مثال 1. ابحث عن حل عام وبعض الحلول الخاصة للنظام

المحلولافعل ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. نكتب المصفوفات الموسعة والرئيسية:

المصفوفة الرئيسية A مفصولة بخط منقط ، ومن الأعلى نكتب الأنظمة غير المعروفة ، مع الأخذ في الاعتبار إمكانية التقليب للمصطلحات في معادلات النظام. عند تحديد رتبة المصفوفة الممتدة ، نجد في نفس الوقت رتبة المصفوفة الرئيسية. في المصفوفة B ، يتناسب العمودان الأول والثاني. من بين العمودين المتناسبين ، يمكن لعمود واحد فقط أن يقع في الصغرى الأساسية ، لذلك دعونا ننتقل ، على سبيل المثال ، العمود الأول بعد الخط المتقطع مع الإشارة المعاكسة. بالنسبة للنظام ، هذا يعني نقل المصطلحات من x 1 إلى الجانب الأيمن من المعادلات.

نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام . العمل مع الصف الأول: اضرب الصف الأول من المصفوفة في (-3) وأضف الصف الثاني والثالث على التوالي. ثم نضرب الصف الأول في (-2) ونضيفه إلى الصف الرابع.

الخطان الثاني والثالث متناسبان ، لذلك يمكن شطب أحدهما ، على سبيل المثال الثاني. هذا يعادل حذف المعادلة الثانية للنظام ، لأنها نتيجة للمعادلة الثالثة.

الآن نعمل مع السطر الثاني: اضربه في (-1) وأضفه إلى السطر الثالث.

القاصر المتقطع لديه الترتيب الأعلى (من بين جميع القاصرين المحتملين) وهو ليس صفريًا (يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر الرئيسي) ، وينتمي هذا القاصر إلى كل من المصفوفة الرئيسية والمصفوفة الممتدة ، وبالتالي النطاق أ = رانج ب = 3.
تحت السن القانوني أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 2 و x 3 و x 4 ، مما يعني أن المجهول x 2 و x 3 و x 4 تابعين و x 1 و x 5 مجانيان.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك العنصر الثانوي الأساسي فقط على اليسار (والذي يتوافق مع النقطة 4 من خوارزمية الحل أعلاه).

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل

بطريقة القضاء على المجهول نجد:
, ,

لدينا علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 2 ، x 3 ، x 4 خلال x 1 و x 5 ، أي أننا وجدنا حلًا عامًا:

بإعطاء قيم عشوائية للمجهول المجاني ، نحصل على أي عدد من الحلول الخاصة. لنجد حلين معينين:
1) دع x 1 = x 5 = 0 ، ثم x 2 = 1 ، x 3 = -3 ، x 4 = 3 ؛
2) ضع x 1 = 1 ، x 5 = -1 ، ثم x 2 = 4 ، x 3 = -7 ، x 4 = 7.
وهكذا وجدنا حلين: (0.1 ، -3 ، 3 ، 0) - حل واحد ، (1.4 ، -7.7 ، -1) - حل آخر.

مثال 2. تحقق من التوافق ، وابحث عن حل عام وآخر خاص للنظام

المحلول. دعونا نعيد ترتيب المعادلتين الأولى والثانية للحصول على وحدة في المعادلة الأولى وكتابة المصفوفة ب.

نحصل على الأصفار في العمود الرابع ، تعمل في الصف الأول:

احصل الآن على الأصفار في العمود الثالث باستخدام الصف الثاني:

الصفان الثالث والرابع متناسبان ، لذا يمكن شطب أحدهما دون تغيير الترتيب:
اضرب الصف الثالث في (-2) وأضف إلى الرابع:

نرى أن رتب المصفوفات الرئيسية والممتدة هي 4 ، وتتزامن الرتبة مع عدد المجهولين ، لذلك فإن النظام له حل فريد:
;
× 4 \ u003d 10-3x 1-3x 2- 2x 3 \ u003d 11.

مثال 3. افحص النظام للتأكد من توافقه وابحث عن حل إذا كان موجودًا.

المحلول. نقوم بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام.

أعد ترتيب المعادلتين الأوليين بحيث يكون هناك 1 في الزاوية اليسرى العليا:
بضرب الصف الأول في (-1) ، نضيفه إلى الصف الثالث:

اضرب السطر الثاني في (-2) وأضف إلى السطر الثالث:

النظام غير متسق ، لأن المصفوفة الرئيسية تلقت صفًا يتكون من أصفار ، يتم شطبها عند العثور على الرتبة ، ويظل الصف الأخير في المصفوفة الممتدة ، أي r B> r A.

ممارسه الرياضه. تحقق من نظام المعادلات هذا من أجل التوافق وحلها عن طريق حساب المصفوفة.
المحلول

مثال. إثبات توافق نظام المعادلات الخطية وحلها بطريقتين: 1) بطريقة غاوس. 2) طريقة كرامر. (أدخل الإجابة بالصيغة: x1 ، x2 ، x3)
الحل: doc: doc: xls
إجابه: 2,-1,3.

