زاوية بين الطائرات

لنفكر في طائرتين α 1 و α 2 على التوالي من خلال المعادلات:

تحت زاويةبين طائرتين ، نعني إحدى الزوايا ثنائية الأضلاع التي شكلتها هذه الطائرات. من الواضح أن الزاوية بين المتجهات العادية والمستويات α 1 و α 2 تساوي إحدى الزوايا ثنائية الأضلاع المجاورة المشار إليها أو . لهذا . لان و ، ومن بعد

.

مثال.حدد الزاوية بين المستويات x+2ذ-3ض+ 4 = 0 و 2 x+3ذ+ض+8=0.

حالة التوازي بين طائرتين.

طائرتان α 1 و α 2 متوازيتان إذا وفقط إذا كانت متجهاتهما العادية ومتوازية ، وبالتالي .

لذلك ، هناك طائرتان متوازيتان مع بعضهما البعض إذا وفقط إذا كانت المعاملات في الإحداثيات المقابلة متناسبة:

أو

حالة عمودية الطائرات.

من الواضح أن مستويين متعامدين إذا وفقط إذا كانت نواقلها العادية متعامدة ، وبالتالي ، أو.

في هذا الطريق، .

أمثلة.

مباشرة في الفضاء.

موجه معادلة مباشرة.

المعادلات البارامترية مباشرة

يتم تحديد موضع الخط المستقيم في الفضاء تمامًا عن طريق تحديد أي من نقاطه الثابتة م 1 ومتجه مواز لهذا الخط.

يسمى المتجه الموازي لخط مستقيم إرشادناقلات هذا الخط.

لذلك دعونا مستقيم ليمر عبر نقطة م 1 (x 1 , ذ 1 , ض 1) مستلقية على خط مستقيم موازٍ للناقل.

ضع في اعتبارك نقطة تعسفية م (س ، ص ، ض)على خط مستقيم. يتضح من الشكل أن .

المتجهات والخطية الخطية ، لذلك يوجد مثل هذا الرقم ر، ماذا ، أين هو المضاعف ريمكن أن تأخذ أي قيمة رقمية حسب موضع النقطة معلى خط مستقيم. عامل ريسمى المعلمة. دلالة على متجهات نصف قطر النقاط م 1 و معلى التوالي ، من خلال و نحصل عليها. هذه المعادلة تسمى المتجهمعادلة الخط المستقيم. يظهر أن كل معلمة قيمة ريتوافق مع متجه نصف قطر نقطة ما ممستلقي على خط مستقيم.

نكتب هذه المعادلة بصيغة إحداثيات. لاحظ أن ، ومن هنا

يتم استدعاء المعادلات الناتجة حدوديمعادلات الخط المستقيم.

عند تغيير المعلمة رإحداثيات التغيير x, ذو ضونقطة ميتحرك في خط مستقيم.

المعادلات الكنسية مباشرة

يترك م 1 (x 1 , ذ 1 , ض 1) - نقطة ملقاة على خط مستقيم ل، و هو متجه اتجاهه. مرة أخرى ، خذ نقطة اعتباطية على خط مستقيم م (س ، ص ، ض)والنظر في المتجه.

من الواضح أن المتجهات وعلاقة خطية متداخلة ، لذلك يجب أن تكون إحداثيات كل منها متناسبة ، وبالتالي

– العنوان الأساسيمعادلات الخط المستقيم.

ملاحظة 1.لاحظ أنه يمكن الحصول على المعادلات الأساسية للخط من المعادلات البارامترية من خلال حذف المعلمة ر. في الواقع ، من المعادلات البارامترية نحصل عليها أو .

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم بطريقة حدودية.

دل ، بالتالي x = 2 + 3ر, ذ = –1 + 2ر, ض = 1 –ر.

ملاحظة 2.اجعل الخط عموديًا على أحد محاور الإحداثيات ، على سبيل المثال ، المحور ثور. ثم يكون متجه الاتجاه للخط عموديًا ثور، بالتالي، م= 0. وبالتالي ، تأخذ المعادلات البارامترية للخط المستقيم الشكل

حذف المعلمة من المعادلات ر، نحصل على معادلات الخط المستقيم في الصورة

ومع ذلك ، في هذه الحالة أيضًا ، نتفق على كتابة المعادلات الأساسية للخط المستقيم بشكل رسمي . وبالتالي ، إذا كان مقام أحد الكسور صفرًا ، فهذا يعني أن الخط متعامد على محور الإحداثيات المقابل.

وبالمثل ، فإن المعادلات المتعارف عليها يتوافق مع خط مستقيم عمودي على المحاور ثورو أويأو المحور الموازي أوز.

أمثلة.

المعادلات العامة: خط مباشر كخط تقاطع بين خطوتين

من خلال كل خط مستقيم في الفضاء يمر عدد لا حصر له من الطائرات. أي اثنان منهم ، يتقاطعان ، حدده في الفضاء. لذلك ، فإن معادلات أي طائرتين ، معتبرين معًا ، هي معادلات هذا الخط.

