Сложение и умножение вероятностей условная вероятность. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.
Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .
Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:
Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.
Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.
Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :
и события В :
События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:
Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:
Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:
Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.
Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,
из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:
Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.
Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:
Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .
Сложение вероятностей взаимно совместных событий
Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:
Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:
Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:
Аналогично:
Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:
При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:
- взаимно независимыми;
- взаимно зависимыми.
Формула вероятности для взаимно независимых событий:
Формула вероятности для взаимно зависимых событий:
Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:
Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:
- вероятность того, что победят обе автомашины;
- вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;
1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:
2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .
Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .
Умножение вероятностей
Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.
При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:
Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.
Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:
Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?
Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".
Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.
Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.
Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .
Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:
Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Лекция для студентов землеустроительного факультета
заочной формы обучения
Горки, 2012
Сложение и умножение вероятностей. Повторные
независимые испытания
Сложение вероятностей
Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.
Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.
Из данной теоремы следует:
сумма
вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице;
сумма
вероятностей противоположных событий
равна единице, т.е.
.
Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?
Решение . Обозначим события:
A ={извлечён цветной шар};
B ={извлечён белый шар};
C ={извлечён красный шар};
D ={извлечён синий шар}.
Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .
Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?
Решение . Обозначим события:
A ={вынуты шары одного цвета};
B ={вынуты шары белого цвета};
C ={вынуты шары чёрного цвета}.
Так
как A
=
B
+
C
и события В
и С
несовместны, то по теореме сложения
вероятностей несовместных событий
.
Вероятность событияВ
равна
,
где
4,
.
Подставим k
и n
в формулу и получим
Аналогично
найдём вероятность событияС
:
,
где
,
,
т.е.
.
Тогда
.
Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.
Решение . Обозначим события:
A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};
B ={среди вынутых карт три туза};
C ={среди вынутых карт четыре туза}.
Так
как A
=
B
+
C
,
а события В
и С
несовместны, то
.
Найдём вероятности событийВ
и С
:
,
.
Следовательно, вероятность того, что
среди вынутых карт не менее трёх тузов,
равна
0.0022.
Умножение вероятностей
Произведением
двух событий А
и В
называется событие С
,
состоящее в совместном наступлении
этих событий:
.
Это определение распространяется на
любое конечное число событий.
Два
события называются независимыми
,
если вероятность наступления одного
из них не зависит от того, произошло
другое событие или нет. События
,
,
… ,
называютсянезависимыми
в совокупности
,
если вероятность наступления каждого
из них не зависит от того, произошли или
не произошли другие события.
Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:
A ={первый стрелок попал в цель};
B ={второй стрелок попал в цель}.
Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.
Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .
Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .
Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.
Решение . Обозначим события:
A
B
C ={оба стрелка попадут в цель}.
Так
как
,
а событияА
и В
независимы, то
,
т.е..
События
А
и В
называются зависимыми
,
если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло другое
событие или нет. Вероятность наступления
события А
при условии, что событие В
уже наступило, называется условной
вероятностью
и обозначается
или
.
Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:
A ={извлечён белый шар} ;
B ={извлечён чёрный шар}.
Перед
началом извлечения шаров из урны
.
Из урны извлекли один шар и он оказался
чёрным. Тогда вероятность событияА
после наступления события В
будет уже другой, равной
.
Это означает, что вероятность событияА
зависит от события В
,
т.е. эти события будут зависимыми.
Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т.е. или.
Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.
Решение . Обозначим события:
A ={первым извлечён чёрный шар};
B ={вторым извлечён чёрный шар}.
События
А
и В
зависимы, так как
,
а
.
Тогда
.
Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
Решение . Обозначим события:
A ={произойдут два попадания в цель};
B ={первый стрелок попадёт в цель};
C ={второй стрелок попадёт в цель};
D ={третий стрелок попадёт в цель};
={первый
стрелок не попадёт в цель};
={второй
стрелок не попадёт в цель};
={третий
стрелок не попадёт в цель}.
По
условию примера
,
,
,
,
,
.
Так как,
то используя теорему сложения вероятностей
несовместных событий и теорему умножения
вероятностей независимых событий,
получим:
Пусть
события
образуют полную группу событий некоторого
испытания, а событииА
может наступить только с одним из этих
событий. Если известны вероятности
и условные вероятностисобытияА
,
то вероятность события А вычисляется
по формуле:
или
.
