Det er klart, tal med potenser kan tilføjes ligesom andre mængder , ved at tilføje dem én efter én med deres tegn.

Så summen af ​​a 3 og b 2 er a 3 + b 2 .
Summen af ​​a 3 - b n og h 5 - d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds de samme potenser af de samme variable kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af ​​2a 2 og 3a 2 er 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis vi tager to kvadrater a, eller tre kvadrater a, eller fem kvadrater a.

Men grader forskellige variabler og forskellige grader identiske variabler, skal tilføjes ved at tilføje dem til deres skilte.

Så summen af ​​a 2 og a 3 er summen af ​​a 2 + a 3 .

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af ​​a, hverken er to gange kvadratet af a, men to gange terningen af ​​a.

Summen af ​​a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion beføjelser udføres på samme måde som addition, bortset fra at tegnene for subtrahend skal ændres i overensstemmelse hermed.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Power multiplikation

Tal med potenser kan ganges som andre størrelser ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden multiplikationstegnet mellem dem.

Så resultatet af at gange a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje de samme variable.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3 .

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med sum grader af vilkår.

Så a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen af ​​resultatet af multiplikationen, lig med 2 + 3, summen af ​​potenserne af led.

Så a n.am = a m+n.

For a n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af ​​n er;

Og a m , tages som en faktor lige så mange gange som graden m er lig med;

Derfor, potenser med samme grundtal kan ganges ved at lægge eksponenterne sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er - negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, bliver resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af ​​to tal er lig med summen eller forskellen af ​​deres kvadrater.

Hvis summen og forskellen af ​​to tal hæves til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af ​​disse tal i fjerde grad.

Altså (a - y).(a + y) = a 2 - y2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Magtfordeling

Tal med potenser kan divideres som andre tal ved at trække fra divisoren eller ved at placere dem i form af en brøk.

Så a 3 b 2 divideret med b 2 er a 3 .

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

At skrive en 5 divideret med en 3 ser ud som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lig med en 2'er. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel indikatorer for delelige tal.

Når potenser divideres med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vil sige $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil sige $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ gradværdier.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Reducer eksponenterne i $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reducer eksponenterne i $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reducer eksponenterne a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring dem til en fællesnævner.
a 2 .a -4 er en -2 første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1 , den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reducer eksponenterne 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og bring dem til en fællesnævner.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5/5a 2.

5. Gang (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Gang (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Gang b4/a-2 med h-3/x og a n/y-3.

8. Divider a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Divider (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.

Power formler bruges i processen med at reducere og forenkle komplekse udtryk, ved løsning af ligninger og uligheder.

Nummer c er n-te potens af et tal -en hvornår:

Operationer med grader.

1. Hvis du multiplicerer grader med den samme base, summeres deres indikatorer:

en ma n = a m + n.

2. I opdelingen af ​​grader med samme base trækkes deres indikatorer fra:

3. Graden af ​​produktet af 2 eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Graden af ​​en brøk er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet og divisoren:

(a/b) n = a n/b n .

5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er korrekt i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationer med rødder.

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​forholdet er lig med forholdet mellem udbyttet og divisor af rødderne:

3. Når du hæver en rod til en potens, er det nok at hæve rodtallet til denne potens:

4. Hvis vi øger graden af ​​roden ind nén gang og samtidig hæve til n potens er et rodtal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis vi mindsker graden af ​​roden ind n rod på samme tid n grad fra det radikale tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Grad med negativ eksponent. Graden af ​​et tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med graden af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den ikke-positive eksponent:

Formel en m:a n = a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n blev fair kl m=n, du har brug for tilstedeværelsen af ​​nulgraden.

Grad med nul eksponent. Potensen af ​​ethvert ikke-nul tal med en nuleksponent er lig med en.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. At hæve et reelt tal -en til en vis grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m potens af dette tal -en.

