واحدة من أهم فئات الوظائف التي يتم التعبير عن تكاملاتها من حيث الوظائف الأولية هي فئة الوظائف المنطقية.

تعريف 1. وظيفة من الشكل حيث
- كثيرات الحدود الدرجةنوميسمى عقلاني. دالة عقلانية كاملة ، أي متعدد الحدود ، يتكامل مباشرة. يمكن إيجاد تكامل دالة كسرية عقلانية بالتوسيع إلى حدود ، والتي يتم تحويلها بطريقة قياسية إلى تكاملات الجدول الرئيسي.

التعريف 2. كسر
يسمى الصحيح إذا كانت درجة البسطنأقل من المقامم. يسمى الكسر الذي بسطه أكبر من أو يساوي المقام بكسر غير فعلي.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. يتم ذلك عن طريق قسمة كثير الحدود على "عمود" كثير الحدود ، على غرار قسمة الأرقام.

مثال.

تخيل كسر
كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب:

س - 1

3

3

3

الفصل الدراسي الأول
في حاصل القسمة نتيجة قسمة المصطلح الرئيسي
، قابلة للقسمة على المصطلح الرئيسي Xمقسم. ثم نضاعف
للمقسوم عليه x-1وطرح النتيجة من المقسوم ؛ تم العثور على الشروط المتبقية من حاصل القسمة غير المكتمل بالمثل.

بعد قسمة كثيرات الحدود ، نحصل على:

يسمى هذا الإجراء اختيار الجزء بأكمله.

التعريف 3. أبسط الكسور هي كسور منطقية مناسبة من الأنواع التالية:

أنا.

ثانيًا.
(ك = 2 ، 3 ، ...).

ثالثا.
أين هو المربع ثلاثي الحدود

رابعا.
حيث K = 2 ، 3 ، ... ؛ ثلاثي الحدود مربع
ليس له جذور حقيقية.

أ) قم بتوسيع المقام
في أبسط العوامل الحقيقية (وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر ، يمكن أن يحتوي هذا التحلل على حدين خطي للشكل
وثلاثية الحدود المربعة
، ليس لها جذور) ؛

ب) اكتب مخططًا لتوسيع كسر معين إلى مجموع كسور بسيطة. علاوة على ذلك ، كل عامل من عوامل الشكل
يتوافق كشروط النوعين الأول والثاني:

لكل عامل من عوامل النموذج
يتوافق مع شروط e من النوعين الثالث والرابع:

مثال.

اكتب مخطط تحلل الكسر
في مجموع أبسط.

ج) إجراء إضافة الكسور البسيطة التي تم الحصول عليها. اكتب مساواة البسط في الكسور المستلمة والأولية ؛

د) أوجد معاملات التمدد المقابل:
(ستتم مناقشة طرق الحل أدناه) ؛

هـ) استبدل القيم الموجودة للمعاملات في مخطط التحلل.

يتم تقليل تكامل أي جزء منطقي مناسب بعد التحلل إلى مصطلحات بسيطة لإيجاد تكاملات أحد الأنواع:

(كو ه =2, 3, …).

حساب متكامل يقلل إلى الصيغة III:

متكامل - إلى الصيغة II:

متكامل يمكن العثور عليها من خلال القاعدة المحددة في نظرية تكامل الوظائف التي تحتوي على ثلاثي الحدود المربع ؛ - من خلال التحولات الموضحة أدناه في المثال 4.

مثال 1

أ) تحليل المقام:

ب) اكتب مخططًا لتوسيع التكاملاند إلى شروط:

ج) إجراء إضافة الكسور البسيطة:

نكتب المساواة في البسط من الكسور:

د) هناك طريقتان لإيجاد معاملات غير معروفة أ ، ب ، ج.

تتساوى كثيرات الحدود إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما متساوية عند نفس الأسس X، حتى تتمكن من عمل نظام المعادلات المقابل. هذا هو أحد الحلول.

المعاملات في

الأعضاء الأحرار (المعامل عند ):4 أ = 8.

حل النظام ، حصلنا عليه أ = 2, ب = 1, ج = - 10.

طريقة أخرى - سيتم مناقشة القيم الخاصة في المثال التالي ؛

هـ) استبدل القيم الموجودة في مخطط التوسع:

بالتعويض عن المجموع الناتج تحت علامة التكامل ، ودمج كل مصطلح على حدة ، نجد:

مثال 2

الهوية هي المساواة التي تصلح لأية قيم للمجهول المتضمنة فيها. بناء على هذا طريقة القيمة الخاصة.يمكن إرفاقها Xأي قيم. من الأنسب للحسابات أن تأخذ تلك القيم التي تتلاشى أي شروط على الجانب الأيمن من المساواة.

يترك س = 0. ثم 1 = أ 0 (0 + 2) + V. 0 (0-1) + ج (0-1)(0+2).

وبالمثل ، عندما س = - 2نملك 1 = - 2 ب * (- 3)، في س = 1نملك 1 = 3 أ.