Эта формула называетсяформулой
полной вероятности
,
а события
гипотезами
.
Пример
9
.
На сборочный конвейер поступает 700
деталей с первого станка и 300 деталей 
со второго. Первый станок даёт 0.5% брака,
а второй – 0.7%. Найти вероятность того,
что взятая деталь будет бракованной.
Решение . Обозначим события:
A ={взятая деталь будет бракованной};
={деталь
изготовлена на первом станке};
={деталь
изготовлена на втором станке}.
Вероятность
того, что деталь изготовлена на первом
станке, равна
.
Для второго станка
.
По условию вероятность получения
бракованной детали, изготовленной на
первом станке, равна
.
Для второго станка эта вероятность
равна
.
Тогда вероятность того, что взятая
деталь будет бракованной, вычисляется
по формуле полной вероятности
Если
известно, что в результате испытания
наступило некоторое событие А
,
то вероятность того, что это событие
наступило с гипотезой
,
равна
,
где
-
полная вероятность событияА
.
Эта формула называется формулой
Байеса
и позволяет вычислять вероятности
событий
после того, как стало известно, что
событиеА
уже наступило.
Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.
Решение . Обозначим события:
A ={куплена стандартная деталь};
={деталь
изготовлена на первом заводе};
={деталь
изготовлена на втором заводе}.
По
условию примера
,
,
и
.
Вычислим полную вероятность событияА
:
0.91.
Вероятность того, что деталь изготовлена
на втором заводе, вычислим по формуле
Байеса:
.
Задания для самостоятельной работы
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.
В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.
На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.
Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.
Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.
Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.
Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.
На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.
В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.
На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% - со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.
Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .
Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.
Формула Бернулли
Испытания
называются независимыми
,
если при каждом из них событие А
наступает с одной и той же вероятностью
,
не зависящей от того, появилось или не
появилось это событие в других испытаниях.
Вероятность противоположного события
в этом случае равна
.
Пример
11
.
Бросается игральный кубик n
раз. Обозначим событие A
={выпадение
трёх очков}. Вероятность наступления
события А
в каждом испытании равна
и не зависит от того, произошло или не
произошло это событие в других испытаниях.
Поэтому эти испытания являются
независимыми. Вероятность противоположного
события
{не
выпадение трёх очков} равна
.
Вероятность
того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность наступления события
А
равна p
,
событие наступит ровно k
раз (безразлично в какой последовательности),
вычисляется по формуле
,
где
.
Эта формула называетсяформулой
Бернулли
и удобна она в том случае, если число
испытаний n
не слишком велико.
Пример 12 . Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.
Решение . По условию примера .
а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна
0.132.
б) Обозначим событие A ={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:
0.297.
Следовательно,
0.178+0.356+0.297=0.831.
Теоремы Лапласа и Пуассона
По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.
Локальная теорема Лапласа . Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле
,
где
,
а значения функции
приведены
в таблице.
Основными
свойствами функции
являются:
Функция
определена и непрерывна в интервале
.
Функция
положительна, т.е.
>0.
Функция
чётная, т.е.
.
Так
как функция
чётная, то в таблице приведены её значения
только для положительных значенийх
.
Пример 13 . Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.
Решение
.
По условию примера n
=100,
k
=90,
p
=0.8,
q
=1-0.8=0.2.
Тогда
.
По таблице найдём значение функции
:
.
Вероятность того, что из отобранных
семян взойдут ровно 90, равна
0.0044.
При
решении практических задач возникает
необходимость найти вероятность
наступления события А
при n
независимых испытаниях не менее
раз и не более
раз. Такая задача решается с помощьюинтегральной
теоремы Лапласа
:
Пусть вероятность p
наступления события А
в каждом из n
независимых испытаний постоянна и
отлична от нуля и единицы. Тогда
вероятность того, что событие наступит
не менее
раз и не более
раз при достаточно большом числе
испытаний, вычисляется по формуле
Где
,
.
Функция
называетсяфункцией
Лапласа
и не выражается через элементарные
функции. Значения этой функции приведены
в специальных таблицах.
Основными
свойствами функции
являются:
.
Функция
возрастает
в интервале
.
при
.
Функция
нечётная,
т.е.
.
Пример 14 . Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.
Решение
.
Обозначим
.