بشكل عام ، أي مستويين غير متوازيين تعطيهما المعادلات العامة

تحديد خط تقاطعهم. تسمى هذه المعادلات المعادلات العامةمستقيم.

أمثلة.

أنشئ خطًا مستقيمًا معطى بواسطة المعادلات

لبناء خط ، يكفي إيجاد أي نقطتين من نقطته. أسهل طريقة هي اختيار نقاط تقاطع الخط مع مستويات الإحداثيات. على سبيل المثال ، نقطة التقاطع مع المستوى xOyنحصل عليها من معادلات الخط المستقيم ، على افتراض ض= 0:

بحل هذا النظام ، نجد النقطة م 1 (1;2;0).

وبالمثل ، على افتراض ذ= 0 ، نحصل على نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المستوى xOz:

من المعادلات العامة للخط المستقيم ، يمكن للمرء أن ينتقل إلى المعادلات القانونية أو البارامترية. للقيام بذلك ، عليك أن تجد نقطة ما م 1 على الخط ومتجه الاتجاه للخط.

إحداثيات النقطة م 1 نحصل عليها من نظام المعادلات هذا ، مع إعطاء أحد الإحداثيات قيمة عشوائية. لإيجاد متجه الاتجاه ، لاحظ أن هذا المتجه يجب أن يكون عموديًا على كلا المتجهين العاديين و . لذلك ، من أجل متجه الاتجاه للخط المستقيم ليمكنك أن تأخذ حاصل الضرب الاتجاهي للناقلات العادية:

.

مثال.اكتب المعادلات العامة للخط المستقيم إلى الشكل المتعارف عليه.

ابحث عن نقطة على خط مستقيم. للقيام بذلك ، نختار بشكل تعسفي أحد الإحداثيات ، على سبيل المثال ، ذ= 0 وحل نظام المعادلات:

المتجهات العادية للطائرات التي تحدد الخط لها إحداثيات لذلك ، سيكون متجه الاتجاه مستقيمًا

. بالتالي، ل: .

زاوية بين الحقوق

ركنبين الخطوط المستقيمة في الفضاء ، سوف نسمي أيًا من الزوايا المجاورة المكونة من خطين مستقيمين مرسومين من خلال نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دع خطين مستقيمين في الفراغ:

من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات اتجاهها و. منذ ذلك الحين ، وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها

ركنبين الخطوط المستقيمة في الفضاء ، سوف نسمي أيًا من الزوايا المجاورة المكونة من خطين مستقيمين مرسومين من خلال نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دع خطين مستقيمين في الفراغ:

من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات اتجاهها و. منذ ذلك الحين ، وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها

شروط التوازي والعمودي لخطين مكافئة لظروف التوازي والعمودي لمتجهات الاتجاه الخاصة بهم و:

اثنان على التوالي متوازيةإذا وفقط إذا كانت معاملات كل منهما متناسبة ، أي ل 1 مواز ل 2 إذا وفقط إذا كان متوازيًا .

اثنان على التوالي عموديإذا وفقط إذا كان مجموع حاصل ضرب المعاملات المقابلة يساوي صفرًا:.

في الهدف بين الخط والطائرة

دع الخط د- غير عمودي على المستوى θ ؛
د′ - إسقاط خط مستقيم دإلى الطائرة θ ؛
أصغر الزوايا بين الخطوط المستقيمة دو د' سنطالب الزاوية بين الخط والمستوى.
دعنا نشير إليها على أنها φ = ( د,θ)
اذا كان د⊥θ ثم ( د، θ) = π / 2

أوي→ي→ك→ - نظام إحداثيات مستطيل.
معادلة الطائرة:

θ: فأس+بواسطة+تشيكوسلوفاكيا+د=0

نعتبر أن الخط مُعطى بنقطة ومتجه اتجاه: د[م 0,ص→]
المتجه ن→(أ,ب,ج)⊥θ
ثم يبقى معرفة الزاوية بين المتجهات ن→ و ص→ ، تدل على أنها γ = ( ن→,ص→).

إذا كانت الزاوية γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

إذا كانت الزاوية γ> / 2 ، فإن الزاوية المطلوبة φ = γ − π / 2

sinφ = sin (2π − γ) = cosγ

sinφ = sin (γ − 2π) = - cosγ

ثم، الزاوية بين الخط والمستوىيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

sinφ = ∣cosγ∣ = ∣ ∣ أب 1+بي بي 2+cp 3∣ ∣ √أ 2+ب 2+ج 2√ص 21+ص 22+ص 23

السؤال 29. مفهوم الشكل التربيعي. تعريف علامة الأشكال التربيعية.

الصيغة التربيعية j (x 1، x 2، ...، x n) n متغيرات حقيقية x 1، x 2، ...، x nيسمى مجموع النموذج
, (1)

أين aij هي بعض الأرقام تسمى المعاملات. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض ذلك aij = أ جي.

