مثلثات مختلفة. المثلث المنفرج: طول الأضلاع ، مجموع الزوايا. مثلث منفرج محصور
مثلثهو مضلع بثلاثة جوانب (أو ثلاث زوايا). غالبًا ما يتم الإشارة إلى جوانب المثلث بأحرف صغيرة تتوافق مع الأحرف الكبيرة التي تشير إلى الرؤوس المعاكسة.
مثلث حاد الزوايايسمى المثلث إذا كانت الزوايا الثلاث حادة.
مثلث منفرج الزاويةيسمى المثلث إذا كانت إحدى زواياه منفرجة.
مثلث قائميسمى المثلث ، حيث تكون إحدى زواياه قائمة ، أي تساوي 90 درجة ؛ تسمى الجوانب أ ، ب التي تشكل زاوية قائمة أرجل؛ يسمى الضلع c المقابل للزاوية القائمة وتر.
مثلث متساوي الساقينيسمى المثلث ، حيث يكون جانبان من جوانبه متساويين (أ \ u003d ج) ؛ تسمى هذه الجوانب المتساوية جانبي، يتم استدعاء الطرف الثالث قاعدة المثلث.
مثلث متساوي الاضلاعيسمى المثلث ، حيث تكون جميع جوانبه متساوية (أ = ب = ج). إذا لم يكن أي من أضلاعه (abc) متساويًا في المثلث ، فهذا يكون مثلث غير متكافئ.
الخصائص الأساسية للمثلثات
في أي مثلث:
علامات المساواة بين المثلثات
تكون المثلثات متطابقة إذا كانت متساوية على التوالي:
علامات المساواة في مثلثات الحق
يتساوى مثلثا قائم الزاوية إذا تحقق أحد الشروط التالية:
ارتفاعمثلثهو عمودي انخفض من أي رأس إلى الجانب المقابل (أو استمراره). هذا الجانب يسمى قاعدة المثلث. دائمًا ما تتقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة تسمى تقويم العظام المثلث.
يقع مركز تقويم المثلث الحاد داخل المثلث ، ويقع مركز تقويم المثلث المنفرج في الخارج ؛ يتزامن مركز تقويم المثلث الأيمن مع رأس الزاوية اليمنى.
الوسيطهي قطعة مستقيمة تربط أي رأس في مثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل. تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز ثقله. تقسم هذه النقطة كل وسيط 2: 1 من الأعلى.
منصفهو جزء من منصف الزاوية من الرأس إلى نقطة التقاطع مع الضلع المقابل. تتقاطع المنصفات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز الدائرة المنقوشة. يقسم المنصف الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الضلعين المتجاورين.
متوسط عموديهو عمودي مرسوم من نقطة منتصف المقطع (الجانب). تتقاطع الخطوط العمودية الثلاثة المتوسطة للمثلث عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المُحددة.
في المثلث الحاد ، تقع هذه النقطة داخل المثلث ، في مثلث منفرج - في الخارج ، في المثلث القائم الزاوية - في منتصف الوتر. يتطابق مركز التقويم ومركز الثقل ومركز الدائرة ومركز الدائرة المنقوشة فقط في مثلث متساوي الأضلاع.
نظرية فيثاغورس
في المثلث القائم ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين.
إثبات نظرية فيثاغورس
قم ببناء مربع AKMB باستخدام الوتر AB كضلع. ثم نقوم بتمديد أضلاع المثلث القائم الزاوية ABC للحصول على مربع CDEF يكون ضلعه a + b. من الواضح الآن أن مساحة مربع CDEF هي (أ + ب) 2. من ناحية أخرى ، هذه المنطقة تساوي مجموع مناطق أربعة مثلثات قائمة ومربع AKMB ، أي ،
ص 2 + 4 (أب / 2) = ص 2 + 2 أب ،
ص 2 + 2 أب = (أ + ب) 2 ،
وأخيرًا لدينا:
ص 2 = أ 2 + ب 2.
نسبة الارتفاع في المثلث التعسفي
في الحالة العامة (للمثلث التعسفي) لدينا:
ج 2 \ u003d أ 2 + ب 2-2 أب * كوس ج ،
حيث C هي الزاوية بين الجانبين أ وب.