بالتالي،

مثال 3

د) أولاً نستخدم طريقة القيم الجزئية.

يترك س = 0، ومن بعد 1 = أ 1 ، أ = 1.

في س = - 1نملك - 1 + 4 + 2 + 1 = - ب (1 + 1 + 1)أو 6 = - 3 فولت, ب = - 2.

لإيجاد المعاملين C و D ، عليك تكوين معادلتين أخريين. للقيام بذلك ، يمكنك أن تأخذ أي قيم أخرى X، فمثلا س = 1و س = 2. يمكنك استخدام الطريقة الأولى ، أي يساوي المعاملات في أي قوى متطابقة X، على سبيل المثال متى و . احصل على

1 = أ + ب + ج و 4 = ج +د- في.

معرفة أ = 1, ب = -2، تجد ج = 2, د = 0 .

وبالتالي ، عند حساب المعاملات ، يمكن الجمع بين كلتا الطريقتين.

التكامل الأخير نجد بشكل منفصل حسب القاعدة المحددة في طريقة قيادة متغير جديد. نختار المربع الكامل في المقام:

دعنا نقول
ومن بعد
نحن نحصل:

=

الاستعاضة عن المساواة السابقة ، نجد

مثال 4

تجد

ب)

ه)

التكامل ، لدينا:

نقوم بتحويل أول جزء لا يتجزأ من الصيغة III:

نقوم بتحويل التكامل الثاني إلى الصيغة II:

في التكامل الثالث ، نستبدل المتغير:

(عند إجراء التحويلات ، استخدمنا صيغة حساب المثلثات

البحث عن التكاملات:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

أسئلة للفحص الذاتي.

أي من الكسور المنطقية المعطاة صحيحة:

2. هل مخطط فك الكسر في مجموع الكسور البسيطة مكتوب بشكل صحيح؟

"عالم الرياضيات ، مثل الفنان أو الشاعر ، يخلق أنماطًا. وإذا كانت أنماطه أكثر ثباتًا ، فهذا فقط لأنها تتكون من أفكار ... يجب أن تكون أنماط عالم الرياضيات ، تمامًا مثل أنماط الفنان أو الشاعر ، جميلة ؛ يجب أن تتطابق الأفكار ، تمامًا مثل الألوان أو الكلمات. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

GH هاردي

لوحظ في الفصل الأول أن هناك مشتقات عكسية لوظائف بسيطة إلى حد ما لم يعد من الممكن التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية. في هذا الصدد ، تكتسب هذه الفئات من الوظائف أهمية عملية كبيرة ، والتي يمكن القول بالتأكيد أن المشتقات العكسية لها هي وظائف أولية. هذه الفئة من الوظائف تشمل وظائف عقلانية، وهي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك ، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. التوابع المنطقية الكسرية

كسر منطقي(أو دالة منطقية كسرية) هي نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

أذكر ذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, دالة منطقية كاملة) نالدرجة التسمى وظيفة النموذج

أين هي أرقام حقيقية. فمثلا،

هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ؛

هي كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ، إلخ.

يسمى الكسر المنطقي (2.1.1) صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة ، أي. ن<م، وإلا يسمى الكسر خاطئ - ظلم - يظلم.

يمكن تمثيل أي كسر غير لائق كمجموع كثير الحدود (جزء صحيح) وكسر مناسب (جزء كسري).يمكن اختيار عدد صحيح وأجزاء كسرية لكسر غير لائق وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود على "زاوية".

مثال 2.1.1.حدد العدد الصحيح والجزء الكسري من الكسور المنطقية غير الصحيحة التالية:

أ) ، ب) .

المحلول . أ) باستخدام "ركن" خوارزمية القسمة نحصل عليها

وهكذا نحصل

.

ب) هنا نستخدم أيضًا خوارزمية القسمة "الزاوية":

نتيجة لذلك ، نحصل عليه

.

دعونا نلخص. يمكن بشكل عام تمثيل التكامل غير المحدد لكسر كسري كمجموع تكاملات كثير الحدود وكسر منطقي مناسب. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك ، في المستقبل ، سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية المنتظمة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

هناك أربعة أنواع من الكسور المنطقية الصحيحة ، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

3) ,

4) ,

أين هو عدد صحيح ، بمعنى آخر. ثلاثي الحدود مربع ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل تكامل أبسط الكسور من النوع الأول والثاني صعوبات كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

لنفكر الآن في تكامل أبسط الكسور من النوع الثالث ، ولن نأخذ في الاعتبار كسورًا من النوع الرابع.

نبدأ بتكاملات النموذج

.

يتم حساب هذا التكامل عادةً بأخذ المربع الكامل في المقام. والنتيجة هي جدول لا يتجزأ من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.البحث عن التكاملات:

أ) ، ب) .