يسمى الشكل التربيعي صالح،إذا aij О GR. مصفوفة من الدرجة الثانيةتسمى المصفوفة المكونة من معاملاتها. الشكل التربيعي (1) يتوافق مع مصفوفة متماثلة فريدة
بمعنى آخر. أ تي = أ. لذلك ، يمكن كتابة الصيغة التربيعية (1) في شكل مصفوفة j ( X) = س تي آه، أين س ت = (X 1 X 2 … x ن). (2)

والعكس صحيح ، فإن أي مصفوفة متماثلة (2) تتوافق مع شكل تربيعي فريد يصل إلى تدوين المتغيرات.

رتبة الشكل التربيعييسمى رتبة المصفوفة الخاصة به. يسمى الشكل التربيعي غير منحطإذا كانت المصفوفة الخاصة بها غير لغوية لكن. (تذكر أن المصفوفة لكنيسمى غير متدهور إذا كان محدده غير صفري). خلاف ذلك ، فإن الشكل التربيعي يتدهور.

إيجابية محددة(أو إيجابي تمامًا) إذا

ي ( X) > 0 ، لأي احد X = (X 1 , X 2 , …, x ن), بجانب X = (0, 0, …, 0).

مصفوفة لكنشكل تربيعي محدد موجب ي ( X) يسمى أيضًا محددًا إيجابيًا. لذلك ، يتوافق الشكل التربيعي الإيجابي المحدد مع مصفوفة محددة موجبة فريدة والعكس صحيح.

يسمى الشكل التربيعي (1) محدد سلبي(أو سلبية تمامًا) إذا

ي ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x ن)، بجانب X = (0, 0, …, 0).

وبالمثل كما هو مذكور أعلاه ، فإن المصفوفة التربيعية السالبة المحددة تسمى أيضًا المصفوفة السالبة المحددة.

لذلك ، شكل إيجابي (سلبي) محدد من التربيع j ( X) يصل إلى الحد الأدنى (الأقصى) للقيمة j ( X *) = 0 من أجل X * = (0, 0, …, 0).

لاحظ أن معظم الأشكال التربيعية ليست علامة محددة ، أي أنها ليست موجبة ولا سلبية. تختفي هذه الأشكال التربيعية ليس فقط عند أصل نظام الإحداثيات ، ولكن أيضًا في نقاط أخرى.

متي ن> 2 ، معايير خاصة مطلوبة للتحقق من دقة علامة الشكل التربيعي. دعونا نفكر فيها.

القاصرون الكبارالشكل التربيعي يسمى القصر:

أي ، هؤلاء قاصرون من الرتبة 1 ، 2 ، ... ، نالمصفوفات لكن، الموجودة في الزاوية اليسرى العليا ، يتطابق آخرها مع محدد المصفوفة لكن.

معيار التحديد الإيجابي (معيار سيلفستر)

X) = س تي آههو ايجابي واضح ، فمن الضروري والكافي لجميع القاصرين الرئيسيين في المصفوفة لكنكانت إيجابية ، أي: م 1 > 0, م 2 > 0, …, م ن > 0. معيار اليقين السلبي من أجل الصيغة التربيعية j ( X) = س تي آهسلبي محدد ، من الضروري والكافي أن يكون القصر الرئيسيون من نظام زوجي موجبين ، وأن يكون هؤلاء من ترتيب فردي سلبيين ، أي: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)ن

هذه المادة مكرسة لمفهوم مثل الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين. في الفقرة الأولى ، سنشرح ماهيتها ونعرضها في الرسوم التوضيحية. ثم سنحلل كيف يمكنك العثور على الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية والزاوية نفسها (سننظر بشكل منفصل في الحالات التي تحتوي على مساحة مستوية وثلاثية الأبعاد) ، وسنقدم الصيغ اللازمة ونعرض بأمثلة كيفية تطبيقها بالضبط في التمرين.

Yandex.RTB R-A-339285-1

لفهم ماهية الزاوية المتكونة عند تقاطع خطين ، علينا أن نتذكر تعريف الزاوية والعمود ونقطة التقاطع.

التعريف 1

نسمي خطين متقاطعين إذا كان بينهما نقطة مشتركة واحدة. هذه النقطة تسمى نقطة تقاطع الخطين.

كل خط مقسم بنقطة التقاطع إلى أشعة. في هذه الحالة ، يشكل كلا الخطين 4 زوايا ، اثنان منها رأسيتان واثنتان متجاورتان. إذا عرفنا قياس أحدهما ، فيمكننا تحديد المتبقيين الآخرين.

لنفترض أننا نعلم أن إحدى الزوايا تساوي α. في مثل هذه الحالة ، فإن الزاوية الرأسية لها ستكون أيضًا مساوية لـ α. لإيجاد الزوايا المتبقية ، علينا حساب الفرق 180 درجة - α. إذا كانت α تساوي 90 درجة ، فإن كل الزوايا ستكون صحيحة. تسمى الخطوط المتقاطعة بزوايا قائمة عموديًا (مقال منفصل مخصص لمفهوم العمودي).