- school-club.ru - ما هي المثلثات؟
- math.ru - أنواع المثلثات ؛
- raduga.rkc-74.ru - كل شيء عن المثلثات للصغار.
اليوم نذهب إلى بلد الهندسة ، حيث سنتعرف على أنواع مختلفة من المثلثات.
افحص الأشكال الهندسية وابحث عن "الزائد" فيما بينها (الشكل 1).
أرز. 1. التوضيح على سبيل المثال
نرى أن الأشكال رقم 1 ، 2 ، 3 ، 5 هي رباعي الزوايا. كل منهم له اسمه الخاص (الشكل 2).
أرز. 2. المربعات
هذا يعني أن الشكل "الإضافي" هو مثلث (الشكل 3).
أرز. 3. التوضيح على سبيل المثال
المثلث هو شكل يتكون من ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وثلاثة أجزاء تربط هذه النقاط في أزواج.
النقاط تسمى رؤوس المثلث، شرائح - له حفلات. أضلاع المثلث هناك ثلاث زوايا عند رءوس المثلث.
الملامح الرئيسية للمثلث هي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا.تصنف المثلثات حسب الزاوية حادة ومستطيلة ومنفرجة.
يسمى المثلث بزاوية حادة إذا كانت زواياه الثلاث حادة ، أي أقل من 90 درجة (الشكل 4).
أرز. 4. المثلث الحاد
يسمى المثلث بزاوية قائمة إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة (الشكل 5).
أرز. 5. مثلث قائم الزاوية
يسمى المثلث منفرجة إذا كانت إحدى زواياه منفرجة ، أي أكبر من 90 درجة (الشكل 6).
أرز. 6. مثلث منفرد
وفقًا لعدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات متساوية الأضلاع ، متساوية الساقين ، مدرجة.
المثلث المتساوي الساقين هو مثلث متساوي الأضلاع (الشكل 7).
أرز. 7. مثلث متساوي الساقين
تسمى هذه الجوانب جانبي، الجانب الثالث - أساس. في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية.
المثلثات متساوية الساقين هي حادة ومنفرجة(الشكل 8) .
أرز. 8. مثلثات متساوية الساقين حادة ومنفرجة
يسمى المثلث المتساوي الأضلاع ، حيث تكون الأضلاع الثلاثة متساوية (الشكل 9).
أرز. 9. مثلث متساوي الأضلاع
في مثلث متساوي الأضلاع كل الزوايا متساوية. مثلثات متساوية الأضلاعدائماً بزاوية حادة.
يسمى المثلث متعدد الاستخدامات ، حيث يكون للأضلاع الثلاثة أطوال مختلفة (الشكل 10).
أرز. 10. Scalene مثلث
اكمل المهمة. قسّم هذه المثلثات إلى ثلاث مجموعات (الشكل 11).
أرز. 11. توضيح للمهمة
أولًا ، لنقوم بالتوزيع وفقًا لحجم الزوايا.
المثلثات الحادة: رقم 1 ، رقم 3.
المثلثات اليمنى: # 2 ، # 6.
مثلثات منفرجة: # 4 ، # 5.
تنقسم هذه المثلثات إلى مجموعات حسب عدد الأضلاع المتساوية.
مثلثات Scalene: رقم 4 ، رقم 6.
مثلثات متساوية الساقين: رقم 2 ، رقم 3 ، رقم 5.
مثلث متساوي الأضلاع: رقم 1.
راجع الرسومات.
فكر في قطعة السلك التي يتكون منها كل مثلث (شكل 12).
أرز. 12. توضيح للمهمة
يمكنك أن تجادل مثل هذا.
أول قطعة من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، بحيث يمكنك صنع مثلث متساوي الأضلاع منها. يظهر الثالث في الشكل.
القطعة الثانية من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء مختلفة ، لذا يمكنك أن تجعل منها مثلثًا متدرجًا. يظهر أولاً في الصورة.
القطعة الثالثة من السلك مقسمة إلى ثلاثة أجزاء ، حيث يكون الجزءان متساويان في الطول ، لذا يمكنك صنع مثلث متساوي الساقين منه. يظهر في المرتبة الثانية في الشكل.
اليوم في الدرس تعرفنا على أنواع مختلفة من المثلثات.
فهرس
- م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
- م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
- م. مورو. دروس الرياضيات: إرشادات للمعلمين. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
- وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: "التنوير" ، 2011.