Begrebet en grad i matematik introduceres allerede i 7. klasse i en algebratime. Og i fremtiden, i løbet af matematikstudiet, bliver dette koncept aktivt brugt i dets forskellige former. Grader er et ret vanskeligt emne, der kræver memorering af værdier og evnen til at tælle korrekt og hurtigt. For hurtigere og bedre arbejde med matematikgrader kom de med egenskaberne for en grad. De er med til at skære ned på store beregninger, til i et vist omfang at konvertere et kæmpe eksempel til et enkelt tal. Der er ikke så mange egenskaber, og alle er nemme at huske og anvende i praksis. Derfor diskuterer artiklen gradens hovedegenskaber, samt hvor de anvendes.

grad egenskaber

Vi vil overveje 12 egenskaber af en grad, herunder egenskaber af potenser med samme base, og give et eksempel for hver egenskab. Hver af disse egenskaber vil hjælpe dig med at løse problemer med grader hurtigere, samt spare dig for adskillige beregningsfejl.

1. ejendom.

Mange mennesker glemmer meget ofte denne ejendom, laver fejl og repræsenterer et tal i nul grad som nul.

2. ejendom.

3. ejendom.

Det skal huskes at denne egenskab kun kan bruges ved multiplikation af tal, det virker ikke med summen! Og vi må ikke glemme, at denne og de følgende egenskaber kun gælder for kræfter med samme base.

4. ejendom.

Hvis tallet i nævneren hæves til en negativ potens, så tages nævnerens grad i parentes, når der trækkes fra, for at erstatte tegnet korrekt i yderligere beregninger.

Egenskaben virker kun ved dividering, ikke når man trækker fra!

5. ejendom.

6. ejendom.

Denne egenskab kan også anvendes omvendt. En enhed divideret med et tal til en vis grad er dette tal i negativ potens.

7. ejendom.

Denne egenskab kan ikke anvendes til sum og difference! Når man hæver en sum eller forskel til en potens, bruges forkortede multiplikationsformler, ikke potensens egenskaber.

8. ejendom.

9. ejendom.

Denne egenskab virker for enhver brøkgrad med en tæller lig med én, formlen vil være den samme, kun graden af ​​roden vil ændre sig afhængigt af gradens nævner.

Også denne egenskab bruges ofte i omvendt rækkefølge. Roden af ​​enhver potens af et tal kan repræsenteres som dette tal til styrken af ​​en divideret med magten af ​​roden. Denne egenskab er meget nyttig i tilfælde, hvor roden af ​​tallet ikke er udtrukket.

10. ejendom.

Denne egenskab fungerer ikke kun med kvadratroden og anden grad. Hvis graden af ​​roden og graden, hvortil denne rod er hævet, er den samme, så vil svaret være et radikalt udtryk.

11. ejendom.

Du skal være i stand til at se denne egenskab i tide, når du løser den for at spare dig selv for store beregninger.

12. ejendom.

Hver af disse egenskaber vil møde dig mere end én gang i opgaver, den kan gives i sin rene form, eller den kan kræve nogle transformationer og brug af andre formler. Derfor, for den korrekte løsning, er det ikke nok kun at kende egenskaberne, du skal øve og forbinde resten af ​​matematisk viden.

Anvendelse af grader og deres egenskaber

De bruges aktivt i algebra og geometri. Grader i matematik har en separat, vigtig plads. Med deres hjælp løses eksponentielle ligninger og uligheder, ligesom potenser ofte komplicerer ligninger og eksempler relateret til andre dele af matematikken. Eksponenter er med til at undgå store og lange beregninger, det er nemmere at reducere og beregne eksponenterne. Men for at arbejde med store kræfter eller med store kræfter, skal du kende ikke kun gradens egenskaber, men også dygtigt arbejde med baserne, være i stand til at nedbryde dem for at gøre din opgave lettere. For nemheds skyld bør du også kende betydningen af ​​tal hævet til en potens. Dette vil reducere din tid til at løse ved at eliminere behovet for lange beregninger.

Gradbegrebet spiller en særlig rolle i logaritmer. Da logaritmen i bund og grund er magten af ​​et tal.

