من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 هو a 3 b n + 3a 5 b 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الجمع ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 =-س 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الشكل: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأعداد التي يكون أسسها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع أو فرق رقمين تساوي مجموع أو فرق مربعاتهما.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم السلطات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

أو:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. أي ، $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. بمعنى ، $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (أأ) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عملية الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أعداد ذات قوى

1. قلل الأسس في $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Answer: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. قلل الأسس في $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. الإجابة: $ \ frac (2x) (1) $ أو 2x.

3. أنقص الأسس a 2 / a 3 و a -3 / a -4 ويوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

9. قسّم (h 3 - 1) / d 4 على (d n + 1) / h.

صيغ القوةتستخدم في عملية تقليل وتبسيط التعبيرات المعقدة ، في حل المعادلات والمتباينات.

رقم جهو ن- القوة رقم أمتى:

عمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس القاعدة ، تضيف مؤشراتها ما يلي:

صباحاأ ن = أ م + ن.

2. عند تقسيم الدرجات على نفس القاعدة ، تُطرح مؤشراتها:

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل:

(أبج ...) ن = أ ن ب ن ج ن ...

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم والمقسوم عليه:

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع قوة إلى قوة ، يتم مضاعفة الأس:

(ص) ن = أ م ن.

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

فمثلا. (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4.

عمليات مع الجذور.

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم والمقسوم عليه من الجذور:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي رفع رقم الجذر إلى هذه القوة:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذر فيها نمرة واحدة وفي نفس الوقت ارفع إلى نالقوة هي رقم جذر ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا خفضنا درجة الجذر فيها نالجذر في نفس الوقت نالدرجة الثالثة من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

الدرجة مع الأس السالب.يتم تعريف درجة الرقم الذي يحتوي على الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنه واحد مقسوم على درجة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة صباحا: أ ن = أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م> ن، ولكن أيضًا في م< ن.

فمثلا. أ4: أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

للصيغة صباحا: أ ن = أ م - نأصبح عادلا في م = ن، فأنت بحاجة إلى وجود درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر.قوة أي عدد غير صفري أس صفر يساوي واحدًا.

فمثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري.لرفع رقم حقيقي أإلى حد ما م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر ندرجة ال معشر قوة هذا الرقم أ.

يتم تقديم مفهوم الشهادة في الرياضيات في وقت مبكر من الصف السابع في درس الجبر. وفي المستقبل ، طوال فترة دراسة الرياضيات ، يتم استخدام هذا المفهوم بنشاط في أشكاله المختلفة. الدرجات العلمية موضوع صعب إلى حد ما ، يتطلب حفظ القيم والقدرة على العد بشكل صحيح وسريع. من أجل الحصول على درجات في الرياضيات بشكل أسرع وأفضل ، توصلوا إلى خصائص الشهادة. إنها تساعد في تقليل العمليات الحسابية الكبيرة ، لتحويل مثال ضخم إلى رقم واحد إلى حد ما. لا يوجد الكثير من الخصائص ، وكلها سهلة التذكر والتطبيق في الممارسة العملية. لذلك ، يناقش المقال الخصائص الرئيسية للدرجة ، وكذلك مكان تطبيقها.

خصائص الدرجة

سننظر في 12 خاصية من الدرجة ، بما في ذلك خصائص القوى التي لها نفس الأساس ، ونعطي مثالاً لكل خاصية. ستساعدك كل خاصية من هذه الخصائص في حل المشكلات بالدرجات بشكل أسرع ، بالإضافة إلى توفيرك من العديد من الأخطاء الحسابية.

الملكية الأولى.

غالبًا ما ينسى الكثير من الناس هذه الخاصية ، ويرتكبون أخطاء ، ويمثلون رقمًا إلى درجة الصفر على أنه صفر.

الملكية الثانية.

الملكية الثالثة.

