Распределение максвелла и больцмана. Распределения гиббса

Больцман

Тепловое движ-е частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства. где -плотность вероятности т.е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором r. При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом функция распределения ,где n-концентрация частиц, N-полное число частиц газа.Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиус-вектором r , зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте. где n o -концентрация частиц в том месте, где E p =0.В этом случае вероятность .Этот закон называется распределением Больцмана . Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли и, если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то измен-е давления с высотой происходит по закону .- барометрическая формула .

Билет

1) Кинематика материальной точки. Система отсчета, радиус – вектор, перемещение, путь, скорость, ускорение

Кинематика материальной точки - раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.
Система отсчета – Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение и отсчитывающих время часов.
Радиус-вектор - Вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки
Перемещение - изменение местоположения физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.
Путь - это длина траектории движения тела.
Перемещение - это отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела.
Скорость – Быстрота перемещения тела и направление в котором движется частица в каждый момент времени.
Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущегося тела по величине и направлению.

2) Волны. Общая характеристика волновых процессов. Уравнение плоской волны. Фазовая и групповая скорости волн

Волны – Бывают два вида волн: Продольные и поперечные. Если колебательный процесс перпендикулярен направлению распространению волны – поперечные. Если колебание вдоль – продольные.

Продольные волны - колебания среды происходят вдоль направления распространения волн, при этом возникают области сжатия и разрежения среды.
Поперечные волны - колебания среды происходят перпендикулярно направлению их распространения, при этом происходит сдвиг слоев среды.

Уравнение плоской волны -
Фазовая скорость волны - скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве
вдоль заданного направления.
Групповая скорость - определяет скорость и направление переноса энергии волнами

Билет

1) Прямолинейное и криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения

Прямолинейное движение - механическое движение, при котором вектор перемещения ∆r не меняется по направлению, его модуль равен длине пути, пройденного телом
Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Нормальное ускорение - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущегося тела по величине и направлению.

2) Принципы относительности Галилея, преобразования Галилея.

Принцип относительности Галилея - гласит, что все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.
Преобразования Галилея - Преобразования Галилея опираются на принцип относительности Галилея, который подразумевает одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время»)

Билет

1) Кинематика вращательного движения

Если в процессе движения абсолютно твердого тела его точки А и В остаются неподвижными, то и любая точка С тела, находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной. В противном случае расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению об абсолютной твердости тела. Поэтому движение твердого тела, при котором две его точки Аи В остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения.

Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При вращении твердого тела расстояния М А и МВ и расстояние ρ точки М до оси вращения должны оставаться неизменными. Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны этой оси. Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке, называют вращением тела вокруг неподвижной точки - центра вращения. Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времени может изменяться.

2) Опыт Майкельсона. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца, следствия из преобразований Лоренца

Опыт Майкельсона - физический опыт, поставленный Альбертом Майкельсоном на своём интерферометре в 1881 году, с целью измерения зависимости скорости света от движения Земли относительно эфира. Под эфиром тогда понималась среда, аналогичная объёмно распределённой материи, в которой распространяется свет подобно звуковым колебаниям. Результат эксперимента по мнению Майкельсона был отрицательный - смещение полос не совпадают по фазе с теоретическими, но колебания этих смещений только немного меньше теоретических. Существование эфира опровергнуто.
1) все явления природы протекают абсолютно одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
2) С – величина постоянная и не зависит от скорости движения инсточника и приемника света
3) с позиции 2 постулата легко доказать что события одновременны в одной системме отсчета являются неодновременными в другой системе отсчета

Билет

1) Понятие массы, силы, импульса.

Импульс – Произведение массы тела на его скорость.
Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро изменять свою скорость, а другое в тех же условиях – значительно медленнее
Сила – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую причину: сила трения, сила тяжести, упругая сила и т. д. Сила является векторной величиной.

2) Сложение скоростей. Пространственно-временной интервал

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта.
В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:
Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей.
Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

Билет

1) Законы Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Законы Ньютона - три закона, лежащие в основе классической механики и позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел.

1) Если на тело не действует внешняя сила, то тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
2) F=ma Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально его массе
3) Сила действия равна силе противодействия F1 = - F2

Инерциальная система отсчета (ИСО) - система отсчета, в которой справедлив закон инерции: все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся в них прямолинейно и равномерно или покоятся в них. Только в этих системах выполняются законы Ньютона.

Неинерциальная система отсчета - произвольная система отсчета, не являющаяся инерциальной. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, является неинерциальной.

