"ما نعرفه محدود ، وما لا نعرفه هو لانهائي"

بيير سيمون لابلاس (1749-1827) ، عالم فرنسي

حب بلا حدود ، سعادة لا حدود لها ، مساحة شاسعة ، التربة الصقيعية ، محيط لا حدود له وحتى درس لا نهاية له. في الحياة اليومية ، غالبًا ما نطلق على الأشياء والظواهر اللانهائية ، لكن غالبًا لا نفكر حتى في المعنى الحقيقي لهذا المفهوم. في غضون ذلك ، منذ العصور القديمة ، حاول اللاهوتيون والفلاسفة وغيرهم من أعظم العقول البشرية أن يفهموا معناها. وعلماء الرياضيات فقط هم من تقدموا إلى أبعد الحدود في معرفة ما يسمى اللانهاية.

ما هو اللانهاية؟

الكثير مما نراه من حولنا يُنظر إليه من قبلنا على أنه لا نهاية له ، لكن في الواقع يتبين أنها أشياء محدودة تمامًا. هذه هي الطريقة التي يشرحون بها للأطفال أحيانًا مدى ضخامة اللانهاية: "إذا جمعت حبة رمل واحدة كل مائة عام على شاطئ ضخم ، فسيستغرق الأمر وقتًا طويلاً لجمع كل الرمال الموجودة على الشاطئ." لكن في الحقيقة ، عدد حبات الرمل ليس لانهائي. من الناحية المادية ، من المستحيل حسابها ، لكن يمكننا القول بثقة أن عددها لا يتجاوز قيمة تساوي نسبة كتلة الأرض إلى كتلة حبة رمل واحدة.

أو مثال آخر. يعتقد الكثير من الناس أنه إذا وقفت بين مرآتين ، فسوف يتكرر الانعكاس في المرآتين ، ويذهب في المسافة ، ويصبح أصغر وأصغر ، لذلك من المستحيل تحديد أين ينتهي. للأسف ، هذه ليست لانهائية. ما الذي يحدث حقا؟ لا توجد مرآة تعكس 100٪ من الضوء الساقط عليها. ستعكس المرآة عالية الجودة 99٪ من الضوء ، ولكن بعد 70 انعكاسًا ، سيبقى 50٪ فقط من الضوء ، وبعد 140 انعكاسًا ، سيبقى 25٪ فقط من الضوء ، وهكذا حتى يكون هناك القليل جدًا من الضوء. بالإضافة إلى ذلك ، فإن معظم المرايا منحنية ، لذا فإن العديد من الانعكاسات التي تراها تنتهي بالقرب منك.

دعونا نرى كيف تتعامل الرياضيات مع اللانهاية. هذا مختلف تمامًا عن مفهوم اللانهاية الذي واجهته من قبل ويتطلب القليل من الخيال.

اللانهاية في الرياضيات

في الرياضيات ، يميز المرء القدرهو حتى الآنما لا نهاية.

عندما يقولون أن قيمة معينة لها إمكانات غير محدودة ، فإنهم يعنون أنه يمكن زيادتها إلى أجل غير مسمى ، أي أن هناك دائمًا احتمال محتمل لزيادتها.

مفهوم اللانهاية الفعلي يعني كمية لا نهائية موجودة بالفعل "هنا والآن". دعونا نوضح ذلك باستخدام مثال الخط المباشر المعتاد.

مثال 1

تعني اللانهاية المحتملة أن هناك خطًا مستقيمًا ويمكن تمديده باستمرار (على سبيل المثال ، من خلال تطبيق المقاطع عليه). يرجى ملاحظة أن التركيز هنا ليس على حقيقة أن الخط لانهائي ، ولكن على حقيقة أنه يمكن أن يستمر إلى أجل غير مسمى.

اللانهاية الفعلية تعني أن الخط اللانهائي بأكمله موجود بالفعل في الوقت الحاضر. لكن المشكلة هي أنه لا يوجد شخص واحد على قيد الحياة قد رأى خطًا مستقيمًا لانهائيًا وغير قادر جسديًا على القيام بذلك! أن تكون قادرًا على مد خط مستقيم إلى أجل غير مسمى شيء ، وإنشاء خط مستقيم لا نهائي شيء آخر تمامًا. هذا فرق دقيق للغاية ويميز اللانهاية المحتملة عن اللانهاية الفعلية. تفو! يتطلب التعامل مع هذه اللانهايات الكثير من الخيال! لنلق نظرة على مثال آخر.

