كيفية إيجاد مساحة المثلث بالأرجل والوتر. كيفية إيجاد مساحة المثلث القائم بطريقة غير معتادة. ماذا تعلمنا

المثلث شكل هندسي مسطح بزاوية واحدة تساوي 90 درجة. في الوقت نفسه ، غالبًا ما يكون مطلوبًا في الهندسة حساب مساحة هذا الشكل. كيف نفعل هذا ، سنقول المزيد.

أبسط صيغة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية

البيانات الأولية ، حيث: أ و ب هي ضلعي المثلث الخارجين من الزاوية اليمنى.

أي أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين الخارجين من الزاوية القائمة. بالطبع ، هناك صيغة هيرون المستخدمة لحساب مساحة المثلث العادي ، ولكن لتحديد القيمة ، تحتاج إلى معرفة طول الأضلاع الثلاثة. وفقًا لذلك ، سيتعين عليك حساب الوتر ، وهذا وقت إضافي.

أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون

هذه معادلة أصلية ومعروفة ، لكن لهذا عليك حساب الوتر على قدمين باستخدام نظرية فيثاغورس.

في هذه الصيغة: a ، b ، c هي أضلاع المثلث ، و p هي نصف المحيط.

أوجد مساحة المثلث القائم الزاوية بمعلومية الوتر والزاوية

إذا لم تكن أي من الأرجل معروفة في مشكلتك ، فلن تتمكن من استخدام أبسط طريقة. لتحديد القيمة ، تحتاج إلى حساب طول الساقين. يتم ذلك ببساطة عن طريق الوتر وجيب التمام للزاوية المضمنة.

ب = ج × جتا (α)

بمعرفة طول إحدى الأرجل ، باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكنك حساب الضلع الثاني الذي يخرج من الزاوية القائمة.

ب 2 \ u003d ج ​​2-أ 2

في هذه الصيغة ، c و a هما الوتر والساق ، على التوالي. الآن يمكنك حساب المساحة باستخدام الصيغة الأولى. بالطريقة نفسها ، يمكن حساب إحدى الأرجل ، بالنظر إلى الثانية والزاوية. في هذه الحالة ، سيكون أحد الجوانب المرغوبة مساويًا لمنتج الساق وظل الزاوية. هناك طرق أخرى لحساب المنطقة ، ولكن بمعرفة النظريات والقواعد الأساسية ، يمكنك بسهولة العثور على القيمة المطلوبة.

إذا لم يكن لديك أي من جوانب المثلث ، ولكن لديك فقط الوسيط وأحد الزوايا ، فيمكنك حساب طول الأضلاع. للقيام بذلك ، استخدم خصائص الوسيط لقسمة مثلث قائم الزاوية على اثنين. وفقًا لذلك ، يمكن أن يكون بمثابة وتر إذا خرج من زاوية حادة. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أضلاع المثلث الخارج من الزاوية القائمة.

كما ترى ، بمعرفة الصيغ الأساسية ونظرية فيثاغورس ، يمكنك حساب مساحة المثلث القائم الزاوية ، الذي يحتوي على زاوية واحدة فقط وطول أحد أضلاعه.

صيغة المنطقةضروري لتحديد مساحة الشكل ، وهي دالة ذات قيمة حقيقية محددة في فئة معينة من الأرقام في المستوى الإقليدي وتلبية 4 شروط:

1. موجب - لا يمكن أن تكون المساحة أقل من صفر ؛
2. التطبيع - مربع به جانب من الوحدة تبلغ مساحته 1 ؛
3. التطابق - الأرقام المتطابقة لها مساحة متساوية ؛
4. الجمع - مساحة اتحاد رقمين بدون نقاط داخلية مشتركة تساوي مجموع مناطق هذه الأرقام.

في الهندسة الأولية ، المثلث القائم الزاوية هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء متصلة عند نقاط ، اثنتان منها حادة وواحدة مستقيمة (أي تساوي 90 درجة). مثلث قائميتميز بعدد من الخصائص المهمة ، كثير منها يشكل أساس علم المثلثات (على سبيل المثال ، العلاقة بين أضلاعه وزواياه). منذ المدرسة ، نعلم جميعًا كيفية الحساب مساحة مثلث قائم الزاوية، وفي الحياة اليومية نلتقي بهذا الشكل الهندسي في كثير من الأحيان ، وأحيانًا حتى دون أن نلاحظه. يجد تطبيقًا واسعًا إلى حد ما في التكنولوجيا ، وبالتالي يجب حل هذه المهمة غالبًا بواسطة المهندسين والمصممين والمهندسين المعماريين.

