اشتقاق معادلة تسارع الجاذبية في الحركة. تسارع الجاذبية (تسارع عادي)

جسم يتحرك في مدار دائري نصف قطره صمع سرعة عرضية موحدة شهو متجه السرعة الخامس، الذي حجمه ثابت ، لكن اتجاهه يتغير باستمرار. ويترتب على ذلك أن الكائن يجب أن يكون له تسارع ، لأن (المتجه) هو معدل تغير السرعة (المتجه) ، والسرعة (المتجهة) تختلف بالفعل في الوقت المناسب.

افترض أن شيئًا ما يتحرك من نقطة صالى حد، الى درجة سبين الوقت رو، ر + δ ركما هو موضح في الصورة أعلاه. افترض كذلك أن الكائن تم تدويره بواسطة δθ راديان خلال هذه الفترة الزمنية. المتجه ، كما هو موضح في الرسم البياني ، مطابق للمتجه. أيضا ، الزاوية بين المتجهات وهذا δθ . يمثل المتجه التغير في متجه السرعة ، δ الخامس, بين الوقت رو ر + δ ر. من هذا يتضح أن هذا المتجه موجه نحو مركز الدائرة. من علم المثلثات القياسي ، طول المتجه:

ومع ذلك ، في زوايا صغيرة الخطيئة θ ≃ θ ، بشرط θ تقاس بالراديان. بالتالي،

δv ≃ v δθ.

أين هي السرعة الزاوية للجسم بوحدات الراديان في الثانية. وهكذا ، يتحرك جسم في مدار دائري بنصف قطر ص، بسرعة عرضية موحدة الخامس، والسرعة الزاوية المنتظمة ، لها تسارع موجه نحو مركز الدائرة - أي ، تسارع الجاذبية- القيمة:

لنفترض أن الجسم كتلة م، تعلق على نهاية الكابل ، الطول ص، وتدور بطريقة يصف فيها الجسم دائرة أفقية نصف قطرها ص، بسرعة عرضية موحدة الخامس. كما تعلمنا للتو ، فإن الجسم لديه تسارع جاذب من المقدار. لذلك ، يعاني الجسم من قوة الجاذبية

ما الذي يعطي هذه القوة؟ حسنًا ، في هذا المثال ، يتم توفير القوة من خلال الشد في الكابل. بالتالي، .

لنفترض أن الكبل ينكسر عندما يتجاوز الجهد فيه بعض القيمة الحرجة. ويترتب على ذلك أن هناك سرعة قصوى يمكن للجسم أن يتحرك بها ، وهي:

اذا كان الخامسيتجاوز vmax، الكابل سوف ينكسر. بمجرد انقطاع الكابل ، لن يتعرض الجسم لقوة الجاذبية بعد الآن ، لذلك سيتحرك بسرعة vmaxفي خط مستقيم مماس للمدار الدائري الموجود مسبقًا.

يسمح لنا بالوجود على هذا الكوكب. كيف يمكنك فهم ما يشكل تسارع الجاذبية؟ يتم عرض تعريف هذه الكمية المادية أدناه.

ملاحظات

يمكن ملاحظة أبسط مثال على تسارع جسم يتحرك في دائرة بتدوير حجر على حبل. تسحب الحبل ، ويسحب الحبل الصخرة باتجاه المركز. في كل لحظة من الزمن ، يعطي الحبل للحجر قدرًا معينًا من الحركة ، وفي كل مرة في اتجاه جديد. يمكنك أن تتخيل حركة الحبل كسلسلة من الهزات الضعيفة. رعشة - والحبل يغير اتجاهه ، ونفضة أخرى - تغيير آخر ، وهكذا في دائرة. إذا تركت الحبل فجأة ، فستتوقف الاهتزازات ، وسيتوقف التغيير في اتجاه السرعة معهم. سوف يتحرك الحجر في الاتجاه المماس للدائرة. السؤال الذي يطرح نفسه: "بأي سرعة يتحرك الجسم في هذه اللحظة؟"

صيغة لتسريع الجاذبية

بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أن حركة الجسم في دائرة معقدة. يشارك الحجر في نوعين من الحركة في نفس الوقت: تحت تأثير القوة ، يتحرك باتجاه مركز الدوران ، وفي نفس الوقت ، بشكل عرضي للدائرة ، يتحرك بعيدًا عن هذا المركز. وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن القوة التي تمسك الحجر على الخيط يتم توجيهها نحو مركز الدوران على طول هذا الخيط. سيتم أيضًا توجيه متجه التسارع هناك.