- "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: "التنوير" ، 2011.
- S.I. فولكوف. الرياضيات: اختبار العمل. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
- في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
الواجب المنزلي
1. قم بإنهاء العبارات.
أ) المثلث هو شكل يتكون من ... ، لا يقع على نفس الخط المستقيم ، و ... ، يربط هذه النقاط في أزواج.
ب) تسمى النقاط … ، شرائح - له … . تتشكل أضلاع المثلث عند رءوس المثلث ….
ج) حسب حجم الزاوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....
د) حسب عدد الأضلاع المتساوية ، تكون المثلثات ... ، ... ، ....
2. ارسم
أ) مثلث قائم الزاوية
ب) مثلث حاد.
ج) مثلث منفرج.
د) مثلث متساوي الأضلاع.
ه) مثلث سكالين.
ه) مثلث متساوي الساقين.
3. قم بعمل مهمة حول موضوع الدرس لرفاقك.
التدوين القياسي
مثلث برؤوس أ, بو جيشار إليه باسم (انظر الشكل). للمثلث ثلاثة جوانب:
تتم الإشارة إلى أطوال جوانب المثلث بأحرف لاتينية صغيرة (أ ، ب ، ج):
المثلث له الزوايا التالية:
يشار تقليديًا إلى الزوايا الموجودة في الرؤوس المقابلة بأحرف يونانية (α ، β ، γ).
علامات المساواة بين المثلثات
يمكن تحديد المثلث على المستوى الإقليدي بشكل فريد (حتى التطابق) من خلال الثلاثة توائم التالية من العناصر الأساسية:
- أ ، ب ، γ (المساواة على الجانبين والزاوية بينهما) ؛
- أ ، β ، γ (مساواة في الضلع وزاويتان متجاورتان) ؛
- أ ، ب ، ج (المساواة من ثلاث جهات).
علامات المساواة في مثلثات الحق:
- على طول الساق والوتر.
- على قدمين
- على طول الساق والزاوية الحادة.
- وتر الزاوية الحادة.
يتم "إقران" بعض النقاط في المثلث. على سبيل المثال ، هناك نقطتان يمكن من خلالهما رؤية جميع الجوانب بزاوية 60 درجة أو بزاوية 120 درجة. انهم يسمى النقاط توريشيلي. هناك أيضًا نقطتان تقع نتائجهما على جانبي رأس المثلث المنتظم. هو - هي - نقاط أبولونيوس. النقاط ومثل تسمى نقاط Brocard.
مباشر
في أي مثلث ، يقع مركز الثقل ومركز تقويم العظام ومركز الدائرة المحصورة على نفس الخط المستقيم ، المسمى خط أويلر.
يسمى الخط الذي يمر عبر مركز الدائرة المقيدة ونقطة Lemoine محور بروكار. نقاط أبولونيوس تكمن عليها. تقع نقاط Torricelli ونقطة Lemoine أيضًا على نفس الخط المستقيم. تقع قواعد المنصات الخارجية لزوايا المثلث على نفس الخط المستقيم ، المسمى محور المنصات الخارجية. نقاط تقاطع الخطوط التي تحتوي على جوانب المثلث مع الخطوط التي تحتوي على جوانب المثلث تقع أيضًا على نفس الخط. هذا الخط يسمى المحور العمودي، هو عمودي على خط أويلر.
إذا أخذنا نقطة على الدائرة المحددة للمثلث ، فإن إسقاطاتها على جانبي المثلث ستقع على خط مستقيم واحد ، يسمى خط سيمسون المستقيمنقطة معينة. خطوط سيمسون من النقاط المتقابلة تمامًا متعامدة.
مثلثات
- يسمى المثلث ذو الرؤوس عند قواعد cevians المرسومة من خلال نقطة معينة مثلث سيفيانهذه النقطة.
- يسمى المثلث برؤوس في إسقاطات نقطة معينة على الجانبين تحت الجلدأو مثلث دواسةهذه النقطة.
- يسمى المثلث ذو الرؤوس عند نقاط التقاطع الثانية للخطوط المرسومة من خلال الرؤوس والنقطة المعطاة ، مع الدائرة المقيدة ، مثلث سيفيان. مثلث سيفيان مشابه لمثلث تحت الجلد.