Forkortede multiplikationsformler er et andet eksempel på brugen af ​​potenser. De kan ikke bruge gradernes egenskaber, de nedbrydes efter særlige regler, men i hver forkortet multiplikationsformel er der uvægerligt grader.

Grader bruges også aktivt i fysik og datalogi. Alle oversættelser til SI-systemet foretages ved hjælp af grader, og i fremtiden, ved problemløsning, anvendes gradens egenskaber. Inden for datalogi bruges kræfter til to aktivt, for at gøre det nemmere at tælle og forenkle opfattelsen af ​​tal. Yderligere beregninger for omregninger af måleenheder eller beregninger af problemstillinger, ligesom i fysik, sker ved brug af gradens egenskaber.

Grader er også meget nyttige i astronomi, hvor man sjældent kan finde brugen af ​​en grads egenskaber, men selve graderne bruges aktivt til at forkorte registreringen af ​​forskellige størrelser og afstande.

Grader bruges også i hverdagen, når man beregner arealer, rumfang, afstande.

Ved hjælp af grader er meget store og meget små værdier skrevet inden for ethvert videnskabsområde.

eksponentielle ligninger og uligheder

Gradegenskaber indtager en særlig plads netop i eksponentielle ligninger og uligheder. Disse opgaver er meget almindelige, både i skoleforløbet og ved eksamen. Alle løses ved at anvende gradens egenskaber. Det ukendte er altid i selve graden, derfor, ved at kende alle egenskaberne, vil det ikke være svært at løse en sådan ligning eller ulighed.

Lektion om emnet: "Regler for at gange og dividere potenser med samme og forskellige eksponenter. Eksempler"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, feedback, forslag. Alt materiale kontrolleres af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i netbutikken "Integral" til 7. klasse
Manual til lærebogen Yu.N. Makarycheva Manual til lærebogen A.G. Mordkovich

Formålet med lektionen: Lær at udføre operationer med potenser af et tal.

Til at begynde med, lad os huske begrebet "et tals magt". Et udtryk som $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kan repræsenteres som $a^n$.

Det omvendte er også sandt: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Denne ligestilling kaldes "registrering af graden som et produkt". Det vil hjælpe os med at bestemme, hvordan man multiplicerer og dividerer potenser.
Husk:
-en- grundlaget for graden.
n- eksponent.
Hvis en n=1, hvilket betyder nummeret -en taget en gang og henholdsvis: $a^n= 1$.
Hvis en n=0, derefter $a^0= 1$.

Hvorfor det sker, kan vi finde ud af, når vi stifter bekendtskab med reglerne for multiplikation og deling af potenser.

multiplikationsregler

a) Hvis potenser med samme grundtal ganges.
Til $a^n * a^m$ skriver vi potenserne som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Figuren viser, at antallet -en har taget n+m gange, derefter $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Eksempel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Denne egenskab er praktisk at bruge til at forenkle arbejdet, når du hæver et tal til en stor magt.
Eksempel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Hvis potenser ganges med en anden grundtal, men den samme eksponent.
Til $a^n * b^n$ skriver vi potenserne som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Hvis vi bytter faktorerne og tæller de resulterende par, får vi: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Så $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Eksempel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

opdelingsregler

a) Gradens basis er den samme, eksponenterne er forskellige.
Overvej at dividere en grad med en større eksponent ved at dividere en grad med en mindre eksponent.

Så det er nødvendigt $\frac(a^n)(a^m)$, hvor n>m.

Vi skriver graderne som en brøk:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

For nemheds skyld skriver vi divisionen som en simpel brøk.

Lad os nu reducere fraktionen.

Det viser sig: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Midler, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Denne egenskab hjælper med at forklare situationen med at hæve et tal til en potens af nul. Lad os antage det n=m, derefter $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Eksempler.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Grundlaget for graden er forskellige, indikatorerne er de samme.
Lad os sige, at du har brug for $\frac(a^n)(b^n)$. Vi skriver potenserne af tal som en brøk:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Lad os forestille os for nemheds skyld.