Вычислим
,
Вероятностью события А называют отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов: Р(А)=m/n.
Условной вероятностью события А (или вероятностью события А при условии, что наступило событие В), называется число Р В (А) = Р(АВ)/Р(В), где А и В – два случайных события одного и того же испытания.
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий обозначается А+В.
Правила сложения вероятностей :
- совместных
событий
А и В:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В, Р(А+В) – вероятность появления хотя бы одного из двух событий, Р(АВ)- вероятность совместного появления двух событий. - правило сложения вероятностей несовместных
событий
А и В:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.
Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет. Произведение двух событий обозначается АВ.
Правила умножения вероятностей :
- зависимых
событий
А и В:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), где Р А (В) – условная вероятность наступления события В, если событие А уже наступило, Р В (А) – условная вероятность наступления события А, если событие В уже наступило; - правило умножения вероятностей независимых
событий
А и В:
Р(АВ) = Р(А)*Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.
Примеры решения задач по теме «Операции над событиями. Правила сложения и умножения вероятностей»
Задача 1 . В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.
Решение.
А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А)=100/250=0,4;
В = {мощность лампочки равна 60Вт};
С = {мощность лампочки равна 25Вт};
D = {мощность лампочки равна 15Вт}.
2. События А, В, С, D образуют полную систему , так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.
3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р(В)+Р(С)+Р(D)=1-Р(А).
4. Учитывая, что Р(В)+Р(С)+Р(D)=Р(В+С+D), получим Р(В+С+D)= 1-Р(А)=1-0,4=0,6.
Задача 2
. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7,
а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что
а) цель будет поражена только одним стрелком;
б) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.
Решение.
1. Рассматриваем следующие события:
А1 = {первый стрелок поражает цель}, Р(А1)=0,7 из условия задачи;
А̄1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р(А1)+Р(А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события.
Отсюда Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = {второй стрелок поражает цель}, Р(А2)=0,9 из условия задачи;
А̄2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р(А̄2)=1-0,9=0,1.
2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из
двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р(А)= Р(А1А̄2)+Р(А̄1А2).
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0,3*0,9=0,27.
Тогда Р(А)= Р(А1А̄2)+Р(А̄1А2)=0,07+0,27=0,34.
3. Событие B={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.
Событие B̄={цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит
Р(В)=1-Р(B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно
Р(B̄)=Р(Ā1Ā2)= Р(Ā1)*Р(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Тогда Р(В)= 1-Р(B̄)=1-0,3=0,7.
Задача 3
. Экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Вероятность
того, что студент ответит на первый вопрос 0,7; на второй – 0,9; на третий – 0,6. Найти вероятность
того, что студент, выбрав билет ответит:
а) на все вопросы;
г) по крайней мере на два вопроса.
Решение.
1. Рассматриваем следующие события:
А1 = {студент ответил на первый вопрос}, Р(А1)=0,7 из условия задачи;
А̄1 = {студент не ответил на первый вопрос}, при этом Р(А1)+Р(А̄1) = 1, поскольку А1
и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = {студент ответил на второй вопрос}, Р(А2)=0,9 из условия задачи;
А̄2 = {студент не ответил на второй вопрос}, при этом Р(А̄2)=1-0,9=0,1;
А3 = {студент ответил на третий вопрос}, Р(А3)=0,6 из условия задачи;
А̄3 = {студент не ответил на третий вопрос}, при этом Р(А̄3)=1-0,6=0,4.
2. Событие А = {студент ответил на все вопросы} означает одновременное появление
независимых событий А1, А2 и А3, т.е. Р(А)= Р(А1А2А3).По правилу умножения вероятностей
независимых событий: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Тогда Р(А)= Р(А1А2А3)=0,378.
3. Событие D = {студент ответил по крайней мере на два вопроса} означает, что дан ответ
на любые два вопроса или на все три, т.е. наступило одно из четырех несовместных событий:
либо A1A2Ā3, либо А1Ā2А3, либо А̄1А2А3, либо А1А2А3.
По правилу сложения вероятностей
несовместных событий: Р(D)= Р(A1A2Ā3)+ Р(А1Ā2А3)+Р(А̄1А2А3)+Р(А1А2А3).
По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
Р(А̄1А2А3)= Р(А̄1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Тогда Р(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.