دعونا لبعض الوقت ، يتحرك حجرنا بشكل موحد بسرعة V ، ينتقل من النقطة A إلى النقطة B. لنفترض أنه في اللحظة التي عبر فيها الجسم النقطة B ، توقفت قوة الجاذبية المركزية عن التأثير عليها. ثم لفترة من الوقت ستصل إلى النقطة K. وتقع على الظل. إذا كانت قوى الجاذبية المركزية فقط هي التي أثرت على الجسم في نفس الوقت ، فعندئذٍ في الوقت t ، تتحرك بنفس التسارع ، سينتهي الأمر عند النقطة O ، التي تقع على خط مستقيم يمثل قطر الدائرة. كلا الجزأين متجهان ويخضعان لقاعدة إضافة المتجه. نتيجة جمع هاتين الحركتين لفترة زمنية t ، نحصل على الحركة الناتجة على طول القوس AB.

إذا تم أخذ الفترة الزمنية t صغيرة بشكل مهم ، فإن القوس AB سيختلف قليلاً عن الوتر AB. وبالتالي ، من الممكن استبدال الحركة على طول القوس بالحركة على طول الوتر. في هذه الحالة ، ستخضع حركة الحجر على طول الوتر لقوانين الحركة المستقيمة ، أي أن المسافة التي قطعها AB تساوي حاصل ضرب سرعة الحجر ووقت حركته. AB = V x t.

دعونا نشير إلى التسارع المركزي المطلوب بالحرف أ. ثم يمكن حساب المسار الذي يتم قطعه فقط تحت تأثير تسارع الجاذبية باستخدام صيغة الحركة المتسارعة بشكل منتظم:

المسافة AB تساوي حاصل ضرب السرعة والوقت ، أي AB = V x t ،

AO - تم حسابه مسبقًا باستخدام صيغة الحركة المتسارعة بانتظام للتحرك في خط مستقيم: AO = عند 2/2.

باستبدال هذه البيانات في الصيغة وتحويلها ، نحصل على صيغة بسيطة وأنيقة لتسريع الجاذبية:

بالكلمات ، يمكن التعبير عن هذا على النحو التالي: التسارع المركزي لجسم يتحرك في دائرة يساوي حاصل قسمة تربيع السرعة الخطية على نصف قطر الدائرة التي يدور الجسم على طولها. ستبدو قوة الجاذبية في هذه الحالة كما في الصورة أدناه.

السرعة الزاوية

السرعة الزاوية تساوي السرعة الخطية مقسومة على نصف قطر الدائرة. والعكس صحيح أيضًا: V = ωR ، حيث ω هي السرعة الزاوية

إذا عوضنا بهذه القيمة في الصيغة ، فيمكننا الحصول على التعبير عن عجلة الطرد المركزي للسرعة الزاوية. سيبدو مثل هذا:

التسارع دون تغيير السرعة

ومع ذلك ، لماذا لا يتحرك الجسم الموجه للتسارع نحو المركز بشكل أسرع ويقترب من مركز الدوران؟ الجواب يكمن في صياغة التسارع نفسه. تظهر الحقائق أن الحركة الدائرية حقيقية ، لكنها تتطلب تسارعًا نحو المركز للحفاظ عليها. تحت تأثير القوة التي يسببها هذا التسارع ، هناك تغيير في الزخم ، ونتيجة لذلك ينحني مسار الحركة باستمرار ، ويغير اتجاه متجه السرعة طوال الوقت ، ولكن لا يغير قيمته المطلقة. يتحرك في دائرة ، حجرنا الذي طالت معاناته يندفع إلى الداخل ، وإلا فإنه سيستمر في التحرك بشكل عرضي. في كل لحظة من الوقت ، تترك على الظل ، ينجذب الحجر إلى المركز ، لكنه لا يقع فيه. مثال آخر على تسارع الجاذبية هو المتزلج على الماء الذي يصنع دوائر صغيرة على الماء. شكل الرياضي مائل ؛ يبدو أنه يسقط ، ويستمر في التحرك ويميل إلى الأمام.