يجب أن نتذكر أنه لا يمكن استخدام هذه الخاصية إلا عند ضرب الأرقام ، فهي لا تعمل مع المجموع! ويجب ألا ننسى أن هذه الخصائص والخصائص التالية تنطبق فقط على قوى لها نفس الأساس.

الملكية الرابعة.

إذا تم رفع الرقم الموجود في المقام إلى أس سالب ، فعند الطرح ، يتم أخذ درجة المقام بين قوسين لتحل محل العلامة بشكل صحيح في حسابات أخرى.

الخاصية تعمل فقط عند القسمة وليس عند الطرح!

العقار الخامس.

العقار السادس.

يمكن أيضًا تطبيق هذه الخاصية في الاتجاه المعاكس. الوحدة المقسومة على رقم إلى حد ما هي ذلك الرقم إلى أس سالب.

الملكية السابعة.

لا يمكن تطبيق هذه الخاصية على المجموع والفرق! عند رفع مجموع أو فرق إلى أس ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة ، وليس خصائص القوة.

العقار الثامن.

العقار التاسع.

تعمل هذه الخاصية مع أي درجة كسرية ذات بسط يساوي واحدًا ، وستكون الصيغة هي نفسها ، فقط درجة الجذر ستتغير اعتمادًا على مقام الدرجة.

أيضًا ، غالبًا ما تستخدم هذه الخاصية بترتيب عكسي. يمكن تمثيل جذر أي قوة لرقم على أنه هذا الرقم مرفوعًا إلى أس واحد مقسومًا على قوة الجذر. هذه الخاصية مفيدة للغاية في الحالات التي لا يتم فيها استخراج جذر الرقم.

العقار العاشر.

لا تعمل هذه الخاصية مع الجذر التربيعي والدرجة الثانية فقط. إذا كانت درجة الجذر ودرجة رفع هذا الجذر هي نفسها ، فستكون الإجابة تعبيرًا جذريًا.

العقار الحادي عشر.

يجب أن تكون قادرًا على رؤية هذه الخاصية في الوقت المناسب عند حلها لتنقذ نفسك من الحسابات الضخمة.

العقار الثاني عشر.

ستلتقي بك كل خاصية من هذه الخصائص أكثر من مرة في المهام ، ويمكن تقديمها في شكلها النقي ، أو قد تتطلب بعض التحولات واستخدام الصيغ الأخرى. لذلك ، بالنسبة للحل الصحيح ، لا يكفي معرفة الخصائص فقط ، فأنت بحاجة إلى ممارسة بقية المعرفة الرياضية وربطها.

تطبيق الدرجات وخصائصها

يتم استخدامها بنشاط في الجبر والهندسة. للدرجات في الرياضيات مكان منفصل ومهم. بمساعدتهم ، يتم حل المعادلات الأسية وعدم المساواة ، وكذلك القوى غالبًا ما تعقد المعادلات والأمثلة المتعلقة بأقسام أخرى من الرياضيات. تساعد الأسس على تجنب العمليات الحسابية الكبيرة والطويلة ، فمن السهل تقليل وحساب الأس. ولكن للعمل مع قوى كبيرة ، أو مع قوى أعداد كبيرة ، فأنت بحاجة إلى معرفة ليس فقط خصائص الدرجة ، ولكن أيضًا العمل بكفاءة مع القواعد ، لتكون قادرًا على تحليلها من أجل تسهيل مهمتك. للراحة ، يجب أن تعرف أيضًا معنى الأرقام المرفوعة إلى قوة. سيؤدي ذلك إلى تقليل وقتك في الحل من خلال التخلص من الحاجة إلى حسابات طويلة.

يلعب مفهوم الدرجة دورًا خاصًا في اللوغاريتمات. بما أن اللوغاريتم ، في جوهره ، هو قوة الرقم.

صيغ الضرب المختصرة هي مثال آخر على استخدام القوى. لا يمكنهم استخدام خصائص الدرجات ، فهي تتحلل وفقًا لقواعد خاصة ، ولكن في كل صيغة ضرب مختصرة توجد درجات ثابتة.