مثال 2

لنفترض أنك قررت بناء سلسلة من الأعداد الطبيعية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ...

في مرحلة ما ، وصلت إلى عدد كبير جدًا n وتعتقد أن هذا هو العدد الأكبر. في هذه اللحظة ، يقول صديقك إنه لا يكلفه إضافة 1 (واحد) إلى رقمك n والحصول على رقم أكبر حتى k = n + 1. ثم تدرك ، بجروح طفيفة ، أنه لا شيء يمكن أن يمنعك من الإضافة إلى رقم ك واحد واحصل على الرقم ك + 1. هل عدد هذه الخطوات محدود مقدما؟ رقم. بالطبع ، قد لا تتمتع أنت وصديقك بالقوة الكافية ، فقد حان الوقت في خطوة ما لاتخاذ الخطوة التالية m + 1 ، ولكن من المحتمل أن تتمكن أنت أو أي شخص آخر من بناء هذه السلسلة بشكل أكبر. في هذه الحالة ، نحصل على مفهوم اللانهاية المحتملة.

إذا تمكنت أنت وصديقك من بناء سلسلة لا نهائية من الأعداد الطبيعية ، والتي تتواجد عناصرها كلها مرة واحدة ، في نفس الوقت ، سيكون هذا لا نهاية فعلية. لكن الحقيقة هي أنه لا أحد يستطيع كتابة جميع الأرقام - هذه حقيقة لا جدال فيها!

توافق على أن اللانهاية المحتملة مفهومة أكثر بالنسبة لنا ، لأنه من الأسهل تخيلها. لذلك ، أدرك الفلاسفة وعلماء الرياضيات القدماء فقط اللانهاية المحتملة ، ورفضوا بحزم إمكانية العمل مع اللانهاية الفعلية.

مفارقة جاليليو

في عام 1638 ، طرح جاليليو العظيم السؤال التالي: "الكثير بلا حدود - هل هو دائمًا العدد اللامتناهي نفسه؟ أو هل يمكن أن يكون هناك لانهايات أكبر وأصغر؟ "

لقد صاغ افتراضًا ، أصبح يُعرف لاحقًا باسم "المفارقة الجليلية": هناك عدد كبير من الأعداد الطبيعية كما هو الحال في مربعات الأعداد الطبيعية ، أي في المجموعة 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ... عدد العناصر نفسه في المجموعة هو 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، 64 ، 81 ، 100 ...

وجوهر التناقض هو كما يلي.

بعض الأرقام عبارة عن مربعات دقيقة (أي مربعات لأرقام أخرى) ، على سبيل المثال: 1 ، 4 ، 9 ... الأرقام الأخرى ليست مربعات دقيقة ، على سبيل المثال 2 ، 3 ، 5 ... لذلك ، يجب أن يكون هناك المزيد من الدقة المربعات والأرقام العادية معًا ، بدلاً من مجرد مربعات كاملة. حق؟ الصحيح.

لكن من ناحية أخرى: لكل رقم مربعه المحدد ، والعكس صحيح - لكل مربع محدد يوجد جذر تربيعي كامل ، لذلك يجب أن يكون هناك نفس عدد المربعات والأعداد الطبيعية. حق؟ الصحيح.

يتعارض منطق جاليليو مع البديهية التي لا جدال فيها بأن الكل أكبر من أي جزء من أجزائه. لم يستطع الإجابة عن اللانهاية الأكبر - الأولى أم الثانية. اعتقد جاليليو أنه إما أنه كان مخطئًا في شيء ما ، أو أن مثل هذه المقارنات لا تنطبق على اللانهائيات. في الأخير كان على حق ، لأنه بعد ثلاثة قرون ، أثبت جورج كانتور أن "حساب اللانهائي يختلف عن حساب المحدود".

