كيفية حل المعادلات غير المنطقية ذات الجذور. المعادلة اللاعقلانية: تعلم الحل بطريقة عزل الجذر

كل فعل جديد في الرياضيات يولد على الفور نقيضه. ذات مرة ، اكتشف الإغريق القدماء أن قطعة أرض مربعة يبلغ طولها مترين وعرضها مترين تبلغ مساحتها 2 * 2 = 4 أمتار مربعة (يشار إليها فيما يلي باسم م ^ 2). والآن ، على العكس من ذلك ، إذا علم اليوناني أن قطعة أرضه كانت مربعة وتبلغ مساحتها 4 م 2 ، فكيف يعرف طول وكم ستكون قطعة أرضه؟ تم تقديم عملية كانت معكوس عملية التربيع وأصبحت تعرف باسم استخراج الجذر التربيعي. بدأ الناس يفهمون أن 2 تربيع (2 ^ 2) تساوي 4. على العكس ، فإن الجذر التربيعي لـ 4 (المشار إليه فيما بعد بـ √ (4)) سيكون مساويًا لاثنين. أصبحت النماذج أكثر تعقيدًا ، كما أصبحت السجلات التي تصف العمليات ذات الجذور أكثر تعقيدًا. نشأ السؤال عدة مرات حول كيفية حل معادلة بجذر.

دع بعض القيمة x ، عند ضربها في نفسها مرة واحدة ، تعطي 9. يمكن كتابة هذا كـ x * x \ u003d 9. أو من خلال الدرجة: x ^ 2 = 9. لإيجاد x ، يجب أن تأخذ جذر 9 ، والتي هي بالفعل إلى حد ما معادلة ذات جذري: x = √ (9). يمكن استخراج الجذر شفويا أو استخدام آلة حاسبة لهذا الغرض. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك المسألة العكسية. تعطي قيمة معينة ، عند استخراج الجذر التربيعي منها ، القيمة 7. إذا كتبنا هذا في صورة معادلة غير منطقية ، نحصل على: √ (x) = 7. لحل مثل هذه المسألة ، يجب تربيع كلا الجزأين من التعبير . بالنظر إلى أن √ (x) * √ (x) = x ، يتبين أن x = 49. يصبح الجذر جاهزًا على الفور في شكله النقي. بعد ذلك ، يجب أن نحلل أمثلة أكثر تعقيدًا لمعادلة لها جذور.

دعونا نطرح 5 من قيمة معينة ، ثم يتم رفع التعبير إلى أس 1/2. نتيجة لذلك ، تم الحصول على الرقم 3. الآن يجب كتابة هذا الشرط على شكل معادلة: √ (x-5) = 3. بعد ذلك ، يجب ضرب كل جزء من المعادلة في نفسه: x-5 = 3. بعد الرفع للقوة الثانية ، تم تحرير التعبير من الجذور. الآن من المفيد حل أبسط معادلة خطية بتحريك الخمسة إلى الجانب الأيمن وتغيير علامتها. س = 5 + 3. س = 8. لسوء الحظ ، لا يمكن وصف جميع عمليات الحياة بمثل هذه المعادلات البسيطة. في كثير من الأحيان يمكنك العثور على تعبيرات بعدة جذور ، وأحيانًا قد تكون درجة الجذر أعلى من الثانية. لا توجد خوارزمية حل واحدة لمثل هذه الهويات. لكل معادلة ، يجدر البحث عن نهج خاص. يتم إعطاء مثال حيث يكون للمعادلة ذات الجذر درجة ثالثة.