Ved at bruge egenskaben til brøker deler vi en stor brøk i et produkt af små, vi får.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Følgelig: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Eksempel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Første niveau

Grad og dens egenskaber. Omfattende vejledning (2019)

Hvorfor er der behov for grader? Hvor har du brug for dem? Hvorfor skal du bruge tid på at studere dem?

For at lære alt om grader, hvad de er til, hvordan du bruger din viden i hverdagen, læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil kendskab til graderne bringe dig tættere på med succes at bestå OGE eller Unified State Examination og komme ind på dit drømmeuniversitet.

Lad os gå... (Lad os gå!)

Vigtig note! Hvis du i stedet for formler ser volapyk, skal du rydde din cache. For at gøre dette skal du trykke på CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVEAU

Eksponentiering er den samme matematiske operation som addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt på menneskeligt sprog ved hjælp af meget enkle eksempler. Vær forsigtig. Eksempler er elementære, men forklarer vigtige ting.

Lad os starte med tilføjelse.

Der er ikke noget at forklare her. Du ved allerede alt: vi er otte. Hver har to flasker cola. Hvor meget cola? Det er rigtigt - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme eksempel med cola kan skrives på en anden måde: . Matematikere er snedige og dovne mennesker. De bemærker først nogle mønstre og finder derefter på en måde at "tælle" dem hurtigere på. I vores tilfælde bemærkede de, at hver af de otte personer havde det samme antal flasker cola og fandt på en teknik kaldet multiplikation. Enig, det anses for nemmere og hurtigere end.

Så for at tælle hurtigere, nemmere og uden fejl, skal du bare huske multiplikationstabel. Selvfølgelig kan du gøre alt langsommere, hårdere og med fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og en anden, smukkere en:

Og hvilke andre vanskelige tælletricks fandt dovne matematikere på? Korrekt - hæve et tal til en magt.

At hæve et tal til en magt

Hvis du skal gange et tal med sig selv fem gange, så siger matematikere, at du skal hæve dette tal til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker, at to til femte potens er. Og de løser sådanne problemer i deres sind - hurtigere, nemmere og uden fejl.

For at gøre dette behøver du kun husk, hvad der er fremhævet med farve i tabellen over talmagter. Tro mig, det vil gøre dit liv meget lettere.

Forresten, hvorfor kaldes anden grad firkant numre, og den tredje terning? Hvad betyder det? Et meget godt spørgsmål. Nu vil du have både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

Lad os starte med en firkant eller anden potens af et tal.

Forestil dig en firkantet pool, der måler meter for meter. Poolen er i din baghave. Det er varmt, og jeg vil rigtig gerne svømme. Men ... en pool uden bund! Det er nødvendigt at dække bunden af ​​poolen med fliser. Hvor mange fliser har du brug for? For at bestemme dette skal du kende området af bunden af ​​poolen.

Du kan blot tælle ved at stikke med fingeren, at bunden af ​​bassinet består af terninger meter for meter. Hvis dine fliser er meter for meter, skal du bruge stykker. Det er nemt... Men hvor har du set sådan en flise? Flisen bliver hellere cm for cm. Og så vil du blive pint af at "tælle med fingeren". Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af ​​poolen vil vi montere fliser (stykker) og på den anden side også fliser. Hvis du multiplicerer med, får du fliser ().