اللانهايات المعدودة: الجزء يساوي الكل

جورج كانتور(1845-1918) ، مؤسس نظرية المجموعات ، بدأ في استخدام اللانهاية الفعلية في الرياضيات. اعترف بأن اللانهاية موجودة كلها مرة واحدة. ونظرًا لوجود مجموعات لا نهائية ، وكل ذلك مرة واحدة ، يمكنك إجراء معالجات رياضية معهم وحتى مقارنتها. نظرًا لأن الكلمتين "رقم" و "كمية" غير مناسبتين في حالة اللانهائيات ، فقد قدم مصطلح "قوة". كمعيار ، أخذ Kantor أعدادًا طبيعية لا نهائية ، وهي كافية لإعادة حساب أي شيء ، تسمى هذه المجموعة القابلة للعد ، وقوتها - قوة مجموعة قابلة للعد ، وبدأت في مقارنتها مع قوى المجموعات الأخرى.

لقد أثبت أن مجموعة الأعداد الطبيعية تحتوي على عدد من العناصر مثل مجموعة الأعداد الزوجية! في الواقع ، نكتب تحت بعضنا البعض:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

للوهلة الأولى ، يبدو واضحًا أن عدد الأرقام في المجموعة الأولى ضعف عدد الأرقام الموجودة في المجموعة الثانية. ولكن ، من ناحية أخرى ، من الواضح أن التسلسل الثاني قابل للعد أيضًا ، نظرًا لأن أي رقم منه يتوافق دائمًا مع رقم واحد بالضبط من التسلسل الأول. والعكس صحيح! لذلك لا يمكن استنفاد التسلسل الثاني قبل الأول. لذلك ، هذه المجموعات متكافئة! وبالمثل ، فقد ثبت أن مجموعة مربعات الأعداد الطبيعية (من مفارقة جاليليو) قابلة للعد ومكافئة لمجموعة الأعداد الطبيعية. ويترتب على ذلك أن جميع اللانهايات المعدودة متكافئة.

اتضح أنه مثير جدًا للاهتمام: مجموعة الأعداد الزوجية ومجموعة مربعات الأعداد الطبيعية (من مفارقة غاليليو) هي جزء من مجموعة الأعداد الطبيعية. ومع ذلك ، فهي قوية بنفس القدر. لذلك ، الجزء مساوٍ للكل!

لانهايات لا حصر لها

ولكن لا يمكن عد كل اللانهاية بالطريقة التي فعلناها مع الأعداد الزوجية ومربعات الأعداد الطبيعية. اتضح أنه من المستحيل عد النقاط على مقطع ، أرقام حقيقية (معبر عنها بجميع الكسور العشرية المنتهية واللانهائية) ، وحتى جميع الأعداد الحقيقية من 0 إلى 1. في الرياضيات ، يقولون أن عددهم غير معدود.

ضع في اعتبارك هذا في مثال تسلسل الأرقام الكسرية. الأعداد الكسرية لها خاصية لا تمتلكها الأعداد الصحيحة. لا توجد أعداد صحيحة أخرى بين عددين متتاليين. على سبيل المثال ، لن "يلائم" أي عدد صحيح آخر بين 8 و 9. ولكن إذا أضفنا أعدادًا كسرية إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، فإن هذه القاعدة لن تصمد بعد الآن. نعم ، الرقم

سيكون بين 8 و 9. وبالمثل ، يمكنك العثور على رقم يقع بين أي رقمين A و B:

نظرًا لأنه يمكن تكرار هذا الإجراء إلى أجل غير مسمى ، فيمكن القول إنه سيكون هناك دائمًا عدد غير محدود من الأرقام الحقيقية الأخرى بين أي رقمين حقيقيين.

وبالتالي ، فإن اللانهاية من الأعداد الحقيقية غير معدودة ، ولانهاية الأعداد الطبيعية قابلة للعد. هذه اللانهايات ليست متكافئة ، ولكن من مجموعة غير معدودة من الأرقام الحقيقية ، يمكن للمرء دائمًا تحديد جزء قابل للعد ، على سبيل المثال ، أرقام طبيعية أو زوجية. لذلك ، اللانهاية غير المعدودة أقوى من اللانهاية المعدودة.

اللانهاية مفهوم تجريدي يستخدم لوصف أو الإشارة إلى شيء لا حصر له أو لا حدود له. هذا المفهوم مهم للرياضيات والفيزياء الفلكية والفيزياء والفلسفة والمنطق والفن.

فيما يلي بعض الحقائق المدهشة حول هذا المفهوم المعقد الذي يمكن أن يفجر عقل أي شخص ليس على دراية بالرياضيات.