الدوائر
- دائرة منقوشةهي دائرة مماس للأضلاع الثلاثة للمثلث. هي الوحيدة. يسمى مركز الدائرة المنقوشة incenter.
- دائرة مقيدة- دائرة تمر عبر رؤوس المثلث الثلاثة. الدائرة المقيدة هي أيضًا فريدة من نوعها.
- Excircle- مماس دائرة إلى جانب واحد من المثلث وامتداد الضلعين الآخرين. هناك ثلاث دوائر في المثلث. مركزهم الجذري هو مركز الدائرة المنقوشة للمثلث المتوسط ، المسماة نقطة شبيكر.
تقع نقاط المنتصف للجوانب الثلاثة للمثلث ، وقواعد ارتفاعاته الثلاثة ، ونقاط المنتصف لأجزاء الخطوط الثلاثة التي تربط رؤوسه بالمركز العمودي على دائرة واحدة تسمى دائرة من تسع نقاطأو دائرة أويلر. يقع مركز الدائرة المكونة من تسع نقاط على خط أويلر. دائرة من تسع نقاط تلامس دائرة منقوشة وثلاث دوائر. تسمى نقطة الاتصال بين دائرة منقوشة ودائرة من تسع نقاط نقطة فيورباخ. إذا وضعنا من كل رأس مثلثات على خطوط مستقيمة تحتوي على جوانب ، وتقويم متساوي في الطول مع الأضلاع المتقابلة ، فإن النقاط الست الناتجة تقع على دائرة واحدة - دوائر كونواي. في أي مثلث ، يمكن كتابة ثلاث دوائر بطريقة تلامس كل منها ضلعين من ضلعي المثلث ودائرتين أخريين. تسمى هذه الدوائر دوائر Malfatti. تقع مراكز الدوائر المحددة للمثلثات الستة التي يقسم إليها المثلث بواسطة متوسطات على دائرة واحدة تسمى دائرة لامون.
يحتوي المثلث على ثلاث دوائر تلامس ضلعين من ضلعي المثلث والدائرة المحصورة. تسمى هذه الدوائر شبه منقوشأو دوائر Verrier. تتقاطع الأجزاء التي تربط نقاط الاتصال لدوائر Verrier مع الدائرة المحددة عند نقطة واحدة ، تسمى نقطة فيرييه. إنه بمثابة مركز التماثل ، الذي يأخذ الدائرة المقيدة إلى الدائرة. تقع نقاط تماس دوائر Verrier مع الجوانب على خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة المنقوشة.
المقاطع الخطية التي تربط نقاط الظل للدائرة المنقوشة مع الرؤوس تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى نقطة جيرجون، والأجزاء التي تربط الرؤوس بنقاط التلامس الخاصة بالحواف - في نقطة ناجل.
القطع الناقص والقطوع المكافئة والقطوع الزائدة
محفور مخروطي الشكل (القطع الناقص) ومنظوره
يمكن كتابة عدد لا حصر له من الأشكال المخروطية (القطع الناقصة أو القطوع المكافئة أو القطوع الزائدة) في مثلث. إذا أدخلنا مخروطًا تعسفيًا في مثلث وقمنا بتوصيل نقاط الاتصال بالرؤوس المتقابلة ، فإن الخطوط الناتجة ستتقاطع عند نقطة واحدة ، تسمى إنطباعمخروطات. لأي نقطة من المستوي لا تقع على جانب أو على امتداده ، يوجد مخروطي محفور بمنظور عند تلك النقطة.
قطع ناقص شتاينر محصور و cevians يمر عبر بؤره
يمكن نقش القطع الناقص في مثلث يلامس الجوانب عند نقاط المنتصف. يسمى هذا القطع الناقص نقش شتاينر القطع الناقص(سيكون منظورها هو النقطه الوسطى للمثلث). يسمى القطع الناقص الموصوف ، وهو مماس للخطوط التي تمر عبر الرؤوس الموازية للجوانب محصور بقطع ناقص شتاينر. إذا كان التحويل الأفيني ("الانحراف") يترجم المثلث إلى مثلث منتظم ، فإن قطع شتاينر الناقص المحفور والمحدود سينتقل إلى دائرة منقوشة ومحدودة. Cevians المرسومة من خلال بؤر القطع الناقص شتاينر الموصوفة (نقاط سكوتين) متساوية (نظرية سكوتين). من بين جميع الأشكال البيضاوية المقيدة ، فإن القطع الناقص المحدود شتاينر يحتوي على أصغر مساحة ، ومن بين جميع الأشكال الناقصة المنقوشة ، فإن القطع الناقص المحفور في شتاينر يحتوي على أكبر مساحة.