Сила инерции , векторная величина, численно равная произведению массы т материальной точки на ее ускорение w и направленная противоположно ускорению. При криволинейном движении С. и. можно разложить на касательную, или тангенциальную составляющую J t направленную противоположно касательному ускорению w t , и на нормальную, или центробежную составляющуюJ n , направленную вдоль главной нормали к траектории от центра кривизны; численно J t = nw t , J n =mv 2 / r, где v - скорость точки, r - радиус кривизны траектории. При изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчёта С. и. вводят для того, чтобы иметь формальную возможность составлять уравнения динамики в форме более простых уравнений

2) Импульс. Закон движения в релятивистской динамике. Энергия, взаимосвязи массы и энергии. Законы сохранения в СТО.

Релятивистский закон сложения скоростей тела и скорости движущейся системы в одном

где u " – скорость движения тела в движущейся системе отсчета; v – скорость движущейся системы K " относительно неподвижной системы K ;
u – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета K (рис. 1).

Релятивистское замедление времени Время t 0 , отсчитываемое по часам, покоящимся относительно данного тела, называется собственным временем . Оно всегда меньше времени, измеренного по движущимся часам: t 0 < t .

Релятивистское сокращение длины Поперечные размеры движущегося стержня не изменяются. Линейный размер стержня l 0 в той системе отсчета, где он покоится, называется собственной длиной. Эта длина максимальна: l 0 > l .

Импульс движущегося тела (релятивистский импульс ):

Полная энергия тела или системы тел:

6 Билет
1) Закон сохранения импульса. Центр масс. Движение центра масс.

Закон сохранения импульса - В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения
импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

P – Импульс системы; F - равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

Центр масс - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.
Теорема о движении центре масс (центра инерции) системы - общая проблема динамики. что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему. Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему. ma=(сумма F)

2) Термодинамические параметры. Идеальный и реальный газы. Уравнение состояния идеального и реального газов.

Термодинамическими величинами называют физические величины, применяемые при описании состояний и процессов в термодинамических системах.

1) Температура - физическая величина, примерно характеризующая приходящуюся на одну степень свободы среднюю кинетическую энергию частиц макроскопической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.
2) Давление - это нормальная к по­верхности (перпендикулярная) сила, действующая на единицу площади: р = F/A.
3) Объём - количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
4) Энтропия – степень разупорядоченности системы. Самопроизвольно в природе все процессы идут в одну сторону: в сторону роста энтропии. Св-ва (или растет или не меняется; это функция состояния; энтропия системы тел складывается из энтропии тел, входящих в систему; внутренняя энтропия = свободная энергия + связанная энергия)

Идеальный газ – газ в котором можно пренебречь взаимной потенциальной энергией молекул и собственным объемом молекул.
В реальных газах плотность настолько велика, что нельзя пренебречь взаимной потенциальной энергией. Собственный объем молекул тоже играет роль. В качестве эксперимента можно сделать следующее: берем баллон помещаем туда идеальный газ, очень медленно сжимаем. При этом температура должна быть постоянной за счет теплообмена с окружающей средой.
Соотношение между давлением и объемом подчиняется закону Бойля-Мариота. Давление обратно пропорционально объему.
Если увеличить концентрацию, то взаимное притяжение увеличится. Потенциальной энергией нельзя пренебречь
(газ реальный ). Между давлением и объемом нет обратно пропорциональной зависимости.

Билет

1)Момент инерции, момент силы и момент импульса. Теорема Штейнера

Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной, определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции І с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Моментом силы относительно неподвижной точки O называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу

Модуль момента силы :

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц.

Момент ипульса - характеризует количество вращательного движения. Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

L=r×p,
где r радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p - импульс частицы.

2) Внутренняя энергия идеального и реального газов.

Исходя из определения идеального газа, в нем отсутствует потенциальная составляющая внутренней энергии (отсутствуют силы взаимодействия молекул, кроме ударного). Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только кинетическую энергию движения его молекул.

Билет

1) Основное уравнение динамики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса.

2) Степени свободы молекул. Теорема равнораспределения энергии по степеням свободы.

степеней свободы молекул - число независимых координат, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение этого объекта относительно рассматриваемой системы отсчета.

а- одноатомной (3), б- двухатомной(5), в- трехатомной(6).

Среднюю кинетическую энергию движения молекулы идеального газа можно определить по формуле: iчисло независимых величин, определенных положением тела в пространстве.

У любого тела при поступательном движении три степени свободы. На каждую степень свободы статистической системы приходится одна и та же энергия, равная . ΣƩ

В этом состоит суть теоремы о равнораспределении тепловой энергии по степеням свободы.