تُستخدم الدرجات العلمية أيضًا بنشاط في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر. تتم جميع الترجمات إلى نظام SI باستخدام الدرجات ، وفي المستقبل ، عند حل المشكلات ، يتم تطبيق خصائص الدرجة. في علوم الكمبيوتر ، يتم استخدام قوى الرقمين بشكل نشط ، لتسهيل عملية العد وتبسيط تصور الأرقام. يتم إجراء المزيد من الحسابات لتحويل وحدات القياس أو حسابات المشكلات ، تمامًا كما هو الحال في الفيزياء ، باستخدام خصائص الدرجة.

الدرجات مفيدة أيضًا في علم الفلك ، حيث نادرًا ما تجد استخدام خصائص الدرجة ، ولكن الدرجات نفسها تُستخدم بنشاط لتقصير تسجيل الكميات والمسافات المختلفة.

تستخدم الدرجات أيضًا في الحياة اليومية ، عند حساب المساحات والأحجام والمسافات.

بمساعدة الدرجات ، تتم كتابة القيم الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا في أي مجال من مجالات العلوم.

المعادلات الأسية وعدم المساواة

تحتل خصائص الدرجة مكانًا خاصًا على وجه التحديد في المعادلات الأسية وعدم المساواة. هذه المهام شائعة جدًا ، سواء في الدورة المدرسية أو في الامتحانات. يتم حل كل منهم من خلال تطبيق خصائص الدرجة. المجهول دائمًا في الدرجة نفسها ، لذلك ، مع معرفة جميع الخصائص ، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المعادلة أو عدم المساواة.

درس حول الموضوع: "قواعد ضرب وقسمة القوى التي لها نفس الأسس ومختلفة. أمثلة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم. يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف السابع
دليل للكتاب المدرسي Yu.N. دليل Makarycheva للكتاب المدرسي A.G. مردكوفيتش

الغرض من الدرس: تعلم كيفية إجراء العمليات بقوى العدد.

بادئ ذي بدء ، دعنا نتذكر مفهوم "قوة الرقم". يمكن تمثيل تعبير مثل $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ كـ $ a ^ n $.

والعكس صحيح أيضًا: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

هذه المساواة تسمى "تسجيل الدرجة كمنتج". سيساعدنا في تحديد كيفية ضرب وقسمة الأس.
تذكر:
أ- قاعدة الدرجة.
ن- الأس.
اذا كان ن = 1وهو ما يعني الرقم أمرة واحدة وعلى التوالي: $ a ^ n = 1 $.
اذا كان ن = 0، ثم $ a ^ 0 = 1 $.

لماذا يحدث هذا ، يمكننا معرفة ذلك عندما نتعرف على قواعد ضرب وقسمة القوى.

قواعد الضرب

أ) إذا تم ضرب قوى لها نفس الأساس.
إلى $ a ^ n * a ^ m $ ، نكتب الصلاحيات كمنتج: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (م) $.
يوضح الشكل أن الرقم أأخذ ن + ممرات ، ثم $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

هذه الخاصية ملائمة للاستخدام لتبسيط العمل عند رفع رقم إلى قوة كبيرة.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) إذا تم ضرب الأس بأساس مختلف ولكن الأس نفسه.
إلى $ a ^ n * b ^ n $ ، نكتب الصلاحيات كمنتج: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (م) $.
إذا قمنا بتبديل العوامل وحساب الأزواج الناتجة ، نحصل على: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

إذن $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قواعد التقسيم

أ) أساس الدرجة هو نفسه ، الأس مختلفان.
ضع في اعتبارك قسمة درجة على أس أكبر بقسمة درجة على أس أصغر.

لذلك من الضروري $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $، أين ن> م.

نكتب الدرجات في صورة كسر:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

للتيسير ، نكتب القسمة في صورة كسر بسيط.

لنقم الآن بتقليل الكسر.