القطع الناقص لبروكارد ومنظاره - نقطة ليموين
يسمى القطع الناقص مع البؤر في نقاط بروكار القطع الناقص Brocard. منظورها هو نقطة Lemoine.
خصائص القطع المكافئ المنقوش
Kiepert القطع المكافئ
تكمن مناظير القطع المكافئة المنقوشة على القطع الناقص المحدود شتاينر. يقع تركيز القطع المكافئ المنقوش على الدائرة المحددة ، ويمر الدليل عبر المركز التقويمي. يسمى القطع المكافئ المدرج في مثلث دليله هو خط أويلر قطع مكافئ كيبرت. منظورها هو النقطة الرابعة للتقاطع بين الدائرة المقيدة والقطع الناقص المحدود شتاينر ، والذي يسمى نقطة شتاينر.
المبالغة في Cypert
إذا كان القطع الزائد الموصوف يمر عبر نقطة تقاطع الارتفاعات ، فإنه يكون متساوي الأضلاع (أي أن خطوطه المقاربة متعامدة). تقع نقطة تقاطع الخطوط المقاربة للقطع الزائد المتساوي الأضلاع على دائرة من تسع نقاط.
التحولات
إذا كانت الخطوط التي تمر عبر الرؤوس ونقطة ما غير ملقاة على الجانبين وانعكست امتداداتها فيما يتعلق بالمنصرات المقابلة ، فإن صورها ستتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة ، وهو ما يسمى مترافق متساويالنقطة الأصلية (إذا كانت النقطة تقع على الدائرة المحددة ، فستكون الخطوط الناتجة متوازية). العديد من الأزواج من النقاط الرائعة مترابطة بشكل متساوي: مركز الدائرة المُحددة والمركز العمودي ، والنقطة الوسطى ونقطة Lemoine ، ونقاط Brocard. نقاط Apollonius مرتبطة بشكل متساوي مع نقاط Torricelli ، ويكون مركز الدائرة مترافقًا بشكل متساوي مع نفسه. في إطار عمل الاقتران المتساوي ، تنتقل الخطوط المستقيمة إلى المخروطات المقيدة ، وتتحول المخروطيات المقيدة إلى خطوط مستقيمة. وبالتالي ، فإن القطع الزائد Kiepert ومحور Brocard ، وخط القطع الزائد Enzhabek وخط Euler ، والقطع الزائد في Feuerbach وخط مراكز الدائرة المنقوشة مترافقان بشكل متساوي. تتطابق الدوائر المقيدة للمثلثات تحت الأدمة لنقاط مترافقة متساوية الأضلاع. بؤر الأشكال البيضاوية المنقوشة مترافقة بشكل متساوي.
إذا ، بدلاً من cevian المتماثل ، أخذنا cevian الذي تكون قاعدته بعيدة عن منتصف الجانب مثل قاعدة القاعدة الأصلية ، فسوف تتقاطع هذه cevians أيضًا عند نقطة واحدة. يتم استدعاء التحول الناتج الاقتران النظيري. كما أنه يرسم خطوطًا للمخروطات المحددة. نقطتا Gergonne و Nagel متقارنتان نظريًا. في ظل التحولات الأفينية ، تمر النقاط المترابطة نظريًا إلى نقاط مترافقة نظريًا. عند الاقتران المتماثل ، يمر قطع شتاينر الناقص الموصوف في الخط المستقيم عند اللانهاية.
إذا تم ، في المقاطع المقطوعة بجوانب المثلث من الدائرة المُحددة ، نقش دوائر تلامس الجوانب عند قواعد cevians المرسومة عبر نقطة معينة ، ثم يتم توصيل نقاط التلامس لهذه الدوائر بـ دائرة مقيدة برؤوس متقابلة ، ثم تتقاطع هذه الخطوط عند نقطة واحدة. يسمى تحويل المستوى ، الذي يطابق النقطة الأصلية بالنقطة الناتجة تحويل دائري. تكوين الاقتران متساوي و متساوي الذرات هو تكوين التحول isocircular مع نفسه. هذا التكوين عبارة عن تحويل إسقاطي يترك جوانب المثلث في مكانها ، ويترجم محور المنصات الخارجية إلى خط مستقيم عند اللانهاية.