سيتم الإشارة إلى الجذر التكعيبي 3√. أوجد حجم وعاء له شكل مكعب طول ضلعه 5 أمتار. دع الحجم يكون x م ^ 3. إذن ، الجذر التكعيبي للحجم يساوي جانب المكعب ويساوي خمسة أمتار. تم الحصول على المعادلة: 3√ (x) = 5. لحلها ، من الضروري رفع كلا الجزأين إلى القوة الثالثة ، x = 125. الإجابة: 125 متر مكعب. يوجد أدناه مثال على معادلة بمجموع الجذور. √ (س) + (س -1) = 5. تحتاج أولاً إلى تربيع كلا الجزأين. للقيام بذلك ، يجدر تذكر صيغة الضرب المختصرة لمربع المجموع: (أ + ب) ^ 2 = أ ^ 2 + 2 * أب + ب ^ 2. عند تطبيق المعادلة ، اتضح: x + 2 * √ (x) * √ (x-1) + x-1 = 25. علاوة على ذلك ، تُترك الجذور على الجانب الأيسر ، ويتم نقل كل شيء آخر إلى اليمين : 2 * √ (x) * √ (x-1) = 26-2x. من الملائم قسمة كلا الجزأين من التعبير على 2: √ ((x) (x-1)) = 13 - x. يتم الحصول على معادلة غير منطقية أبسط.

ثم مرة أخرى ، يجب أن يتم تربيع كلا الجزأين: x * (x-1) \ u003d 169-26x + x ^ 2. من الضروري فتح الأقواس وإحضار المصطلحات المشابهة: x ^ 2 - x \ u003d 169-26x + x ^ 2. تختفي القوة الثانية ، وبالتالي فإن 25x = 169. x = 169/25 = 6.6. بعد الانتهاء من الفحص ، استبدال الجذر الناتج في المعادلة الأصلية: √ (6.6) + √ (6.6-1) \ u003d 2.6 + √ (5.6) \ u003d 2.6 + 2.4 \ u003d 5 ، يمكنك الحصول على إجابة مرضية. من المهم أيضًا أن نفهم أن التعبير الذي له جذر زوجي لا يمكن أن يكون سالبًا. في الواقع ، بضرب أي رقم في نفسه عددًا زوجيًا من المرات ، من المستحيل الحصول على قيمة أقل من الصفر. لذلك ، لا يمكن حل المعادلات مثل √ (x ^ 2 + 7x-11) = -3 بأمان ، ولكن مكتوبًا أن المعادلة ليس لها جذور. كما ذكرنا سابقًا ، يمكن أن يتخذ حل المعادلات مع الجذور أشكالًا متنوعة.

مثال بسيط لمعادلة حيث تحتاج إلى تغيير المتغيرات. √ (y) - 5 * 4√ (y) +6 = 0 ، حيث 4√ (y) هو الجذر الرابع لـ y. الاستبدال المقترح هو كما يلي: x = 4√ (y). بعد إجراء ذلك ، اتضح أن: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. يتم الحصول على المعادلة التربيعية الناتجة. مميزها: 25-4 * 6 = 25-24 = 1. الجذر الأول x1 سيكون مساويًا لـ (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3. الجذر الثاني x2 = (5 - √1) / 2 = 4/2 = 2. يمكنك أيضًا إيجاد الجذور باستخدام النتيجة الطبيعية لنظرية فييتا. تم العثور على الجذور ، يجب إجراء استبدال عكسي. 4√ (ص) = 3 ، ومن ثم ص 1 = 1.6. أيضًا 4√ (y) = 2 ، بأخذ الجذر الرابع ، يتبين أن y2 = 1.9. يتم حساب القيم على الآلة الحاسبة. لكن لا يمكن فعل ذلك ، وترك الإجابة في شكل متطرفين.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

على الرغم من أن المظهر المخيف لرمز الجذر التربيعي يمكن أن يجعل الشخص غير القوي في الرياضيات يرتجف ، فإن مشاكل الجذر التربيعي ليست صعبة كما قد تبدو للوهلة الأولى. غالبًا ما يمكن حل مسائل الجذر التربيعي البسيطة بنفس سهولة حل مسائل الضرب أو القسمة العادية. من ناحية أخرى ، قد تتطلب المهام الأكثر تعقيدًا بعض الجهد ، ولكن مع النهج الصحيح ، حتى أنها لن تكون صعبة عليك. ابدأ في حل مشكلات الجذر اليوم لتتعلم مهارة الرياضيات الجديدة الجذرية هذه!