مثال. نظام المعادلات الخطية معطى. إثبات توافقها. ابحث عن حل عام للنظام وحل معين واحد.
المحلول
إجابه:× 3 \ u003d - 1 + × 4 + × 5 ؛ × 2 \ u003d 1 - × 4 ؛ س 1 = 2 + س 4 - 3 س 5

ممارسه الرياضه. ابحث عن حلول عامة وخاصة لكل نظام.
المحلول.ندرس هذا النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.
نكتب المصفوفات الموسعة والرئيسية:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
× 1	x2	× 3	x4	x5

هنا المصفوفة A بخط عريض.
نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام .
اضرب الصف الأول ب (3). اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

اضرب الصف الثاني ب (2). اضرب الصف الثالث في (-3). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

القاصر المختار لديه الترتيب الأعلى (بين القاصرين المحتملين) ويختلف عن الصفر (إنه يساوي حاصل ضرب العناصر على المائل المقلوب) ، وينتمي هذا القاصر إلى كل من المصفوفة الرئيسية والمصفوفة الممتدة ، وبالتالي النطاق ( أ) = رانج (ب) = 3 نظرًا لأن رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، إذن النظام تعاوني.
هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات غير معروف x 1 و x 2 و x 3 ، مما يعني أن المجهول x 1 و x 2 و x 3 تابع (أساسي) و x 4 و x 5 مجاني.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك الصغرى الأساسية فقط على اليسار.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
× 1	x2	× 3		x4	x5

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:
27 × 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4-6x 5
2 س 1 + 3 س 2 - 3 س 3 = 1 - 3 س 4 + 2 س 5
بطريقة القضاء على المجهول نجد:
حصلنا على العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 ، x 3 حتى x 4 ، x 5 ، أي أننا وجدنا قرار مشترك:
س 3 = 0
س 2 = 1 - 3 × 4 + 6 × 5
س 1 = - 1 + 3 س 4-8 س 5
غير مؤكد، لان لديه أكثر من حل.

ممارسه الرياضه. حل نظام المعادلات.
إجابه: × 2 = 2 - 1.67 × 3 + 0.67 × 4
× 1 = 5 - 3.67 × 3 + 0.67 × 4
بإعطاء قيم عشوائية للمجهول المجاني ، نحصل على أي عدد من الحلول الخاصة. النظام غير مؤكد

القسم 5. عناصر الجبر الخطي

نظم المعادلات الخطية

مفاهيم أساسية

نظام المعادلات الجبرية الخطية ،تحتوي رالمعادلات و صغير معروف ، يسمى نظام النموذج

اين الارقام أ اي جاي , أنا=
, ي=اتصل معاملاتالأنظمة والأرقام ب أنا - أعضاء أحرار.ليتم العثور على الرقم X ص .

من المريح كتابة مثل هذا النظام في شكل مضغوط شكل المصفوفة
.

هنا A هي مصفوفة معامل النظام ، تسمى المصفوفة الرئيسية:

,

متجه العمود المجهول X ي , هو ناقل عمود للأعضاء الأحرار ب أنا .

ممتدمصفوفة النظام هي المصفوفة النظام ، يكمله عمود من الأعضاء الأحرار

.

قراريسمى النظام صقيم غير معروفة X 1 = مع 1 ، X 2 = مع 2 ، ... ، X ص = مع ص , عند الاستبدال حيث تتحول جميع معادلات النظام إلى مساواة حقيقية. يمكن كتابة أي حل للنظام في صورة عمود مصفوفة .

نظام المعادلات يسمى مشتركإذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، و غير متوافقإذا لم يكن لها حل.

يسمى نظام المفصل تأكيدإذا كان لديه حل فريد ، و غير مؤكدإذا كان لديه أكثر من حل. في الحالة الأخيرة ، يتم استدعاء كل حل من حلولها قرار خاصالأنظمة. يتم استدعاء مجموعة جميع الحلول الخاصة حل عام.

حل النظاميعني معرفة ما إذا كان متوافقًا أم لا. إذا كان النظام متسقًا ، فابحث عن حله العام.

يتم استدعاء النظامين ما يعادل(مكافئ) إذا كان لديهم نفس الحل العام. بمعنى آخر ، تكون الأنظمة متكافئة إذا كان كل حل لأحدها هو حل الآخر ، والعكس صحيح.

يتم الحصول على الأنظمة المكافئة ، على وجه الخصوص ، عندما التحولات الأوليةالنظام ، بشرط أن يتم إجراء التحويلات فقط على صفوف المصفوفة.

نظام المعادلات الخطية يسمى متجانسإذا كانت جميع الشروط المجانية تساوي صفرًا:

دائمًا ما يكون النظام المتجانس ثابتًا منذ ذلك الحين X 1 = س 2 =… = س ص =0 هو الحل للنظام. هذا الحل يسمى صفرأو تافه.

حل أنظمة المعادلات الخطية

دعونا نعطي نظام تعسفي رالمعادلات الخطية مع صمجهول

نظرية 1(كرونيكر كابيلي). يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الممتدة مساوية لرتبة المصفوفة الرئيسية.

نظرية 2.إذا كانت رتبة النظام المتسق تساوي عدد المجهول ، فإن النظام لديه حل فريد.

نظرية 3.إذا كانت رتبة النظام المتسق أقل من عدد المجهول ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

مثال افحص النظام للتأكد من توافقه

المحلول.
,ص(أ)=1;
, ص()=2,
.

في هذا الطريق، ص(أ)  ص() ، وبالتالي فإن النظام غير متسق.

حل الأنظمة غير المتحللة للمعادلات الخطية. صيغ كرامر

دع النظام صالمعادلات الخطية مع صمجهول

أو في شكل مصفوفة A ∙ X = B.

المصفوفة الرئيسية أ لمثل هذا النظام هي المربع. محدد هذه المصفوفة يسمى محدد النظام. إذا كان محدد النظام غير صفري ، فسيتم استدعاء النظام غير منحط.

