوية السرعة الزاوية - ω. قياسا على السرعة الخطية ، المفاهيم السرعة الزاوية المتوسطة واللحظية:

السرعة الزاويةهي كمية متجهة.

يتميز معدل تغير السرعة الزاوية متوسط ​​وفوري

التسارع الزاوي.

المتجه ويمكن أن يتطابق مع المتجه ويكون عكسه

يتم تعميم مفاهيم السرعة والتسارع بشكل طبيعي على حالة حركة نقطة مادية على طول مسار منحني. يتم تحديد موضع النقطة المتحركة على المسار بواسطة متجه نصف القطر ص مرسومة إلى هذه النقطة من نقطة ثابتة ا، على سبيل المثال ، الأصل (الشكل 1.2). اسمحوا في هذه اللحظة رالنقطة المادية في الموضع ممع متجه نصف القطر ص = ص (ر). بعد وقت قصير د ر، سوف ينتقل إلى هذا المنصب م 1مع دائرة نصف قطرها - متجه ص 1 = ص (ر+ د ر). نصف القطر - سيتلقى متجه نقطة مادية زيادة يحددها الاختلاف الهندسي د ص = ص 1 - ص . متوسط ​​السرعة بمرور الوقتد ريسمى الكمية

متوسط ​​اتجاه السرعة الخامس تزوج اعواد الكبريتمع اتجاه المتجه د ص .

متوسط ​​الحد الأقصى للسرعة عند D ر® 0 ، أي مشتق نصف القطر - المتجه ص بالوقت

(1.9)

اتصل حقيقيأو فوريسرعة النقطة المادية. المتجه الخامس توجه بشكل عرضيإلى مسار النقطة المتحركة.

التسريع أ يسمى متجهًا يساوي المشتق الأول لمتجه السرعة الخامس أو المشتق الثاني من نصف القطر - المتجه ص بالوقت:

(1.10)

(1.11)

لاحظ القياس الشكلي التالي بين السرعة والتسارع. من نقطة ثابتة تعسفية O 1 سنرسم متجه السرعة الخامس نقطة متحركة في جميع الأوقات الممكنة (الشكل 1.3).

نهاية المتجه الخامس اتصل نقطة السرعة. موضع نقاط السرعة هو منحنى يسمى hodograph السرعة.عندما تصف نقطة مادية مسارًا ، تتحرك نقطة السرعة المقابلة لها على طول hodograph.

أرز. 1.2 يختلف عن التين. 1.3 فقط بالتعيينات. نصف القطر - متجه ص يحل محله متجه السرعة الخامس ، نقطة المادة - إلى نقطة السرعة ، المسار - إلى hodograph. العمليات الحسابية على متجه ص عند إيجاد السرعة وفوق المتجه الخامس عند إيجاد التسارع متطابق تمامًا.

سرعة الخامس موجهة على طول مسار ظل. لهذا التسريعأ سيتم توجيهه بشكل عرضي إلى hodograph السرعة.يمكن قول ذلك التسارع هو سرعة حركة النقطة عالية السرعة على طول الهودوجراف. بالتالي،

مع الحركة المنحنية ، يتغير اتجاه متجه السرعة. في هذه الحالة ، يمكن أيضًا تغيير الوحدة النمطية ، أي الطول. في هذه الحالة ، يتحلل متجه التسارع إلى مكونين: مماس للمسار وعمودي على المسار (الشكل 10). المكون يسمى تماسي(عرضي) تسارع ، مكون - عادي(تسارع الجاذبية.

التسارع المنحني

يميز التسارع المماسي معدل تغير السرعة الخطية ، بينما يميز التسارع الطبيعي معدل التغير في اتجاه الحركة.

العجلة الكلية تساوي مجموع متجه للتسارعين المماسيين والعاديين:

(15)

معامل التسارع الكلي هو:

.