نلقي نظرة على الصورة:

دعونا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

الزاوية المكونة من خطين متقاطعين هي قياس الزوايا الأصغر من بين الزوايا الأربع التي تشكل هذين الخطين.

يجب استخلاص نتيجة مهمة من التعريف: سيتم التعبير عن حجم الزاوية في هذه الحالة بأي رقم حقيقي في الفترة (0 ، 90]. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فستكون الزاوية بينهما على أي حال يساوي 90 درجة.

القدرة على إيجاد قياس الزاوية بين خطين متقاطعين مفيدة لحل العديد من المشاكل العملية. يمكن تحديد طريقة الحل من عدة خيارات.

بالنسبة للمبتدئين ، يمكننا أن نأخذ الأساليب الهندسية. إذا علمنا شيئًا عن الزوايا الإضافية ، فيمكننا ربطها بالزاوية التي نحتاجها باستخدام خصائص الأشكال المتساوية أو المتشابهة. على سبيل المثال ، إذا عرفنا جوانب المثلث واحتجنا إلى حساب الزاوية بين الخطوط التي تقع عليها هذه الأضلاع ، فإن نظرية جيب التمام مناسبة للحل. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية في الحالة ، فسنحتاج أيضًا للحسابات إلى معرفة جيب الزاوية وجيب التمام والظل للزاوية.

طريقة الإحداثيات مناسبة جدًا أيضًا لحل المشكلات من هذا النوع. دعونا نشرح كيفية استخدامه بشكل صحيح.

لدينا نظام إحداثيات مستطيل (ديكارت) O x y مع خطين مستقيمين. دعنا نشير إليهم بالحرفين أ وب. في هذه الحالة ، يمكن وصف الخطوط المستقيمة باستخدام أي معادلات. الخطوط الأصلية لها نقطة تقاطع م. كيف نحدد الزاوية المرغوبة (دعنا نشير إليها α) بين هذه الخطوط؟

لنبدأ بصياغة المبدأ الأساسي لإيجاد زاوية في ظل ظروف معينة.

نحن نعلم أن مفاهيم مثل التوجيه والمتجه العادي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الخط المستقيم. إذا كانت لدينا معادلة بعض الخطوط المستقيمة ، فيمكننا أخذ إحداثيات هذه المتجهات منها. يمكننا فعل ذلك لخطين متقاطعين في وقت واحد.

يمكن إيجاد الزاوية المكونة من خطين متقاطعين باستخدام:

• الزاوية بين نواقل الاتجاه ؛
• الزاوية بين النواقل العادية ؛
• الزاوية بين المتجه الطبيعي لخط واحد ومتجه الاتجاه للآخر.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل طريقة على حدة.

1. افترض أن لدينا خطًا مع متجه الاتجاه a → = (أ س ، أ ص) وخط ب متجه الاتجاه ب → (ب س ، ب ص). الآن دعنا نضع جانبين متجهين a → و b → من نقطة التقاطع. بعد ذلك ، سنرى أنه سيتم تحديد موقع كل منهما على خطها الخاص. ثم لدينا أربعة خيارات لوضعهم النسبي. انظر الرسم التوضيحي:

إذا لم تكن الزاوية بين متجهين منفرجة ، فستكون الزاوية التي نحتاجها بين الخطين المتقاطعين أ وب. إذا كان منفرجًا ، فستكون الزاوية المرغوبة مساوية للزاوية المجاورة للزاوية a → ، b → ^. وهكذا ، α = a → ، b → ^ if a → ، b → ^ ≤ 90 ° ، و α = 180 ° - a → ، b → ^ if a → ، b → ^> 90 °.

استنادًا إلى حقيقة أن جيب التمام للزوايا متساوية ، يمكننا إعادة كتابة المعادلات الناتجة على النحو التالي: cos α = cos a →، b → ^ if a →، b → ^ ≤ 90 °؛ cos α = cos 180 ° - a → ، b → ^ = - cos a → ، b → ^ إذا كانت a → ، b → ^> 90 °.

في الحالة الثانية ، تم استخدام صيغ التخفيض. في هذا الطريق،

cos α cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^ ≥ 0 - cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

لنكتب الصيغة الأخيرة بالكلمات:

التعريف 3

سيكون جيب التمام للزاوية المكونة من خطين متقاطعين مساويًا لمعامل جيب التمام للزاوية بين متجهات الاتجاه.

الشكل العام لصيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين a → = (a x، a y) و b → = (b x، b y) يبدو كما يلي:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

منه يمكننا اشتقاق صيغة جيب التمام للزاوية الواقعة بين خطين:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ثم يمكن إيجاد الزاوية نفسها باستخدام الصيغة التالية:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

هنا a → = (a x، a y) and b → = (b x، b y) هي متجهات الاتجاه للخطوط المحددة.

دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم إعطاء خطين متقاطعين أ وب على المستوى. يمكن وصفها بالمعادلات البارامترية x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3. احسب الزاوية بين هذين الخطين.

المحلول

لدينا معادلة بارامترية في الحالة ، مما يعني أنه بالنسبة لهذا الخط المستقيم ، يمكننا كتابة إحداثيات متجه اتجاهه على الفور. للقيام بذلك ، نحتاج إلى أخذ قيم المعاملات في المعلمة ، أي الخط x = 1 + 4 λ y = 2 + λ ∈ R سيكون له اتجاه اتجاه a → = (4، 1).

يتم وصف الخط المستقيم الثاني باستخدام المعادلة الأساسية x 5 = y - 6 - 3. هنا يمكننا أخذ الإحداثيات من المقامات. وبالتالي ، يحتوي هذا الخط على متجه اتجاه ب → = (5 ، - 3).

بعد ذلك ، ننتقل مباشرة لإيجاد الزاوية. للقيام بذلك ، استبدل بالإحداثيات المتاحة للمتجهين في الصيغة أعلاه α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. نحصل على ما يلي:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

إجابه: هذه الخطوط تشكل زاوية 45 درجة.

يمكننا حل مشكلة مماثلة بإيجاد الزاوية بين المتجهات العادية. إذا كان لدينا خط مع متجه عادي n a → = (n a x، n a y) وخط b متجه عادي n b → = (n b x، n b y) ، فإن الزاوية بينهما ستكون مساوية للزاوية بين n a → و n b → أو الزاوية التي ستكون مجاورة لـ n a → ، n b → ^. هذه الطريقة موضحة في الصورة:

تبدو الصيغ الخاصة بحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وهذه الزاوية نفسها باستخدام إحداثيات المتجهات العادية كما يلي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا n a → و n b → تشير إلى المتجهات العادية لخطين معينين.

مثال 2

يوجد خطان مستقيمان في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلتين 3 س + 5 ص - 30 = 0 و س + 4 ص - 17 = 0. أوجد جيب الزاوية وجيب الزاوية بينهما ومقدار تلك الزاوية نفسها.

المحلول

يتم إعطاء الخطوط المستقيمة الأصلية باستخدام معادلات الخط المستقيم العادية بالصيغة A x + B y + C = 0. دلالة على المتجه الطبيعي n → = (A ، B). لنجد إحداثيات المتجه العادي الأول لخط مستقيم واحد ونكتبها: n a → = (3، 5). بالنسبة للخط الثاني x + 4 y - 17 = 0 ، سيكون للمتجه العادي إحداثيات n b → = (1، 4). أضف الآن القيم التي تم الحصول عليها إلى الصيغة واحسب الإجمالي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

إذا عرفنا جيب التمام لزاوية ، فيمكننا حساب جيبها باستخدام المتطابقة المثلثية الأساسية. نظرًا لأن الزاوية α المكونة من خطوط مستقيمة ليست منفرجة ، إذن الخطيئة α \ u003d 1 - cos 2 α \ u003d 1 - 23 2 34 2 \ u003d 7 2 34.

في هذه الحالة، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

الجواب: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

دعنا نحلل الحالة الأخيرة - إيجاد الزاوية بين الخطوط ، إذا عرفنا إحداثيات متجه التوجيه لخط واحد والمتجه الطبيعي للآخر.

افترض أن الخط a له متجه اتجاه a → = (a x ، a y) ، وأن الخط b له متجه عادي n b → = (n b x، n b y). نحن بحاجة إلى تأجيل هذه المتجهات من نقطة التقاطع والنظر في جميع الخيارات الخاصة بموضعها النسبي. انظر الصورة:

إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة لا تزيد عن 90 درجة ، فقد اتضح أنها ستكمل الزاوية بين أ و ب للزاوية القائمة.

a → ، n b → ^ = 90 ° - α إذا كانت a → ، n b → ^ ≤ 90 °.

إذا كانت أقل من 90 درجة ، نحصل على ما يلي:

a → ، n b → ^> 90 ° ، ثم a → ، n b → ^ = 90 ° + α

باستخدام قاعدة المساواة في جيب التمام للزوايا المتساوية ، نكتب:

cos a → ، n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α لـ a → ، n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → ، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α في a → ، n b → ^> 90 °.

في هذا الطريق،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → ، n b → ^> 0 - cos a → ، n b → ^ ، a → ، n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

دعنا نصيغ استنتاج.

التعريف 4

لإيجاد جيب الزاوية بين خطين متقاطعين في مستوى ما ، تحتاج إلى حساب مقياس جيب تمام الزاوية بين متجه الاتجاه للخط الأول والمتجه الطبيعي للخط الثاني.

دعنا نكتب الصيغ اللازمة. إيجاد جيب الزاوية:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

العثور على الزاوية نفسها:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا a → هو متجه الاتجاه للخط الأول ، و n b → هو المتجه الطبيعي للخط الثاني.

مثال 3

يتم الحصول على خطين متقاطعين بواسطة المعادلتين x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد زاوية التقاطع.