لنجد حل نظام المعادلات هذا في حالة ∆0. بضرب طرفي المعادلة А ∙ Х = على اليسار بالمصفوفة А 1 ، نحصل على А  1 ∙ A ∙ Х = A  1 ∙ B. منذ A - 1 ∙ A \ u003d E و E ∙ X \ u003d X ، ثم X \ u003d A - 1 ∙ B. تسمى هذه الطريقة لحل النظام مصفوفة.

من طريقة المصفوفة اتبع صيغ كرامر
، حيث ∆ هي محدد المصفوفة الرئيسية للنظام ، و أناهو المحدد الذي تم الحصول عليه من المحدد عن طريق الاستبدال أناالعمود العاشر من المعاملات بواسطة عمود من المصطلحات الحرة.

مثال حل النظام

المحلول.
، 70 ،
,
. وسائل، X 1 =، X 2 =
.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس

تتكون طريقة جاوس من التصفية المتتالية للمجهول.

دع نظام المعادلات

تتكون عملية حل Gaussian من خطوتين. في المرحلة الأولى (التشغيل الأمامي) ، يتم تقليل النظام إلى صعدت(خاصه، الثلاثي) عقل _ يمانع.

أين ك≤ ن ، أ ثانيا  0, أنا= . احتمال أ ثانيااتصل رئيسيعناصر النظام.

في المرحلة الثانية (التحرك العكسي) ، يتم تحديد المجهول من هذا النظام التدريجي بالتسلسل.

ملحوظات:

إذا تبين أن نظام الخطوة ثلاثي ، أي ك= ن، فإن النظام الأصلي لديه حل فريد. من المعادلة الأخيرة نجد X ص , من المعادلة قبل الأخيرة التي نجدها X ص  1 , ثم ، عند صعود النظام ، نجد جميع المجهول الأخرى.

من الناحية العملية ، من الأنسب العمل مع المصفوفة الممتدة للنظام ، وإجراء جميع التحويلات الأولية في صفوفه. من الملائم أن المعامل أ 11 كان يساوي 1 (أعد ترتيب المعادلات أو اقسم على أ 11 1).

مثال قم بحل النظام باستخدام طريقة جاوس

المحلول. نتيجة للتحولات الأولية على المصفوفة الممتدة للنظام

~
~
~

~

تم تخفيض النظام الأصلي إلى نظام تدريجي:

لذلك فإن الحل العام للنظام هو: x 2 =5 x 4  13 x 3  3; x 1 =5 x 4  8 x 3  1.

إذا وضعنا ، على سبيل المثال ، X 3 = س 4 =0, ثم نجد أحد الحلول الخاصة لهذا النظام X 1 =  1 ، س 2 =  3 ، س 3 = 0 ، س 4 =0.

نظم المعادلات الخطية المتجانسة

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية المتجانسة

من الواضح أن النظام المتجانس متوافق دائمًا ، ولديه حل صفري (تافه).

نظرية 4.من أجل أن يكون لنظام المعادلات المتجانسة حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة المصفوفة الرئيسية أقل من عدد المجهول ، أي ص< ن.

نظرية 5.من أجل نظام متجانس صالمعادلات الخطية مع صالمجهول لها حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن يكون محدد المصفوفة الرئيسية مساويًا للصفر ، أي ∆ = 0.

إذا كان النظام يحتوي على حلول غير صفرية ، فإن ∆ = 0.

مثال حل النظام

المحلول.
,ص(أ)=2
, ن = 3.لان ص< ن, ثم النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

,
. هذا هو، X 1 == 2x 3 ، X 2 == 3x 3 - قرار مشترك.

وضع X 3 =0, نحصل على حل واحد محدد: X 1 = 0 ، س 2 = 0 ، س 3 =0. وضع X 3 =1, نحصل على الحل الثاني الخاص: X 1 = 2 ، س 2 = 3 ، س 3 =1 إلخ.

أسئلة للتحكم

ما هو نظام المعادلات الجبرية الخطية؟

اشرح المفاهيم التالية: المعامل ، والمصفوفات المقتطعة ، والمصفوفات الرئيسية والممتدة.

ما هي أنظمة المعادلات الخطية؟ قم بصياغة نظرية Kronker-Capelli (حول توافق نظام المعادلات الخطية).

قائمة وشرح طرق حل أنظمة المعادلات الخطية.

ومع ذلك ، هناك حالتان أخريان منتشرتان على نطاق واسع في الممارسة:

- النظام غير متسق (ليس له حلول) ؛
النظام متسق وله عدد لا نهائي من الحلول.

ملحوظة : مصطلح "الاتساق" يعني أن النظام لديه على الأقل بعض الحلول. في عدد من المهام ، يلزم إجراء فحص أولي للنظام للتأكد من توافقه ، وكيفية القيام بذلك - راجع المقالة على رتبة المصفوفة.

بالنسبة لهذه الأنظمة ، يتم استخدام أكثر طرق الحل عالمية - طريقة جاوس. في الواقع ، ستؤدي طريقة "المدرسة" أيضًا إلى الإجابة ، ولكن في الرياضيات العليا ، من المعتاد استخدام طريقة Gaussian للتخلص المتتالي من المجهول. أولئك الذين ليسوا على دراية بخوارزمية طريقة جاوس ، يرجى دراسة الدرس أولاً طريقة جاوس للدمى.