Для одноатомных

Для двухатомных – 2 степени свободы. Колебания степеней свободы совершаются при значительном росте температуры, т.к. ослабевают межатомные связи и усиливаются колебания внутри молекул.

Для самой большого увеличения температуры

Билет

1) Работа постоянной и переменной силы. Кинетическая энергия тела, участвующего в поступательном и вращательном движениях.

Работа постоянной силы. Для характеристики эффективности силового воздействия на тело используется величина, называемая механической работой. Пусть под действием постоянной силы F частица произвольным образом переместилась из положения 1 в положение 2. Работой силы F на перемещении ∆r называется скалярная величина, определяемая следующим соотношением: Работа постоянной силы равняется скалярному произведению силы на перемещение.

Единица измерения работы - Джоуль. 1 Дж = 1 Н·м.
Работа переменной силы

Работа переменной силы. В случае движения под действием переменной силы величина работы рассчитывается следующим образом. Всю траекторию мысленно разбивают на отдельные участки такой малой длины |dr |, что действующую на них силу можно считать постоянной (см. рис. 7.2). Проекция силы на направление вектора элементарного перемещения dr представляет собой ее тангенциальную составляющую. Следовательно, элементарную работу на перемещении dr можно рассчитать с помощью соотношения.

2) Первое начало термодинамики и его применения к изопроцессам. Адиабатический процесс

Изопроцессы - процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров.

Изотермический процесс (T = const, следовательно ΔU = 0).
По первому закону термодинамики: Q = A".
Газ совершает работу A" за счет подводимого тепла Q (A">0, Q>0).
Совершение работы внешними силами A (сжатие газа) требует отвода тепла Q от газа для сохранения его температуры (A>0, Q<0).

Изохорный процесс (V = const, следовательно A = 0).
По первому закону термодинамики: ΔU = Q.
Нагревание газа в закрытом сосуде приводит к увеличению его внутренней энергии U (температуры) (Q>0, ΔU>0).
Охлаждение газа в закрытом сосуде приводит к уменьшению его внутренней энергии U (температуры) (Q<0, ΔU<0).

Изобарный процесс (p = const).
По первому закону термодинамики: Q = ΔU + A".
Подводимое к газу тепло Q частично идет на увеличение внутренней энергии U, а частично на совершение работы газом A" (Q>0, ΔU>0, A">0).
Работа внешних сил A при изобарном сжатии газа требует отвода тепла Q от газа, одновременно уменьшается его внутренняя энергия U (Q<0, ΔU<0, A>0).

Адиабатный процесс - процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0).
По первому закону термодинамики: ΔU = A.
Вся работа внешних сил А идет только на увеличение внутренней энергии газа (A>0, ΔU>0).
Работа газа А" совершается только за счет потери внутренней энергии газа (A">0, ΔU<0).

Билет

1) Потенциальная энергия. Потенциальная энергия сжатой пружины, тела в поле тяготения.

Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении. Другое определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы ] . Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения.

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где - масса тела, - ускорение свободного падения, - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

2) Работа сил тяготения, связь силы и потенциальной энергии. Работа газа в изопроцессах.

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F, действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой F и U должна быть связь, с другой стороны, dA = –dU, следовательно Fdr=-dU, отсюда:

Проекции вектора силы на оси координат:

Вектор силы можно записать через проекции: , F = –grad U, где .

В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0.

В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Распределение Больцмана.

Средняя длина свободного пробега молекул.

Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от и для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется статистическому закону, теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале от и;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

Введем коэффициент пропорциональности f( .

, 

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от до.

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от до.

, (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от до.

Из уравнений  и  следует вид функции 

- (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m 0 ) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

График функции асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие  в , встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

S общ. = 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. S общ. = 1 .

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем на максимум.

4,

Ранее было показано, что

, ,

 .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является  в .

Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

где  плотность газа на высоте h .

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

или.

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т= const (не зависит от высоты).

.

при h=0 , , ,

, , ,

Барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

где - потенциальная энергия молекулы на высоте h .

Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d . Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

.

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время  t пути к числу соударений за это время.

В равновесном состоянии параметры газа (давле-ние, объем и температура) остаются неизменными, однако микро-состояния — взаимное расположение молекул, их скорости — не-прерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак-тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной слу-чайной величиной, указать распределение молекул по скоростям.

Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости u x молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл , плотность вероятности записывается следующим образом:

аналогично для других осей

Используя (2.28), из (2.31) получаем:

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ-цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож-но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ¥ (математические подробности опущены):

где М = т 0 N A — молярная масса газа, R = k N A — универсальная газовая постоянная, N A — число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по u видоизменяется (рис. 2.6; Т 1 < Т 2 ). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле-кул, скорости которых лежат в определенном интервале Du. Полу-чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро-ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле-кул, скорости которых заключены в некотором интервале du, к общему числу N молекул:

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от u 1 до u 2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей du достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием du.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како-му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер-вал скоростей равен нулю (du = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан-ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос-тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны-ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде-ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана.