اتضح أن: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
وسائل، $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

ستساعد هذه الخاصية في شرح الموقف برفع رقم إلى أس صفر. لنفترض ذلك ن = م، ثم $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

أمثلة.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 دولار.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

ب) قواعد الدرجة مختلفة ، والمؤشرات هي نفسها.
لنفترض أنك بحاجة إلى $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. نكتب قوى الأعداد في صورة كسر:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

دعونا نتخيل للراحة.

باستخدام خاصية الكسور ، نقسم كسرًا كبيرًا إلى منتج صغير ، نحصل عليه.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
وفقًا لذلك: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

مثال.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا الدرجات العلمية مطلوبة؟ أين تريدهم؟ لماذا تحتاج لقضاء الوقت في دراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية ، وما الغرض منها ، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية ، اقرأ هذا المقال.

وبالطبع ، فإن معرفة الدرجات العلمية سيقربك من اجتياز OGE أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ودخول جامعة أحلامك.

هيا بنا هيا بنا!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت هراءًا بدلاً من الصيغ ، فقم بمسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك ، اضغط على CTRL + F5 (في نظام Windows) أو Cmd + R (في أنظمة تشغيل Mac).

مستوى اول

الأس هو نفس العملية الحسابية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء بلغة البشر باستخدام أمثلة بسيطة للغاية. كن حذرا. الأمثلة أولية ، لكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالجمع.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: هناك ثمانية منا. تحتوي كل زجاجة على زجاجتين من الكولا. كم كولا؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بطريقة مختلفة:. علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسولون. يلاحظون أولاً بعض الأنماط ، ثم يتوصلون إلى طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا ، لاحظوا أن كل شخص من الأشخاص الثمانية لديه نفس عدد زجاجات الكولا وابتكروا تقنية تسمى الضرب. موافق ، يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك ، للعد بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء ، ما عليك سوى أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع ، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأصعب ومع وجود أخطاء! ولكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وآخر أجمل:

وما هي حيل العد الصعبة الأخرى التي توصل إليها علماء الرياضيات الكسالى؟ بشكل صحيح - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات ، فإن علماء الرياضيات يقولون إنك تحتاج إلى رفع هذا الرقم إلى الأس الخامس. فمثلا، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس الخامس هو. وهم يحلون مثل هذه المشاكل في أذهانهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأعداد. صدقني ، ستجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة ، لماذا تسمى الدرجة الثانية ميدانالأرقام ، والثالث مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك كل من المربعات والمكعبات.

مثال من الحياة الواقعية # 1

لنبدأ بمربع أو القوة الثانية لعدد.

تخيل بركة مربعة قياسها متر في متر. المجمع في الفناء الخلفي الخاص بك. الجو حار وأريد السباحة حقًا. لكن ... بركة بلا قاع! من الضروري تغطية قاع البركة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ لتحديد ذلك ، تحتاج إلى معرفة مساحة قاع البركة.

يمكنك ببساطة العد عن طريق نقر إصبعك على أن قاع البركة يتكون من مكعبات مترًا في المتر. إذا كان البلاط الخاص بك مترًا بعد متر ، فستحتاج إلى قطع. إنه سهل ... لكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ يفضل أن تكون البلاطة سم × سم ، وبعد ذلك سوف تتعذب من خلال "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتكاثر. لذلك ، على جانب واحد من قاع البركة ، سنقوم بتركيب البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا ، البلاط. بالضرب ، تحصل على مربعات ().

هل لاحظت أننا ضربنا نفس العدد في نفسه لتحديد مساحة قاع البركة؟ ماذا يعني ذلك؟ بما أن العدد نفسه مضروبًا ، فيمكننا استخدام تقنية الأُس. (بالطبع ، عندما يكون لديك رقمان فقط ، فما زلت بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهم ، فإن الارتقاء إلى قوة يكون أسهل بكثير ، كما أن هناك أخطاء أقل في الحسابات بالنسبة للامتحان هذا مهم جدا).
إذن ، ثلاثون درجة إلى الدرجة الثانية ستكون (). أو يمكنك القول أن ثلاثين تربيع ستكون. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لرقم ما على شكل مربع. والعكس صحيح ، إذا رأيت مربعًا ، فهو دائمًا القوة الثانية لبعض الأرقام. المربع هو صورة للقوة الثانية لعدد.