Har du bemærket, at vi multiplicerede det samme tal med sig selv for at bestemme arealet af bunden af ​​poolen? Hvad betyder det? Da det samme tal ganges, kan vi bruge eksponentieringsteknikken. (Selvfølgelig, når du kun har to tal, skal du stadig gange dem eller hæve dem til en potens. Men hvis du har mange af dem, så er det meget nemmere at hæve til en potens, og der er også færre fejl i beregningerne Til eksamen er dette meget vigtigt).
Så tredive til anden grad vil være (). Eller du kan sige, at tredive kvadrat vil være. Med andre ord kan anden potens af et tal altid repræsenteres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser et kvadrat, er det ALTID anden potens af et tal. Et kvadrat er et billede af anden potens af et tal.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en opgave til dig, tæl hvor mange felter der er på skakbrættet ved at bruge firkanten af ​​tallet ... På den ene side af cellerne og også på den anden side. For at tælle deres antal skal du gange otte med otte, eller ... hvis du bemærker, at et skakbræt er en firkant med en side, så kan du kvadre otte. Få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nu terningen eller tredje potens af et tal. Den samme pool. Men nu skal du finde ud af, hvor meget vand der skal hældes i denne pool. Du skal beregne volumen. (Mængder og væsker måles i øvrigt i kubikmeter. Uventet, ikke?) Tegn et bassin: en bund på en meter i størrelse og en meter dyb og prøv at udregne, hvor mange kuber, der måler en meter gange en meter, der kommer ind i din pool.

Bare peg fingeren og tæl! En, to, tre, fire...toogtyve, treogtyve... Hvor meget blev det til? Er du ikke faret vild? Er det svært at tælle med fingeren? Så det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, så de bemærkede, at for at beregne poolens volumen skal du gange dens længde, bredde og højde med hinanden. I vores tilfælde vil puljens volumen være lig med terninger ... Nemmere, ikke?

Forestil dig nu, hvor dovne og snedige matematikere er, hvis de gør det for nemt. Reduceret alt til én handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er ens, og at det samme tal ganges med sig selv ... Og hvad betyder det? Det betyder, at du kan bruge graden. Så hvad du engang talte med en finger, gør de i én handling: tre i en terning er lig. Det er skrevet sådan:

Kun tilbage huske tabellen over grader. Medmindre du selvfølgelig er lige så doven og snu som matematikere. Hvis du kan lide at arbejde hårdt og lave fejl, kan du blive ved med at tælle med fingeren.

Nå, for endelig at overbevise dig om, at grader blev opfundet af loafers og snedige mennesker for at løse deres livsproblemer, og ikke for at skabe problemer for dig, er her et par eksempler mere fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begyndelsen af ​​hvert år tjener du endnu en million for hver million. Det vil sige, at hver af dine millioner i begyndelsen af ​​hvert år fordobles. Hvor mange penge vil du have om år? Hvis du nu sidder og “tæller med fingeren”, så er du et meget arbejdsomt menneske og .. dum. Men højst sandsynligt giver du et svar om et par sekunder, for du er klog! Så i det første år - to gange to ... i det andet år - hvad skete der, med to mere, i det tredje år ... Stop! Du har bemærket, at tallet ganges med sig selv én gang. Så to til femte potens er en million! Forestil dig nu, at du har en konkurrence, og den, der regner hurtigere, vil få disse millioner ... Er det værd at huske graderne af tal, hvad synes du?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begyndelsen af ​​hvert år tjener du to mere for hver million. Det er godt ikke? Hver million er tredoblet. Hvor mange penge vil du have om et år? Lad os tælle. Det første år - gange med, så resultatet med et andet ... Det er allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: tre ganges med sig selv gange. Så den fjerde potens er en million. Du skal bare huske, at tre til fjerde potens er eller.

Nu ved du, at ved at hæve et tal til en magt, vil du gøre dit liv meget lettere. Lad os se nærmere på, hvad du kan gøre med grader, og hvad du har brug for at vide om dem.

Begreber og begreber ... for ikke at blive forvirret

Så lad os først definere begreberne. Hvad synes du, hvad er eksponent? Det er meget enkelt – dette er det tal, der er "øverst" af tallets potens. Ikke videnskabeligt, men klart og let at huske ...

Nå, på samme tid, hvad sådan en gradsbasis? Endnu enklere er det nummer, der er i bunden, i bunden.

Her er et billede for at være sikker.