Если молекулы находятся в ка-ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не-которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си-ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле-кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер-гии молекулы mgh:

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи-чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка-чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо-положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен-циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине-тической энергии молекулы к kT, во втором — отношение потен-циальной энергии к kT.

При статистическом методе для определения основной характеристики (X - совокупность координат и импульсов всех частиц системы) используются те или иные модели строения рассматриваемого тела.

Оказывается возможным нахождения общих свойств общих статистических закономерностей, которые не зависят от строения вещества и являются универсальными. Выявление таких закономерностей является основной задачей термодинамического метода описания тепловых процессов. Все основные понятия и законы термодинамики могут быть раскрыты на основе статистической теории.

Для изолированной (замкнутой) системы или системы в постоянном внешнем поле состояние называется статистически равновесным, если функция распределения не зависит от времени.

Конкретный вид функции распределения рассматриваемой системы зависит как от совокупности внешних параметров, так и от характера взаимодействия с окружающими телами. Под внешними параметрами в данном случае будем понимать величины, определяемые положением не входящих в рассматриваемую систему тел. Это, например, объем системы V, напряженность силового поля и т.д. Рассмотрим два наиболее важных случая:

1) Рассматриваемая система энергетически изолирована. Полная энергия частиц Е постоянна. При этом. Е можно включить в а, но выделение его подчеркивает особую роль Е. Условие изолированности системы при заданных внешних параметрах можно выразить равенством:

2) Система не замкнута - возможен обмен энергией. В этом случае нельзя найти, она будет зависеть от обобщенных координат и импульсов частиц окружающих тел. Это оказывается возможным, если энергия взаимодействия рассматриваемой системы с окружающими телами.

При этом условии функция распределения микросостояний зависит от средней интенсивности теплового движения окружающих тел, которую характеризуют температурой Т окружающих тел: .

Температура также играет особую роль. Она не имеет (в отличие от а) аналога в механике: (не зависит от Т).

В состоянии статистического равновесия не зависит от времени, неизменны и все внутренние параметры. В термодинамике такое состояние называют состоянием термодинамического равновесия. Понятия статистического и термодинамического равновесия эквивалентны.

Функция распределения микроскопической изолированной системы - микроканоническое распределение Гиббса

Случай энергетически изолированной системы. Найдем вид функции распределения для этого случая.

Существенную роль при нахождении при функции распределения играют лишь интегралы движения - энергия, - импульс системы и - момент импульса. Лишь они являются контролируемыми.

Гамильтониану в механике отводится особая роль, т.к. именно функцией Гамильтона определяется вид уравнения движения частиц. Сохранение полного импульса и момента импульса системы при этом является следствием уравнений движения.

Поэтому выделяют именно такие решения уравнения Лиувилля, когда зависимость проявляется лишь через гамильтониан:

Так как, .

Из всех возможных значений Х (совокупность координат и импульсов всех частиц системы) выделяются те, которые совместимы с условием. Константу С можно найти из условия нормировки:

где - площадь гиперповерхности в фазовом пространстве, выделяемой условием постоянства энергии.

Т.е. - микроканоническое распределение Гиббса.

В квантовой теории равновесного состояния, так же существует микроканоническое распределение Гиббса. Введем обозначения: - полный набор квантовых чисел, характеризующих микросостояние системы частиц, - соответствующие допустимые значения энергии. Их можно найти, решая стационарное уравнение для волновой функции рассматриваемой системы.

Функция распределения микросостояний в таком случае будет представлять собой вероятность для системы находиться в определенном состоянии: .

Квантовое микроканоническое распределение Гиббса может быть записано в виде:

где - символ Кронекера, - из нормировки: - число микросостояний с заданным значением энергии (а так же). Она называется статистическим весом.

Из определения все состояния удовлетворяющие условию имеют одинаковою вероятность, равную. Таким образом, в основе квантового микроканонического распределения Гиббса лежит принцип равных априорных вероятностей.

Функция распределения микросостояний системы в термостате - каноническое распределение Гиббса.

Рассмотрим теперь систему, обменивающуюся энергией с окружающими телами. Этому подходу с термодинамической точки зрения соответствует система, окруженная очень большим термостатом с температурой T. Для большой системы (наша система + термостат) можно использовать микроканоническое распределение, поскольку такая система может считаться изолированной. Будем полагать, что рассматриваемая система составляет малую, но макроскопическую часть большей системы с температурой Т и числом частиц в ней. То есть выполняется равенство (>>).