خطوات

الجزء 1

1. ربّع الرقم بضربه في نفسه.لفهم الجذور التربيعية ، من الأفضل أن تبدأ بمربعات الأعداد. مربعات الأرقام بسيطة للغاية: تربيع رقم يعني ضربه في نفسه. على سبيل المثال ، 3 تربيع هي نفسها 3 × 3 = 9 ، و 9 تربيع هي نفسها 9 × 9 = 81. يتم تمييز المربعات بكتابة "2" صغيرة على اليمين فوق رقم التربيع. مثال: 3 2 ، 9 2 ، 100 2 وهكذا.

   • جرب تربيع عدد قليل من الأرقام بنفسك لتجربة المفهوم. تذكر أن تربيع رقم يعني أنه يجب ضرب الرقم في نفسه. يمكن القيام بذلك حتى بالنسبة للأرقام السالبة. في هذه الحالة ، ستكون النتيجة إيجابية دائمًا. على سبيل المثال: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. عندما يتعلق الأمر بالجذور التربيعية ، فإليك العملية العكسية للتربيع.رمز الجذر (√ ، يسمى أيضًا جذريًا) يعني في الأساس عكس الرمز 2. عندما ترى جذريًا ، يجب أن تسأل نفسك: "ما هو الرقم الذي يمكن أن يضرب في نفسه للحصول على الرقم تحت الجذر؟". على سبيل المثال ، إذا رأيت √ (9) ، فيجب أن تجد الرقم الذي ، عند تربيعه ، سيعطي الرقم تسعة. سيكون هذا الرقم في حالتنا ثلاثة ، لأن 3 2 = 9.

   • تأمل في مثال آخر وابحث عن جذر 25 (√ (25)). هذا يعني أننا نحتاج إلى إيجاد عدد تربيع يعطينا 25. بما أن 52 = 5 × 5 = 25 ، يمكننا القول أن √ (25) = 5.
   • يمكنك أيضًا التفكير في الأمر على أنه "إبطال" للتربيع. على سبيل المثال ، إذا أردنا إيجاد √ (64) ، الجذر التربيعي لـ 64 ، فلنفكر في هذا الرقم على أنه 8 2. بما أن رمز الجذر "يلغي" التربيع ، يمكننا القول أن √ (64) = √ (8 2) = 8.

3. اعرف الفرق بين التربيع الكامل والتربيع غير الكامل.حتى الآن ، كانت الإجابات على مشاكلنا الجذرية أرقامًا جيدة ومستديرة ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. يمكن أن تكون إجابات مسائل الجذر التربيعي أرقامًا عشرية طويلة جدًا وصعبة. تسمى الأعداد التي تكون جذورها أعدادًا صحيحة (بمعنى آخر ، الأرقام التي ليست كسورًا) بالمربعات الكاملة. جميع الأمثلة المذكورة أعلاه (9 و 25 و 64) هي مربعات كاملة لأن جذرها سيكون عددًا صحيحًا (3.5 و 8).

   • من ناحية أخرى ، فإن الأرقام التي لا تعطي عددًا صحيحًا عند رفعها إلى الجذر تسمى مربعات غير كاملة. إذا وضعت أحد هذه الأرقام تحت الجذر ، فستحصل على رقم به كسر عشري. في بعض الأحيان يمكن أن يكون هذا الرقم طويلاً جدًا. على سبيل المثال ، √ (13) = 3.605551275464 ...

4. تذكر أول 1-12 المربعات الكاملة.كما لاحظت بالفعل ، من السهل جدًا العثور على جذر مربع كامل! نظرًا لسهولة هذه المشكلات ، يجدر تذكر جذور أول عشرة مربعات كاملة. ستصادف هذه الأرقام أكثر من مرة ، لذا خذ بعض الوقت لحفظها مبكرًا وتوفير الوقت في المستقبل.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. بسّط الجذور بإزالة المربعات الكاملة منها إن أمكن.قد يكون العثور على جذر مربع غير مكتمل أمرًا صعبًا في بعض الأحيان ، خاصة إذا كنت لا تستخدم آلة حاسبة (انظر القسم أدناه للحصول على بعض الحيل لتسهيل العملية). ومع ذلك ، يمكنك غالبًا تبسيط رقم الجذر لتسهيل التعامل معه. للقيام بذلك ، ما عليك سوى قسمة الرقم الموجود أسفل الجذر على العوامل ، ثم إيجاد جذر العامل ، وهو مربع كامل ، وكتابته خارج الجذر. إنه أسهل مما يبدو. قراءة في لمزيد من المعلومات.

   • لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد الجذر التربيعي للرقم 900. للوهلة الأولى ، تبدو هذه مهمة شاقة جدًا! ومع ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة إذا قسمنا الرقم 900 على العوامل. العوامل هي الأرقام التي يتم ضربها في بعضها البعض للحصول على رقم جديد. على سبيل المثال ، يمكن الحصول على الرقم 6 بضرب 1 × 6 و 2 × 3 ، وستكون عوامله هي الأرقام 1 و 2 و 3 و 6.
   • بدلاً من البحث عن جذر 900 ، وهو أمر معقد بعض الشيء ، لنكتب 900 كضرب 9 × 100. والآن بعد أن تم فصل 9 ، وهو مربع كامل ، عن 100 ، يمكننا إيجاد جذره. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). بمعنى آخر ، √ (900) = 3√ (100).
   • يمكننا أن نذهب أبعد من ذلك بقسمة 100 على عاملين ، 25 و 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. لذلك يمكننا القول ، ذلك √ (900) = 3 (10) = 30

6. استخدم الأعداد التخيلية لإيجاد جذر عدد سالب.اسأل نفسك ، ما هو العدد ، عندما يضرب في نفسه ، يعطي -16؟ إنها ليست 4 أو -4 ، لأن تربيع هذه الأعداد يعطينا عددًا موجبًا هو 16. هل تريد الاستسلام؟ في الواقع ، لا توجد طريقة لكتابة جذر -16 أو أي رقم سالب آخر كأرقام عادية. في مثل هذه الحالة ، يجب علينا استبدال الأرقام التخيلية (عادة في شكل أحرف أو رموز) بحيث تظهر مكان جذر الرقم السالب. على سبيل المثال ، المتغير "i" شائع الاستخدام لأخذ جذر الرقم -1. كقاعدة عامة ، سيكون جذر الرقم السالب دائمًا هو الرقم التخيلي (أو المضمن فيه).

   • اعلم أنه على الرغم من أنه لا يمكن تمثيل الأرقام التخيلية بأرقام عادية ، إلا أنه لا يزال من الممكن معاملتها على هذا النحو. على سبيل المثال ، يمكن تربيع الجذر التربيعي لعدد سالب لإعطاء هذه الأرقام السالبة ، مثل أي رقم آخر ، جذرًا تربيعيًا. على سبيل المثال ، أنا 2 = -1

   الجزء 2

   استخدام خوارزمية تقسيم العمود

   1. اكتب مسألة الجذر كمسألة قسمة.على الرغم من أن هذا قد يستغرق وقتًا طويلاً ، إلا أنه بهذه الطريقة يمكنك حل جذر مشكلة المربعات غير المكتملة دون اللجوء إلى مساعدة الآلة الحاسبة. للقيام بذلك ، سنستخدم طريقة حل (أو خوارزمية) مشابهة (ولكنها ليست متشابهة تمامًا) للقسمة المنتظمة على عمود.

      • أولاً ، اكتب مشكلة الجذر بنفس الشكل كما هو الحال عند القسمة على عمود. لنفترض أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي للرقم 6.45 ، وهو بالتأكيد ليس مربعًا كاملًا. نكتب أولاً رمز المربع المعتاد ، ثم نكتب رقمًا تحته. بعد ذلك ، سنرسم خطًا فوق الرقم بحيث يكون في "مربع" صغير ، تمامًا كما هو الحال عند القسمة على عمود. بعد ذلك سيكون لدينا جذر ذو ذيل طويل والرقم 6.45 تحته.
      • سنكتب أرقامًا فوق الجذر ، لذا تأكد من ترك مسافة هناك.

