هرم. الهرم المقطوع

هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( قاعدة ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( وجوه جانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح ، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم إسقاط قمة الهرم في مركز القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .

ضلع جانبيالهرم يسمى جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الأضلاع الجانبية للهرم العادي متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الوجوه الجانبية متساوية في مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم مرسوم من القمة عتمة . مقطع قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبيةالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية في الهرم متساوية الأطوال ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة صحيحة:

أين الخامس- الصوت؛

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

حهو ارتفاع الهرم.

بالنسبة للهرم العادي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح أ- صيدلة.

ح- ارتفاع؛

S ممتلئ

جانب S.

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

الخامسهو حجم الهرم المنتظم.

هرم مبتوريسمى جزء الهرم المحاط بالقاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع الصحيح يسمى جزء الهرم المنتظم ، محاطًا بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسسهرم مبتور - مضلعات مماثلة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع يسمى المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع عبارة عن قطعة تربط رؤوسها التي لا تقع على نفس الوجه. مقطع قطري يسمى جزء من الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

بالنسبة للهرم المقطوع ، تكون الصيغ صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛

S ممتلئهي مساحة السطح الكلية ؛

جانب S.هي مساحة السطح الجانبية

ح- ارتفاع؛

الخامسهو حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع العادي ، فإن الصيغة التالية صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 - محيط القاعدة ؛

ح أ- عائدة لهرم مبتور منتظم.

مثال 1في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 18).

الهرم منتظم ، مما يعني أن القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع وأن جميع وجوه الأضلاع متساوية في مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية السطح في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. ستكون الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: أي يظهر الجزء العلوي من الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة المحصورة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD. للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB. دع طول المقطع BDهو 3 أ. نقطة االقطعة المستقيمة BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: من نجد:

إجابه:

مثال 2أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كان أقطار قاعدته سم و سم والارتفاع 4 سم.

المحلول.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحات القواعد ، تحتاج إلى إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، وهذا يعني مساحات القواعد واستبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابه: 112 سم 3.

مثال 3أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع يبلغ طول ضلعه من قاعدته 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القواعد والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، ويظل الارتفاع غير معروف فقط. تجده من أين لكن 1 هعمودي من نقطة لكن 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من لكن 1 في AU. لكن 1 ه\ u003d 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. للعثور على DEسنقوم بعمل رسم إضافي ، حيث سنصور منظرًا علويًا (الشكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعمهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و OMهو نصف قطر الدائرة المنقوشة:

MK = DE.

وفقًا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابه:

مثال 4في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع أوجه الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة ، فإن الرأس يُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط قمة الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDإلى مستوى القاعدة. وفقًا للنظرية الخاصة بمنطقة الإسقاط المتعامد لشكل مسطح ، نحصل على:

وبالمثل ، فهذا يعني وهكذا ، تم تقليل المشكلة إلى إيجاد منطقة شبه المنحرف ا ب ت ث. ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة اهو مركز دائرة منقوشة في شبه منحرف.

نظرًا لأنه يمكن نقش دائرة في شبه منحرف ، إذن أو من ، بواسطة نظرية فيثاغورس ، لدينا

تعد القدرة على حساب حجم الأشكال المكانية مهمة في حل عدد من المشكلات العملية في الهندسة. أحد الأشكال الأكثر شيوعًا هو الهرم. في هذه المقالة ، سننظر في الأهرامات ، كاملة ومبتورة.

الهرم كشكل ثلاثي الأبعاد

يعلم الجميع عن الأهرامات المصرية ، لذلك لديهم فكرة جيدة عن الشكل الذي سيتم مناقشته. ومع ذلك ، فإن الهياكل الحجرية المصرية ليست سوى حالة خاصة لفئة ضخمة من الأهرامات.

الكائن الهندسي قيد النظر في الحالة العامة هو قاعدة متعددة الأضلاع ، كل رأس منها متصل بنقطة ما في الفضاء لا تنتمي إلى المستوى الأساسي. يؤدي هذا التعريف إلى شكل يتكون من مثلثين n-gon و n.