Nå, i generelle vendinger, for at generalisere og huske bedre ... En grad med en base "" og en indikator "" læses som "i graden" og skrives som følger:

Potens for et tal med en naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gættet: fordi eksponenten er et naturligt tal. Ja, men hvad er det naturligt tal? Elementære! Naturlige tal er dem, der bruges til at tælle, når der opstilles elementer: en, to, tre ... Når vi tæller elementer, siger vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi siger heller ikke "en tredjedel" eller "nul komma fem tiendedele". Det er ikke naturlige tal. Hvad tror du, disse tal er?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tal. Generelt omfatter heltal alle naturlige tal, tal modsat naturlige tal (det vil sige taget med et minustegn) og et tal. Nul er let at forstå - det er når der ikke er noget. Og hvad betyder negative ("minus") tal? Men de blev først og fremmest opfundet for at angive gæld: Hvis du har en saldo på din telefon i rubler, betyder det, at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rationelle tal. Hvordan opstod de, tror du? Meget simpelt. For flere tusinde år siden opdagede vores forfædre, at de ikke havde nok naturlige tal til at måle længde, vægt, areal osv. Og de fandt på rationelle tal… Interessant, ikke?

Der er også irrationelle tal. Hvad er disse tal? Kort sagt en uendelig decimalbrøk. For eksempel, hvis du dividerer omkredsen af ​​en cirkel med dens diameter, så får du et irrationelt tal.

Resumé:

Lad os definere begrebet grad, hvis eksponent er et naturligt tal (det vil sige heltal og positivt).

1. Ethvert tal i første potens er lig med sig selv:
2. At kvadrere et tal er at gange det med sig selv:
3. At kube et tal er at gange det med sig selv tre gange:

Definition. At hæve et tal til en naturlig potens er at gange tallet med sig selv gange:
.

Grad egenskaber

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg skal vise dig det nu.

Lad os se, hvad der er og ?

Per definition:

Hvor mange multiplikatorer er der i alt?

Det er meget enkelt: Vi tilføjede faktorer til faktorerne, og resultatet er faktorer.

Men per definition er dette graden af ​​et tal med en eksponent, det vil sige: , som skulle bevises.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel nødvendigvis må være af samme grund!
Derfor kombinerer vi graderne med basen, men forbliver en separat faktor:

kun for produkter af magt!

Det må du under ingen omstændigheder skrive.

2. altså -te potens af et tal

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​graden:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv én gang, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

Faktisk kan dette kaldes "indstilling af indikatoren". Men du kan aldrig gøre dette i alt:

Lad os huske formlerne for forkortet multiplikation: hvor mange gange ville vi skrive?

Men det er ikke rigtigt.

Grad med negativ base

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad eksponenten skal være.

Men hvad skal grundlaget være?

I grader fra naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer. Faktisk kan vi gange et hvilket som helst tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige.

Lad os tænke på, hvilke tegn ("" eller "") vil have grader af positive og negative tal?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? MEN? ? Med den første er alt klart: uanset hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker trods alt en simpel regel fra 6. klasse: "et minus gange et minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med, viser det sig.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarede du dig?

Her er svarene: I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på grundtallet og eksponenten og anvender den passende regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er lige meget, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Nå, undtagen når basen er nul. Basen er ikke den samme, er den? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt!

6 øvelseseksempler

Analyse af løsningen 6 eksempler

Hvis vi ikke er opmærksomme på ottende grad, hvad ser vi så her? Lad os tage et kig på programmet for 7. klasse. Så husk? Dette er den forkortede multiplikationsformel, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Vi ser nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Forkert rækkefølge af vilkårene. Hvis de blev byttet, kunne reglen gælde.

Men hvordan gør man det? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Vilkårene har på magisk vis skiftet plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan frit ændre tegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

hel vi navngiver de naturlige tal, deres modsætninger (det vil sige taget med tegnet "") og tallet.

positivt heltal, og det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én:

Som altid spørger vi os selv: hvorfor er det sådan?

Overvej noget kraft med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med og fik det samme som det var -. Hvilket tal skal ganges med, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad – lige meget hvor meget du ganger nul med sig selv, får du stadig nul, det er klart. Men på den anden side, ligesom ethvert tal til nulgraden, skal det være ens. Så hvad er sandheden i dette? Matematikere besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul potens. Det vil sige, at nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til nul-potensen.