إذا واصلنا جوانب مثلث سيفيان من نقطة ما وأخذنا نقاط التقاطع مع الجوانب المقابلة ، فإن نقاط التقاطع الناتجة ستقع على خط مستقيم واحد ، يسمى قطبي ثلاثي السطورنقطة البداية. المحور العمودي - قطبي ثلاثي الخطوط لمركز تقويم العظام ؛ القطب ثلاثي السطور لمركز الدائرة المنقوشة هو محور المنصات الخارجية. تتقاطع الأقطاب الثلاثية الخطوط للنقاط الواقعة على الشكل المخروطي المحدود عند نقطة واحدة (بالنسبة للدائرة المقيدة ، هذه هي نقطة Lemoine ، أما بالنسبة للقطع الناقص لشتاينر فهي النقطة الوسطى). تكوين الاقتران متساوي (أو متساوي الذرات) والقطبي ثلاثي الخطوط هو تحول ثنائي (إذا كانت النقطة مترابطة (متماثلًا) مع النقطة تقع على قطبي ثلاثي الخطوط للنقطة ، فإن القطبية ثلاثية الخطوط للنقطة متساوية (متساويًا) يقترن إلى النقطة تقع على القطبية ثلاثية السطور للنقطة).
مكعبات
العلاقات في المثلث
ملحوظة:في هذا القسم ، ، ، هي أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ، و ، الزوايا الواقعة على التوالي مقابل هذه الأضلاع الثلاثة (الزوايا المتقابلة).
عدم المساواة في المثلث
في المثلث غير المتحلل ، يكون مجموع أطوال ضلعه أكبر من طول الضلع الثالث ، وفي المثلث المنحل يكون متساويًا. بمعنى آخر ، أطوال أضلاع المثلث مرتبطة بالمتباينات التالية:
عدم مساواة المثلث هي واحدة من بديهيات المقاييس.
مجموع المثلث لنظرية الزوايا
نظرية الجيب
,حيث R هو نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث. ويترتب على النظرية أنه إذا كان أ< b < c, то α < β < γ.
نظرية جيب التمام
نظرية الظل
نسب أخرى
يتم إعطاء النسب المترية في المثلث من أجل:
حل المثلثات
حساب الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث ، بناءً على المعروفة ، يُطلق عليه تاريخياً "حلول المثلث". في هذه الحالة ، يتم استخدام النظريات المثلثية العامة المذكورة أعلاه.
مساحة المثلث
تدوين الحالات الخاصةتنطبق التفاوتات التالية على المنطقة:
حساب مساحة المثلث في الفراغ باستخدام المتجهات
اجعل رؤوس المثلث عند النقاط ، ،.
دعنا نقدم متجه المنطقة. طول هذا المتجه يساوي مساحة المثلث ، ويتم توجيهه على طول المستوى العمودي إلى مستوى المثلث:
اسمحوا أين ، هي إسقاطات المثلث على مستويات الإحداثيات. حيث
وبالمثل
مساحة المثلث هي.
البديل هو حساب أطوال الأضلاع (باستخدام نظرية فيثاغورس) ثم استخدام صيغة هيرون.
نظريات المثلث
نظرية Desargues: إذا كان هناك مثلثا منظورًا (تتقاطع الخطوط التي تمر عبر الرؤوس المقابلة للمثلثين عند نقطة واحدة) ، فإن ضلعيهما يتقاطعان على خط مستقيم واحد.
نظرية السوند: إذا كان المثلثان منظوريين ومتعامدين (تسقط الخطوط العمودية من رؤوس مثلث واحد إلى الجوانب المقابلة للرؤوس المقابلة للمثلث ، والعكس بالعكس) ، فإن كلا من مراكز تقويم العظام (نقاط تقاطع هذه الخطوط العمودية) ومركز المنظور تقع على خط مستقيم واحد عمودي على محور المنظور (خط مستقيم من نظرية Desargues).