وهكذا ، يمكننا أن نستنتج أن العجلة لا تزيد من سرعة الجسم ، لأن متجهي السرعة والتسارع متعامدين مع بعضهما البعض. بالإضافة إلى متجه السرعة ، فإن التسارع يغير فقط اتجاه الحركة ويبقي الجسم في مداره.

تجاوز هامش الأمان

في التجربة السابقة ، كنا نتعامل مع حبل مثالي لم ينكسر. لكن ، لنفترض أن حبلنا هو الأكثر شيوعًا ، ويمكنك حتى حساب الجهد الذي ينكسر بعده ببساطة. لحساب هذه القوة ، يكفي مقارنة هامش الأمان للحبل بالحمل الذي يتعرض له أثناء دوران الحجر. من خلال تدوير الحجر بسرعة أعلى ، فإنك تمنحه مزيدًا من الحركة ، وبالتالي مزيدًا من التسارع.

يبلغ قطر حبل الجوت حوالي 20 مم ، وقوة شدها حوالي 26 كيلو نيوتن. يشار إلى أن طول الحبل لا يظهر في أي مكان. عند تدوير حمولة 1 كجم على حبل نصف قطره 1 متر ، يمكننا حساب أن السرعة الخطية المطلوبة لكسرها هي 26 × 10 3 = 1 كجم × V 2/1 م. وبالتالي ، فإن السرعة التي من الخطورة تجاوزها سوف تساوي √ 26 × 10 3 \ u003d 161 م / ث.

الجاذبية

عند التفكير في التجربة ، أهملنا عمل الجاذبية ، لأنه في مثل هذه السرعات العالية يكون تأثيرها ضئيلًا بشكل مهم. لكن يمكنك أن ترى أنه عند فك حبل طويل ، يصف الجسم مسارًا أكثر تعقيدًا ويقترب تدريجيًا من الأرض.

الأجرام السماوية

إذا نقلنا قوانين الحركة الدائرية إلى الفضاء وقمنا بتطبيقها على حركة الأجرام السماوية ، يمكننا إعادة اكتشاف العديد من الصيغ المألوفة منذ زمن طويل. على سبيل المثال ، القوة التي ينجذب بها الجسم إلى الأرض تُعرف بالصيغة:

في حالتنا ، فإن العامل g هو التسارع الجاذب للغاية المشتق من الصيغة السابقة. في هذه الحالة فقط ، يلعب دور الحجر جرم سماوي ينجذب إلى الأرض ، وسيكون دور الحبل هو قوة جذب الأرض. سيتم التعبير عن العامل g بدلالة نصف قطر كوكبنا وسرعة دورانه.

نتائج

إن جوهر التسارع الجاذبي هو العمل الشاق الذي لا يحمد له المتمثل في إبقاء جسم متحرك في المدار. تُلاحظ حالة متناقضة عندما لا يغير الجسم سرعته ، مع تسارع ثابت. بالنسبة للعقل غير المدرب ، فإن مثل هذا البيان متناقض إلى حد ما. ومع ذلك ، عند حساب حركة الإلكترون حول النواة ، وعند حساب سرعة دوران النجم حول الثقب الأسود ، يلعب تسارع الجاذبية دورًا مهمًا.

نظرًا لأن السرعة الخطية تغير الاتجاه بشكل موحد ، فلا يمكن تسمية الحركة على طول الدائرة بأنها موحدة ، بل يتم تسريعها بشكل موحد.

السرعة الزاوية

اختر نقطة على الدائرة 1 . دعونا نبني نصف قطر. بالنسبة لوحدة زمنية ، ستنتقل النقطة إلى النقطة 2 . في هذه الحالة ، نصف القطر يصف الزاوية. السرعة الزاوية تساوي عدديًا زاوية دوران نصف القطر لكل وحدة زمنية.