مثال من الحياة الواقعية # 2

هذه مهمة لك ، احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم ... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم ، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية ، أو ... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج هي مربع به جانب ، فيمكنك تربيع ثمانية. احصل على الخلايا. () لذا؟

مثال من الحياة الواقعية # 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة لعدد. نفس البركة. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا البركة. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة ، الأحجام والسوائل تقاس بالمتر المكعب. غير متوقع ، أليس كذلك؟) ارسم حوضًا: قاع بحجم متر واحد وعمق متر وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في المتر التي ستدخلها حمام سباحة.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ... اثنان وعشرون ، ثلاثة وعشرون ... ما مقدار ما حدث؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى ، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم البركة ، تحتاج إلى ضرب طولها وعرضها وارتفاعها ببعضها البعض. في حالتنا ، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات ... أسهل ، أليس كذلك؟

تخيل الآن كيف أن علماء الرياضيات كسالى وماكرون إذا جعلوا ذلك سهلاً للغاية. اختزل كل شيء لعمل واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساويون وأن نفس العدد يضرب في نفسه ... وماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك استخدام الدرجة. إذن ، ما عدته بإصبع مرة ، يفعلونه في إجراء واحد: ثلاثة في مكعب متساوية. إنه مكتوب على هذا النحو:

يبقى فقط احفظ جدول الدرجات. ما لم تكن ، بالطبع ، كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت ترغب في العمل الجاد وارتكاب الأخطاء ، يمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا ، من أجل إقناعك أخيرًا أن الدرجات العلمية اخترعها المتسكعون والأشخاص الماكرة لحل مشاكل حياتهم ، وليس لخلق مشاكل لك ، إليك بعض الأمثلة من الحياة.

مثال من الحياة الواقعية # 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام ، تكسب مليونًا آخر مقابل كل مليون. أي أن كل مليون في بداية كل عام يتضاعف. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت جالسًا الآن و "تعد بإصبعك" ، فأنت شخص مجتهد جدًا و .. غبي. لكن على الأرجح ستقدم إجابة في غضون بضع ثوانٍ ، لأنك ذكي! إذن ، في السنة الأولى - مرتين مرتين ... في السنة الثانية - ما حدث ، مرتين أخريين ، في السنة الثالثة ... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرة واحدة. إذن اثنان أس الخامس يساوي مليون! تخيل الآن أن لديك منافسة والشخص الذي يحسب أسرع سيحصل على هذه الملايين ... هل يستحق تذكر درجات الأرقام ، ما رأيك؟

مثال من الحياة الواقعية # 5

لديك مليون. في بداية كل عام ، تكسب اثنين آخرين مقابل كل مليون. إنه شيء رائع ، أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ لنعد. السنة الأولى - اضرب في ، ثم النتيجة في أخرى ... إنها ممل بالفعل ، لأنك فهمت بالفعل كل شيء: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن القوة الرابعة هي مليون. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي أو.

أنت تعلم الآن أنه من خلال رفع رقم إلى قوة ، ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعنا نلقي نظرة إضافية على ما يمكنك فعله بالدرجات وما تحتاج إلى معرفته عنها.

المصطلحات والمفاهيم ... حتى لا يتم الخلط

لذا ، أولاً ، دعنا نحدد المفاهيم. ما رأيك، ما هو الأس؟ إنه بسيط للغاية - هذا هو الرقم "في أعلى" قوة الرقم. ليس علميًا ولكنه واضح وسهل التذكر ...