Lad os gå videre. Ud over naturlige tal og tal inkluderer heltal negative tal. For at forstå, hvad en negativ grad er, lad os gøre det samme som sidste gang: vi multiplicerer et normalt tal med det samme i en negativ grad:

Herfra er det allerede nemt at udtrykke det ønskede:

Nu udvider vi den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere reglen:

Et tal til en negativ potens er det omvendte af det samme tal til en positiv potens. Men samtidig base kan ikke være null:(fordi det er umuligt at dele).

Lad os opsummere:

I. Udtryk er ikke defineret i kasus. Hvis så.

II. Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul til en negativ potens, er det omvendte af det samme tal til en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, som sædvanlig, eksempler på en uafhængig løsning:

Analyse af opgaver til selvstændig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er skræmmende, men til eksamen skal du være klar til hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsning, hvis du ikke kunne løse det, og du vil lære, hvordan du nemt kan håndtere dem i eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide rækken af ​​tal "egnede" som eksponent.

Overvej nu rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, hvad der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er desuden heltal.

At forstå, hvad der er "brøkdel grad" Lad os overveje en brøkdel:

Lad os hæve begge sider af ligningen til en potens:

Husk nu reglen "grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af ​​roden af ​​th grad.

Lad mig minde dig om: roden af ​​th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig.

Det vil sige, roden af ​​den th grad er den omvendte operation af eksponentiering:.

Det viser sig at. Dette særlige tilfælde kan naturligvis udvides: .

Tilføj nu tælleren: hvad er det? Svaret er let at få med magt-til-magt-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan trods alt ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Husk reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at det er umuligt at udtrække rødder af en lige grad fra negative tal!

Og det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtryk?

Men her opstår et problem.

Tallet kan repræsenteres som andre reducerede brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det eksisterer, men ikke eksisterer, og det er blot to forskellige optegnelser med samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men så snart vi skriver indikatoren på en anden måde, får vi igen problemer: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

Overvej for at undgå sådanne paradokser kun positiv baseeksponent med fraktioneret eksponent.

Så hvis:

• - naturligt tal;
• er et heltal;

Eksempler:

Potenser med en rationel eksponent er meget nyttige til at transformere udtryk med rødder, for eksempel:

5 øvelseseksempler

Analyse af 5 eksempler til træning

Nå, nu - det sværeste. Nu vil vi analysere grad med en irrationel eksponent.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for grader med en rationel eksponent, med undtagelse af

Faktisk er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (det vil sige, at irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med en naturlig, heltal og rationel indikator, lavede vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...nul effekt- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, at det endnu ikke er begyndt at blive ganget, hvilket betyder, at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et vist "tal tomt" , nemlig nummeret;

...negativ heltalseksponent- det er som om, der har fundet en vis "omvendt proces" sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Forresten bruger videnskaben ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at en eksponent ikke engang er et reelt tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder; du vil have mulighed for at forstå disse nye koncepter på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den allerede sædvanlige regel for at hæve en grad til en grad:

Se nu på scoren. Minder han dig om noget? Vi husker formlen for forkortet multiplikation af forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig at:

Svar: .

2. Vi bringer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge ordinære. Vi får fx:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi anvender de sædvanlige egenskaber ved grader:

AVANCERET NIVEAU

Definition af grad

Graden er et udtryk for formen: , hvor:

• — basis af grad;
• - eksponent.

Grad med naturlig eksponent (n = 1, 2, 3,...)

At hæve et tal til den naturlige potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Potens med heltalseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltal nummer:

erektion til nul effekt:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad er dette, og på den anden side er ethvert tal i th grad dette.

Hvis eksponenten er heltal negativ nummer:

(fordi det er umuligt at dele).

Endnu en gang om nuller: udtrykket er ikke defineret i casen. Hvis så.