Рассматривается эксперимент Е . Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F . Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается Ω.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е . Обозначается .
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е .
Дополнительным (противоположным) событию А называется событие, обозначаемое , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событиеА .
Суммой (объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий (рисунок 3.1). Обозначения .
Рисунок 3.1
Произведением (пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно) (рисунок 3.2). Обозначения . Очевидно, что события А и Внесовместны , если .
Рисунок 3.2
Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие:
Событие В называют частным случаем события А , если с появлением события В появляется и событие А . Говорят также, что событие В влечет событие А (Рисунок 3.3). Обозначение .
Рисунок 3.3
События А и В называются эквивалентными , если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента Е . Обозначение . Очевидно, что, еслии.
Сложным событием называют наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью алгебраических операций.
Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляют с помощью формул сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Следствия:
1) в случае, если события А и В несовместны, теорема сложения приобретает вид:
2) в случае трех слагаемых теорема сложения записывается в виде
3) сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1:
Совокупность событий ,, …,называютполной группой событий , если
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:
Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называют условной вероятностью и обозначают или.
А и В – зависимые события , если .
А и В – независимые события , если .
Теорема умножения вероятностей
Следствия:
1) для независимых событий А и В
2) в общем случае для произведения трех событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
Образцы решения задач
Пример 1 ‑ В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны ,,. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Решение
Первый способ.
Обозначим события: - в цепи произошел отказ соответственно первого, второго и третьего элементов.
Событие А – тока в цепи не будет (откажет хотя бы один из элементов, так как они включены последовательно).
Событие ‑ в цепи ток (работают три элемента), . Вероятность противоположных событий связана формулой (3.4). Событие представляет собой произведение трех событий, являющихся попарно независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем
Тогда вероятность искомого события .
Второй способ.
С учетом принятых ранее обозначений запишем искомое событие А – откажет хотя бы один из элементов:
Так как слагаемые, входящие в сумму, совместны, следует применить теорему сложения вероятностей в общем виде для случая трех слагаемых (3.3):
Ответ: 0,388.
Задачи для самостоятельного решения
1 В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
2 В мешке смешаны нити, среди которых 30 % белых, а остальные –красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут: одного цвета; разных цветов.
3 Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: только один элемент; только два элемента; все три элемента; хотя бы два элемента.
4 Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) на каждой грани из выпавших появится пять очков;
б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;
в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков;
г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
5 Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
6 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: в первый раз; во второй раз; в оба раза.
7 Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной раз будет продана пара обуви 46-го размера, равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера?
8 В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной.
9 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:
а) из трех проверенных изделий только два окажутся нестандартными;
б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
10 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки:
а) три карточки вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «мир»;
б) извлеченные три карточки можно поменять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из них можно сложить слово «мир»?
11 Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, а второй ‑ 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя сбит бомбардировщик или истребитель.
Домашнее задание
1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2 Решить задачи
Задача 1 . Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.
Задача 2 . Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2. Требуется определить вероятность:
а) того, что откажет одно из устройств, а второе будет исправно;
б) безотказной работы каждого из устройств.
Задача 3 . Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого охотника равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено выстрелов:
г) четыре.
Задача 4 . Деталь проходит четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой операции равна 0,01, при второй – 0,02, при третьей – 0,03, при четвертой – 0,04. Найти вероятность получения детали без брака после четырех операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях являются независимыми.
Изучение теории вероятности начинается с решения задач на сложение и умножение вероятностей. Стоит сразу упомянуть, что студент при освоении данной области знаний может столкнуться с проблемой: если физические или химические процессы можно представить визуально и понять эмпирически, то уровень математической абстракции очень высок, и понимание здесь приходит только с опытом.
Однако игра стоит свеч, ведь формулы - как рассматриваемые в данной статье, так и более сложные - используются сегодня повсеместно и вполне могут пригодиться в работе.
Происхождение
Как ни странно, толчком к развитию данного раздела математики стали… азартные игры. Действительно, игра в кости, бросание монетки, покер, рулетка - это типичные примеры, в которых используются сложение и умножение вероятностей. На примере задач в любом учебнике это можно увидеть наглядно. Людям было интересно узнать, как увеличить свои шансы на победу, и, надо сказать, некоторые в этом преуспели.