يحتاج المهندسون المعماريون إلى تحديد هذه القيمة عند تصميم المباني ذات الجملونات ، وهي عبارة عن استكمال للواجهات ولها شكل مثلثييحدها كورنيش ومنحدرات السقف من الجانبين. غالبًا ما تكون الزاوية بين المنحدرات مستقيمة ، وفي مثل هذه الحالات يكون للزاوية شكل مثلث قائم. مطلوب تحديد منطقته لسبب بسيط وهو أنه من الضروري معرفة بالضبط كمية مواد البناء اللازمة لترتيبه. تجدر الإشارة إلى أن الأقواس هي عناصر لا غنى عنها للمباني منخفضة الارتفاع (منازل ريفية ، منازل ريفية ، منازل ريفية).

إيجاد مساحة المثلث القائم

صيغة حساب مساحة المثلث القائم

أ- ساق

ب- ساق

س- مساحة المثلث القائم

شكل مثلث قائمتحتوي على العديد من التفاصيل التي صنع منها الأثاث الحديث. كما تعلم ، من أجل الاستخدام الأكثر عقلانية لمنطقة المبنى ، يجب وضع جميع عناصر الموقف فيها بالطريقة المثلى. من المفيد استخدام مناطق مثل الزوايا بمساعدة الطاولات ذات الشكل المثلث ، والتي تكون أسطحها في معظم الحالات مثلثات مستطيلة مع أرجل قريبة من الجدران. عند تصميم وحساب هذه العناصر ، يستخدم مصممو إنتاج الأثاث صيغة وفقًا لذلك إيجاد مساحة المثلث القائمبناءً على طول جوانبها. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يتعين عليهم تطوير تصميمات الجداول المرتبطة مباشرة بالجدران ، والتي تتضمن عناصر داعمة ، وهي أيضًا مثلثات قائمة.

غالبًا ما يتعين على البناة المشاركين في أعمال التكسية استخدام بلاط السيراميك في أنشطتهم المهنية ، والتي لها شكل مثلث قائم الزاوية بأرجل من نفس الطول أو أطوال مختلفة. يجب عليهم أيضًا تحديد مساحة هذه العناصر لمعرفة العدد المطلوب منها.

شكل مثلث قائمكما أن لديها أداة قياس مهمة وضرورية مثل المربع. بفضل مساعدتها ، يتم بناء الزوايا القائمة والتحكم فيها ، ويتم استخدامها على نطاق واسع للغاية ومن قبل الكثيرين: من تلاميذ المدارس العاديين في دروس الهندسة إلى مصممي التكنولوجيا الحديثة للغاية.

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون إحدى زواياه 90 درجة. يمكن العثور على مساحتها إذا كانت قدمين معروفين. يمكنك بالطبع أن تقطع شوطا طويلا - ابحث عن الوتر وحساب المساحة منه ، ولكن في معظم الحالات لن يستغرق الأمر سوى وقت إضافي. هذا هو السبب في أن صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية تبدو كما يلي:

مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب الساقين.

مثال على حساب مساحة المثلث القائم.
إعطاء مثلث قائم بذاته مع أرجل أ= 8 سم ، ب= 6 سم.
نحسب المنطقة:
المساحة: 24 سم 2

أيضًا في المثلث القائم الزاوية ، يتم تطبيق نظرية فيثاغورس. - مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر.
تُحسب صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين بنفس طريقة حساب المثلث القائم الزاوية المنتظم.

مثال لحساب مساحة مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين:
إعطاء مثلث مع الساقين أ= 4 سم ، ب\ u003d 4 سم احسب المساحة:
نحسب المساحة: \ u003d 8 سم 2

يمكن استخدام صيغة مساحة المثلث القائم بالنسبة للوتر إذا تم إعطاء رجل واحدة في الشرط. من نظرية فيثاغورس نجد طول الساق المجهولة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الوتر جوالساق أ، ساق بستكون مساوية لـ:
بعد ذلك ، نحسب المساحة باستخدام الصيغة المعتادة. مثال على حساب صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية باستخدام الوتر مطابق لتلك الموصوفة أعلاه.

لنفكر في مهمة مثيرة للاهتمام ستساعد في تعزيز معرفة الصيغ لحل المثلث.
مهمة: مساحة المثلث القائم 180 متر مربع. انظر أوجد الضلع الأصغر للمثلث إذا كان أقل من الثاني بمقدار 31 سم.
المحلول: تدل على الساقين أو ب. لنقم الآن باستبدال البيانات في صيغة المساحة: نعلم أيضًا أن إحدى الأرجل أصغر من الأخرى أ – ب= 31 سم
من الشرط الأول حصلنا على ذلك
نستبدل هذا الشرط في المعادلة الثانية:

نظرًا لأننا وجدنا الجوانب ، قمنا بإزالة علامة الطرح.
اتضح أن الساق أ= 40 سم و ب= 9 سم.