المحلول . أ) نختار مربعًا كاملاً من ثلاثي الحدود المربع:

من هنا نجد

ب) اختيار المربع الكامل من ثلاثي الحدود المربع ، نحصل على:

في هذا الطريق،

.

للعثور على التكامل

يمكننا استخراج مشتق المقام في البسط وفك التكامل في مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى النموذج

,

والثاني - لما سبق.

مثال 2.1.3.البحث عن التكاملات:

.

المحلول . لاحظ أن . نختار مشتق المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام التعويض :

في التكامل الثاني ، نختار المربع الكامل في المقام

أخيرًا ، وصلنا

2.1.3. توسيع كسر منطقي مناسب
مجموع الكسور البسيطة

أي كسر منطقي مناسب يمكن تمثيلها بشكل فريد كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك ، يجب أن يتحلل المقام إلى عوامل. من المعروف من الجبر العالي أن كل كثير الحدود مع معاملات حقيقية

تكامل الدوال الكسرية دالة عقلانية أبسط الكسور المنطقية تحلل الكسر الكسري في أبسط الكسور تكامل أبسط الكسور قاعدة عامة لتكامل الكسور النسبية

متعدد الحدود من الدرجة n. دالة كسرية كسرية دالة كسرية هي دالة مساوية لنسبة اثنين من كثيرات الحدود: يسمى الكسر الكسري مناسب إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، أي< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

تحويل الكسر غير الصحيح إلى الصيغة الصحيحة: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

أبسط الكسور المنطقية الصحيحة في النموذج: تسمى أبسط الكسور المنطقية من الأنواع. الفأس أ) ؛ 2 (Nkk ax A k) 04 (2 2 qp qpxx NMx) ؛ 2 ؛ 04 (2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V ،

نظرية تحلل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة: أي كسر منطقي مناسب ، مقامه محسوب إلى عوامل: يمكن تمثيله ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة: s k qxpxxxxxx. Q) () () (22 2 11 2 21) () (x. Q x. P 1 xx A k k xx B) () (2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M ss qxpx Nx. M) (

تحليل الكسر المنطقي إلى كسور بسيطة دعنا نوضح صياغة النظرية باستخدام الأمثلة التالية: لإيجاد المعاملات غير المحددة أ ، ب ، ج ، د ... يتم استخدام طريقتين: طريقة مقارنة المعاملات وطريقة الجزئية قيم المتغير. لنلقِ نظرة على الطريقة الأولى بمثال. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 × × 2 21 × أ 22 2) 1) (4 (987 × × × 4 ×

تحليل كسر كسري إلى كسور بسيطة يمثل كسرًا كمجموع كسور بسيطة: اختصر أبسط الكسور إلى مقام مشترك. 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx) 52) (1 () 1) (() 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

تكامل أبسط الكسور لنجد تكاملات أبسط الكسور المنطقية: لنفكر في تكامل كسور من النوع الثالث باستخدام مثال. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

تكامل الكسور البسيطة dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 23 2 9322 t dtt 9 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2110 ln

تكامل الكسور البسيطة تكامل من هذا النوع عن طريق التعويض: يتم اختزاله إلى مجموع تكاملين: يتم حساب التكامل الأول بإدخال t تحت علامة التفاضل. يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة العودية: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222)) (1 (222321 kkkk atk t k k aat dt

تكامل الكسور البسيطة أ = 1 ؛ ك = 3323) 1 (طن طن طن طن طن طن متري 1 21) 1) (12 (2222322 1 21222 طن طن طن طن وزن طن ثابت) 1 (22 1 2 طن طن طن طن تاركت 2223) 1 (13 (2232332 طن طن طن طن طن طن تاركت 222) 1 (4) 1 (

قاعدة عامة لتكامل الكسور النسبية إذا كان الكسر غير فعلي ، فقم بتمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. بعد أن حلل مقام الكسر المنطقي المناسب إلى عوامل ، قم بتمثيله كمجموع من الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة.ابحث عن المعاملات غير المحددة عن طريق مقارنة المعاملات أو بطريقة القيم الجزئية للمتغير. ادمج كثير الحدود ومجموع الكسور البسيطة الناتج.

مثال لنجلب الكسر إلى الصورة الصحيحة. dx xxx 23 35 2442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2234242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

مثال تحليل مقام كسر مناسب يمثل الكسر كمجموع الكسور البسيطة إيجاد معاملات غير مؤكدة باستخدام طريقة القيم الجزئية للمتغير xxx xx 23 2 2 48 2 2) 1 (48 xx xx 2) 1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1124 ×××

مثال dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

2., 5.
,

3.
, 6.
.

في التكاملات 1-3 مثل ش قبول . بعد ذلك ن-تطبيق الصيغة (19) مطويًا ، نصل إلى أحد تكاملات الجدول

,
,
.

في التكاملات 4-6 ، عند الاشتقاق ، يتم تبسيط العامل التجاوزي
,
أو
، والتي يجب أن تؤخذ على أنها ش.

احسب التكاملات التالية.