Например, уже в XXI веке один человек, чьего имени раскрывать мы не будем, использовал эти накопленные веками знания, чтобы буквально «обчистить» казино, выиграв в рулетку несколько десятков миллионов долларов.
Впрочем, несмотря на повышенный интерес к предмету, только к XX веку была разработана теоретическая база, делающая «теорвер» полноценной Сегодня же практически в любой науке можно встретить расчёты, использующие вероятностные методы.
Применимость
Важным моментом при использовании формул сложения и умножения вероятностей, условной вероятности является выполнимость центральной предельной теоремы. В противном случае хоть это и может и не осознаваться студентом, все вычисления, какими бы правдоподобными они ни казались, будут некорректны.
Да, у высокомотивированного учащегося возникает соблазн использовать новые знания при каждом удобном случае. Но в данном случае следует несколько притормозить и строго очертить рамки применимости.
Теория вероятности имеет дело со случайными событиями, которые в эмпирическом плане представляют собой результаты экспериментов: мы можем бросать кубик с шестью гранями, вытаскивать карту из колоды, предсказывать количество бракованных деталей в партии. Однако в некоторых вопросах использовать формулы из этого раздела математики категорически нельзя. Особенности рассмотрения вероятностей события, теорем сложения и умножения событий мы обсудим в конце статьи, а пока обратимся к примерам.
Основные понятия
Под случайным событием подразумевается некоторый процесс или результат, который может проявиться, а может и не проявиться в результате эксперимента. Например, мы подбрасываем бутерброд - он может упасть маслом вверх или маслом вниз. Любой из двух исходов будет являться случайным, и мы заранее не знаем, какой из них будет иметь место.
При изучении сложения и умножения вероятностей нам понадобятся ещё два понятия.
Совместными называются такие события, появление одного из которых не исключает появления другого. Скажем, два человека одновременно стреляют по мишени. Если один из них произведет успешный никак не отразится на возможности второго попасть в «яблочко» или промахнуться.
Несовместными будут такие события, появление которых одновременно является невозможным. Например, вытаскивая из коробки только один шарик, нельзя достать сразу и синий, и красный.
Обозначение
Понятие вероятности обозначается латинской заглавной буквой P. Далее в скобках следуют аргументы, обозначающие некоторые события.
В формулах теоремы сложения, условной вероятности, теоремы умножения вы увидите в скобках выражения, например: A+B, AB или A|B. Рассчитываться они будут различными способами, к ним мы сейчас и обратимся.
Сложение
Рассмотрим случаи, в которых используются формулы сложения и умножения вероятностей.
Для несовместных событий актуальна самая простая формула сложения: вероятность любого из случайных исходов будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов.
Предположим, что есть коробка с 2 синими, 3 красными и 5 жёлтыми шариками. Итого в коробке имеется 10 предметов. Какова доля истинности утверждения, что мы вытащим синий или красный шар? Она будет равна 2/10 + 3/10, т. е. пятьдесят процентов.
В случае же несовместных событий формула усложняется, поскольку добавляется дополнительное слагаемое. Вернемся к нему через один абзац, после рассмотрения ещё одной формулы.
Умножение
Сложение и умножение вероятностей независимых событий используются в разных случаях. Если по условию эксперимента нас устраивает любой из двух возможных исходов, мы посчитаем сумму; если же мы хотим получить два некоторых исхода друг за другом, мы прибегнем к использованию другой формулы.
Возвращаясь к примеру из предыдущего раздела, мы хотим вытащить сначала синий шарик, а затем - красный. Первое число нам известно - это 2/10. Что происходит дальше? Шаров остается 9, красных среди них всё столько же - три штуки. Согласно расчётам получится 3/9 или 1/3. Но что теперь делать с двумя числами? Правильный ответ - перемножать, чтобы получилось 2/30.
Совместные события
Теперь можно вновь обратиться к формуле суммы для совместных событий. Для чего мы отвлекались от темы? Чтобы узнать, как перемножаются вероятности. Сейчас нам это знание пригодится.
Мы уже знаем, какими будут первые два слагаемых (такие же, как и в рассмотренной ранее формуле сложения), теперь же потребуется вычесть произведение вероятностей, которое мы только что научились рассчитывать. Для наглядности напишем формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Получается, что в одном выражении используется и сложение, и умножение вероятностей.