مثلثهو مضلع له 3 جوانب (أو 3 زوايا). غالبًا ما يتم الإشارة إلى جوانب المثلث بأحرف صغيرة تتوافق مع الأحرف الكبيرة التي تشير إلى الرؤوس المعاكسة.
مثلث حاد الزوايايسمى المثلث إذا كانت الزوايا الثلاث حادة.
مثلث منفرج الزاويةيسمى المثلث الذي تكون فيه إحدى زواياه منفرجة.
مثلث قائميسمى المثلث ، حيث تكون إحدى زواياه قائمة ، وبعبارة أخرى تساوي 90 درجة ؛ تسمى الجوانب أ ، ب التي تشكل زاوية قائمة أرجل؛ يسمى الضلع ج المقابل للزاوية القائمة وتر.
مثلث متساوي الساقينيسمى المثلث ، حيث يكون جانبان من جوانبه متساويين (أ \ u003d ج) ؛ تسمى هذه الجوانب المتساوية جانبي، يسمى الجانب الثالث قاعدة المثلث.
مثلث متساوي الاضلاعيسمى المثلث ، حيث تكون جميع جوانبه متساوية (أ \ u003d ب \ u003d ج). في هذه الحالة ، لا يتساوى أي من أضلاعه (abc) في المثلث ، إذن هذا هو مثلث غير متكافئ.
الخصائص الرئيسية للمثلثات
في أي مثلث:
علامات المساواة بين المثلثات
المثلثات متطابقة ، وفي هذه الحالة تكون متساوية على التوالي:
علامات المساواة في مثلثات الحق
المثلثان الأيمنان متساويان ، وفي هذه الحالة يتم إنتاج أحد المعايير التالية:
ارتفاعمثلثهو عمودي انخفض من أي رأس إلى الجانب المقابل (أو استمراره). هذا الجانب يسمى قاعدة المثلث. دائمًا ما تتقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة تسمى تقويم العظام المثلث.
يوضع مركز تقويم المثلث الحاد داخل المثلث ، ويوضع مركز تقويم المثلث المنفرج بالخارج ؛ يتطابق مركز تقويم المثلث القائم مع قمة الزاوية اليمنى.
الوسيطهي قطعة مستقيمة تربط أي قمة من المثلث بنقطة منتصف الجانب العكسي. تتقاطع ثلاثة متوسطات لمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز كتلته. تقسم هذه النقطة كل وسيط 2: 1 من الأعلى.
منصف- هذا جزء من منصف الزاوية من الرأس إلى نقطة التقاطع مع الجانب الخلفي. تتقاطع ثلاثة مناصرات لمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز الدائرة المنقوشة. يقسم المنصف الجانب العكسي إلى أجزاء متناسبة مع الجوانب المجاورة.
متوسط عموديهو عمودي مرسوم من نقطة منتصف المقطع (الجانب). تتقاطع الخطوط العمودية الثلاثة المتوسطة للمثلث عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المُحددة.
في المثلث الحاد ، تقع هذه النقطة داخل المثلث ، في مثلث منفرج - في الخارج ، في المثلث القائم الزاوية - في منتصف الوتر. المركز العمودي ومركز الكتلة ومركز الدائرة المحددة ومركز الدائرة المنقوشة تتطابق حصريًا في مثلث متساوي الأضلاع.
بديهية فيثاغورس
في المثلث القائم ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين.
تأكيدا لبديهية فيثاغورس
قم ببناء مربع AKMB باستخدام الوتر AB كضلع. ثم نتابع أضلاع المثلث القائم ABC لنحصل على مربع CDEF ، ضلعه أ + ب. من الواضح الآن أن مساحة مربع CDEF هي (أ + ب) 2. من ناحية أخرى ، هذه المنطقة تساوي مجموع مناطق أربعة مثلثات قائمة ومربع AKMB ، بمعنى آخر ،
ص 2 + 4 (أب / 2) = ص 2 + 2 أب ،
ص 2 + 2 أب = (أ + ب) 2 ،
ونحن لدينا:
ص 2 = أ 2 + ب 2.
نسبة العرض إلى الارتفاع في مثلث عشوائي
في الحالة العامة (للمثلث العشوائي) لدينا:
ج 2 \ u003d أ 2 + ب 2-2 أب * كوس ج ،
حيث C هي الزاوية بين الجانبين أ وب.
إضافي للموقع:
