الشكل الأسي والجبر للعدد المركب. الأعداد المركبة والعمليات الجبرية عليها
ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية.
دعونا نحدد جذوره.
لا يوجد رقم حقيقي مربعه يساوي -1. ولكن إذا كانت الصيغة تحدد العامل أناكوحدة تخيلية ، يمكن كتابة حل هذه المعادلة بالصيغة 
. حيث 
و 
- الأعداد المركبة ، حيث يمثل -1 الجزء الحقيقي ، 2 أو في الحالة الثانية -2 يمثل الجزء التخيلي. الجزء التخيلي هو أيضًا رقم حقيقي (حقيقي). الجزء التخيلي مضروبًا في الوحدة التخيلية يعني بالفعل رقم خيالي.
بشكل عام ، الرقم المركب له الشكل
ض = x + iy ,
أين س ، صهي أرقام حقيقية ، هي وحدة تخيلية. في عدد من العلوم التطبيقية ، على سبيل المثال ، في الهندسة الكهربائية ، والإلكترونيات ، ونظرية الإشارة ، يتم الإشارة إلى الوحدة التخيلية بواسطة ي. الأعداد الحقيقية س = إعادة (ض)و ص =انا(ض)اتصل أجزاء حقيقية وخياليةأعداد ض.يسمى التعبير شكل جبريتدوين العدد المركب.
أي رقم حقيقي هو حالة خاصة لرقم مركب في النموذج 
. الرقم التخيلي هو أيضًا حالة خاصة للرقم المركب. 
.
تعريف مجموعة الأعداد المركبة ج
يقرأ هذا التعبير على النحو التالي: تعيين من، تتكون من عناصر من هذا القبيل xو ذتنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية صوهي الوحدة التخيلية. لاحظ أن إلخ.
رقمان مركبان 
و 
متساوية إذا وفقط إذا كانت أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية ، أي و .
تُستخدم الأرقام والوظائف المعقدة على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا ، ولا سيما في الميكانيكا ، وتحليل وحساب دوائر التيار المتردد ، والإلكترونيات التناظرية ، ونظرية الإشارة ومعالجتها ، ونظرية التحكم الآلي ، والعلوم التطبيقية الأخرى.
- حساب الأعداد المركبة
تتمثل إضافة رقمين مركبين في إضافة جزأين حقيقيين وخياليين ، أي
وفقًا لذلك ، الفرق بين عددين مركبين
عدد مركب 
اتصل مركب المترافقةرقم ض =x +أ.
الأعداد المرافقة المركبة z و z تختلف في إشارات الجزء التخيلي. من الواضح أن
.
تظل أي مساواة بين التعبيرات المعقدة صالحة إذا كانت في هذه المساواة في كل مكان أناوحل محله -
أنا، بمعنى آخر. اذهب إلى مساواة الأرقام المترافقة. أعداد أناو –
أنالا يمكن تمييزها جبريًا لأن 
.
يمكن حساب حاصل ضرب عددين مركبين على النحو التالي:
قسمة عددين مركبين:
مثال:
- طائرة معقدة
يمكن تمثيل العدد المركب بيانياً في نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نضع نظام إحداثيات مستطيل في المستوى (س ، ص).
على المحور ثورسنقوم بترتيب الأجزاء الحقيقية x، يدعي المحور الحقيقي (الحقيقي)، على المحور أوي- أجزاء خيالية ذارقام مركبة. هي تحمل الاسم المحور الخيالي. علاوة على ذلك ، كل رقم مركب يتوافق مع نقطة معينة من المستوى ، ويسمى هذا المستوى طائرة معقدة. نقطة لكنالطائرة المعقدة سوف تتوافق مع المتجه OA.
رقم xاتصل الإحداثي السينيالعدد المركب ، العدد ذ – تنسيق.
يتم عرض زوج من الأرقام المترافقة المعقدة كنقاط تقع بشكل متماثل حول المحور الحقيقي.
 |
إذا كان على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبية، ثم كل رقم مركب ضتحددها الإحداثيات القطبية. حيث وحدةأعداد 
هو نصف القطر القطبي للنقطة ، والزاوية 
- الزاوية القطبية أو وسيطة العدد المركب ض.
معامل العدد المركب 
دائما غير سلبي. لم يتم تعريف حجة العدد المركب بشكل فريد. يجب أن تفي القيمة الرئيسية للوسيطة بالشرط 
. تتوافق كل نقطة من المستوى المركب أيضًا مع القيمة الإجمالية للوسيطة. تعتبر الحجج التي تختلف بمضاعفات 2π متساوية. لم يتم تعريف وسيطة الرقم صفر.
يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة من خلال التعبيرات:
من الواضح أن
حيث
, 
.
تمثيل العدد المركب ضكما
اتصل شكل مثلثعدد مركب.
مثال.
- الشكل الأسي للأعداد المركبة
التحلل في سلسلة Maclaurinلوظائف الحجة الحقيقية 
يشبه:
للدالة الأسية للحجة المعقدة ضالتحلل مشابه
.
يمكن تمثيل توسعة سلسلة Maclaurin للدالة الأسية للحجة التخيلية كـ
يتم استدعاء الهوية الناتجة صيغة أويلر.
لحجة سلبية ، يبدو
بدمج هذه التعبيرات ، يمكننا تحديد التعبيرات التالية لجيب الجيب وجيب التمام
.
باستخدام صيغة أويلر ، من الصيغة المثلثية لتمثيل الأعداد المركبة
متوفرة إيضاحي(أسي ، قطبي) شكل رقم مركب ، أي تمثيلها في النموذج
,
أين 
- الإحداثيات القطبية لنقطة ذات إحداثيات مستطيلة ( س ،ذ).
يتم كتابة اقتران العدد المركب بالشكل الأسي على النحو التالي.
بالنسبة للصيغة الأسية ، من السهل تحديد الصيغ التالية لضرب الأعداد المركبة وقسمتها
أي ، في الشكل الأسي ، يكون حاصل ضرب الأعداد المركبة وتقسيمها أسهل من الشكل الجبري. عند الضرب ، تتضاعف وحدات العوامل ، وتُضاف المتغيرات. تنطبق هذه القاعدة على أي عدد من العوامل. على وجه الخصوص ، عند ضرب عدد مركب ضعلى ال أناالمتجه ضيدور عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90
في القسمة ، يُقسم مقياس البسط على مقياس المقام ، ويتم طرح وسيطة المقام من وسيطة البسط.
باستخدام الشكل الأسي للأعداد المركبة ، يمكن للمرء الحصول على تعبيرات للهويات المثلثية المعروفة. على سبيل المثال ، من الهوية
باستخدام صيغة أويلر ، يمكننا الكتابة
بمساواة الجزأين الحقيقي والخيالي في هذا التعبير ، نحصل على تعبيرات لجيب التمام وجيب مجموع الزوايا
- القوى والجذور واللوغاريتمات للأعداد المركبة
رفع عدد مركب إلى قوة طبيعية نأنتجت وفقا للصيغة
مثال. إحصاء - عد 
.
تخيل رقما في شكل مثلثي
’
بتطبيق صيغة الأُس نحصل عليها
وضع القيمة في التعبير ص= 1 ، نحصل على ما يسمى ب صيغة دي Moivre، والتي يمكنك من خلالها تحديد تعبيرات الجيب وجيب التمام للزوايا المتعددة.
جذر نال قوة العدد المركب ضلديها نقيم مختلفة يحددها التعبير
مثال. لنجد.
للقيام بذلك ، نعبر عن الرقم المركب () بالصيغة المثلثية
.
وفقًا لصيغة حساب جذر العدد المركب ، نحصل عليه
لوغاريتم عدد مركب ضهو رقم ث، لأي منهم . يحتوي اللوغاريتم الطبيعي للرقم المركب على عدد لا حصر له من القيم ويتم حسابه بواسطة الصيغة
يتكون من أجزاء حقيقية (جيب التمام) وخيالية (جيب). يمكن تمثيل هذا الضغط كمتجه للطول يو م، المرحلة الأولية (الزاوية) ، بالتناوب بسرعة الزاوية ω .
علاوة على ذلك ، إذا تمت إضافة وظائف معقدة ، فسيتم إضافة أجزائها الحقيقية والخيالية. إذا تم ضرب دالة معقدة في دالة ثابتة أو حقيقية ، فسيتم ضرب أجزائها الحقيقية والتخيلية في نفس العامل. يتم تقليل تمايز / تكامل مثل هذه الوظيفة المعقدة إلى تمايز / تكامل الأجزاء الحقيقية والخيالية.
على سبيل المثال ، التفريق بين تعبير الإجهاد المعقد
هو ضربها في iω هو الجزء الحقيقي من الدالة f (z) و 
هو الجزء التخيلي من الوظيفة. أمثلة: 
.
المعنى ضيتم تمثيلها بنقطة في المستوى المركب z ، والقيمة المقابلة ث- نقطة في المستوى المعقد ث. عند عرضها ث = و (ض)خطوط الطائرة ضتمر في خطوط الطائرة ث، الأشكال من مستوى إلى أشكال أخرى ، لكن أشكال الخطوط أو الأشكال قد تتغير بشكل ملحوظ.