مثال 7

المثال 8

اختزال التكاملات في نفسه

إذا كان ملف Integrand
يشبه:

,
,
وهلم جرا،

ثم بعد التكامل المزدوج بالأجزاء نحصل على تعبير يحتوي على التكامل الأصلي :

,

أين
بعض الشيء ثابت.

حل المعادلة الناتجة بالنسبة ل ، نحصل على صيغة لحساب التكامل الأصلي:

.

تسمى حالة تطبيق طريقة التكامل بالأجزاء " جلب التكامل في حد ذاته».

المثال 9احسب التكامل
.

على الجانب الأيمن يوجد التكامل الأصلي . عند تحريكه إلى الجانب الأيسر ، نحصل على:

.

المثال 10احسب التكامل
.

4.5 تكامل أبسط الكسور المنطقية الصحيحة

تعريف.أبسط الكسور المناسبة أنا , ثانيًا و ثالثا أنواع تسمى الكسور التالية:

أنا. ;

ثانيًا.
; (
هو عدد صحيح موجب) ؛

ثالثا.
؛ (جذور المقام معقدة ، أي:
.

ضع في اعتبارك تكاملات الكسور البسيطة.

أنا.
; (20)

ثانيًا. ; (21)

ثالثا.
;

نقوم بتحويل بسط الكسر بطريقة تفرد المصطلح في البسط
يساوي مشتق المقام.

ضع في اعتبارك أول التكاملين اللذين تم الحصول عليهما وقم بإجراء تغيير فيه:

في التكامل الثاني ، نكمل المقام بمربع كامل:

أخيرًا ، تكامل كسر من النوع الثالث يساوي:

=
+
. (22)

وهكذا ، يتم التعبير عن تكامل أبسط الكسور من النوع الأول من حيث اللوغاريتمات ، النوع الثاني - من حيث الوظائف المنطقية ، النوع الثالث - من حيث اللوغاريتمات والمشتقات.

4.6 تكامل التوابع الكسرية المنطقية

إحدى فئات الوظائف التي لها تكامل معبر عنها من حيث الوظائف الأولية هي فئة الوظائف المنطقية الجبرية ، أي الدوال الناتجة عن عدد محدود من العمليات الجبرية على وسيطة.

كل دالة عقلانية
يمكن تمثيلها كنسبة من كثيرات الحدود
و
:

. (23)

سنفترض أن كثيرات الحدود ليس لها جذور مشتركة.

يسمى جزء من النموذج (23) صحيح، إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، أي ، م< ن. خلاف ذلك - خاطئ - ظلم - يظلم.

إذا كان الكسر غير صحيح ، فعند قسمة البسط على المقام (وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود) ، فإننا نمثل الكسر على أنه مجموع كثير الحدود وكسر مناسب:

, (24)

أين
- متعدد الحدود، هو كسر صحيح ، ودرجة كثير الحدود
- لا توجد درجة أعلى ( ن-1).

مثال.

نظرًا لأن تكامل كثير الحدود يتم تقليله إلى مجموع التكاملات الجدولية لدالة القدرة ، فإن الصعوبة الرئيسية في دمج الكسور المنطقية هي دمج الكسور المنطقية المناسبة.

يثبت الجبر أن كل كسر صحيح يتحلل في مجموع ما ورد أعلاه الكائنات الاوليهالكسور التي يتم تحديد شكلها من خلال جذور المقام
.

دعونا ننظر في ثلاث حالات خاصة. هنا وأدناه ، سنفترض أن المعامل بأعلى درجة من المقام
يساوي واحد = 1 ، هذا هوتخفيض كثير الحدود .

حالة 1جذور المقام ، أي الجذور
المعادلات
= 0 حقيقية ومميزة. ثم نمثل المقام كمنتج لعوامل خطية:

ويتحلل الكسر المناسب إلى أبسط كسور من النوع الأول:

, (26)

أين
هي بعض الأرقام الثابتة التي تم العثور عليها بطريقة المعاملات غير المحددة.

لهذا تحتاج:

1. اختصر الجانب الأيمن من التوسيع (26) إلى قاسم مشترك.

2. قم بمساواة المعاملات بنفس قوى كثيرات الحدود المتطابقة في بسط الجزأين الأيمن والأيسر. نحصل على نظام المعادلات الخطية لتحديد
.

3. حل النظام الناتج وإيجاد المعاملات غير المؤكدة
.

ثم تكامل الدالة الكسرية المنطقية (26) سيكون مساويًا لمجموع تكاملات أبسط كسور من النوع I ، محسوبة بالصيغة (20).

مثال.احسب التكامل
.

المحلول.دعنا نحلل المقام باستخدام نظرية فييتا:

بعد ذلك ، يتوسع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة:

.

X:

دعونا نكتب نظامًا من ثلاث معادلات لإيجاد
Xعلى الجانبين الأيمن والأيسر:

.