رمز اللانهاية

إنفينيتي لها رمزها الخاص: ∞. تم تقديم الرمز ، أو lemniscate ، من قبل رجل الدين وعالم الرياضيات جون واليس في عام 1655. تأتي كلمة "lemniscate" من الكلمة اللاتينية lemniscus ، والتي تعني "الشريط".

قد يكون Wallis قد أسس رمز اللانهاية على الرقم الروماني 1000 ، الذي استخدمه الرومان بجانبه للإشارة إلى "عدد لا يحصى" ، بالإضافة إلى الرقم. من الممكن أيضًا أن يكون الرمز مبنيًا على أوميغا (Ω أو ω) ، وهو الحرف الأخير من الأبجدية اليونانية.

حقيقة مثيرة للاهتمام هي أن مفهوم اللانهاية ظهر واستخدم قبل وقت طويل من منحه واليس الرمز الذي نستخدمه حتى يومنا هذا.

في القرن الرابع قبل الميلاد ، قسم نص رياضي لجاين يسمى Surya Prajnapti Sutra جميع الأرقام إلى ثلاث فئات ، تم تقسيم كل منها بدورها إلى ثلاث فئات فرعية. في هذه الفئات تم تحديد الأرقام المعدودة وغير المعدودة واللانهائية.

أبوريا زينو

Zeno of Elea ، ولد في حوالي القرن الخامس قبل الميلاد. e. ، كان معروفًا بالمفارقات ، أو aporias ، بما في ذلك مفهوم اللانهاية.

من بين جميع مفارقات زينو ، يعتبر أخيل والسلحفاة الأكثر شهرة. في aporia ، تتحدى السلحفاة البطل اليوناني Achilles ، وتدعو له إلى سباق. تدعي السلحفاة أنه سيفوز بالسباق إذا منحه أخيل الصدارة بألف وتيرة. وفقًا للمفارقة ، في الوقت الذي يقطع فيه أخيل المسافة بأكملها ، ستخطو السلحفاة مائة خطوة أخرى في نفس الاتجاه. بينما يركض أخيل مائة خطوة أخرى ، فإن لدى السلحفاة وقتًا لاتخاذ عشر خطوات أخرى ، وهكذا دواليك بترتيب تنازلي.

بطريقة أبسط ، تعتبر المفارقة على النحو التالي: حاول عبور الغرفة إذا كانت كل خطوة تالية نصف الخطوة السابقة. على الرغم من أن كل خطوة تقربك من حافة الغرفة ، إلا أنك لن تصل إليها أبدًا ، أو ستفعل ذلك ، ولكن الأمر سيستغرق عددًا لا حصر له من الخطوات.

وفقًا لأحد التفسيرات الحديثة ، تقوم هذه المفارقة على فكرة خاطئة عن القابلية اللانهائية للقسمة بين الزمان والمكان.

الرقم pi هو مثال على اللانهاية

Pi هو مثال رائع على اللانهاية. يستخدم علماء الرياضيات رمزًا لـ pi لأنه من المستحيل تدوين العدد الصحيح. يتكون Pi من عدد لا حصر له من الأرقام. غالبًا ما يتم تقريبه إلى 3.14 أو حتى 3.14159 ، ولكن بغض النظر عن عدد الأرقام المكتوبة بعد الفاصلة العشرية ، فمن المستحيل الوصول إلى نهاية الرقم.

نظرية القرد اللانهائي

هناك طريقة أخرى للتفكير في اللانهاية وهي النظر في نظرية القرد اللانهائي. وفقًا للنظرية ، إذا أعطيت قردًا آلة كاتبة ومقدارًا غير محدود من الوقت ، فسيكون القرد في النهاية قادرًا على طباعة هاملت أو أي عمل آخر.

في حين أن الكثير من الناس يأخذون النظرية كدليل على الاعتقاد بأن لا شيء مستحيل ، يرى علماء الرياضيات أنها دليل على أن حدثًا معينًا مستحيل.

الفركتلات واللانهاية

الفركتل هو كائن رياضي تجريدي يستخدم في الرياضيات والفن ، وغالبًا ما يكون نموذجًا لظواهر طبيعية. تتم كتابة كسورية كمعادلة رياضية. بالنظر إلى الفراكتل ، يمكن للمرء أن يلاحظ هيكله المعقد بأي مقياس. بعبارة أخرى ، يتزايد الفراكتل بشكل لا نهائي.