تحويلات المصفوفة الأولية نفسها هي نفسها تمامًاسيكون الاختلاف في نهاية الحل. أولاً ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة حيث لا يوجد لدى النظام حلول (غير متسقة).

مثال 1

ما الذي يلفت انتباهك على الفور في هذا النظام؟ عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. إذا كان عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات، ثم يمكننا القول على الفور أن النظام إما غير متسق أو يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. ويبقى فقط لمعرفة ذلك.

بداية الحل عادية تمامًا - نكتب المصفوفة الممتدة للنظام وباستخدام التحويلات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

(1) في الخطوة اليسرى العلوية ، نحتاج إلى الحصول على +1 أو -1. لا توجد مثل هذه الأرقام في العمود الأول ، لذا لن تعمل إعادة ترتيب الصفوف. يجب تنظيم الوحدة بشكل مستقل ، ويمكن القيام بذلك بعدة طرق. لقد فعلت هذا: أضف السطر الثالث إلى السطر الأول مضروبًا في -1.

(2) الآن نحصل على صفرين في العمود الأول. نضيف إلى السطر الثاني السطر الأول مضروبًا في 3. إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في 5.

(3) بعد إجراء التحويل ، يُنصح دائمًا بمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط السلاسل الناتجة؟ يستطيع. نقسم السطر الثاني على 2 ، وفي نفس الوقت نحصل على -1 المطلوب في الخطوة الثانية. قسّم السطر الثالث على -3.

(4) أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.

ربما انتبه الجميع للخط السيئ ، الذي ظهر نتيجة للتحولات الأولية: . من الواضح أن هذا لا يمكن أن يكون كذلك. في الواقع ، نعيد كتابة المصفوفة الناتجة العودة إلى نظام المعادلات الخطية:

إذا تم الحصول على سلسلة من النموذج ، نتيجة للتحولات الأولية ، حيث يكون رقمًا غير صفري ، فإن النظام غير متناسق (ليس له حلول).

كيف تسجل نهاية المهمة؟ دعنا نرسم بالطباشير الأبيض: "نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على خط من النموذج ، حيث" ونعطي الإجابة: النظام ليس لديه حلول (غير متناسقة).

إذا كان مطلوبًا ، وفقًا للشرط ، استكشاف النظام من أجل التوافق ، فمن الضروري إصدار حل بأسلوب أكثر صلابة يتضمن المفهوم رتبة المصفوفة ونظرية كرونيكر كابيلي.

يرجى ملاحظة أنه لا توجد حركة عكسية لخوارزمية Gaussian هنا - لا توجد حلول ولا يوجد شيء للعثور عليه.

مثال 2

حل نظام معادلات خطية

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. مرة أخرى ، أذكرك أن مسار الحل الخاص بك قد يختلف عن مسار الحل الخاص بي ، فالخوارزمية الغاوسية لا تتمتع بـ "صلابة" قوية.

ميزة تقنية أخرى للحل: يمكن إيقاف التحولات الأولية ذات مرة، بمجرد سطر مثل ، أين. فكر في مثال شرطي: افترض أنه بعد التحويل الأول حصلنا على مصفوفة . لم يتم بعد تقليص المصفوفة إلى شكل متدرج ، ولكن ليست هناك حاجة لمزيد من التحولات الأولية ، حيث ظهر سطر من النموذج ، حيث. يجب الرد على الفور بأن النظام غير متوافق.

عندما لا يكون لنظام المعادلات الخطية حلول ، فهذه هدية تقريبًا ، لأنه يتم الحصول على حل قصير ، في بعض الأحيان حرفيًا في 2-3 خطوات.

لكن كل شيء في هذا العالم متوازن ، والمشكلة التي يمتلك النظام فيها العديد من الحلول اللانهائية هي فقط أطول.

مثال 3

حل نظام معادلات خطية

هناك 4 معادلات و 4 مجاهيل ، لذلك يمكن أن يكون للنظام إما حل واحد ، أو ليس لديه حلول ، أو أن يكون لديه عدد لا نهائي من الحلول. مهما كان الأمر ، لكن طريقة غاوس ستقودنا على أي حال إلى الإجابة. وهنا يكمن تعدد استخداماته.

البداية مرة أخرى هي المعيار. نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

هذا كل شيء ، وكنت خائفًا.

(1) لاحظ أن جميع الأرقام الموجودة في العمود الأول قابلة للقسمة على 2 ، لذا فإن الرقم 2 جيد في أعلى الدرجة اليسرى. نضيف إلى السطر الثاني السطر الأول مضروبًا في -4. إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -2. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في -1.

انتباه!قد يغري الكثير من السطر الرابع طرح او خصمالسطر الأول. يمكن القيام بذلك ، لكن ليس من الضروري ، تظهر التجربة أن احتمال حدوث خطأ في الحسابات يزداد عدة مرات. اجمع فقط: إلى السطر الرابع ، أضف السطر الأول ، مضروبًا في -1 - بالضبط!

(2) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة ويمكن حذف اثنين منهم.

هنا مرة أخرى من الضروري أن تظهر زيادة الاهتمام، ولكن هل الخطوط متناسبة حقًا؟ لإعادة التأمين (خاصة في إبريق الشاي) ، لن يكون من الضروري ضرب الصف الثاني في -1 ، وتقسيم الصف الرابع على 2 ، مما ينتج عنه ثلاثة صفوف متطابقة. وفقط بعد ذلك قم بإزالة اثنين منهم.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم تقليل المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل متدرج:

عند إكمال مهمة في دفتر ملاحظات ، يُنصح بتدوين نفس الملاحظات بالقلم الرصاص من أجل الوضوح.