المحلول

نأخذ إحداثيات الاتجاه والمتجه العادي من المعادلات المعطاة. اتضح أن a → = (- 5 ، 3) و n → b = (1 ، 4). نأخذ الصيغة α \ u003d a r c sin \ u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 وننظر في:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لاحظ أننا أخذنا المعادلات من المسألة السابقة وحصلنا على نفس النتيجة تمامًا ، ولكن بطريقة مختلفة.

إجابه:α = a r c sin 7 2 34

إليك طريقة أخرى لإيجاد الزاوية المرغوبة باستخدام معاملات الميل لخطوط معينة.

لدينا خط أ ، محدد في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلة y = k 1 · x + b 1 ، والخط b المعرف على أنه y = k 2 · x + b 2. هذه معادلات خطوط بميل. لإيجاد زاوية التقاطع ، استخدم الصيغة:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ، حيث k 1 و k 2 هما ميل المستقيمين المعينين. للحصول على هذا السجل ، تم استخدام صيغ لتحديد الزاوية من خلال إحداثيات المتجهات العادية.

مثال 4

يوجد خطان مستقيمان يتقاطعان في المستوى ، معطى بواسطة المعادلتين y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4. احسب زاوية التقاطع.

المحلول

ميل المستقيمين يساوي k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4. دعونا نضيفهم إلى الصيغة α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ونحسب:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

إجابه:α = a r c cos 23 2 34

في استنتاجات هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أن الصيغ الخاصة بإيجاد الزاوية المعطاة هنا لا يجب أن تُحفظ عن ظهر قلب. للقيام بذلك ، يكفي معرفة إحداثيات الأدلة و / أو المتجهات العادية للخطوط المعينة وتكون قادرًا على تحديدها باستخدام أنواع مختلفة من المعادلات. لكن من الأفضل تذكر الصيغ الخاصة بحساب جيب التمام لزاوية أو تدوينها.

كيفية حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة في الفضاء

يمكن تقليل حساب هذه الزاوية إلى حساب إحداثيات متجهات الاتجاه وتحديد حجم الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات. لمثل هذه الأمثلة ، نستخدم نفس المنطق الذي قدمناه من قبل.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يحتوي على سطرين أ و ب مع نقطة التقاطع م. لحساب إحداثيات متجهات الاتجاه ، نحتاج إلى معرفة معادلات هذه الخطوط. دلالة على متجهات الاتجاه a → = (a x، a y، a z) and b → = (b x، b y، b z). لحساب جيب تمام الزاوية بينهما ، نستخدم الصيغة:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

لإيجاد الزاوية نفسها ، نحتاج إلى هذه الصيغة:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

لدينا خط مستقيم محدد في مساحة ثلاثية الأبعاد باستخدام المعادلة x 1 = y - 3 = z + 3-2. من المعروف أنه يتقاطع مع محور O z. احسب زاوية التقاطع وجيب تمام الزاوية.

المحلول

دعنا نشير إلى الزاوية التي يجب حسابها بالحرف α. دعنا نكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول - أ → = (1 ، - 3 ، - 2). بالنسبة للمحور المطبق ، يمكننا أن نأخذ متجه الإحداثيات k → = (0 ، 0 ، 1) كدليل. لقد تلقينا البيانات اللازمة ويمكننا إضافتها إلى الصيغة المطلوبة:

cos α = cos a →، k → ^ = a →، k → a → k → = 1 0-3 0-2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 8 2 = 1 2

نتيجة لذلك ، حصلنا على الزاوية التي نحتاجها تساوي a r c cos 1 2 = 45 °.

إجابه:كوس α = 1 2 ، α = 45 درجة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

دع الخطوط تعطى في الفضاء لو م. من خلال نقطة ما من الفضاء ، نرسم خطوطًا مستقيمة ل 1 || لو م 1 || م(الشكل 138).

لاحظ أنه يمكن اختيار النقطة A بشكل تعسفي ، على وجه الخصوص ، يمكن أن تقع على أحد الخطوط المعينة. إذا كان مستقيما لو متتقاطع ، ثم يمكن اعتبار A كنقطة تقاطع هذه الخطوط ( ل 1 = لو م 1 = م).

الزاوية بين الخطوط غير المتوازية لو مهي قيمة أصغر الزوايا المجاورة المتكونة من تقاطع الخطوط المستقيمة ل 1 و م 1 (ل 1 || ل, م 1 || م). يُفترض أن تكون الزاوية بين الخطوط المتوازية صفرًا.

الزاوية بين السطور لو ميُرمز إليه بـ \ (\ widehat ((ل ؛ م)) \). من التعريف ، يترتب على ذلك أنه إذا تم قياسه بالدرجات ، فعندئذٍ 0 درجة < \ (\ واسعة النطاق ((ل ؛ م)) \) < 90 درجة ، وإذا كانت بالراديان ، فسيكون 0 < \ (\ واسعة النطاق ((ل ؛ م)) \) < π / 2 .

مهمة.المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 معطى (الشكل 139).

أوجد الزاوية بين الخطين المستقيمين AB و DC 1.

تقاطع مستقيم AB و DC 1. نظرًا لأن الخط DC موازٍ للخط AB ، فإن الزاوية بين الخطين AB و DC 1 ، وفقًا للتعريف ، تساوي \ (\ Widehat (C_ (1) DC) \).

ومن ثم \ (\ واسعة النطاق ((AB ؛ DC_1)) \) = 45 درجة.

مباشر لو ماتصل عمودي، إذا \ (\ عريضة ((ل ؛ م)) \) = π / 2. على سبيل المثال ، في مكعب

حساب الزاوية بين السطور.

يتم حل مشكلة حساب الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء بنفس الطريقة كما في المستوى. قم بالإشارة ب φ الزاوية بين السطور ل 1 و ل 2 ، ومن خلال ψ - الزاوية بين متجهات الاتجاه أ و ب هذه الخطوط المستقيمة.

ثم إذا

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 درجة (الشكل 206.6) ، ثم φ = 180 درجة - ψ. من الواضح أنه في كلتا الحالتين ، تكون المساواة cos φ = | cos ψ | صحيحة. وفقًا للصيغة (جيب تمام الزاوية بين المتجهين غير الصفريين a و b يساوي الناتج القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على حاصل ضرب أطوالهما) لدينا

$$ cos \ psi = cos \ widehat ((a ؛ b)) = \ frac (a \ cdot b) (| a | \ cdot | b |) $$

بالتالي،

$$ cos \ phi = \ frac (| a \ cdot b |) (| a | \ cdot | b |) $$

دع الخطوط تعطى من خلال معادلاتها الأساسية

$$ \ frac (x-x_1) (a_1) = \ frac (y-y_1) (a_2) = \ frac (z-z_1) (a_3) \ ؛ \ ؛ و \؛\؛ \ frac (x-x_2) (b_1) = \ frac (y-y_2) (b_2) = \ frac (z-z_2) (b_3) $$

ثم يتم تحديد الزاوية φ بين السطور باستخدام الصيغة

$$ cos \ phi = \ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

إذا تم إعطاء أحد الخطين (أو كليهما) بواسطة معادلات غير متعارف عليها ، فعند حساب الزاوية ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط ، ثم استخدام الصيغة (1).

مهمة 1.احسب الزاوية بين السطور

$$ \ frac (x + 3) (- \ sqrt2) = \ frac (y) (\ sqrt2) = \ frac (z-7) (- 2) \ ؛ \ ؛ و \ ؛ \ ؛ \ frac (x) (\ sqrt3) = \ frac (y + 1) (\ sqrt3) = \ frac (z-1) (\ sqrt6) $$

متجهات اتجاه الخطوط المستقيمة لها إحداثيات:

أ \ u003d (-2 ؛ √2 ؛ -2) ، ب = (√3 ; √3 ; √6 ).

بالصيغة (1) نجد

$$ cos \ phi = \ frac (| - \ sqrt6 + \ sqrt6-2 \ sqrt6 |) (\ sqrt (2 + 2 + 4) \ sqrt (3 + 3 + 6)) = \ frac (2 \ sqrt6) ( 2 \ sqrt2 \ cdot 2 \ sqrt3) = \ frac (1) (2) $$

إذن ، الزاوية بين هذين الخطين هي 60 درجة.

المهمة 2.احسب الزاوية بين السطور

$$ \ تبدأ (الحالات) 3x-12z + 7 = 0 \\ x + y-3z-1 = 0 \ end (الحالات) و \ start (الحالات) 4x-y + z = 0 \\ y + z + 1 = 0 \ نهاية (الحالات) $$

خلف ناقل الدليل أ أول خط مستقيم نأخذ حاصل الضرب المتجه للمتجهات العادية ن 1 = (3 ؛ 0 ؛ -12) و ن 2 = (1 ؛ 1 ؛ -3) طائرات تحدد هذا الخط. بالصيغة \ (= \ start (vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end (vmatrix) \) نحصل عليها

$$ a == \ start (vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \ end (vmatrix) = 12i-3i + 3k $$

وبالمثل ، نجد متجه الاتجاه للخط المستقيم الثاني:

$$ b = \ start (vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end (vmatrix) = - 2i-4i + 4k $$

لكن الصيغة (1) تحسب جيب التمام للزاوية المطلوبة:

$$ cos \ phi = \ frac (| 12 \ cdot (-2) -3 (-4) +3 \ cdot 4 |) (\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \ sqrt (2) ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) = 0 $$

إذن ، الزاوية بين هذين الخطين هي 90 درجة.

المهمة 3.في الهرم الثلاثي MAVS ، تكون الحواف MA و MB و MC متعامدة بشكل متبادل (الشكل 207) ؛

أطوالهم تساوي على التوالي 4 ، 3 ، 6. النقطة D هي الوسط [MA]. أوجد الزاوية φ بين الخطين CA و DB.

دع SA و DB هما متجهات الاتجاه للخطين SA و DB.

لنأخذ النقطة M كأصل الإحداثيات. حسب حالة المهمة ، لدينا A (4 ؛ 0 ؛ 0) ، ب (0 ؛ 0 ؛ 3) ، ج (0 ؛ 6 ؛ 0) ، د (2 ؛ 0 ؛ 0). لذلك \ (\ overrightarrow (CA) \) = (4؛ - 6؛ 0)، \ (\ overrightarrow (DB) \) = (-2؛ 0؛ 3). نستخدم الصيغة (1):

$$ cos \ phi = \ frac (| 4 \ cdot (-2) + (- 6) \ cdot 0 + 0 \ cdot 3 |) (\ sqrt (16 + 36 + 0) \ sqrt (4 + 0 + 9) )) $$

وفقًا لجدول جيب التمام ، نجد أن الزاوية بين الخطين المستقيمين CA و DB تساوي تقريبًا 72 درجة.

إذا تم تمييز نقطتين تعسفيتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) على خط مستقيم في الفضاء ، فيجب أن تفي إحداثيات هذه النقاط بمعادلة خط مستقيم تم الحصول عليه أعلاه:

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للنقطة M 1 ، يمكننا كتابة:

.

لحل هذه المعادلات معًا ، نحصل على:

.

هذه معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين في الفضاء.

المعادلات العامة للخط المستقيم في الفراغ.

يمكن اعتبار معادلة الخط المستقيم على أنها معادلة لخط تقاطع مستويين.

المعادلات العامة للخط المستقيم في شكل إحداثيات:

غالبًا ما تتمثل المشكلة العملية في إحضار معادلات الخطوط بشكل عام إلى الشكل المتعارف عليه.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد نقطة عشوائية على الخط والأرقام م ، ن ، ص.

في هذه الحالة ، يمكن إيجاد متجه التوجيه لخط مستقيم كمنتج متجه للمتجهات العادية إلى المستويات المحددة.

مثال.ابحث عن المعادلة الأساسية إذا تم إعطاء الخط المستقيم بالشكل:

لإيجاد نقطة عشوائية على خط مستقيم ، لنأخذ إحداثيها x = 0 ، ثم نعوض بهذه القيمة في نظام المعادلات المحدد.

أولئك. أ (0 ، 2 ، 1).

نجد مكونات متجه الاتجاه للخط المستقيم.

ثم المعادلات الأساسية للخط:

مثال.أحضر إلى الصيغة الأساسية معادلة الخط المستقيم الواردة في الشكل:

لإيجاد نقطة اعتباطية للخط المستقيم ، وهي خط تقاطع المستويات المذكورة أعلاه ، نأخذ z = 0. ثم:

;

2x - 9x - 7 = 0 ؛

نحصل على: أ (-1 ؛ 3 ؛ 0).

ناقل الاتجاه المباشر: .

الزاوية بين الطائرات.

الزاوية بين مستويين في الفضاء  مرتبطة بالزاوية بين المستويات الطبيعية لهذه المستويات  1 بالعلاقة:  =  1 أو  = 180 0 - 1 ، أي

cos = cos 1.

لنحدد الزاوية  1. من المعروف أنه يمكن تعريف الطائرات بالعلاقات:

، أين

(أ 1 ، ب 1 ، ج 1) ، (أ 2 ، ب 2 ، ج 2). نجد الزاوية بين المتجهات العادية من حاصل الضرب القياسي:

.

وهكذا ، يمكن إيجاد الزاوية بين المستويين بالصيغة:

يعتمد اختيار علامة جيب التمام على الزاوية التي يجب العثور عليها بين المستويين - حادة أو منفرجة بجوارها.

شروط التوازي والعمودي للطائرات.

بناءً على الصيغة أعلاه لإيجاد الزاوية بين المستويات ، يمكنك العثور على شروط التوازي والعمودي للمستويات.

لكي تكون المستويات متعامدة ، من الضروري والكافي أن يكون جيب التمام للزاوية بين المستويين يساوي صفرًا. يتم استيفاء هذا الشرط إذا:

المستويات متوازية ، والنواقل العادية خطية متداخلة: ، ويتم استيفاء هذا الشرط إذا: .

الزاوية بين الخطوط في الفراغ.

دع خطين مستقيمين في الفراغ. معادلاتهم البارامترية هي:

الزاوية بين الخطين  والزاوية بين متجهات الاتجاه  لهذه الخطوط مرتبطة بالعلاقة:  =  1 أو  = 180 0 - 1. تم العثور على الزاوية بين متجهات الاتجاه من الناتج القياسي. في هذا الطريق:

.

شروط التوازي والعمودي للخطوط في الفضاء.

لكي يكون الخطان متوازيين ، من الضروري والكافي أن تكون نواقل الاتجاه لهذه الخطوط متداخلة ، أي كانت إحداثيات كل منهما متناسبة.