   2. جمّع الأرقام في أزواج.لبدء حل المشكلة ، من الضروري تجميع أرقام الرقم تحت الجذر في أزواج ، بدءًا بنقطة في الكسر العشري. إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك عمل علامات صغيرة (مثل النقاط والشرط والفواصل وما إلى ذلك) بين الأزواج حتى لا يتم الخلط بينها.

      • في مثالنا ، يتعين علينا إقران الرقم 6.45 على النحو التالي: 6- ، 45-00. يرجى ملاحظة أن هناك رقمًا "متبقيًا" على اليسار - وهذا أمر طبيعي.

   3. أوجد أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي "المجموعة" الأولى.ابدأ بالرقم الأول أو الزوج على اليسار. اختر أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي "المجموعة" المتبقية. على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة 37 ، يمكنك اختيار الرقم 6 لأن 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. اكتب هذا الرقم على المجموعة الأولى. سيكون هذا هو الرقم الأول من إجابتك.

      • في مثالنا ، المجموعة الأولى في 6-45-00 ستكون الرقم 6. أكبر رقم أقل من أو يساوي 6 في المربع هو 2 2 = 4. اكتب الرقم 2 فوق الرقم 6 ، وهو تحت الجذر.

   4. ضاعف الرقم الذي كتبته للتو ، ثم أسقطه تحت الجذر واطرحه.خذ الرقم الأول من إجابتك (الرقم الذي وجدته للتو) وضاعفه. اكتب النتيجة تحت مجموعتك الأولى واطرح لإيجاد الفرق. احذف زوج الأرقام التالي بجوار إجابتك. أخيرًا ، اكتب على اليسار الرقم الأخير من مضاعفة الرقم الأول من إجابتك ، واترك مسافة بجواره.

      • في مثالنا ، سنبدأ بمضاعفة الرقم 2 ، وهو أول رقم في إجابتنا. 2 × 2 = 4. ثم نطرح 4 من 6 ("المجموعة" الأولى لدينا) ، ونحصل على 2. بعد ذلك ، نسقط المجموعة التالية (45) لنحصل على 245. مساحة صغيرة في النهاية ، على النحو التالي: 4_

   5. املاء الفراغ.ثم يجب عليك إضافة الرقم إلى الجانب الأيمن من الرقم المكتوب ، الموجود على اليسار. اختر الرقم الذي ، عند ضربه برقمك الجديد ، سيعطيك أكبر نتيجة ممكنة ، ولكنه سيكون أقل من أو يساوي "الرقم المحذوف". على سبيل المثال ، إذا كان رقمك "المحذوف" هو 1700 ، ورقمك على اليسار هو 40_ ، فأنت بحاجة إلى كتابة الرقم 4 في الفراغ ، لأن 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • في مثالنا ، يجب أن نجد رقمًا ونكتبه في المسافات 4_ × _ ، مما سيجعل الإجابة أكبر قدر ممكن ، لكنها تظل أقل من أو تساوي 245. في حالتنا ، هذا هو الرقم 5. 45 × 5 = 225 ، بينما 46 × 6 = 276

   6. استمر في استخدام الأرقام الفارغة للعثور على الإجابة.استمر في حل هذه القسمة المعدلة بعمود حتى تبدأ في الحصول على الأصفار عند طرح الرقم "المحذوف" ، أو حتى تحصل على مستوى الدقة المطلوب في إجابتك. عندما تنتهي ، فإن الأرقام التي استخدمتها لملء الفراغات في كل خطوة (بالإضافة إلى الرقم الأول) ستشكل رقم إجابتك.

      • متابعة لمثالنا ، نطرح 225 من 245 لنحصل على 20. ثم نسقط زوج الأرقام التالي ، 00 ، لنحصل على 2000. نضاعف الرقم فوق علامة الجذر. نحصل على 25 × 2 = 50. حل المثال بمسافات ، 50_ × _ = /< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. حرك الفاصلة العشرية للأمام من رقم "المقسوم" الأصلي.لإكمال إجابتك ، يجب أن تضع العلامة العشرية في المكان الصحيح. لحسن الحظ ، من السهل جدًا القيام بذلك. كل ما عليك فعله هو محاذاته مع نقطة الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، إذا كان الرقم 49.8 تحت الجذر ، فستحتاج إلى وضع نقطة بين العددين فوق تسعة وثمانية.