دعونا نشير إلى طريقة أبسط لإيجاد معاملات غير محددة تسمى طريقة القيمة الجزئية.

على افتراض المساواة (27)
نحن نحصل
، أين
. بافتراض
نحن نحصل
. أخيرا ، على افتراض
نحن نحصل
.

.

الحالة 2جذر المقام
حقيقية ، ولكن من بينها عدة جذور (متساوية). ثم نمثل المقام كمنتج لعوامل خطية متضمنة في المنتج إلى الحد الذي يكون فيه تعدد الجذر المقابل هو:

أين
.

جزء الصحيح سيتم توسيع مجموع كسور النوعين الأول والثاني. دعنا ، على سبيل المثال ، - جذر مقام التعددية ك، والباقي ( ن- ك) من الجذور مختلفة.

ثم سيبدو التحلل كما يلي:

وبالمثل ، إذا كانت هناك جذور متعددة أخرى. بالنسبة للجذور غير المتعددة ، يتضمن التوسع (28) أبسط الكسور من النوع الأول.

مثال.احسب التكامل
.

المحلول.دعنا نمثل كسرًا كمجموع كسور بسيطة من النوع الأول والثاني مع معاملات غير محددة:

.

نأتي بالطرف الأيمن إلى قاسم مشترك ونساوي كثير الحدود في البسط في الجانبين الأيمن والأيسر:

على الجانب الأيمن ، نعطي المتشابهين بنفس الدرجات X:

دعونا نكتب نظام المعادلات الأربع لإيجاد
و . للقيام بذلك ، نساوي المعاملات عند نفس الأسس Xعلى الجانب الأيسر والأيمن

.

الحالة 3بين جذور المقام
لها جذور معقدة لمرة واحدة. أي أن توسيع المقام يشمل عوامل من الدرجة الثانية
، والتي لا يمكن أن تتحلل إلى عوامل خطية حقيقية ، ولا تتكرر.

بعد ذلك ، في توسيع الكسر ، كل عامل من هذا القبيل سوف يتوافق مع أبسط كسر من النوع الثالث. تتوافق العوامل الخطية مع أبسط الكسور من النوعين الأول والثاني.

مثال.احسب التكامل
.

المحلول.
.

.

.

في وقت سابق ، ناقشنا الطرق العامة للتكامل. في هذا والأقسام التالية ، سنتحدث عن تكامل فئات معينة من الوظائف بمساعدة التقنيات المدروسة.

تكامل أبسط التوابع الكسرية

ضع في اعتبارك جزءًا لا يتجزأ من النموذج textstyle (int R (x)، dx)، حيث y = R (x) دالة كسرية. يمكن تمثيل أي تعبير منطقي R (x) كـ \ فارك (ف (س)) (س (س))، حيث P (x) و Q (x) متعددو الحدود. إذا كان هذا الكسر غير صحيح ، أي إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها ، فيمكن تمثيلها كمجموع كثير الحدود (الجزء الصحيح) وكسر مناسب. لذلك ، يكفي النظر في تكامل الكسور المناسبة.

دعنا نظهر أن تكامل هذه الكسور يقلل من التكامل كسور بسيطة، أي تعبيرات النموذج:

\ mathsf (1)) ~ \ frac (A) (x-a) ؛ \ quad \ mathsf (2)) ~ \ frac (A) ((x-a) ^ n) ؛ \ quad \ mathsf (3)) ~ \ frac ( Ax + B) (x ^ 2 + px + q) ؛ \ quad \ mathsf (4)) ~ \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n).

أين أ ، \ ، ب ، \ ، أ ، \ ، ص ، \ ، فهي أرقام حقيقية ، والمربع ثلاثي الحدود x ^ 2 + px + q ليس له جذور حقيقية. تسمى التعبيرات ذات الشكل 1) و 2) كسور من النوع الأول ، وتسمى التعبيرات ذات الشكل 3) و 4) كسور من النوع الثاني.

يتم حساب تكاملات الكسور من النوع الأول مباشرة

\ start (محاذاة) \ mathsf (1)) & ~ \ int \ frac (A) (x-a) \ ، dx = A \ ln | x-a | + C ؛ \\ \ mathsf (2)) & ~ \ int \ frac (أ) ((x-a) ^ n) \ ، dx = A \ int (x-a) ^ (- n) \ ، dx = A \ ، \ frac ((x-a) ^ (- n + 1)) (- n + 1 ) + C ~ (ن = 2،3،4 ، \ نقاط). نهاية (محاذاة)

ضع في اعتبارك حساب التكاملات من كسور من النوع الثاني: \ mathsf (3)) ~ \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx \ ،.

أولاً ، دعنا نلاحظ ذلك

\ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (a) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C ، \ qquad \ int \ frac (t \ ، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + C.

لتقليل حساب التكامل 3) إلى هذين التكاملين ، نقوم بتحويل ثلاثي الحدود المربع x ^ 2 + px + q باستخراج مربع كامل منه:

x ^ 2 + px + q = (\ left (x + \ frac (p) (2) \ right) \^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

بما أنه من خلال الافتراض ، فإن هذا ثلاثي الحدود ليس له جذور حقيقية ، إذن ف- \ فارك (ص ^ 2) (4)> 0ويمكننا أن نضع ف- \ فارك (ص ^ 2) (4) = أ ^ 2. الاستبدال x + \ frac (p) (2) = t ، ~ dx = dtيحول التكامل 3) إلى مجموعة خطية من التكاملات المذكورة أعلاه:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx & = \ int \ frac (A \! \ left (t- \ frac (p) (2) \ right ) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \، dt = A \ int \ frac (t \، dt) (t ^ 2 + a ^ 2) + \ left (B- \ frac (Ap) (2 ) \ right) \! \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \\ & = \ frac (A) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + \ frac ( 1) (a) \! \ left (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ \ operatorname (arctg) \ frac (t) (a) + C. نهاية (محاذاة)

في الإجابة النهائية ، ما عليك سوى استبدال (t) بـ x + \ frac (p) (2) و (a) بـ \ الجذر التربيعي (q- \ فارك (ص ^ 2) (4)). بما أن t ^ 2 + a ^ 2 = x ^ 2 + px + q ، إذن

\ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \ ، dx = \ frac (A) (2) \ ln (x ^ 2 + px + q) + \ frac (B- \ dfrac ( Ap) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (p ^ 2) (4))) \ operatorname (arctg) \ frac (x + \ dfrac (p) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (ص ^ 2) (4))) + ج.

ضع في اعتبارك الحالة \ mathsf (4)) ~ \ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \ ، dx.

كما في الحالة السابقة ، قمنا بتعيين x + \ frac (p) (2) = t. نحن نحصل:

\ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \، dx = A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \ يسار (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) \ ،.

يتم حساب المصطلح الأول على النحو التالي:

A \ int \ frac (t \، dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) = \ frac (A) (2) \ int (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n) \ ، د (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (A) (2) \ frac ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n + 1)) (- n + 1) = \ frac ( أ) (2 (1-n) (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (n-1)) \ ،.

يتم حساب التكامل الثاني باستخدام الصيغة المتكررة.

مثال 1إحصاء - عد \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \ ، dx.

المحلول.نملك: س ^ 2 + 2 س + 3 = (س + 1) ^ 2 + 2. دع x + 1 = t. ثم dx = dt و 3 س + 2 = 3 (ر -1) + 2 = 3 ت -1وبالتالي

\ start (محاذاة) \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \، dx & = \ int \ frac (3t-1) (t ^ 2 + 2) \، dt = \ frac ( 3) (2) \ int \ frac (2t \، dt) (t ^ 2 + 2) - \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + (\ sqrt (2)) ^ 2) = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (t ^ 2 + 2) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (\ sqrt (2)) + C = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (x ^ 2 + 2x + 3) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x + 1) (\ الجذر التربيعي (2)) + ج. نهاية (محاذاة)

مثال 2إحصاء - عد \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx.

المحلول.نملك: س ^ 2 + 6 س + 10 = (س + 3) ^ 2 + 1. دعنا نقدم متغيرًا جديدًا عن طريق ضبط x + 3 = t. ثم dt = dx و x + 2 = t-1. استبدال المتغير تحت علامة التكامل ، نحصل على:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = \ int \ frac (t-1) ((t ^ 2 + 1) ^ 2 ) \، dt = \ frac (1) (2) \ int \ frac (2t \، dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) = \\ & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) \ ،. نهاية (محاذاة))

هيا نضع I_2 = \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2). نملك:

I_2 = \ frac (1) (2) I_1 + \ frac (1) (2) \ frac (t) (t ^ 2 + 1)، لكن I_1 = \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + 1) = \ operatorname (arctg) tفي هذا الطريق، I_2 = \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t + \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)).

أخيرًا نحصل على:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \ ، dx & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t- \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)) = \\ & = - \ frac (1) (2 (x ^ 2 + 6x + 10) ) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) - \ frac (x + 3) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) + C = \\ & = \ frac ( -x-4) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) + C \ end (محاذاة)

تكامل الكسور الصحيحة

ضع في اعتبارك كسرًا مناسبًا R (x) = \ frac (P (x)) (Q (x))، حيث Q (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض أن المعامل الرئيسي في Q (x) يساوي 1. في سياق الجبر ، ثبت أن مثل هذه كثيرة الحدود ذات المعاملات الحقيقية يمكن تحليلها في عوامل من الدرجة الأولى والثانية مع معاملات حقيقية :

Q (x) = (x-x_1) ^ (\ alpha) \ ldots (x-x_k) ^ (\ beta) (x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma) \ ldots (x ^ 2 + r \، x + s) ^ (\ دلتا).