نعيد كتابة نظام المعادلات المقابل:

الحل الوحيد "المعتاد" للنظام ليس رائحته هنا. لا يوجد خط سيء أيضا. هذا يعني أن هذه هي الحالة الثالثة المتبقية - يحتوي النظام على عدد لا نهائي من الحلول. في بعض الأحيان ، حسب الشرط ، من الضروري التحقق من توافق النظام (أي لإثبات وجود حل على الإطلاق) ، يمكنك القراءة عن هذا في الفقرة الأخيرة من المقالة كيف تجد مرتبة المصفوفة؟لكن في الوقت الحالي ، دعنا نقسم الأساسيات:

مجموعة الحلول اللانهائية للنظام مكتوبة بإيجاز في شكل ما يسمى حل النظام العام .

سنجد الحل العام للنظام باستخدام الحركة العكسية لطريقة غاوس.

نحتاج أولاً إلى تحديد المتغيرات التي لدينا أساسي، وأي متغيرات مجانا. ليس من الضروري أن تهتم بمصطلحات الجبر الخطي ، يكفي أن نتذكر أن هناك مثل هذه المصطلحات متغيرات الأساسو المتغيرات الحرة.

المتغيرات الأساسية دائمًا "تجلس" بصرامة على خطوات المصفوفة.
في هذا المثال ، المتغيرات الأساسية هي و

المتغيرات الحرة هي كل شيء متبقيالمتغيرات التي لم تحصل على خطوة. في حالتنا يوجد اثنان منهم: - المتغيرات الحرة.

أنت الآن بحاجة الكل متغيرات الأساسالتعبير فقط من خلال المتغيرات الحرة.

تعمل الحركة العكسية لخوارزمية Gaussian بشكل تقليدي من الأسفل إلى الأعلى.
من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن المتغير الأساسي:

انظر الآن إلى المعادلة الأولى: . أولاً ، نستبدل التعبير الموجود فيه:

يبقى التعبير عن المتغير الأساسي من حيث المتغيرات المجانية:

النتيجة هي ما تحتاجه - الكليتم التعبير عن متغيرات الأساس (و) فقط من خلالالمتغيرات الحرة:

في الواقع الحل العام جاهز:

كيف تكتب الحل العام؟
تتم كتابة المتغيرات الحرة في الحل العام "من تلقاء نفسها" وبشكل صارم في أماكنها. في هذه الحالة ، يجب كتابة المتغيرات المجانية في الموضعين الثاني والرابع:
.

التعبيرات الناتجة عن المتغيرات الأساسية ومن الواضح أنه يجب كتابتها في الموضعين الأول والثالث:

إعطاء المتغيرات الحرة قيم اعتباطية، هناك عدد لانهائي قرارات خاصة. القيم الأكثر شيوعًا هي الأصفار ، لأن الحل المعين هو الأسهل في الحصول عليها. بديل في الحل العام:

هو قرار خاص.

هما زوجان آخران حلوون ، فلنستبدل الحل العام:

هو حل خاص آخر.

من السهل أن نرى أن نظام المعادلات له عدد لا نهائي من الحلول(حيث يمكننا إعطاء متغيرات مجانية أيالقيم)

كليجب أن يرضي حل معين لكلمعادلة النظام. هذا هو أساس الفحص "السريع" لصحة الحل. خذ ، على سبيل المثال ، حلًا معينًا واستبدله في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام الأصلي:

كل شيء يجب أن يجتمع. ومع أي حل معين تحصل عليه ، يجب أن يتقارب كل شيء أيضًا.

ولكن ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن التحقق من حل معين يخدع أحيانًا ؛ يمكن لبعض الحلول الخاصة أن تفي بكل معادلة في النظام ، والحل العام نفسه موجود بالفعل بشكل غير صحيح.

لذلك ، فإن التحقق من الحل العام يكون أكثر شمولاً وموثوقية. كيفية التحقق من الحل العام الناتج ?

إنه سهل ، لكنه شاق للغاية. نحن بحاجة لأخذ التعابير أساسيالمتغيرات في هذه الحالة واستبدلهم في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام.

إلى الجانب الأيسر من المعادلة الأولى للنظام:

إلى الجانب الأيسر من المعادلة الثانية للنظام:


يتم الحصول على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية.

مثال 4

قم بحل النظام باستخدام طريقة جاوس. ابحث عن حل عام واثنين من الحلول الخاصة. تحقق من الحل الشامل.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا ، بالمناسبة ، مرة أخرى عدد المعادلات أقل من عدد المجهول ، مما يعني أنه من الواضح على الفور أن النظام سيكون إما غير متسق أو مع عدد لا حصر له من الحلول. ما هو المهم في عملية اتخاذ القرار نفسها؟ الانتباه ، والاهتمام مرة أخرى. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

واثنين من الأمثلة الأخرى لتعزيز المادة

مثال 5

حل نظام معادلات خطية. إذا كان لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول ، فابحث عن حلين معينين وتحقق من الحل العام

المحلول: لنكتب المصفوفة المعززة للنظام وبمساعدة التحولات الأولية نأتي بها إلى شكل الخطوة:

(1) أضف السطر الأول إلى السطر الثاني. إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في 2. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في 3.
(2) أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبًا في -5. إلى السطر الرابع نضيف السطر الثاني مضروبًا في -7.
(3) السطران الثالث والرابع متماثلان ، نحذف أحدهما.