ضع في اعتبارك الحركة المنتظمة لنقطة على طول الدائرة. حيث و . دع النقطة في الموضع 1 في الوقت المحدد t (الشكل 11). بعد الوقت Δt ، ستكون النقطة في الموضع 2 ، بعد أن قطعت المسار Δs، يساوي القوس 1-2. في هذه الحالة ، تزداد سرعة النقطة v Δv، ونتيجة لذلك ، فإن متجه السرعة ، الذي يبقى دون تغيير في الحجم ، سوف يدور بزاوية Δφ ، التي تتزامن في الحجم مع الزاوية المركزية على أساس قوس الطول Δs:

(16)

حيث R هو نصف قطر الدائرة التي تتحرك عليها النقطة. لنجد زيادة متجه السرعة للقيام بذلك ، سنحرك المتجه بحيث تتزامن بدايته مع بداية المتجه. ثم يتم تمثيل المتجه بواسطة مقطع مرسوم من نهاية المتجه إلى نهاية المتجه . يعمل هذا الجزء كقاعدة لمثلث متساوي الساقين مع جوانب و والزاوية Δφ في الأعلى. إذا كانت الزاوية Δφ صغيرة (وهذا ينطبق على Δt صغير) ، فيمكننا كتابة أضلاع هذا المثلث تقريبًا:

.

بالتعويض هنا من (16) ، نحصل على تعبير لمعامل المتجه:

.

بقسمة جزأي المعادلة على Δt وإجراء انتقال الحد ، نحصل على قيمة التسارع المركزي:

هنا الكميات الخامسو صثابتة ، بحيث يمكن إخراجها من علامة الحد. حد النسبة هو معامل السرعة وتسمى أيضًا السرعة الخطية.

نصف قطر انحناء

دائرة نصف قطرها R يسمى نصف قطر انحناءالمسارات. مقلوب R يسمى انحناء المسار:

.

حيث R هو نصف قطر الدائرة المعنية. إذا كانت α هي الزاوية المركزية المقابلة لقوس الدائرة s ، فإن العلاقة التالية ، كما هو معروف ، تثبت بين R و α و s:

ق = رع. (18)

لا ينطبق مفهوم نصف قطر الانحناء على الدائرة فحسب ، بل على أي خط منحني. يميز نصف قطر الانحناء (أو تقوسه المقلوب) درجة انحناء الخط. كلما كان نصف قطر الانحناء أصغر (على التوالي ، كلما زاد الانحناء) ، كلما زاد ثني الخط. دعونا نفكر في هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

دائرة الانحناء لخط مسطح عند نقطة ما A هي الموضع المحدد لدائرة تمر بالنقطة A ونقطتين أخريين B 1 و B 2 عندما تقترب بلا حدود من النقطة A (في الشكل 12 ، يرسم المنحنى بواسطة a خط متصل ، ودائرة الانحناء متقطعة). يعطي نصف قطر دائرة الانحناء نصف قطر انحناء المنحنى المعني عند النقطة أ ، ومركز هذه الدائرة هو مركز انحناء المنحنى لنفس النقطة أ.

ارسم المماس B 1 D و B 2 E عند النقطتين B 1 و B 2 E للدائرة المارة بالنقاط B 1 و A و B 2. الأعراف في هذه المماسات B 1 C و B 2 C ستكون نصف قطر الدائرة R وتتقاطع في مركزها C. دعونا نعرض الزاوية Δα بين العمودين B1C و B 2 C ؛ من الواضح أنها تساوي الزاوية بين المماس B 1 D و B 2 E. لنحدد قسم المنحنى بين النقطتين B 1 و B 2 على أنه Δs. ثم حسب المعادلة (18):

.