يتكون أي هرم من n + 1 وجوه ، 2 * n حواف و n + 1 رءوس. نظرًا لأن الشكل قيد النظر هو متعدد السطوح المثالي ، فإن عدد العناصر المميزة تخضع لمعادلة أويلر:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

يعطي المضلع الموجود في القاعدة اسم الهرم ، على سبيل المثال ، مثلث وخماسي وما إلى ذلك. تظهر مجموعة من الأهرامات بقواعد مختلفة في الصورة أدناه.

النقطة التي ترتبط عندها n مثلثات من الشكل تسمى قمة الهرم. إذا تم خفض عمودي منه إلى القاعدة وتقاطعها في المركز الهندسي ، فسيتم تسمية هذا الشكل بالخط المستقيم. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فهناك هرم مائل.

الشكل المستقيم ، الذي يتكون قاعدته من n-gon متساوي الأضلاع (متساوي الزوايا) ، يسمى منتظم.

صيغة حجم الهرم

لحساب حجم الهرم ، نستخدم حساب التفاضل والتكامل. للقيام بذلك ، نقسم الشكل على مستويات قاطعة موازية للقاعدة إلى عدد لا حصر له من الطبقات الرقيقة. يوضح الشكل أدناه هرمًا رباعي الزوايا بارتفاع h وطول جانبه L ، حيث يتم تمييز طبقة مقطعية رفيعة برباعي الأضلاع.

يمكن حساب مساحة كل طبقة من خلال الصيغة:

أ (ض) = أ 0 * (ح- ض) 2 / س 2.

هنا A 0 هي مساحة القاعدة ، و z هي قيمة الإحداثي الرأسي. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z = 0 ، فإن الصيغة تعطي القيمة A 0.

للحصول على صيغة حجم الهرم ، يجب أن تحسب التكامل على ارتفاع الشكل بالكامل ، أي:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

باستبدال الاعتماد A (z) وحساب المشتق العكسي ، نصل إلى التعبير:

V = -A 0 * (ح ض) 3 / (3 * ح 2) | ح 0 \ u003d 1/3 * A 0 * ح.

لقد حصلنا على صيغة حجم الهرم. للعثور على قيمة V ، يكفي ضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة ، ثم قسمة النتيجة على ثلاثة.

لاحظ أن التعبير الناتج يكون صالحًا لحساب حجم هرم من نوع عشوائي. وهذا يعني أنه يمكن أن يكون مائلاً ، ويمكن أن تكون قاعدته عبارة عن n-gon تعسفي.

وحجمه

يمكن تحسين الصيغة العامة للحجم التي تم الحصول عليها في الفقرة أعلاه في حالة وجود هرم بقاعدة منتظمة. يتم حساب مساحة هذه القاعدة بالصيغة التالية:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

هنا L هو طول ضلع مضلع منتظم برؤوس n. الرمز pi هو الرقم pi.

بالتعويض عن التعبير عن A 0 في الصيغة العامة ، نحصل على حجم الهرم المنتظم:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

على سبيل المثال ، بالنسبة للهرم الثلاثي ، تؤدي هذه الصيغة إلى التعبير التالي:

V 3 \ u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \ u003d √3 / 12 * L 2 * h.

بالنسبة للهرم رباعي الزوايا العادي ، تأخذ صيغة الحجم الشكل:

V 4 \ u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \ u003d 1/3 * L 2 * h.

يتطلب تحديد أحجام الأهرامات المنتظمة معرفة جانب قاعدتها وارتفاع الشكل.

الهرم مقطوع

لنفترض أننا اتخذنا هرمًا اعتباطيًا وقطعنا جزءًا من سطحه الجانبي يحتوي على الرأس. الرقم المتبقي يسمى الهرم المقطوع. يتكون بالفعل من قاعدتين n-gonal و n شبه منحرف يربط بينهما. إذا كان مستوى القطع موازيًا لقاعدة الشكل ، فسيتم تشكيل هرم مقطوع بقواعد مماثلة متوازية. أي ، يمكن الحصول على أطوال جانبي أحدهما بضرب أطوال الآخر في بعض المعامل k.