هنا مثل هذا الجمال:

تقع متغيرات الأساس على خطوات ، لذا فهي متغيرات أساسية.
لا يوجد سوى متغير واحد مجاني لم يحصل على خطوة:

حركة عكسية:
نعبر عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغير الحر:
من المعادلة الثالثة:

ضع في اعتبارك المعادلة الثانية واستبدل التعبير الموجود فيها:

ضع في اعتبارك المعادلة الأولى واستبدل التعابير الموجودة فيها:

نعم ، الآلة الحاسبة التي تحسب الكسور العادية لا تزال ملائمة.

لذا فإن الحل العام هو:

مرة أخرى كيف حدث ذلك؟ المتغير الحر يجلس بمفرده في المركز الرابع الصحيح. أخذت أيضًا التعبيرات الناتجة عن المتغيرات الأساسية أماكنها الترتيبية.

دعونا نتحقق على الفور من الحل العام. اعمل من أجل السود ، لكنني قمت بذلك بالفعل ، لذا امسك =)

نستبدل ثلاثة أبطال ، في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام:

تم الحصول على الجانبين الأيمن المقابل من المعادلات ، لذلك تم إيجاد الحل العام بشكل صحيح.

الآن من الحل العام الموجود نحصل على حلين معينين. الشيف هنا هو المتغير المجاني الوحيد. لست بحاجة إلى كسر رأسك.

دعونا بعد ذلك هو قرار خاص.
دعونا بعد ذلك هو حل خاص آخر.

إجابه: قرار مشترك: ، حلول خاصة: , .

عبثًا تذكرت السود هنا ... ... لأن كل أنواع الدوافع السادية جاءت في رأسي وتذكرت fotozhaba المعروفة ، حيث ركض رجال Ku Klux Klansmen في وزرة بيضاء عبر الملعب بعد لاعب كرة قدم أسود . أجلس وأبتسم بهدوء. أنت تعرف كيف تشتت الانتباه….

الكثير من الرياضيات ضار ، لذلك مثال نهائي مشابه لحل مستقل.

مثال 6

أوجد الحل العام لنظام المعادلات الخطية.

لقد تحققت بالفعل من الحل العام ، يمكن الوثوق بالإجابة. قد يختلف حلك عن الحل الذي قدمته ، والشيء الرئيسي هو تطابق الحلول العامة.

ربما لاحظ الكثيرون لحظة غير سارة في الحلول: في كثير من الأحيان ، أثناء المسار العكسي لطريقة غاوس ، كان علينا التلاعب بالكسور العادية. من الناحية العملية ، هذا صحيح ، الحالات التي لا توجد فيها كسور تكون أقل شيوعًا. كن مستعدًا عقليًا ، والأهم من ذلك ، تقنيًا.

سوف أسهب في الحديث عن بعض ميزات الحل التي لم يتم العثور عليها في الأمثلة المحلولة.

يمكن أن يشتمل الحل العام للنظام أحيانًا على ثابت (أو ثوابت) ، على سبيل المثال:. هنا أحد المتغيرات الأساسية يساوي عددًا ثابتًا:. لا يوجد شيء غريب في هذا يحدث. من الواضح ، في هذه الحالة ، أن أي حل معين سيحتوي على خمسة في الموضع الأول.

نادرا ، ولكن هناك أنظمة فيها عدد المعادلات أكبر من عدد المتغيرات. تعمل طريقة Gaussian في أشد الظروف قسوة ؛ يجب على المرء أن يحضر المصفوفة الممتدة للنظام بهدوء إلى شكل متدرج وفقًا للخوارزمية القياسية. قد يكون مثل هذا النظام غير متسق ، وقد يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، والغريب أنه قد يكون له حل فريد.

نظام المعادلات الخطية هو اتحاد من المعادلات الخطية n ، كل منها يحتوي على متغيرات k. إنه مكتوب على هذا النحو:

يعتقد الكثيرون ، عند مواجهة الجبر العالي لأول مرة ، خطأً أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المتغيرات. هذا هو الحال عادة في الجبر المدرسي ، ولكن بالنسبة للجبر العالي ، فهذا ليس صحيحًا بشكل عام.

حل نظام المعادلات هو سلسلة من الأرقام (ك 1 ، ك 2 ، ... ، ك ن) ، وهو الحل لكل معادلة في النظام ، أي عند الاستبدال في هذه المعادلة بدلاً من المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x n تعطي المساواة العددية الصحيحة.

وفقًا لذلك ، يعني حل نظام المعادلات إيجاد مجموعة جميع حلولها أو إثبات أن هذه المجموعة فارغة. نظرًا لأن عدد المعادلات وعدد المجهول قد لا يكونان متماثلين ، فهناك ثلاث حالات ممكنة:

1. النظام غير متسق ، أي مجموعة كل الحلول فارغة. حالة نادرة إلى حد ما يمكن اكتشافها بسهولة بغض النظر عن طريقة حل النظام.
2. النظام متسق ومحدد ، أي لديه حل واحد بالضبط. النسخة الكلاسيكية المعروفة منذ المدرسة.
3. النظام متسق وغير محدد ، أي عدد لا نهائي من الحلول. هذا هو الخيار الأصعب. لا يكفي القول بأن "النظام لديه مجموعة لا نهائية من الحلول" - من الضروري وصف كيفية ترتيب هذه المجموعة.