دائرة الانحناء لخط منحني مسطح

تحديد انحناء منحنى مستو عند نقاط مختلفة

على التين. يوضح الشكل 13 دوائر انحناء لخط مسطح عند نقاط مختلفة. عند النقطة A 1 ، حيث يكون المنحنى مسطحًا ، يكون نصف قطر الانحناء أكبر منه عند النقطة A 2 ، على التوالي ، يكون انحناء الخط عند النقطة A 1 أقل من النقطة A 2. عند النقطة A 3 يكون المنحنى أكثر انبساطًا مما هو عليه عند النقطتين A 1 و A 2 ، لذلك سيكون نصف قطر الانحناء عند هذه النقطة أكبر ويكون الانحناء أصغر. بالإضافة إلى ذلك ، تقع دائرة الانحناء عند النقطة أ 3 على الجانب الآخر من المنحنى. لذلك ، يتم تعيين حجم الانحناء عند هذه النقطة بإشارة معاكسة لعلامة الانحناء عند النقطتين A 1 و A 2: إذا كان الانحناء عند النقطتين A 1 و A 2 يعتبر موجبًا ، فسيكون الانحناء عند النقطة A 3 نفي.

علم الحركة يدرس الحركة دون تحديد الأسباب التي تسبب هذه الحركة. علم الحركة هو فرع من فروع الميكانيكا. المهمة الرئيسية للكينماتيكا هي التحديد الرياضي لموضع وخصائص حركة النقاط أو الأجسام في الوقت المناسب.

الكميات الحركية الأساسية:

- يتحرك() -متجه يربط بين نقطتي البداية والنهاية.

r هو متجه نصف القطر ، ويحدد موقع MT في الفضاء.

- سرعةهي نسبة المسار إلى الوقت .

- طريقهي مجموعة النقاط التي مر من خلالها الجسم.

- التسريع -معدل تغير المعدل ، أي المشتق الأول من السعر.

2. التسارع المنحني: التسارع العادي والماسي. دوران مسطح. السرعة الزاوية والتسارع.

حركة منحنيةهي حركة مسارها خط منحني. مثال على الحركة المنحنية هي حركة الكواكب ونهاية عقرب الساعة على القرص ، إلخ.

حركة منحنيةيسير بخطى سريعة دائمًا. أي أن التسارع أثناء الحركة المنحنية موجود دائمًا ، حتى لو لم يتغير معامل السرعة ، ولكن يتغير اتجاه السرعة فقط.

تغيير في قيمة السرعة لكل وحدة زمنية - هو التسارع المماسي:

حيث 𝛖 τ ، 𝛖 0 هي السرعات في الزمن t 0 + Δt و t 0 على التوالي. العجله عرضيةعند نقطة معينة من المسار ، يتزامن الاتجاه مع اتجاه سرعة الجسم أو عكسه.

تسارع طبيعيهو التغير في السرعة في الاتجاه لكل وحدة زمنية:

تسارع طبيعيموجهة على طول نصف قطر انحناء المسار (نحو محور الدوران). التسارع الطبيعي متعامد على اتجاه السرعة.

تسارع كاملمع حركة منحنية متغيرة متساوية للجسم تساوي:

-السرعة الزاويةيوضح عند أي زاوية تدور النقطة عند التحرك بشكل موحد حول الدائرة لكل وحدة زمنية. وحدة SI هي rad / s.

دوران مسطحهو دوران جميع متجهات السرعة لنقاط الجسم في مستوى واحد.

3. الاتصال بين متجهات السرعة والسرعة الزاوية لنقطة مادية. تسارع عادي وعرضي وكامل.

التسارع المماسيهو مكون متجه التسارع الموجه على طول المماس إلى المسار عند نقطة معينة في المسار. يميز التسارع المماسي التغيير في نمط السرعة أثناء الحركة المنحنية.

تسارع عادي (جاذب)هو أحد مكونات متجه التسارع الموجه على طول المسار الطبيعي لمسار الحركة عند نقطة معينة على مسار حركة الجسم. أي أن متجه التسارع الطبيعي متعامد مع السرعة الخطية للحركة (انظر الشكل 1.10). التسارع الطبيعي يميز التغير في السرعة في الاتجاه ويشار إليه بالحرف n. يتم توجيه متجه التسارع الطبيعي على طول نصف قطر انحناء المسار.

تسارع كاملفي حركة منحنية الخطوط ، تتكون من تسارعات عرضية وطبيعية وفقًا لقاعدة إضافة المتجه وتحددها الصيغة.