حيث x_1، \ ldots، x_k هي جذور حقيقية لكثير الحدود Q (x) و ثلاثي الحدود ليس لها جذور حقيقية. يمكن إثبات أن R (x) يتم تمثيلها كمجموع الكسور البسيطة بالشكل 1) -4):

\ start (محاذاة) R (x) = & \ frac (P (x)) (Q (x)) = \ frac (A_1) ((x-x_1) ^ (\ alpha)) + \ frac (A_2) ( (x-x_1) ^ (\ alpha-1)) + \ ldots + \ frac (A _ (\ alpha)) (x-x_1) \ ، + \\ & + \ ، \ ldots + \ frac (B_1) ((x- x_k) ^ (\ beta)) + \ frac (B_2) ((x-x_k) ^ (\ beta-1)) + \ ldots + \ frac (B _ (\ beta)) (x-x_k) + \ frac (M_1x + N_1) ((x ^ 2 + p \، x + q) ^ (\ gamma)) \، + \\ & + \، \ ldots + \ frac (M _ (\ gamma) + N _ (\ gamma)) (x ^ 2+ p \، x + s) + \ frac (E_1x + F_1) ((x ^ 2 + rx + s) ^ (\ delta)) + \ ldots + \ frac (E _ (\ delta) x + F _ (\ delta )) (x ^ 2 + rx + s) \، \ end (محاذاة)

حيث تتناقص أسس المقامات بالتتابع من \ alpha إلى 1 ، ... ، من \ beta إلى 1 ، من \ gamma إلى 1 ، ... ، من \ delta إلى 1 ، و A_1، \ ldots، F _ (\ delta)- معاملات غير محددة. من أجل إيجاد هذه المعاملات ، من الضروري التخلص من المقامات ، وبعد الحصول على المساواة بين العديد من الحدود ، استخدم طريقة المعاملات غير المحددة.

طريقة أخرى لتحديد المعاملات A_1، \ ldots، A _ (\ alpha)، \ ldots، F _ (\ delta)يعتمد على استبدال قيم المتغير x. استبدال أي رقم بدلاً من x في المساواة التي تم الحصول عليها من المساواة (1) بعد القواسم ، نصل إلى معادلة خطية فيما يتعلق بالمعاملات المرغوبة. من خلال استبدال العدد المطلوب من هذه القيم الخاصة للمتغير ، نحصل على نظام من المعادلات لإيجاد المعاملات. من الأنسب اختيار جذور المقام (الحقيقية والمعقدة) كقيم خاصة للمتغير. في هذه الحالة ، تختفي جميع المصطلحات الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة (بمعنى المساواة بين متعددي الحدود) ، مما يجعل من السهل العثور على المعاملات المتبقية. عند استبدال القيم المعقدة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن رقمين مركبين متساويين إذا وفقط إذا كان الجزأين الحقيقي والخيالي متساويين ، على التوالي. لذلك ، من كل مساواة تحتوي على أرقام معقدة ، يتم الحصول على معادلتين.

بعد إيجاد المعاملات غير المحددة ، يبقى حساب تكاملات الكسور البسيطة التي تم الحصول عليها. منذ ذلك الحين عند دمج أبسط الكسور ، كما رأينا ، يتم الحصول على الدوال المنطقية فقط ، والظلمات المستقيمة واللوغاريتمات ، إذن يتم التعبير عن تكامل أي دالة كسرية بدلالة دالة كسرية ، و Arctangents و لوغاريتمات.

مثال 3احسب تكامل كسر كسري سليم \ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \ ، dx.

المحلول.نحن نحلل مقام التكامل إلى عوامل:

س ^ 2 + 2 س -3 = (س -1) (س + 3).

نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة:

\ فارك (6 س + 1) (س ^ 2 + 2 س -3) = \ فارك (أ) (س -1) + \ فارك (ب) (ب + 3) \ ،.

بعد أن حررنا أنفسنا من القواسم في هذه المساواة ، حصلنا على:

6x + 1 = A \ cdot (x + 3) + B \ cdot (x-1) \ ،.

لإيجاد المعاملات ، نستخدم طريقة استبدال القيم الجزئية. لإيجاد المعامل أ نضع س = 1. ثم من المساواة (2) نحصل على 7 = 4A ، حيث A = 7/4. لإيجاد المعامل B ، حددنا x = -3. ثم من المساواة (2) نحصل على -17 = -4B ، حيث B = 17/4.

لذا، \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) = \ frac (7) (4) \ cdot \ frac (1) (x-1) + \ frac (17) (4) \ cdot \ frac (1) (x + 3). وسائل،

\ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \، dx = \ frac (7) (4) \ int \ frac (dx) (x-1) + \ frac (17) (4) ) \ int \ frac (dx) (x + 3) = \ frac (7) (4) \ ln | x-1 | + \ frac (17) (4) \ ln | x + 3 | + C.

مثال 4إحصاء - عد \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx.