يسمى المتغير x i مسموح به إذا تم تضمينه في معادلة واحدة فقط من النظام ، ومع معامل 1. وبعبارة أخرى ، في المعادلات المتبقية ، يجب أن يكون معامل المتغير x i مساويًا للصفر.

إذا حددنا متغيرًا واحدًا مسموحًا به في كل معادلة ، فسنحصل على مجموعة من المتغيرات المسموح بها لنظام المعادلات بأكمله. سيتم أيضًا تسمية النظام نفسه ، المكتوب بهذا النموذج ، بالسماح. بشكل عام ، يمكن اختزال نفس النظام الأولي إلى أنظمة مختلفة مسموح بها ، لكن هذا لا يهمنا الآن. فيما يلي أمثلة على الأنظمة المسموح بها:

كلا النظامين مسموح بهما فيما يتعلق بالمتغيرات x 1 و x 3 و x 4. ومع ذلك ، مع نفس النجاح ، يمكن القول بأن النظام الثاني مسموح به فيما يتعلق بـ x 1 و x 3 و x 5. يكفي إعادة كتابة آخر معادلة بالصيغة x 5 = x 4.

فكر الآن في حالة أكثر عمومية. لنفترض أن لدينا متغيرات k في المجموع ، يُسمح لـ r. ثم هناك حالتان ممكنتان:

1. عدد المتغيرات المسموح بها r يساوي إجمالي عدد المتغيرات k: r = k. نحصل على نظام من معادلات k حيث r = k المتغيرات المسموح بها. مثل هذا النظام هو تعاوني ومحدد ، لأنه س 1 \ u003d ب 1 ، س 2 \ u003d ب 2 ، ... ، س ك \ u003d ب ك ؛
2. عدد المتغيرات المسموح بها r أقل من إجمالي عدد المتغيرات k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

لذلك ، في الأنظمة المذكورة أعلاه ، تكون المتغيرات x 2 و x 5 و x 6 (للنظام الأول) و x 2 و x 5 (بالنسبة للنظام الثاني) مجانية. الحالة عندما تكون هناك متغيرات حرة يتم صياغتها بشكل أفضل كنظرية:

يرجى ملاحظة: هذه نقطة مهمة للغاية! اعتمادًا على كيفية كتابة النظام النهائي ، يمكن أن يكون نفس المتغير مسموحًا به ومجانيًا. يوصي معظم مدرسي الرياضيات المتقدمين بكتابة المتغيرات بترتيب معجمي ، أي مؤشر تصاعدي. ومع ذلك ، لا يتعين عليك اتباع هذه النصيحة على الإطلاق.

نظرية. إذا كانت المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x r مسموح بها في نظام معادلات n ، و x r + 1 ، x r + 2 ، ... ، x k مجانية ، إذن:

1. إذا قمنا بتعيين قيم المتغيرات الحرة (x r + 1 = t r + 1، x r + 2 = t r + 2، ...، x k = t k) ، ثم أوجد القيم x 1، x 2،. .. ، س ص ، نحصل على أحد الحلول.
2. إذا كانت قيم المتغيرات المجانية في حلين هي نفسها ، فإن قيم المتغيرات المسموح بها هي نفسها أيضًا ، أي الحلول متساوية.

ما معنى هذه النظرية؟ للحصول على جميع حلول نظام المعادلات المسموح به ، يكفي تحديد المتغيرات الحرة. بعد ذلك ، من خلال تعيين قيم مختلفة للمتغيرات المجانية ، سنحصل على حلول جاهزة. هذا كل شيء - بهذه الطريقة يمكنك الحصول على جميع حلول النظام. لا توجد حلول أخرى.

الخلاصة: نظام المعادلات المسموح به ثابت دائمًا. إذا كان عدد المعادلات في النظام المسموح به يساوي عدد المتغيرات ، فسيكون النظام محددًا ؛ وإذا كان أقل ، فسيكون غير محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام ، لكن السؤال الذي يطرح نفسه: كيف نحصل على الحل من نظام المعادلات الأصلي؟ لهذا هناك

نظام المعادلات الخطية م مع عدد غير معروفيسمى نظام النموذج

أين aijو ب ط (أنا=1,…,م; ب=1,…,ن) هي بعض الأرقام المعروفة ، و x 1 ، ... ، x n- مجهول. في تدوين المعاملات aijالفهرس الأول أنايدل على رقم المعادلة ، والثاني يهو عدد المجهول الذي يقف عنده هذا المعامل.

ستُكتب معاملات المجهول في شكل مصفوفة الذي سوف نسميه مصفوفة النظام.

الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات ب 1 ، ... ، ب ماتصل أعضاء أحرار.

إجمالي نأعداد ج 1 ، ... ، ج ناتصل قرارمن هذا النظام ، إذا أصبحت كل معادلة في النظام مساواة بعد استبدال الأرقام بها ج 1 ، ... ، ج نبدلا من المجهول المقابل x 1 ، ... ، x n.

ستكون مهمتنا إيجاد حلول للنظام. في هذه الحالة ، قد تنشأ ثلاث حالات:

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على حل واحد على الأقل مشترك. خلاف ذلك ، أي إذا لم يكن لدى النظام حلول ، فسيتم استدعاؤه غير متوافق.

فكر في طرق لإيجاد حلول للنظام.