حسنًا ، في نفس الوقت ، ماذا هذه القاعدة من الدرجة؟ أبسط من ذلك هو الرقم الموجود في الأسفل ، في القاعدة.

إليك صورة لتتأكد منها.

حسنًا ، بشكل عام ، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل ... تُقرأ الدرجة التي تحتوي على أساس "" والمؤشر "" على أنها "في الدرجة" وتتم كتابتها على النحو التالي:

قوة عدد ذو أس طبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم ، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأرقام الطبيعية هي تلك التي تُستخدم في العد عند سرد العناصر: واحد ، اثنان ، ثلاثة ... عندما نحسب العناصر ، لا نقول: "ناقص خمسة" ، "ناقص ستة" ، "ناقص سبعة". لا نقول "ثلث" أو "صفر فاصلة خمسة أعشار" أيضًا. هذه ليست أرقام طبيعية. ما رأيك في هذه الأرقام؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة" و "ناقص ستة" و "ناقص سبعة" الأعداد الكلية.بشكل عام ، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية والأرقام المقابلة للأرقام الطبيعية (أي مأخوذة بعلامة ناقص) ورقم. من السهل فهم الصفر - يحدث هذا عندما لا يكون هناك شيء. وماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للدلالة على الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل ، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أعداد منطقية. كيف جاءوا ، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين ، اكتشف أسلافنا أنه ليس لديهم أعداد طبيعية كافية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى أرقام نسبية... مثيرة للاهتمام ، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أعداد غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار ، كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال ، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها ، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعنا نحدد مفهوم الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. لتربيع رقم هو ضربه في نفسه:
3. لتكعيب رقم هو ضربه بنفسه ثلاث مرات:

تعريف.لرفع رقم إلى قوة طبيعية هو ضرب الرقم في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجة

من أين أتت هذه الخصائص؟ سأريك الآن.

دعونا نرى ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات هناك في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا العوامل إلى العوامل ، والنتيجة هي العوامل.

لكن بحكم التعريف ، هذه هي درجة الرقم مع الأس ، أي: ، التي كان مطلوبًا إثباتها.

مثال: تبسيط التعبير.

المحلول:

مثال:تبسيط التعبير.

المحلول:من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون نفس السبب!
لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتجات القوى!

تحت أي ظرف من الظروف لا يجب أن تكتب ذلك.

2. هذا هو - القوة رقم

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة ال رقم:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟

لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

درجة مع قاعدة سلبية

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟

بدرجات من مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟ في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في ، يتبين.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

إليكم الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة على الممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة ، نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، لا يزال بإمكانك الحصول على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ما هي الدرجة السالبة ، دعنا نفعل نفس الشيء كما في المرة السابقة: نضرب بعض الأعداد العادية في نفس الدرجة في درجة سالبة:

من هنا ، من السهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وستتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع نطاق الأعداد "المناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر ، وأين وأعداد صحيحة ، علاوة على ذلك.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

دعنا نرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

لقد أتضح أن. من الواضح أنه يمكن تمديد هذه الحالة الخاصة:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

تعتبر القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى "رقم فارغ" معين وهو الرقم ؛

...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

فمثلا:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر معادلة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابه: .

2. نضع الكسور في الأسس على نفس الصيغة: إما كلاهما عشري أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعنا نثبتهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون لها نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبه هكذا:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون فهرسالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. يمكنك صياغة هذه القواعد البسيطة:

1. حتىدرجة - رقم إيجابي.
2. رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
3. الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
4. صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل تحليل القاعدة الأخيرة ، دعنا نحل بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن استبداله بتغيير واحد فقط مرفوض لنا!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. أي ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ​​، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات مؤشر سلبي صحيح - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، هو كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

فمثلا:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
2. نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
3. لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

• رفع الرقم السالب إلى حتىدرجة - رقم إيجابي.
• رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
• الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!