المحلول.نكتب التكامل ونمثله كمجموع من الكسور البسيطة. المقام يحتوي على العامل x ^ 2 + 2 ، والذي ليس له جذور حقيقية ، فهو يقابل كسر من النوع الثاني: \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2)العامل (x-1) ^ 2 يتوافق مع مجموع كسرين من النوع الأول: \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1)؛ أخيرًا ، العامل x + 2 يقابل كسرًا واحدًا من النوع الأول \ frac (E) (x + 2). وبالتالي ، سوف نمثل التكامل و كمجموع لأربعة كسور:

\ فارك (س ^ 4 + 2 س ^ 2 + 8 س + 5) ((س ^ 2 + 2) (س -1) ^ 2 (س + 2)) = \ فارك (فأس + ب) (س ^ 2 + 2 ) + \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1) + \ frac (E) (x + 2) \ ،.

دعونا نتخلص من القواسم في هذه المساواة. نحن نحصل:

\ تبدأ (محاذاة) x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5 & = (Ax + B) (x-1) ^ 2 (x + 2) + C (x ^ 2 + 2) (x + 2) \، + \\ & \ phantom (=) + D (x ^ 2 + 2) (x-1) (x + 2) + E (x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2. \ end (محاذاة)

مقام التكامل له جذران حقيقيان: x = 1 و x = -2. عند استبدال x = 1 بالمساواة (4) ، نحصل على 16 = 9C ، ومنه نجد C = 16/9. عند استبدال x = -2 ، نحصل على 13 = 54E ونحدد E = 13/54 وفقًا لذلك. استبدال القيمة x = i \، \ sqrt (2) (جذر كثير الحدود x ^ 2 + 2) يسمح لنا بالمرور إلى المساواة

4-4 + 8 \، i \، \ sqrt (2) + 5 = (A \، i \، \ sqrt (2) + B) \ cdot (i \، \ sqrt (2) -1) ^ 2 \ cdot (i \، \ sqrt (2) +2).

يتحول إلى:

(10A + 2B) + (2A-5B) \ sqrt (2) \، i = 5 + 8 \ sqrt (2) \، i، من أين 10A + 2B = 5 ، و (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

حل نظام من معادلتين بمتغيرين \ start (الحالات) 10A + 2B = 5 ، \\ 2A-5B = 8 ، \ النهاية (الحالات)نجد: أ = \ فارك (41) (54) ، ~ ب = - \ فارك (35) (27).

يبقى تحديد قيمة المعامل د. للقيام بذلك ، في المساواة (4) نفتح الأقواس ، ونعطي مصطلحات مماثلة ، ثم نقارن المعاملات عند x ^ 4. نحن نحصل:

أ + د + ه = 1 ، أي د = 0.

دعونا نستبدل القيم الموجودة للمعاملات في المساواة (3):

\ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) = \ frac (\ drac (41) (54) \، x- \ dfrac (35) (27)) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16) (9) \ frac (1) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ فارك (1) (س + 2) \،

ثم ننتقل إلى التكامل:

\ start (محاذاة) \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \ ، dx & = \ frac ( 41) (54) \ int \ frac (x \، dx) (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27) \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16 ) (9) \ int \ frac (dx) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ int \ frac (dx) (x + 2) = \\ & = \ frac (41) ) (108) \ ln (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27 \ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x) (\ sqrt (2)) - \ frac (16) (9 (x-1)) + \ frac (13) (54) \ ln | x + 2 | + C. \ end (محاذاة)

تكامل الكسور غير الصحيحة

فليكن من الضروري دمج الوظيفة y = \ frac (f (x)) (g (x))، حيث f (x) و g (x) كثيرات الحدود ، ودرجة كثير الحدود f (x) أكبر من أو تساوي درجة كثير الحدود g (x). في هذه الحالة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري تحديد الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح \ frac (f (x)) (g (x))، أي تمثيلها في النموذج

\ frac (f (x)) (g (x)) = s (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \،

حيث s (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة تساوي الفرق بين درجات كثيرات الحدود f (x) و g (x) ، و \ frac (r (x)) (g (x))هو كسر صحيح.

إذن لدينا \ int \ frac (f (x)) (g (x)) \ ، dx = \ int s (x) \ ، dx + \ int \ frac (r (x)) (g (x)) \ ، dx \ ، ..

مثال 5احسب تكامل كسر غير فعلي \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx.

المحلول.نملك:

\ تبدأ (محاذاة) g (x) & = (x-1) (x + 2) (x-3) = x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6 ، \\ f (x) & = x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11. نهاية (محاذاة)

لاستخراج الجزء الصحيح ، نقسم f (x) على g (x): \ frac (f (x)) (g (x)) = x-2 + \ frac (2x ^ 2 + 1) (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) \ ،.

وسائل، \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx = \ int (x-2) dx + \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dx

نملك: \ int (x-2) dx = \ frac (x ^ 2) (2) -2x + C.

لحساب التكامل \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \ ، dxمطبق ، على النحو الوارد أعلاه ، طريقة المعاملات غير المحددة. بعد الحسابات التي نتركها للقارئ ، نحصل عليها.