في فصول الهندسة في المدرسة الثانوية ، تعلمنا جميعًا عن المثلثات. ومع ذلك ، في إطار المناهج الدراسية ، نتلقى فقط المعرفة الأكثر أهمية ونتعلم أكثر طرق الحساب شيوعًا وقياسية. هل هناك طرق غير معتادة للعثور على هذه الكمية؟

كمقدمة ، لنتذكر أي مثلث يعتبر مثلث قائم الزاوية ، ونشير أيضًا إلى مفهوم المساحة.

المثلث القائم الزاوية هو شكل هندسي مغلق إحدى زواياه تساوي 90 0. المفاهيم الأساسية في التعريف هي الساقان والوتر. الأرجل وجهان يشكلان زاوية قائمة عند نقطة الاتصال. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يمكن أن يكون المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين (سيكون ضلعا ضلعه بنفس الحجم) ، لكن لا يكون متساوي الأضلاع أبدًا (كل الأضلاع لها نفس الطول). لن يتم تحليل تعريفات الطول والوسيط والمتجهات والمصطلحات الرياضية الأخرى بالتفصيل. من السهل العثور عليها في الكتب المرجعية.

مساحة المثلث القائم. على عكس المستطيلات ، فإن القاعدة حول

منتج الأطراف في التعريف غير صالح. عند التحدث بلغة جافة من المصطلحات ، فإن مساحة المثلث تُفهم على أنها خاصية لهذا الشكل لاحتلال جزء من المستوى ، معبرًا عنه برقم. من الصعب جدًا فهم ذلك ، كما ترى. لن نحاول الخوض بعمق في التعريف ، هدفنا ليس هذا. دعنا ننتقل إلى الشيء الرئيسي - كيفية إيجاد مساحة المثلث القائم؟ لن نقوم بالحسابات بأنفسنا ، سنشير فقط إلى الصيغ. للقيام بذلك ، دعنا نحدد الترميز: A ، B ، C - جوانب المثلث ، الأرجل - AB ، BC. الزاوية ACB مستقيمة. S هي مساحة المثلث ، و h n n هي ارتفاع المثلث ، حيث nn هي الضلع الذي تم إنزاله عليه.

الطريقة الأولى: كيفية إيجاد مساحة المثلث القائم إذا كان حجم ساقيه معروفًا

الطريقة الثانية: أوجد مساحة مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين

الطريقة الثالثة. حساب المساحة من خلال مستطيل

نكمل المثلث القائم الزاوية إلى مربع (إذا كان المثلث

متساوي الساقين) أو مستطيل. نحصل على رباعي الزوايا بسيط يتكون من مثلثين متطابقين قائم الزاوية. في هذه الحالة ، ستكون قيمة مساحة أحدهما مساوية لنصف مساحة الشكل الناتج. يتم حساب S للمستطيل من خلال حاصل ضرب الأضلاع. نشير إلى هذه القيمة بواسطة M. وستكون القيمة المرغوبة للمنطقة مساوية لنصف M.

الطريقة الرابعة. "السراويل فيثاغورس". نظرية فيثاغورس الشهيرة

نتذكر جميعًا صياغتها: "مجموع مربعات الأرجل ...". لكن لا يستطيع الجميع ذلك

أقول ، وهنا بعض "السراويل". الحقيقة هي أن فيثاغورس في البداية درس العلاقة المبنية على جانبي المثلث القائم. بعد تحديد الأنماط في نسبة جوانب المربعات ، تمكن من اشتقاق الصيغة المعروفة لنا جميعًا. يمكن استخدامه عندما تكون قيمة أحد الجوانب غير معروفة.

الطريقة 5. كيفية إيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية باستخدام صيغة هيرون

إنها أيضًا عملية حسابية بسيطة جدًا. تتضمن الصيغة التعبير عن مساحة المثلث من حيث القيم العددية لأضلاعه. لإجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى معرفة مقدار كل جوانب المثلث.

S = (p-AC) * (p-BC) ، حيث p = (AB + BC + AC) * 0.5

بالإضافة إلى ما سبق ، هناك العديد من الطرق الأخرى لمعرفة حجم مثل هذا الشكل الغامض مثل المثلث. من بينها: الحساب بطريقة الدائرة المنقوشة أو المقيدة ، الحساب باستخدام إحداثيات الرؤوس ، استخدام المتجهات ، القيم المطلقة ، الجيب ، الظلال.