      • في مثالنا ، الرقم الموجود أسفل الجذر يساوي 6.45 ، لذا سنحرّك النقطة ونضعها بين العددين 2 و 5 في إجابتنا ، لنحصل على الناتج 2.539.

   الجزء 3

   العد السريع للمربعات غير المكتملة

   1. ابحث عن المربعات غير المكتملة عن طريق عدها.عندما تحفظ المربعات الكاملة ، يصبح العثور على جذر المربعات غير المكتملة أسهل كثيرًا. نظرًا لأنك تعرف بالفعل عشرات المربعات الكاملة ، يمكن العثور على أي رقم يقع بين هذين المربعين الكاملين عن طريق تقليل كل شيء إلى عدد تقريبي بين تلك القيم. ابدأ بالبحث عن مربعين كاملين يقع بينهما رقمك. ثم حدد أي من هذه الأرقام أقرب إلى رقمك.

      • على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد الجذر التربيعي لـ 40. نظرًا لأننا حفظنا المربعات الكاملة ، يمكننا القول إن 40 يقع بين 62 و 72 ، أو 36 و 49. نظرًا لأن 40 أكبر من 62 ، فإن جذرها سيكون أكبر من 6 ، وبما أنها أقل من 7 2 ، فإن جذرها سيكون أيضًا أقل من 7. 40 أقرب قليلاً من 36 مما هي عليه من 49 ، لذلك من المرجح أن تكون الإجابة أقرب قليلاً من 6. في اليوم التالي بضع خطوات ، سنقوم بتضييق إجابتنا.
      الشيء التالي الذي يجب عليك فعله هو تربيع الرقم التقريبي. ستكون على الأرجح غير محظوظ ولن تحصل على الرقم الأصلي. سيكون إما أكبر قليلاً أو أصغر قليلاً. إذا كانت نتيجتك عالية جدًا ، فحاول مرة أخرى باستخدام رقم ملعب أقل قليلاً (والعكس صحيح إذا كانت النتيجة منخفضة جدًا).
      • اضرب 6.4 في نفسه وستحصل على 6.4 × 6.4 = 40.96 ، وهو أكثر قليلاً من الرقم الأصلي.
      • نظرًا لأن إجابتنا كانت أكثر ، يجب أن نضرب الرقم بمقدار عشر أقل من التقريبي ونحصل على التالي: 6.3 × 6.3 = 39.69. هذا أقل بقليل من الرقم الأصلي. هذا يعني أن الجذر التربيعي لـ 40 يقع بين 6.3 و 6.4. مرة أخرى ، نظرًا لأن 39.69 أقرب إلى 40 من 40.96 ، فإننا نعلم أن الجذر التربيعي سيكون أقرب إلى 6.3 من 6.4.

   2. استمر في الحساب.في هذه المرحلة ، إذا كنت راضيًا عن إجابتك ، فيمكنك فقط أن تأخذ أول تخمين خمنته. ومع ذلك ، إذا كنت تريد إجابة أكثر دقة ، فكل ما عليك فعله هو تحديد قيمة تقريبية بمنزلتين عشريتين تضع هذه القيمة التقريبية بين أول رقمين. من خلال الاستمرار في هذا العد ، يمكنك الحصول على ثلاثة أو أربعة منازل عشرية أو أكثر لإجابتك. كل هذا يتوقف على المدى الذي تريد أن تذهب إليه.