Допустим, мы должны решить любую из двух задач, чтобы получить зачёт. Первую мы можем решить с вероятностью 0,3, а вторую - 0,6. Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Заметьте, просто просуммировать числа здесь будет недостаточно.
Условная вероятность
Наконец, существует понятие условной вероятности, аргументы которой обозначаются в скобках и разделяются вертикальной чертой. Запись P(A|B) читается следующим образом: «вероятность события A при условии события B».
Посмотрим пример: друг дает вам некоторый прибор, пусть это будет телефон. Он может быть сломан (20 %) или исправен (80 %). Любой попавший в руки прибор вы в состоянии починить с вероятностью 0,4 либо не в состоянии этого сделать (0,6). Наконец, если прибор находится в рабочем состоянии, вы можете дозвониться до нужного человека с вероятностью 0,7.
Легко заметить, как в данном случае проявляется условная вероятность: вы не сможете дозвониться до человека, если телефон сломан, а если он исправен, вам не требуется его чинить. Таким образом, чтобы получить какие-либо результаты на «втором уровне», нужно узнать, какое событие выполнилось на первом.
Расчёты
Рассмотрим примеры решения задач на сложение и умножение вероятностей, воспользовавшись данными из предыдущего абзаца.
Для начала найдем вероятность того, что вы почините отданный вам аппарат. Для этого, во-первых, он должен быть неисправен, а во-вторых, вы должны справиться с починкой. Это типичная задача с использованием умножения: получаем 0,2*0,4 = 0,08.
Какова вероятность, что вы сразу дозвонитесь до нужного человека? Проще простого: 0,8*0,7 = 0,56. В этом случае вы обнаружили, что телефон исправен и успешно совершили звонок.
Наконец, рассмотрим такой вариант: вы получили сломанный телефон, починили его, после чего набрали номер, и человек на противоположном конце взял трубку. Здесь уже требуется перемножение трёх составляющих: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.
А что делать, если у вас сразу два нерабочих телефона? С какой вероятностью вы почините хотя бы один из них? на сложение и умножение вероятностей, поскольку используются совместные события. Решение: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Таким образом, если вам в руки попадёт два сломанных аппарата, вы справитесь с починкой в 64% случаев.
Внимательное использование
Как говорилось в начале статьи, использование теории вероятности должно быть обдуманным и осознанным.
Чем больше серия экспериментов, тем ближе подходит теоретически предсказываемое значение к полученному на практике. Например, мы бросаем монетку. Теоретически, зная о существовании формул сложения и умножения вероятностей, мы можем предсказать, сколько раз выпадет «орёл» и «решка», если мы проведем эксперимент 10 раз. Мы провели эксперимент, и по стечению обстоятельств соотношение выпавших сторон составило 3 к 7. Но если провести серию из 100, 1000 и более попыток, окажется, что график распределения всё ближе подбирается к теоретическому: 44 к 56, 482 к 518 и так далее.
А теперь представьте, что данный эксперимент проводится не с монеткой, а с производством какого-нибудь новейшего химического вещества, вероятности получения которого мы не знаем. Мы провели бы 10 экспериментов и, не получив успешного результата, могли бы обобщить: «вещество получить невозможно». Но кто знает, проведи мы одиннадцатую попытку - достигли бы мы цели или нет?
Таким образом, если вы обращаетесь к неизведанному, к неисследованной области, теория вероятности может оказаться неприменима. Каждая последующая попытка в этом случае может оказаться успешной и обобщения типа «X не существует» или «X является невозможным» будут преждевременны.
Заключительное слово
Итак, мы рассмотрели два вида сложения, умножение и условные вероятности. При дальнейшем изучении данной области необходимо научиться различать ситуации, когда используется каждая конкретная формула. Кроме того, нужно представлять, применимы ли вообще вероятностные методы при решении вашей задачи.
Если вы будете практиковаться, то через некоторое время начнете осуществлять все требуемые операции исключительно в уме. Для тех, кто увлекается карточными играми, этот навык можно считать крайне ценным - вы значительно увеличите свои шансы на победу, всего лишь рассчитывая вероятность выпадения той или иной карты или масти. Впрочем, полученным знаниям вы без труда найдете применение и в других сферах деятельности.