الفترة والتكرار

فترة الدوران تيهو الوقت الذي يستغرقه الجسد ليصنع ثورة واحدة.

RPM هو عدد الدورات في الثانية.

التكرار والفترة مرتبطان بالعلاقة

العلاقة مع السرعة الزاوية

سرعة الخط

كل نقطة في الدائرة تتحرك بسرعة معينة. هذه السرعة تسمى الخطية. يتطابق اتجاه متجه السرعة الخطية دائمًا مع مماس الدائرة.على سبيل المثال ، تتحرك الشرر من تحت مطحنة ، وتكرر اتجاه السرعة اللحظية.

تأمل في نقطة على دائرة تصنع ثورة واحدة ، الوقت الذي ينقضي - هذه هي الفترة تي. المسار الذي تسلكه نقطة هو محيط الدائرة.

تسارع الجاذبية

عند التحرك على طول دائرة ، يكون متجه التسارع دائمًا عموديًا على متجه السرعة ، موجهًا إلى مركز الدائرة.

باستخدام الصيغ السابقة ، يمكننا اشتقاق العلاقات التالية

النقاط الواقعة على نفس الخط المستقيم المنبثق من مركز الدائرة (على سبيل المثال ، يمكن أن تكون هذه النقاط تقع على دعامة العجلة) سيكون لها نفس السرعات الزاوية والدورة والتردد. أي أنها ستدور بنفس الطريقة ، ولكن بسرعات خطية مختلفة. كلما كانت النقطة بعيدة عن المركز ، زادت سرعة تحركها.

قانون إضافة السرعات صالح أيضًا للحركة الدورانية. إذا كانت حركة الجسم أو الإطار المرجعي غير موحدة ، فإن القانون ينطبق على السرعات اللحظية. على سبيل المثال ، سرعة الشخص الذي يمشي على طول حافة دائري دوار تساوي مجموع متجه للسرعة الخطية للدوران لحافة دائري وسرعة الشخص.

تشارك الأرض في حركتين دورانيتين رئيسيتين: يوميًا (حول محورها) ومدارًا (حول الشمس). فترة دوران الأرض حول الشمس هي سنة واحدة أو 365 يومًا. تدور الأرض حول محورها من الغرب إلى الشرق ، وتكون فترة هذا الدوران يومًا أو 24 ساعة. خط العرض هو الزاوية بين مستوى خط الاستواء والاتجاه من مركز الأرض إلى نقطة على سطحه.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن سبب أي تسارع هو القوة. إذا كان الجسم المتحرك يعاني من تسارع الجاذبية ، فإن طبيعة القوى التي تسبب هذا التسارع قد تكون مختلفة. على سبيل المثال ، إذا كان الجسم يتحرك في دائرة على حبل مربوط به ، فإن القوة المؤثرة هي القوة المرنة.

إذا كان جسم ممدد على قرص يدور مع القرص حول محوره ، فإن هذه القوة هي قوة الاحتكاك. إذا توقفت القوة عن العمل ، فسيستمر الجسم في التحرك في خط مستقيم

ضع في اعتبارك حركة نقطة على دائرة من أ إلى ب. السرعة الخطية تساوي الخامس أو الخامس بعلى التوالى. التسارع هو التغير في السرعة لكل وحدة زمنية. لنجد فرق المتجهات.

عند التحرك على طول دائرة بسرعة خطية ثابتة υ ، يكون للجسم تسارع جاذب مركزي ثابت موجه نحو مركز الدائرة

أ ج \ u003d υ 2 / ص ، (18)

حيث R هو نصف قطر الدائرة.

اشتقاق صيغة العجلة المركزية

حسب التعريف.