يوضح الشكل أعلاه شكلًا منتظمًا مبتورًا ، ويمكن ملاحظة أن قاعدته العلوية ، مثل القاعدة السفلية ، تتكون من شكل سداسي منتظم.

الصيغة التي يمكن اشتقاقها باستخدام حساب متكامل مشابه لما ورد أعلاه هي:

V = 1/3 * ح * (أ 0 + أ 1 + √ (أ 0 * أ 1)).

حيث A 0 و A 1 هما منطقتي القاعدة (الكبيرة) والسفلية (الصغيرة) ، على التوالي. يشير المتغير h إلى ارتفاع الهرم المقطوع.

حجم هرم خوفو

من الغريب حل مشكلة تحديد الحجم الذي يحتويه أكبر هرم مصري.

في عام 1984 ، حدد عالما المصريات البريطانيان مارك لينر وجون جودمان الأبعاد الدقيقة لهرم خوفو. كان ارتفاعه الأصلي 146.50 مترًا (حاليًا حوالي 137 مترًا). كان متوسط ​​طول كل جانب من الجوانب الأربعة للهيكل 230.363 مترًا. قاعدة الهرم مربعة بدقة عالية.

دعنا نستخدم الأرقام المعطاة لتحديد حجم هذا الحجر العملاق. نظرًا لأن الهرم رباعي الزوايا منتظم ، فإن الصيغة صالحة له:

بالتعويض بالأرقام ، نحصل على:

الخامس 4 \ u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 م 3.

يبلغ حجم هرم خوفو ما يقرب من 2.6 مليون م 3. للمقارنة ، نلاحظ أن المسبح الأولمبي يبلغ حجمه 2.5 ألف م 3. أي لملء هرم خوفو بأكمله ، ستكون هناك حاجة إلى أكثر من 1000 تجمع من هذا القبيل!

• 09.10.2014

  تم تصميم المضخم الموضح في الشكل للاستخدام مع 4 أنواع من مصادر الصوت ، مثل الميكروفون ومشغل الأقراص المضغوطة ومسجل شريط الراديو وما إلى ذلك. وفي الوقت نفسه ، يحتوي المضخم الأولي على مدخل واحد يمكنه تغيير الحساسية من 50mV إلى 500mV . الجهد الناتج من مكبر للصوت هو 1000mV. من خلال توصيل مصادر إشارة مختلفة عند تبديل المفتاح SA1 ، سنحصل دائمًا على ...

• 20.09.2014

  تم تصميم PSU لحمل بقوة 15 ... 20 واط. يتكون المصدر وفقًا لمخطط محول التردد العالي النبضي أحادي الدورة. يتم تجميع مذبذب يعمل بتردد 20 ... 40 كيلو هرتز على الترانزستور. يتم ضبط التردد بواسطة السعة C5. تشكل العناصر VD5 و VD6 و C6 دائرة لبدء مذبذب. في الدائرة الثانوية ، بعد مقوم الجسر ، يوجد مثبت خطي تقليدي على دائرة كهربائية صغيرة ، مما يتيح لك ...

• 28.09.2014

  يوضح الشكل مولدًا على شريحة K174XA11 ، يتم التحكم في ترددها بالجهد. عن طريق تغيير السعة C1 من 560 إلى 4700pF ، يمكن الحصول على نطاق تردد واسع ، بينما يتم ضبط التردد عن طريق تغيير المقاومة R4. على سبيل المثال ، اكتشف المؤلف أنه عند C1 \ u003d 560pF ، يمكن تغيير تردد المولد باستخدام R4 من 600 هرتز إلى 200 كيلو هرتز ، ...

• 03.10.2014

  تم تصميم الوحدة لتشغيل ULF قوي ، وهي مصممة لجهد خرج يبلغ ± 27 فولت وبالتالي يتم تحميل ما يصل إلى 3 أمبير على كل ذراع. PSU ثنائي القطب ، مصنوع من ترانزستورات مركبة كاملة KT825-KT827. تم تصنيع ذراعي المثبت وفقًا لنفس المخطط ، ولكن في الذراع الأخرى (لا يظهر ذلك) ، يتم تغيير قطبية المكثفات ويتم استخدام الترانزستورات الأخرى ...