ندفة الثلج من Koch هي مثال مثير للاهتمام للفركتلات. تبدو ندفة الثلج كمثلث متساوي الأضلاع يشكل منحنى مغلقًا بطول لانهائي. من خلال زيادة المنحنى ، يمكن رؤية المزيد والمزيد من التفاصيل عليه. يمكن أن تستمر عملية زيادة المنحنى لعدد لا حصر له من المرات. على الرغم من أن ندفة الثلج من Koch لها منطقة محدودة ، إلا أنها محدودة بخط طويل بلا حدود.

اللانهاية بأحجام مختلفة

اللانهاية لا حدود لها ، لكنها قابلة للقياس ، وإن كانت قابلة للمقارنة. الأعداد الموجبة (أكبر من 0) والأرقام السالبة (أقل من 0) تتباهى بمجموعات لا نهائية من الأرقام ذات الحجم المتساوي. ماذا يحدث عندما تجمع بين المجموعتين؟ سوف تحصل على ضعف حجم المجموعة. أو مثال آخر - كل الأرقام الزوجية (يوجد عدد لا حصر له منها). ومع ذلك فهو نصف العدد اللانهائي لجميع الأعداد الصحيحة. مثال آخر ، أضف واحدًا إلى ما لا نهاية. تعلم أن الرقم 1 أكبر من اللانهاية.

علم الكونيات واللانهاية

يدرس علماء الكونيات الكون ، فليس من المستغرب أن يلعب مفهوم اللانهاية دورًا مهمًا بالنسبة لهم. هل للكون حدود أم أنه لانهائي؟

هذا السؤال لا يزال دون إجابة. كوننا يتوسع ، لكن أين؟ وأين حد هذا التوسع؟ حتى لو كان للكون المادي حدود ، فلا يزال لدينا نظرية عن الكون المتعدد ، والتي تعتبر وجود عدد لا حصر له من الأكوان التي قد يكون لها قوانين فيزيائية مختلفة عن قوانيننا.

القسمة على صفر

القسمة على الصفر غير موجودة. إنه مستحيل ، على الأقل ليس في الرياضيات العادية. في الرياضيات التي اعتدنا عليها ، لا يمكن تحديد واحد مقسوم على صفر. هذا خطأ. ومع ذلك ، هذا ليس هو الحال دائما. في النظرية الموسعة للأعداد المركبة ، لا يتسبب قسمة واحد على صفر في انهيار حتمي ويتم تحديده بواسطة شكل من أشكال اللانهاية. بمعنى آخر ، الرياضيات مختلفة ، ولا تقتصر جميعها على قواعد الكتب المدرسية.

في تواصل مع

هل اللانهاية موجودة

هل الكون لانهائي ، وإذا كانت الإجابة بنعم ، فإن "هذا لا يمكن أن يكون". ماذا إذا لا ، ماذا يوجد في الجانب الآخر؟ ومن يحب القصص الخيالية عن محدودةالمشعبات بدون حافة ، مثل كرة - دع الفكر يرسل عموديًا على الحافة.ماذا يوجد هناك؟ أو الذين. اللانهاية الخيالية ليست خارقة جدًا ، ولكنها أيضًاغير مفهوم في بعض الأماكن. جورج كانتور. مقارنة اللانهاية. الأستمرارية. على العدد النقاط على المربع يساوي عدد النقاط الموجودة على قطعة مستقيمة.

إن الإحساس الحارق بالخلود المكاني صادم طالما أن مشاكل الإمبراطورية السماوية تُدركها القناة الهضمية ، وليس العقل. ثم نداء ثاقب لا ينضب"يتباطأ تدريجياً ، ويحرق نفسه بالواقع ، يختبئ شخص في عالم خيالي. لا يزال الأمر غير كافٍ للاختباء.

في عالم الأفكار ، تظهر اللانهاية بشكل مختلف. بأي معنى توجد السلسلة الطبيعية؟ كعملية تتكشف أو كعملية مكتملة؟ هل من المحتمل أن تكون الأعداد الطبيعية قابلة للبناء أم أنها متاحة بالفعل؟ مشكلة في البداية

صفعات من المدرسة. لا يهم ، يبدو. لا توجد عواقب.

لكن العواقب وخيمة. في المقابل ، يتم الحصول على عالمين رياضيين مختلفين. أحدهما بنّاء ، ولا يسمح بإدراك اللانهاية بكل ضخامة. الآخر عادي ، آكل اللحوم.