      • في مثالنا ، دعنا نختار 6.33 كقيمة تقريبية لمنزلتين عشريتين. اضرب 6.33 في نفسه لتحصل على 6.33 × 6.33 = 40.0689. نظرًا لأن هذا أكبر قليلاً من الرقم الخاص بنا ، فسنأخذ رقمًا أصغر ، على سبيل المثال ، 6.32. 6.32 × 6.32 = 39.9424. هذه الإجابة أقل بقليل من العدد ، لذلك نعلم أن الجذر التربيعي الدقيق يقع بين 6.32 و 6.33. إذا أردنا الاستمرار ، فسنستمر في استخدام نفس الأسلوب من أجل الحصول على إجابة تصبح أكثر دقة.
   • لإيجاد حل سريعًا ، استخدم الآلة الحاسبة. يمكن لمعظم الآلات الحاسبة الحديثة إيجاد الجذر التربيعي لرقم ما على الفور. كل ما عليك فعله هو إدخال رقمك ثم النقر فوق الزر بعلامة الجذر. على سبيل المثال ، للعثور على الجذر 841 ، يجب عليك الضغط على 8 و 4 و 1 و (). نتيجة لذلك ، ستحصل على الإجابة 39.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن ، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها أمر ضروري.

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث تكون المعاملات a و b و c أرقامًا عشوائية ، و a 0.

قبل دراسة طرق حل محددة ، نلاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور
2. لديهم جذر واحد بالضبط.
3. لديهم جذرين مختلفين.

هذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والخطية ، حيث يوجد الجذر دائمًا ويكون فريدًا. كيف تحدد عدد الجذور التي تمتلكها المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - مميز.

مميز

لنفترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 ثم المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 - 4ac.

يجب أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهمًا الآن. شيء آخر مهم: بعلامة المميز ، يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا كان د< 0, корней нет;
2. إذا كانت D = 0 ، فهناك جذر واحد بالضبط ؛
3. إذا كانت D> 0 ، فسيكون هناك جذران.

يرجى ملاحظة: المميز يشير إلى عدد الجذور ، وليس على الإطلاق علاماتها ، كما يعتقد كثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. كم عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. × 2-8 س + 12 = 0 ؛
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ؛
3. س 2-6 س + 9 = 0.

نكتب معاملات المعادلة الأولى ونجد المميز:
أ = 1 ، ب = 8 ، ج = 12 ؛
د = (8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

إذن ، المميز موجب ، ومن ثم فإن للمعادلة جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5 ؛ ب = 3 ؛ ج = 7 ؛
د \ u003d 3 2-4 5 7 \ u003d 9-140 \ u003d -131.

المميز سالب ، لا توجد جذور. تبقى المعادلة الأخيرة:
أ = 1 ؛ ب = -6 ؛ ج = 9 ؛
د = (6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.

المميز يساوي صفرًا - الجذر سيكون واحدًا.

لاحظ أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم ، إنها طويلة ، نعم ، إنها مملة - لكنك لن تخلط بين الاحتمالات ولا ترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة ، إذا "تملأ يدك" ، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. ستقوم بمثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الناس في القيام بذلك في مكان ما بعد حل 50-70 معادلة - بشكل عام ، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل. إذا كان المميز D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما تكون D = 0 ، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - تحصل على نفس الرقم ، والذي سيكون الإجابة. أخيرًا ، إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. × 2 - 2 س - 3 = 0 ؛
2. 15 - 2x - x2 = 0 ؛
3. س 2 + 12 س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 - 2 س - 3 = 0 ⇒ أ = 1 ؛ ب = −2 ؛ ج = -3 ؛
د = (2) 2-4 1 (3) = 16.

D> 0 ⇒ للمعادلة جذرين. لنجدهم:

المعادلة الثانية:
15-2 س - س 2 = 0 ⇒ أ = -1 ؛ ب = −2 ؛ ج = 15 ؛
د = (2) 2-4 (1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ للمعادلة مرة أخرى جذرين. دعنا نجدهم

\ [\ start (محاذاة) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5 ؛ \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (محاذاة) \]

أخيرًا المعادلة الثالثة:
س 2 + 12 س + 36 = 0 أ = 1 ؛ ب = 12 ؛ ج = 36 ؛
د = 12 2-4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ للمعادلة جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال ، الأول:

كما ترون من الأمثلة ، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وكنت قادرًا على العد ، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان ، تحدث الأخطاء عند استبدال المعامِلات السالبة في الصيغة. هنا ، مرة أخرى ، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا ، ورسم كل خطوة - وتخلص من الأخطاء قريبًا جدًا.