Будем обозначать переменные нашей системы через X, а переменные термостата через X1.

Тогда для всей системы запишем микроканоническое распределение:

Нас будет интересовать вероятность состояния системы из N частиц при любых возможных состояниях термостата. Эту вероятность можно найти, проинтегрировав это уравнение по состояниям термостата

Функция Гамильтона системы и термостата может быть представлена в виде

Будем пренебрегать энергией взаимодействия между системой и термостатом по сравнению, как с энергией системы, так и с энергией термостата. Это можно сделать, поскольку энергию взаимодействия для макросистемы пропорциональна площади ее поверхности, в то время как энергия системы пропорциональна ее объему. Однако пренебрежение энергией взаимодействия по сравнению с энергией системы не означает, что оно равно нулю, в противном случае постановка задачи теряет смысл.

Таким образом, распределение вероятностей для рассматриваемой системы можно представить в виде

Перейдем к интегрированию по энергии термостата

Отсюда, воспользовавшись свойством -функции

Будем в дальнейшем переходить к предельному случаю, когда термостат очень велик. Рассмотрим частный случай, когда термостат представляет собой идеальный газ с N1 частицами с массой m каждая.

Найдем величину, которая представляет собой величину

где представляет собой объем фазового пространства, заключенного внутри гиперповерхности. Тогда представляет собой объем гипершарового слоя (сравните с выражением для трехмерного пространства

Для идеального газа область интегрирования дается условием

В результате интегрирования в указанных границах получаем объем 3N1-мерного шара с радиусом, который будет равен. Таким образом, имеем

Откуда имеем

Таким образом, для распределения вероятностей имеем

Перейдем теперь к пределу N1 , однако, предполагая, что отношение остается постоянным (так называемый термодинамический предел). Тогда получим

Принимая во внимание, что

Тогда функция распределения системы в термостате может быть записана в виде

где С находится из условия нормировки:

Функция называется классическим статистическим интегралом. Таким образом, функция распределения системы в термостате может быть представлена в виде:

Это и есть каноническое распределение Гиббса (1901 г.).

В этом распределении Т характеризует среднюю интенсивность теплового движения - абсолютную температуру частиц окружающей среды.

Другая форма записи распределения Гиббса

При определении считались различными микроскопическими состояния, отличающиеся лишь перестановкой отдельных частиц. Это означает, что мы в состоянии следить за каждой частицей. Однако такое предположение приводит к парадоксу.

Выражение для квантового канонического распределения Гиббса, может быть записано по аналогии с классическим:

Статистическая сумма: .

Она является безразмерным аналогом статистического интеграла. Тогда свободная энергия может быть представлена в виде:

Рассмотрим теперь систему, находящуюся в термостате и способную обмениваться энергией и частицами с окружением. Вывод функции распределения Гиббса для этого случая во многом аналогичен выводу канонического распределения. Для квантового случая распределение имеет вид:

Это распределение называется Большое каноническое распределение Гиббса. Здесь м - химический потенциал системы, который характеризует изменение термодинамических потенциалов при изменении числа частиц в системе на единицу.

Z - из условия нормировки:

Здесь суммирование идет не только по квадратным числам, но и по всем возможным значениям числа частиц.

Другая форма записи: введем функцию, но так как ранее получено из термодинамики, где - большой термодинамический потенциал. В результате получим

Здесь - среднее значение числа частиц.

Классическое распределение аналогично.

Распределения Максвелла и Больцмана

Каноническое распределение Гиббса устанавливает (при заданной) явный вид функции распределения значений всех координат и импульсов частиц (6N-переменных). Но такая функция очень сложна. Часто достаточно более простых функций.

Распределение Максвелла для идеального одноатомного газа. Каждую молекулу газа мы можем считать «рассматриваемой системой», принадлежащими к термостату. Поэтому вероятность какой-либо молекуле иметь импульсы в заданных промежутках дается каноническим распределением Гиббса: .

Заменяя импульсы скоростями, и используя условия нормировки, получим

Функция распределения Максвелла по компонентам скорости. Легко получить распределение и по модулю.

В любой системе, энергия которой равна сумме энергий отдельных частиц имеет место выражение, аналогичное максвелловскому. Это распределение Максвелла-Больцмана. Опять будем считать, что «системой» является одна какая-либо частица, остальные же играют роль термостата. Тогда вероятность состояния этой избранной частицы при любом состоянии остальных дается каноническим распределением: , . По остальным величинам… проинтегрировали