تنشأ مشاكل بسيطة من وجود اللانهاية بالفعل في المرحلة الابتدائية

مواقف من النوع حيث وجود تطابق واحد لواحد n n ^ 2 يشجع فكرة أن هناك عددًا صحيحًا مساويًا لمربعاتها. لطالما كان هذا المثال على حافة الهاوية ، لكنه في أبسط أشكاله يعكس وجود مشكلة. اتضح بعد كل شيء ، إذا أخذ شخص ما مني 10 روبل كل يوم ، وأعطاني واحدة ، فعند انتهاء العملية ، سنستقيل. لأنه إذا كانت السلسلة قد حدثت بالفعل ، فقد أعطيت لي الروبل التاسع في اليوم التاسع. المفارقة ، بالطبع ، لا تستحق العناء ، لأن العملية لن تنتهي أبدًا ، كما يعتقد طالب الصف الخامس.

ماذا عن p / q كسور؟ كلهم "هناك بالفعل" في هذا الجزء. إنهم هنا ، ولا يحتاجون إلى إضافتهم واحدًا تلو الآخر. لهذا السبب - " مصيدة الحجم المحدود لما لا نهاية". صغير

محفظة حيث يتم وضع جميع الكسور. وجذر اثنين ، مثل ما يحمله ما لا نهاية ، بسبب ما لا نهاية للكسر العشري. لذلك ، فإن نظرية المجموعات لها كل الأسباب لاعتبار اللانهاية على أنها " معطى". شيء آخر هو أنه يتم فرض متطلبات معينة على هذا المعطى ، بحيث لا توجد تناقضات.

ومع ذلك ، بمجرد أن تعترف بشيء ما ، تبدأ المشاكل. سرب اللانهاية ومع

يحتاجون إلى إدارتها بطريقة أو بأخرى. تم ذلك جورج كانتورالذي أنشأ نظرية المجموعات. إن الثورة التي حدثت تؤكد الأطروحة المعروفة " تولد الحقيقة بدعة وتموت مثل الابتذال". الأفكار الرئيسية متاحة للجميع اليوم. لكن " ومن بعد" غير ممكن

كان لا بد من أن يشرح لأحد. قاوم الحدس. الآن تجذر المرض ، وجفت الحيرة.

وضع كانتور أداة المراسلات الفردية كأساس لدراسة المجموعات. المجموعات X و Y متكافئة إذا كان من الممكن إنشاء تطابق واحد إلى واحد بين عناصرها.

علاقة التكافؤ بشكل انعكاسيو بشكل عابرالذي يسمح لك بتحطيم كل شيء

مجموعات في فئات التكافؤ. فئة التكافؤ لمجموعة X تسمى أصلها ويشار إليها على أنها | X |. يتم ترتيب المجموعات حسب العلاقة الأساسية باستخدام خدعة طبيعية.

تسمى المجموعات المكافئة للأرقام الطبيعية قابلة للعد. أي تسلسل قابل للعد. يواجه اعتبار الكسور العشرية ظاهرة جديدة. تبين أن مجموعة هذه الأرقام (السلسلة المتصلة) غير معدودة.

كانت المحاولة التاريخية لإثبات أن المقطع والمربع x لهما عناصر أساسية مختلفة مؤلمة للغاية. اتضح أنهم كانوا نفس الشيء. لم يتلق العالم مثل هذه الهزة منذ زمن جاليليو ، عندما تم اكتشاف أن جميع الجثث تسقط بنفس الشيء.

التسريع.

مهما كان الأمر ، فقد فازت اللانهاية بمكان تحت الشمس. بدونها ، كل شيء في الرياضيات "سيبقى ساكنًا". نعم ~ الأمر يستحق - في الرياضيات البناءة ، حيث لا يناسب - عادي. غالبًا ما لا يتم التحقق من عدم المساواة وعدم المساواة في الأرقام البناءة ، ولا يوجد مكان تتقارب فيه التسلسلات ، ولا توجد حدود ، والاستمرارية مجرد حلم ، وبشكل عام ينهار كل شيء. صورة رهيبة. من الصعب تقييم مدى الكارثة. لذلك ، اللانهاية مفيدة مثل "واحد". الوجه الآخر للعملة ، نوعا ما. نوع من وعاء "لما لا يحدث".