Eksempler:

Grad med rationel eksponent

• - naturligt tal;
• er et heltal;

Eksempler:

Grad egenskaber

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

Per definition:

Så på højre side af dette udtryk opnås følgende produkt:

Men per definition er dette en potens af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel nødvendigvis skal have samme grundlag. Derfor kombinerer vi graderne med basen, men forbliver en separat faktor:

En anden vigtig bemærkning: denne regel - kun for produkter af magt!

Det må jeg under ingen omstændigheder skrive.

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​graden:

Lad os omarrangere det sådan:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv én gang, det vil sige, ifølge definitionen, er dette den -te potens af tallet:

Faktisk kan dette kaldes "indstilling af indikatoren". Men du kan aldrig gøre dette i alt:!

Lad os huske formlerne for forkortet multiplikation: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er ikke rigtigt.

Strøm med negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad der skulle være indeks grad. Men hvad skal grundlaget være? I grader fra naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange et hvilket som helst tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke på, hvilke tegn ("" eller "") vil have grader af positive og negative tal?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? MEN? ?

Med den første er alt klart: uanset hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker trods alt en simpel regel fra 6. klasse: "et minus gange et minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med (), får vi -.

Og så videre ad infinitum: Med hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Du kan formulere disse enkle regler:

1. også selvom grad, - antal positiv.
2. Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
3. Et positivt tal til enhver potens er et positivt tal.
4. Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på grundtallet og eksponenten og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud til: det er lige meget, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, undtagen når basen er nul. Basen er ikke den samme, er den? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis du husker det, bliver det tydeligt, hvilket betyder, at grundtallet er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af ​​grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af ​​grader ned og deler dem ind i hinanden, deler dem op i par og får:

Før vi analyserer den sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn værdierne af udtryk:

Løsninger :

Hvis vi ikke er opmærksomme på ottende grad, hvad ser vi så her? Lad os tage et kig på programmet for 7. klasse. Så husk? Dette er den forkortede multiplikationsformel, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Vi ser nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Forkert rækkefølge af vilkårene. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 anvendes. Men hvordan gør man dette? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu ser det sådan ud:

Vilkårene har på magisk vis skiftet plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan frit ændre tegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid! Det kan ikke erstattes af ved kun at ændre ét anstødeligt minus for os!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle:

Nå, lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver bliver der? gange med multiplikatorer - hvordan ser det ud? Dette er intet andet end definitionen af ​​en operation multiplikation: i alt viste det sig at være multiplikatorer. Det vil sige, at det per definition er en potens af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrationel eksponent

Ud over oplysninger om graderne for gennemsnitsniveauet vil vi analysere graden med en irrationel indikator. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelsen - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (dvs. , irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med en naturlig, heltal og rationel indikator, lavede vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal i nulgraden er så at sige et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, at det endnu ikke er begyndt at blive ganget, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun en bestemt "udarbejdelse af et nummer", nemlig et nummer; en grad med en heltal negativ indikator - det er som om en vis "omvendt proces" har fundet sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematikere har skabt for at udvide begrebet en grad til hele rummet af tal.

Forresten bruger videnskaben ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at en eksponent ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder; du vil have mulighed for at forstå disse nye koncepter på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser en irrationel eksponent? Vi gør vores bedste for at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Husk formelen for forskellen mellem kvadrater. Svar: .
2. Vi bringer brøker til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noget særligt, vi anvender de sædvanlige egenskaber ved grader:

AFSNITRESUMÉ OG GRUNDFORMEL

Grad kaldes et udtryk for formen: , hvor:

Grad med heltalseksponent

grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

Grad med rationel eksponent

grad, hvis indikator er negative tal og brøktal.

Grad med irrationel eksponent

eksponent, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Grad egenskaber

Funktioner af grader.

• Negativt tal hævet til også selvom grad, - antal positiv.
• Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
• Et positivt tal til enhver potens er et positivt tal.
• Nul er lig med enhver magt.
• Ethvert tal i nulpotensen er lig.

NU HAR DU ET ORD...

Hvordan kan du lide artiklen? Fortæl mig i kommentarerne nedenfor, om du kunne lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med kraftegenskaberne.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!