معادلات تربيعية غير مكتملة

يحدث أن تختلف المعادلة التربيعية إلى حد ما عما ورد في التعريف. فمثلا:

1. x2 + 9x = 0 ؛
2. x2 - 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن أحد المصطلحات مفقود في هذه المعادلات. مثل هذه المعادلات التربيعية أسهل في الحل من المعادلات القياسية: فهي لا تحتاج حتى لحساب المميز. لذلك دعونا نقدم مفهومًا جديدًا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير كاملة إذا كانت b = 0 أو c = 0 ، أي معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفرًا.

بالطبع ، من الممكن حدوث حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا المعاملين مساويين للصفر: ب \ u003d ج ​​\ u003d 0. في هذه الحالة ، تأخذ المعادلة شكل ax 2 \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها قيمة واحدة الجذر: x \ u003d 0.

لننظر في حالات أخرى. دعنا ب \ u003d 0 ، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c \ u003d 0. دعنا نحولها قليلاً:

نظرًا لأن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط من رقم غير سالب ، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط عندما (−c / a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت المعادلة التربيعية غير المكتملة من الشكل ax 2 + c = 0 تحقق عدم المساواة (−c / a) ≥ 0 ، فسيكون هناك جذران. الصيغة المذكورة أعلاه ؛
2. إذا (−c / a)< 0, корней нет.

كما ترى ، لم يكن المميز مطلوبًا - لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في معادلات تربيعية غير مكتملة. في الواقع ، ليس من الضروري حتى تذكر المتباينة (−c / a) ≥ 0. يكفي التعبير عن قيمة x 2 ومعرفة ما يوجد على الجانب الآخر من علامة التساوي. إذا كان هناك عدد موجب ، فسيكون هناك جذران. إذا كانت سلبية ، فلن تكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلات على شكل ax 2 + bx = 0 ، حيث يكون العنصر الحر مساويًا للصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا هو المكان الذي تأتي منه الجذور. في الختام ، سنقوم بتحليل العديد من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. x2 - 7x = 0 ؛
2. 5 × 2 + 30 = 0 ؛
3. 4 × 2 - 9 = 0.

س 2 - 7 س = 0 س (س - 7) = 0 ⇒ × 1 = 0 ؛ x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. لا توجد جذور لأن لا يمكن أن يكون المربع مساويًا لرقم سالب.

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5 ؛ × 2 \ u003d -1.5.

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. في كثير من الأحيان ، توجد علامة الجذر في المعادلات ، ويعتقد الكثيرون خطأً أن مثل هذه المعادلات يصعب حلها. لمثل هذه المعادلات في الرياضيات ، يوجد مصطلح خاص يسمى المعادلات ذات الجذر - المعادلات غير المنطقية.

الاختلاف الرئيسي في حل المعادلات مع جذر من المعادلات الأخرى ، على سبيل المثال ، مربع ، لوغاريتمي ، خطي ، هو أنه ليس لديهم خوارزمية حل قياسية. لذلك ، لحل المعادلة غير المنطقية ، من الضروري تحليل البيانات الأولية واختيار حل أكثر ملاءمة.

في معظم الحالات ، لحل هذا النوع من المعادلات ، يتم استخدام طريقة رفع كلا الجزأين من المعادلة إلى نفس القوة.

لنفترض أن المعادلة التالية معطاة:

\ [\ الجذر التربيعي ((5 س -16)) = س -2 \]

نقوم بتربيع جانبي المعادلة:

\ [\ sqrt ((5x-16))) ^ 2 = (x-2) ^ 2 \] ، ومن هنا نحصل على:

بعد الحصول على معادلة من الدرجة الثانية ، نجد جذورها:

إجابه: \

إذا استبدلنا هذه القيم في المعادلة ، فسنحصل على المساواة الصحيحة ، والتي تشير إلى صحة البيانات التي تم الحصول عليها.

أين يمكنني حل معادلة ذات جذور باستخدام أداة حل عبر الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.