طريقة المصفوفة لحل نظم المعادلات الخطية

تجعل المصفوفات من الممكن كتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. دعونا نعطي نظام من 3 معادلات مع ثلاثة مجاهيل:

ضع في اعتبارك مصفوفة النظام وأعمدة المصفوفة لأعضاء غير معروفين وأحرار

لنجد المنتج

أولئك. كنتيجة للمنتج ، نحصل على الجانبين الأيسر من معادلات هذا النظام. بعد ذلك ، باستخدام تعريف مساواة المصفوفة ، يمكن كتابة هذا النظام كـ

أو أقصر أ∙س = ب.

هنا المصفوفات أو بمعروفة والمصفوفة Xمجهول. يجب أن يتم العثور عليها ، لأن. عناصره هي الحل لهذا النظام. هذه المعادلة تسمى معادلة المصفوفة.

اجعل محدد المصفوفة مختلفًا عن الصفر | أ| ≠ 0. ثم تحل معادلة المصفوفة على النحو التالي. اضرب طرفي المعادلة على اليسار بالمصفوفة أ -1، معكوس المصفوفة أ:. بسبب ال أ -1 أ = هـو ه∙س = س، ثم نحصل على حل معادلة المصفوفة بالصيغة س = أ -1 ب .

لاحظ أنه نظرًا لأنه لا يمكن العثور على المصفوفة العكسية إلا للمصفوفات المربعة ، فإن طريقة المصفوفة يمكنها فقط حل تلك الأنظمة التي فيها عدد المعادلات هو نفسه عدد المجهول. ومع ذلك ، فإن تدوين المصفوفة للنظام ممكن أيضًا في الحالة التي يكون فيها عدد المعادلات غير مساوٍ لعدد المجهول ، ثم المصفوفة أليس مربعًا وبالتالي من المستحيل إيجاد حل للنظام بالشكل س = أ -1 ب.

أمثلة.حل أنظمة المعادلات.

قاعدة كرامر

ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل:

محدد من الدرجة الثالثة يتوافق مع مصفوفة النظام ، أي تتكون من معاملات غير معروفة ،

اتصل محدد النظام.

نؤلف ثلاثة محددات أخرى على النحو التالي: نستبدل على التوالي 1 و 2 و 3 أعمدة في المحدد D بعمود من الأعضاء الأحرار

ثم يمكننا إثبات النتيجة التالية.

نظرية (قاعدة كرامر).إذا كان محدد النظام هو Δ ≠ 0 ، فإن النظام قيد النظر له حل واحد فقط ، و

دليل - إثبات. لذلك ، ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل. اضرب المعادلة الأولى للنظام بالمكمل الجبري أ 11عنصر أ 11، المعادلة الثانية - تشغيل أ 21والثالث - يوم أ 31:

دعنا نضيف هذه المعادلات:

ضع في اعتبارك كل من القوسين والجانب الأيمن من هذه المعادلة. من خلال نظرية توسيع المحدد من حيث عناصر العمود الأول

وبالمثل ، يمكن إثبات أن و.

أخيرًا ، من السهل رؤية ذلك

وهكذا نحصل على المساواة:.

بالتالي، .

يتم اشتقاق المساواة وبالمثل ، ومن هنا يتبع تأكيد النظرية.

وبالتالي ، نلاحظ أنه إذا كان محدد النظام هو Δ ≠ 0 ، فإن النظام لديه حل فريد والعكس صحيح. إذا كان محدد النظام يساوي صفرًا ، فإن النظام إما لديه مجموعة لا نهائية من الحلول أو ليس لديه حلول ، أي غير متوافق.

أمثلة.حل جملة معادلات

طريقة GAUSS

يمكن استخدام الطرق التي تم النظر فيها مسبقًا لحل تلك الأنظمة فقط التي يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المجهول ، ويجب أن يكون محدد النظام مختلفًا عن الصفر. تعتبر طريقة Gaussian أكثر شمولية وهي مناسبة للأنظمة التي تحتوي على أي عدد من المعادلات. وهو يتألف من الإزالة المتتالية للمجهول من معادلات النظام.

تأمل مرة أخرى في نظام من ثلاث معادلات ذات ثلاثة مجاهيل:

.

نترك المعادلة الأولى دون تغيير ، ومن الثاني والثالث نستبعد المصطلحات التي تحتوي على × 1. للقيام بذلك ، نقسم المعادلة الثانية على أ 21 وضرب في - أ 11 ثم قم بإضافة المعادلة الأولى. وبالمثل ، نقسم المعادلة الثالثة إلى أ 31 وضرب في - أ 11 ثم قم بإضافته إلى الأول. نتيجة لذلك ، سيأخذ النظام الأصلي الشكل:

الآن ، من المعادلة الأخيرة ، نحذف المصطلح الذي يحتوي على x2. للقيام بذلك ، قسّم المعادلة الثالثة على ، واضربها وأضفها إلى الثانية. ثم سيكون لدينا نظام معادلات:

ومن ثم فمن السهل العثور عليها من المعادلة الأخيرة × 3، ثم من المعادلة الثانية x2وأخيرا من الأول - × 1.

عند استخدام طريقة Gaussian ، يمكن تبادل المعادلات إذا لزم الأمر.

في كثير من الأحيان ، بدلاً من كتابة نظام معادلات جديد ، فإنهم يقصرون أنفسهم على كتابة المصفوفة الممتدة للنظام:

ثم أحضره إلى شكل مثلث أو قطري باستخدام التحولات الأولية.

إلى التحولات الأوليةتتضمن المصفوفات التحولات التالية:

1. تبديل الصفوف أو الأعمدة ؛
2. ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛
3. مضيفا إلى سطر واحد خطوط أخرى.

أمثلة:حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة جاوس.

وبالتالي ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.