الشكل 6 اشتقاق صيغة التعجيل المركزي

في الشكل ، تتشابه المثلثات المتكونة من نواقل الإزاحة والسرعات. بشرط == R و == υ من تشابه المثلثات نجد:

(20)

(21)

دعنا نضع الأصل في وسط الدائرة ونختار المستوى الذي تقع فيه الدائرة على أنها المستوى (x ، y). يتم تحديد موضع نقطة على دائرة في أي وقت بشكل فريد من خلال الزاوية القطبية φ ، مقاسة بالراديان (راديان) ، و

x = R cos (φ + 0) ، y = R sin (φ + 0) ، (22)

حيث φ 0 يعرّف المرحلة الأولية (الموضع الأولي لنقطة على الدائرة وقت الصفر).

في حالة الدوران المنتظم ، الزاوية ، المقاسة بالراديان ، تنمو خطيًا بمرور الوقت:

φ = ωt ، (23)

حيث ω يسمى التردد الدوري (الدائري). أبعاد التردد الدوري: [ω] = c –1 = هرتز.

التردد الدوري يساوي زاوية الدوران (مُقاسة بالرادار) لكل وحدة زمنية ، لذلك يُطلق عليها بخلاف ذلك السرعة الزاوية.

يمكن كتابة اعتماد إحداثيات نقطة على دائرة في الوقت المحدد في حالة الدوران المنتظم بتردد معين على النحو التالي:

س = R كوس (t + 0) ، (24)

y = R sin (ωt + 0).

الوقت المستغرق لإكمال ثورة واحدة يسمى الفترة T.

التردد ν = 1 / T. (25)

وحدة التردد: [ν] = s –1 = هرتز.

علاقة التردد الدوري بالدورة والتردد: 2π = ωT ، ومن أين

ω = 2π / T = 2πν. (26)

تم العثور على العلاقة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية من المساواة:

2πR = υT ، من أين

υ = 2πR / T = ωR. (27)

يمكن كتابة التعبير عن التسارع المركزي بعدة طرق ، باستخدام العلاقات بين السرعة والتردد والفترة:

أج \ u003d υ 2 / R \ u003d ω 2 R \ u003d 4π 2 ν 2 R \ u003d 4π 2 R / T 2. (28)

4.6 العلاقة بين الحركات متعدية والتناوب

الخصائص الحركية الرئيسية للحركة في خط مستقيم مع تسارع ثابت: الإزاحة ، السرعة υ والتسارع أ. الخصائص ذات الصلة عند التحرك على دائرة نصف قطرها R: الإزاحة الزاوية φ والسرعة الزاوية ω والتسارع الزاوي ε (إذا كان الجسم يدور بسرعة متغيرة).

من الاعتبارات الهندسية ، تتبع العلاقات التالية بين هذه الخصائص:

الإزاحة s → الإزاحة الزاوية φ = s / R ؛

السرعة υ → السرعة الزاوية ω = υ / R ؛

التسريع أ→ التسارع الزاوي ε = أ/ ص.

يمكن تحويل جميع الصيغ الخاصة بالحركيات للحركة المتسارعة بشكل موحد على طول خط مستقيم إلى صيغ لحركية الدوران على طول الدائرة إذا تم إجراء البدائل المشار إليها. فمثلا:

s = υt → φ = ωt ، (29)

υ = υ 0 + أر → ω = ω 0 + ε ر. (29 أ)

يمكن كتابة العلاقة بين السرعات الخطية والزاوية لنقطة عند الدوران حول دائرة في شكل متجه. في الواقع ، دع الدائرة المتمركزة في الأصل تقع في المستوى (x ، y). في أي وقت ، المتجه ، مأخوذ من أصل الإحداثيات إلى نقطة على الدائرة حيث يقع الجسم ، يكون عموديًا على متجه سرعة الجسم يوجه الظل إلى الدائرة في تلك النقطة. دعونا نحدد المتجه ، والتي تساوي في القيمة المطلقة السرعة الزاوية ω ويتم توجيهها على طول محور الدوران إلى الجانب ، والذي يتم تحديده بواسطة قاعدة المسمار الأيمن: إذا قمت بلف المسمار بحيث يتزامن اتجاه دورانه مع اتجاه دوران النقطة على طول الدائرة ، ثم يوضح اتجاه حركة المسمار اتجاه المتجه . ثم ربط ثلاثة نواقل متعامدة بشكل متبادل ,و يمكن كتابتها باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات.