منطقة سخالين

"المدرسة المهنية رقم 13"

تعليمات منهجية للعمل المستقل للطلاب

ألكساندروفسك ساخالينسكي

القيم التقريبية للكميات وأخطاء التقريب: مواصفات الطريقة. / شركات.

GBOU NPO "المدرسة المهنية رقم 13" - ألكساندروفسك ساخالينسكي ، 2012

التعليمات المنهجية مخصصة للطلاب من جميع المهن الذين يدرسون مادة الرياضيات

رئيس MC

القيمة التقريبية للكمية وأخطاء التقريب.

من الناحية العملية ، لا نعرف أبدًا القيم الدقيقة للكميات. لا يوجد مقياس ، مهما كانت دقته ، يظهر الوزن بالضبط ؛ يظهر أي مقياس حرارة درجة الحرارة بخطأ أو بآخر ؛ لا يوجد مقياس التيار الكهربائي يمكنه إعطاء قراءات دقيقة للتيار ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أعيننا غير قادرة على قراءة قراءات أدوات القياس بشكل صحيح تمامًا. لذلك ، بدلاً من التعامل مع القيم الحقيقية للكميات ، فإننا مضطرون للعمل بقيمها التقريبية.

حقيقة ان أ" هي القيمة التقريبية للرقم أ ، على النحو التالي:

أ ≈ أ " .

اذا كان أ" هي قيمة تقريبية للكمية أ ثم الاختلاف Δ = أ-أ " اتصل خطأ تقريبي*.

* Δ - حرف يوناني. قراءة: دلتا. يأتي بعد ذلك حرف يوناني آخر ε (اقرأ: إبسيلون).

على سبيل المثال ، إذا تم استبدال الرقم 3.756 بقيمته التقريبية 3.7 ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. إذا أخذنا 3.8 كقيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام خطأ التقريب Δ ، والقيمة المطلقة لهذا الخطأ | Δ |. فيما يلي ، سنشير ببساطة إلى هذه القيمة المطلقة للخطأ كـ الخطأ المطلق. يعتبر أن أحد التقريبات أفضل من الآخر إذا كان الخطأ المطلق للتقريب الأول أقل من الخطأ المطلق للتقريب الثاني. على سبيل المثال ، التقريب 3.8 للرقم 3.756 أفضل من التقريب 3.7 ، لأنه بالنسبة للتقريب الأول
|Δ | = | - 0.044 | = 0.044 وللثاني | Δ | = |0,056| = 0,056.

رقم أ" أيصل إلىε ، إذا كان الخطأ المطلق لهذا التقريب أقل منε :

|أ-أ " | < ε .

على سبيل المثال ، 3.6 تقريب من 3.671 إلى 0.1 ، لأن | 3.671 - 3.6 | = | 0.071 | = 0.071< 0,1.

وبالمثل ، يمكن اعتبار -3/2 تقريبيًا لـ -8/5 في حدود 1/5 ، منذ ذلك الحين

< أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ مع عيب.

إذا أ" > أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ في الزائدة.

على سبيل المثال ، 3.6 قيمة تقريبية 3.671 مع وجود عيب ، منذ 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

إذا كنا بدلاً من الأرقام أ و ب تضيف قيمها التقريبية أ" و ب" ، ثم النتيجة أ "+ ب" ستكون القيمة التقريبية للمبلغ أ + ب . السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن تقدير دقة هذه النتيجة إذا كانت دقة التقريب لكل مصطلح معروفة؟ يعتمد حل هذه المشكلة والمشكلات المماثلة على الخاصية التالية للقيمة المطلقة:

|أ + ب | < |أ | + |ب |.

لا تتجاوز القيمة المطلقة لمجموع أي رقمين مجموع قيمهما المطلقة.

أخطاء

يسمى الفرق بين الرقم الدقيق x وقيمته التقريبية a خطأ هذا الرقم التقريبي. إذا كان معروفًا أن | | x - أ |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

تسمى نسبة الخطأ المطلق إلى معامل القيمة التقريبية الخطأ النسبي للقيمة التقريبية. عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

حقًا،

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

تمارين للعمل المستقل.

1. بأية دقة يمكن قياس الأطوال باستخدام مسطرة عادية؟

2. ما مدى دقة الساعة؟

3. هل تعرف بأي دقة يمكن قياس وزن الجسم على الموازين الكهربائية الحديثة؟

4. أ) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية ضمن 0.01 تساوي 0.99؟

ب) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمته التقريبية الناقصة في حدود 0.01 تساوي 0.99؟

ج) ما هو نطاق الرقم؟ أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية التي تزيد عن 0.01 تساوي 0.99؟

5. ما هو الرقم التقريبي π 3.1415 أفضل: 3.1 أم 3.2؟

6. هل يمكن اعتبار القيمة التقريبية لرقم معين بدقة 0.01 قيمة تقريبية لنفس الرقم بدقة 0.1؟ والعكس صحيح؟

7. على خط الأعداد ، موضع النقطة المطابق للرقم أ . أشر على هذا الخط:

أ) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ مع عيب بدقة 0.1 ؛

ب) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ تتجاوز بدقة 0.1 ؛

ج) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ بدقة 0.1.

8. في هذه الحالة تكون القيمة المطلقة لمجموع رقمين:

أ) أقل من مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام ؛

ب) يساوي مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام؟

9. إثبات عدم المساواة:

أ) | أ-ب | < |أ| + |ب | ؛ ب) * | أ - ب | > ||أ | - | ب ||.

متى تظهر علامة التساوي في هذه الصيغ؟

المؤلفات:

1. الأحذية (المستوى الأساسي) 10-11 خلية. - م ، 2012

2. باشماكوف ، 10 خلايا. مجموعة من المهام. - م: دار النشر "الأكاديمية" ، 2008

3. ، موردكوفيتش: المواد المرجعية: كتاب للطلاب. - الطبعة الثانية. - م: التنوير ، 1990

4. القاموس الموسوعي لعالم رياضيات شاب / كومب. .- م: علم أصول التدريس ، 1989

عنوان " "في الصف التاسع بطلاقة. والطلاب ، كقاعدة عامة ، لا يطورون مهارات حسابه بشكل كامل.

ولكن مع التطبيق العملي رقم الخطأ النسبي ، وكذلك مع الخطأ المطلق ، نواجهه في كل خطوة.

أثناء أعمال الإصلاح ، قمنا بقياس السُمك (بالسنتيمتر) مالسجاد والعرض نبندق. حصلنا على النتائج التالية:

م 0.8 (دقيقة إلى 0.1) ؛

n≈100.0 (دقيقة حتى 0.1).

لاحظ أن الخطأ المطلق لكل من هذه القياسات لا يزيد عن 0.1.

ومع ذلك ، فإن 0.1 جزء ثابت من الرقم 0.8. أما بالنسبة للالرقم 100 يمثل h ثانويast. هذا يدل على أن جودة القياس الثاني أعلى بكثير من الأول.

لتقييم جودة القياس المستخدمة الخطأ النسبي للرقم التقريبي.

تعريف.

الخطأ النسبي للرقم التقريبي (القيمة) هي نسبة الخطأ المطلق إلى معامل القيمة التقريبية.

اتفقنا على التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال 1

ضع في اعتبارك الكسر 14.7 وقم بتقريبه إلى أعداد صحيحة. سوف نجد أيضا الخطأ النسبي للرقم التقريبي:

14,7≈15.

لحساب الخطأ النسبي ، بالإضافة إلى القيمة التقريبية ، كقاعدة عامة ، تحتاج أيضًا إلى معرفة الخطأ المطلق. الخطأ المطلق ليس دائما معروفا. لذا احسب غير ممكن. وفي هذه الحالة ، يكفي الإشارة إلى تقدير الخطأ النسبي.

تذكر المثال الذي تم تقديمه في بداية المقالة. كانت هناك قياسات سمك محددة مالسجاد والعرض نبندق.

حسب نتائج القياسات م≈0.8 بدقة 0.1. يمكننا القول أن خطأ القياس المطلق لا يزيد عن 0.1. هذا يعني أن نتيجة قسمة الخطأ المطلق على القيمة التقريبية (وهذا هو الخطأ النسبي) أقل من أو يساوي 0.1 / 0.8 = 0.125 = 12.5٪.

وبالتالي ، فإن خطأ التقريب النسبي هو ≤ 12.5٪.

وبالمثل ، نحسب الخطأ النسبي لتقريب عرض الجوز ؛ لا تزيد عن 0.1 / 100 = 0.001 = 0.1٪.

يقال أنه في الحالة الأولى ، تم إجراء القياس بدقة نسبية تصل إلى 12.5٪ ، وفي الحالة الثانية بدقة نسبية تصل إلى 0.1٪.

لخص.

الخطأ المطلق العدد التقريبي هو الاختلافبين العدد الدقيق xوقيمته التقريبية أ.

إذا كان معامل الاختلاف | x – أ| أقل من البعضد أثم القيمةد أاتصل الخطأ المطلق العدد التقريبي أ.

الخطأ النسبي للرقم التقريبي هي نسبة الخطأ المطلقةد ألمعامل العدد أ، هذا هود أ / |أ| = د أ .

مثال 2

ضع في اعتبارك القيمة التقريبية المعروفة للرقم π≈3.14.

نظرًا لقيمته بدقة تصل إلى مائة من الألف ، يمكنك تحديد خطأه 0.00159 ... (سيساعد ذلك في تذكر أرقام الرقم π )

الخطأ المطلق للرقم π يساوي: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

الخطأ النسبي للعدد π هو: 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051٪.

مثال 3

حاول أن تحسب نفسك الخطأ النسبي للرقم التقريبي √2. توجد عدة طرق لتذكر أرقام الجذر التربيعي للعدد 2.

1. الأرقام دقيقة وتقريبية. الأرقام التي نواجهها في الممارسة نوعان. يعطي البعض القيمة الحقيقية للكمية ، والبعض الآخر يعطي القيمة التقريبية فقط. الأول يسمى الدقيق ، والثاني - تقريبي. غالبًا ما يكون من الملائم استخدام رقم تقريبي بدلاً من رقم دقيق ، خاصة أنه في كثير من الحالات لا يمكن العثور على الرقم الدقيق على الإطلاق.

تعطي نتائج العمليات بالأرقام: بأرقام تقريبية بأرقام تقريبية. فمثلا. أثناء الوباء ، أصيب 60 ٪ من سكان سانت بطرسبرغ بالأنفلونزا. هذا ما يقرب من 3 ملايين شخص. بأرقام دقيقة على سبيل المثال. كان هناك 65 شخصًا من الجمهور في محاضرة عن الرياضيات. أرقام تقريبية على سبيل المثال. متوسط ​​درجة حرارة جسم المريض نهاراً 37.3: صباحاً: 37.2 ؛ اليوم: 36.8 ؛ المساء 38.

تسمح نظرية الحسابات التقريبية بما يلي: 1) معرفة درجة دقة البيانات لتقييم درجة دقة النتائج. 2) أخذ البيانات بدرجة مناسبة من الدقة وكافية لضمان الدقة المطلوبة للنتيجة ؛ 3) ترشيد عملية الحساب وتحريرها من تلك الحسابات التي لن تؤثر على دقة النتيجة.

1) إذا كان أول (يسار) من الأرقام المهملة أقل من 5 ، فلا يتم تغيير آخر رقم متبقي (التقريب لأسفل) ؛ 2) إذا كان الرقم الأول المهمل أكبر من 5 أو يساوي 5 ، فسيتم زيادة آخر رقم متبقي بمقدار واحد (التقريب لأعلى). التقريب: أ) إلى أعشار 12.34 12.3 ؛ ب) حتى المئات 3.2465 3.25 ؛ 1038.79. ج) حتى الألف 3.4335 3.434. د) ما يصل إلى الآلاف ؛ هذا يأخذ في الاعتبار ما يلي:

الكميات الأكثر شيوعًا التي يتم قياسها في الطب: الكتلة m ، الطول l ، سرعة العملية v ، الوقت t ، درجة الحرارة t ، الحجم V ، إلخ. يعني قياس الكمية المادية مقارنتها بكمية متجانسة مأخوذة كوحدة. 9 وحدات قياس الكميات الفيزيائية: الطول الأساسي - 1 م - (متر) الوقت - 1 ثانية - (ثانية) الكتلة - 1 كجم - (كيلوغرام) حجم نواتج - 1 متر مكعب - (متر مكعب) السرعة - 1 م / ث - (متر في الثانية)

بادئات أسماء الوحدات: البادئات المتعددة - زيادة بمقدار 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. مرات ز - هيكتو (× 100) ك - كيلو (× 1000) م - ميجا (×) 1 كم (كيلومتر) 1 كجم (كجم) 1 كم = 1000 م = 10³ م 1 كجم = 1000 جم = 10 جم انخفاض بمقدار 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. مرات د - ديسي (× 0.1) ث - سنتي (× 0.01) م - ملي (× 0.001) 1 دسم (ديسيمتر) 1dm = 0.1 م 1 سم (سم) 1 سم = 0.01 م 1 مم (مليمتر) 1 مم = 0.001 م

للتشخيص والعلاج والوقاية من الأمراض في الطب ، يتم استخدام أجهزة قياس طبية مختلفة.

ميزان الحرارة. أولاً ، عليك أن تأخذ في الاعتبار الحدود العليا والسفلى للقياس. الحد الأدنى هو الحد الأدنى والحد الأعلى هو القيمة القصوى القابلة للقياس. إذا كانت القيمة المتوقعة للقيمة المقاسة غير معروفة ، فمن الأفضل أن تأخذ الجهاز "بهامش". على سبيل المثال ، لا ينبغي إجراء قياس درجة حرارة الماء الساخن بميزان حرارة الشارع أو الغرفة. من الأفضل العثور على جهاز بحد أقصى 100 درجة مئوية. ثانيًا ، تحتاج إلى فهم مدى دقة قياس الكمية. نظرًا لأن خطأ القياس يعتمد على قيمة القسمة ، للحصول على قياسات أكثر دقة ، يتم اختيار أداة ذات قيمة قسمة أقل.

أخطاء القياس. لقياس معايير التشخيص المختلفة ، تحتاج إلى جهازك الخاص. على سبيل المثال ، يقاس الطول بمسطرة ، ودرجة الحرارة بميزان حرارة. لكن تختلف المساطر ومقاييس الحرارة ومقاييس التوتر وغيرها من الأجهزة ، لذلك من أجل قياس أي كمية فيزيائية ، تحتاج إلى اختيار جهاز مناسب لهذا القياس.

سعر تقسيم الجهاز. يجب تحديد درجة حرارة جسم الإنسان بدقة ، ويجب إعطاء الأدوية بكمية محددة بدقة ، وبالتالي فإن سعر أقسام مقياس جهاز القياس هو سمة مهمة لكل جهاز. قاعدة حساب قسمة السعر للجهاز ، ولحساب سعر أقسام المقياس ، تحتاج إلى: أ) تحديد أقرب حدتَين مرقمتين على المقياس ؛ ب) حساب عدد الأقسام بينهما ؛ ج) قسّم الفرق في القيم حول الحدود المحددة على عدد الأقسام.

سعر تقسيم الجهاز. قيمة التقسيم (50-30) / 4 = 5 (مل) قيمة التقسيم: (40-20) / 10 = 2 كم / ساعة ، (20-10) / 10 = 1 جم ، (39-19) / 10 = 2 لتر ، (8-4) /10 =0.4 رطل / بوصة مربعة ، (90-50) / 10 = 4 درجة حرارة ، (4-2) / 10 = 0.2 ثانية

تحديد سعر تقسيم الأجهزة: 16

خطأ القياس المطلق. لا بد أن تحدث أخطاء في أي قياس. هذه الأخطاء ناتجة عن عوامل مختلفة. يمكن تقسيم جميع العوامل إلى ثلاثة أجزاء: الأخطاء الناجمة عن النقص في الأدوات ؛ الأخطاء الناجمة عن النقص في طرق القياس ؛ بسبب تأثير العوامل العشوائية التي لا يمكن القضاء عليها. عند قياس أي قيمة ، لا يريد المرء أن يعرف فقط قيمتها ، ولكن أيضًا إلى أي مدى يمكن الوثوق بهذه القيمة ، ومدى دقتها. للقيام بذلك ، من الضروري معرفة مدى اختلاف القيمة الحقيقية للكمية عن القيمة المقاسة. لهذه الأغراض ، تم تقديم مفهوم الأخطاء المطلقة والنسبية.

الأخطاء المطلقة والنسبية. يوضح الخطأ المطلق مدى اختلاف القيمة الحقيقية للكمية المادية عن القيمة المقاسة. يعتمد ذلك على الجهاز نفسه (خطأ آلي) وعلى عملية القياس (خطأ في القراءة على المقياس). يجب الإشارة إلى الخطأ الأساسي في جواز سفر الأداة (كقاعدة عامة ، يساوي تقسيم مقياس الأداة). عادة ما يتم أخذ خطأ القراءة بما يساوي نصف قيمة القسمة. الخطأ المطلق للقيمة التقريبية هو الفرق Δ x \ u003d | x - x 0 | ، حيث x 0 هي قيمة تقريبية ، و x هي القيمة الدقيقة للقيمة المقاسة ، أو أحيانًا بدلاً من x يستخدمون A ΔA \ u003d | أ - أ 0 |.

الأخطاء المطلقة والنسبية. مثال. من المعروف أن -0.333 قيمة تقريبية لـ -1/3. ثم من خلال تعريف الخطأ المطلق Δ x = | x - x 0 | = | -1 / 3 + 0.333 | = | -1 / 3 + 33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. في العديد من الحالات المهمة عمليًا ، من المستحيل العثور على الخطأ المطلق للتقريب بسبب حقيقة أن القيمة الدقيقة للكمية غير معروفة. ومع ذلك ، يمكنك تحديد رقم موجب ، لا يمكن أن يكون هذا الخطأ المطلق أكثر من ذلك. هذا هو أي رقم h يحقق المتباينة | ∆x | (ح) يطلق عليه حد الخطأ المطلق.

في هذه الحالة ، يقولون إن قيمة x تصل تقريبًا إلى h يساوي x 0. x \ u003d x 0 ± h أو x 0 - h x x 0 + h

الأخطاء الآلية المطلقة في أدوات القياس

تقدير الأخطاء الآلية للقيم المقاسة. بالنسبة لمعظم أدوات القياس ، يكون خطأ الأداة مساويًا لقسمة المقياس. الاستثناء هو الأدوات الرقمية ومقاييس الاتصال. بالنسبة للأجهزة الرقمية ، يُشار إلى الخطأ في جواز سفرهم وعادة ما يكون أعلى بعدة مرات من تقسيم مقياس الجهاز. بالنسبة لأجهزة قياس المؤشر ، يتم تحديد الخطأ من خلال فئة الدقة الخاصة بها ، والتي يشار إليها على مقياس الجهاز ، وحد القياس. تتم الإشارة إلى فئة الدقة على مقياس الجهاز كرقم غير محاط بأي إطارات. على سبيل المثال ، في الشكل الموضح ، تكون فئة الدقة لمقياس الضغط 1.5. توضح فئة الدقة النسبة المئوية لخطأ الجهاز من حدود قياساته. بالنسبة لمقياس ضغط المؤشر ، يكون حد القياس 3 atm ، على التوالي ، وخطأ قياس الضغط هو 1.5٪ من 3 atm ، أي 0.045 atm. وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لمعظم أجهزة المؤشر ، يتبين أن الخطأ فيها يساوي قيمة قسمة الجهاز. كما في مثالنا ، حيث يكون سعر قسمة البارومتر 0.05 صراف آلي.

الأخطاء المطلقة والنسبية. هناك حاجة إلى الخطأ المطلق لتحديد النطاق الذي يمكن أن تنخفض فيه القيمة الحقيقية ، ولكن لتقييم دقة النتيجة ككل ، فهو ليس مؤشراً للغاية. بعد كل شيء ، من المؤكد أن قياس طول 10 أمتار بخطأ 1 مم دقيق للغاية ، وفي نفس الوقت ، من الواضح أن قياس طول 2 مم مع خطأ 1 مم غير دقيق للغاية. عادةً ما يتم تقريب خطأ القياس المطلق إلى رقم واحد مهم A 0.17 0.2. يتم تقريب القيمة العددية لنتيجة القياس بحيث يكون الرقم الأخير لها في نفس الرقم مثل رقم الخطأ A = 10.332 10.3

الأخطاء المطلقة والنسبية. إلى جانب الخطأ المطلق ، من المعتاد مراعاة الخطأ النسبي ، والذي يساوي نسبة الخطأ المطلق إلى قيمة الكمية نفسها. الخطأ النسبي للرقم التقريبي هو نسبة الخطأ المطلق لرقم تقريبي إلى هذا الرقم نفسه: E = Δx. 100٪ × 0 يوضح الخطأ النسبي عدد النسبة المئوية للقيمة نفسها التي يمكن أن يحدث فيها خطأ وهو إرشادي عند تقييم جودة النتائج التجريبية.

مثال. عند قياس طول وقطر الشعيرات الدموية ، تم الحصول على l = (10.0 ± 0.1) cm ، d = (2.5 ± 0.1) mm. أي من هذه القياسات أكثر دقة؟ عند قياس طول الشعيرات الدموية ، يُسمح بحدوث خطأ مطلق قدره 10 مم لكل 100 مم ، وبالتالي فإن الخطأ المطلق هو 10/100 = 0.1 = 10٪. عند قياس قطر الشعيرات الدموية ، يكون الخطأ المطلق المسموح به هو 0.1 / 2.5 = 0.04 = 4٪ لذلك ، يكون قياس قطر الشعيرات الدموية أكثر دقة.

في كثير من الحالات ، لا يمكن العثور على خطأ مطلق. ومن هنا الخطأ النسبي. ولكن يمكنك العثور على حد الخطأ النسبي. أي رقم δ يحقق المتباينة | ∆x | / | س س | δ ، هو حد الخطأ النسبي. على وجه الخصوص ، إذا كانت h هي حد الخطأ المطلق ، فإن الرقم δ = h / | x o | ، هو حد الخطأ النسبي للتقريب x o. من هنا. معرفة الحدود rel.p-i. δ ، يمكن للمرء أن يجد نهاية الخطأ المطلق h. ح = δ | س س |

مثال. من المعروف أن 2 = 1.41 ... أوجد الدقة النسبية للمساواة التقريبية أو حد الخطأ النسبي للمساواة التقريبية 2 1.41. هنا x \ u003d 2 ، x o \ u003d 1.41 ، Δ x \ u003d 2-1.41. من الواضح أن 0 Δ x 1.42-1.41 = 0.01 Δ x / x o 0.01 / 1.41 = 1/141 ، حد الخطأ المطلق هو 0.01 ، حد الخطأ النسبي هو 1/141

مثال. عند قراءة القراءة من المقياس ، من المهم أن تكون نظراتك متعامدة مع مقياس الأداة ، بينما يكون الخطأ أقل. لتحديد قراءة مقياس الحرارة: 1. حدد عدد الأقسام ، 2. اضربها في سعر القسمة 3. ضع في الاعتبار الخطأ 4. اكتب النتيجة النهائية. ر = 20 درجة مئوية ± 1.5 درجة مئوية وهذا يعني أن درجة الحرارة بين 18.5 درجة و 21.5 درجة. بمعنى ، يمكن أن تكون ، على سبيل المثال ، 19 و 20 و 21 درجة مئوية. لزيادة دقة القياسات ، من المعتاد تكرارها ثلاث مرات على الأقل وحساب متوسط ​​قيمة القيمة المقاسة

N A C O R D E N I A N E D E N G O N I N I O N I نتائج القياس C 1 \ u003d 34.5 C 2 \ u003d 33.8 C 3 \ u003d 33.9 C 4 \ u003d 33.5 C 5 \ u003d 54.2 a) دعونا نجد متوسط ​​قيمة أربع كميات مع cp \ u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \ u003d (34.5 + 33.8 + 33.9 + 33، 5): 4 = 33.925 33.9 b) أوجد انحراف القيمة عن القيمة المتوسطة Δс = | c-cp | ∆ ج 1 = | ج 1 - cp | = | 34.5 - 33.9 | = 0.6 ∆c 2 = | ج 2 - سي بي | = | 33.8 - 33.9 | = 0.1 ∆c 3 = | ج 3 - cp | = | 33.9 - 33.9 | = 0 ∆c 4 = | ج 4 - سي بي | = | 33.5 - 33.9 | = 0.4

ج) ابحث عن الخطأ المطلق Δc \ u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \ u003d (0.6 + 0.4): 4 \ u003d 0.275 0.3 g) أوجد الخطأ النسبي δ \ u003d Δc: s SR δ = (0.3: 33.9) 100٪ = 0.9٪ e) اكتب الإجابة النهائية c = 33.9 ± 0.3 δ = 0.9٪

العمل المنزلي استعد لدرس عملي يعتمد على مواد المحاضرة. تنفيذ مهمة. أوجد متوسط ​​القيمة والخطأ: أ 1 = 3.685 أ 2 = 3.247 أ 3 = 3.410 أ 4 = 3.309 أ 5 = 3.392. إنشاء عروض تقديمية حول الموضوعات: "تقريب القيم في الطب" ، "أخطاء القياس" ، "معدات القياس الطبية"

بالنسبة للمشكلات الحديثة ، من الضروري استخدام جهاز رياضي معقد وطرق متطورة لحلها. في هذه الحالة ، غالبًا ما يواجه المرء مشاكل يكون الحل التحليلي لها ، أي إن الحل في شكل تعبير تحليلي يربط البيانات الأولية بالنتائج المطلوبة إما مستحيل على الإطلاق ، أو يتم التعبير عنه في صيغ مرهقة بحيث يكون من غير العملي استخدامها لأغراض عملية.

في هذه الحالة ، يتم استخدام طرق الحل العددي ، مما يجعل من الممكن ببساطة الحصول على حل رقمي للمشكلة. يتم تنفيذ الطرق العددية باستخدام الخوارزميات الحسابية.

تنقسم مجموعة الطرق العددية الكاملة إلى مجموعتين:

دقيق - يفترضون أنه إذا تم إجراء الحسابات بدقة ، فبمساعدة عدد محدود من العمليات الحسابية والمنطقية ، يمكن الحصول على القيم الدقيقة للكميات المرغوبة.

تقريبي - والذي ، حتى في ظل افتراض إجراء الحسابات دون تقريب ، يسمح لك بالحصول على حل للمشكلة بدقة معينة فقط.

1. القيمة والعدد. الكمية هي شيء يمكن التعبير عنه كرقم بوحدات معينة.

عندما يتحدثون عن قيمة كمية ، فإنهم يقصدون رقمًا معينًا ، يسمى القيمة العددية للكمية ، ووحدة قياسها.

وبالتالي ، فإن الكمية هي خاصية مميزة لخاصية كائن أو ظاهرة ، وهي شائعة في العديد من الكائنات ، ولكن لها قيم فردية لكل منها.

يمكن أن تكون القيم ثابتة أو متغيرة. إذا كانت الكمية ، في ظل ظروف معينة ، تأخذ قيمة واحدة فقط ولا تستطيع تغييرها ، فإنها تسمى ثابتًا ، ولكن إذا كان يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة ، فإنها تسمى متغير. لذلك ، فإن تسارع السقوط الحر لجسم ما في مكان معين على سطح الأرض هو قيمة ثابتة ، تأخذ قيمة عددية واحدة g = 9.81 ... m / s2 ، في حين أن المسار s تجتازه نقطة مادية خلال الحركة هي قيمة متغيرة.

2. القيم التقريبية للأرقام. تسمى قيمة الكمية ، التي لا نشك في حقيقتها ، بالدقة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، عند البحث عن قيمة كمية ما ، يتم الحصول على قيمتها التقريبية فقط. في ممارسة العمليات الحسابية ، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع القيم التقريبية للأرقام. إذن ، p هو رقم دقيق ، ولكن نظرًا لعدم عقلانيته ، يمكن استخدام قيمته التقريبية فقط.

في العديد من المشكلات ، نظرًا للتعقيد ، وغالبًا ما يكون من المستحيل الحصول على حلول دقيقة ، يتم استخدام طرق تقريبية للحل ، وتشمل هذه: حل المعادلات التقريبي ، واستيفاء الوظائف ، والحساب التقريبي للتكاملات ، إلخ.

المطلب الرئيسي للحسابات التقريبية هو الامتثال للدقة المحددة للحسابات الوسيطة والنتيجة النهائية. في الوقت نفسه ، فإن كلا من الزيادة في الأخطاء (الأخطاء) عن طريق التقليل غير المبرر للحسابات ، والاحتفاظ بالأرقام الزائدة التي لا تتوافق مع الدقة الفعلية غير مقبولة أيضًا.

هناك نوعان من الأخطاء الناتجة عن العمليات الحسابية وتقريب الأرقام - المطلقة والنسبية.

1. خطأ مطلق (خطأ).

دعونا نقدم التدوين:

لنفترض أن A هي القيمة الدقيقة لبعض الكمية ، السجل أ »أسنقرأ "أ يساوي تقريبًا أ". في بعض الأحيان نكتب أ = أ ، مع الأخذ في الاعتبار أننا نتحدث عن المساواة التقريبية.

إذا كان معروفًا أن ملف< А, то а называют القيمة التقريبية لـ A مع وجود عيب.إذا كان a> A ، فسيتم استدعاء القيمة التقريبية لـ A الزائدة.

يسمى الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية للكمية خطأ تقريبيويشار إليه بـ D ، أي

د \ u003d أ - أ (1)

يمكن أن يكون الخطأ D للتقريب موجبًا وسالبًا.

لتمييز الفرق بين القيمة التقريبية للكمية والقيمة الدقيقة ، غالبًا ما يكون كافياً للإشارة إلى القيمة المطلقة للفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية.

القيمة المطلقة للفرق بين التقريبي أودقيق لكنيتم استدعاء قيم الأرقام الخطأ المطلق (خطأ) التقريبويشار إليها من قبل د أ:

د أ = ½ أ – لكن½ (2)

مثال 1عند قياس الخط لاستخدمنا مسطرة ، قيمة قسمة المقياس لها 0.5 سم ، حصلنا على قيمة تقريبية لطول القطعة أ= 204 سم.

من الواضح أنه أثناء القياس يمكن أن يخطئوا بما لا يزيد عن 0.5 سم ، أي لا يتجاوز خطأ القياس المطلق 0.5 سم.

عادة الخطأ المطلق غير معروف ، لأن القيمة الدقيقة للرقم أ غير معروفة ، لذلك البعض تقييمالخطأ المطلق:

د أ <= Dأ قبل. (3)

أين د قبل. - خطأ هامشي (رقم ، أكثرصفر) ، والذي يتم تعيينه مع مراعاة اليقين الذي يُعرف به الرقم أ.

الحد من الخطأ المطلق يسمى أيضا هامش الخطأ. لذلك ، في المثال المعطى ،
د قبل. = 0.5 سم.

من (3) نحصل على: د أ = ½ أ – لكن½<= Dأ قبل. . وثم

أ- د أ قبل. ≤ لكن≤ أ+ د أ قبل. . (4)

وسائل، ميلادي أ قبل. سيكون تقريبيًا لكنمع عيب و أ + د أ قبل – القيمة التقريبية لكنفي الزائدة. يستخدمون أيضًا الاختصار: لكن= أ± د أ قبل (5)

ويترتب على تعريف الخطأ المطلق المحدود أن الأرقام د أ قبل، إرضاء عدم المساواة (3) ، سيكون هناك مجموعة لانهائية. في الممارسة العملية ، نحاول الاختيار ربما أقلمن الأرقام د قبل، وإرضاء عدم المساواة د أ <= Dأ قبل.

مثال 2دعونا نحدد الخطأ المطلق المحدد للعدد أ = 3.14، كقيمة تقريبية للرقم π.

ومن المعروف أن 3,14<π<3,15. ومن ثم يتبع ذلك

|أ – π |< 0,01.

يمكن اعتبار الرقم D بمثابة الخطأ المطلق المحدد أ = 0,01.

ومع ذلك ، إذا أخذنا ذلك في الاعتبار 3,14<π<3,142 ، ثم نحصل على تقدير أفضل: د أ= 0.002 إذن π ≈3.14 ± 0.002.

خطأ نسبي (خطأ).إن معرفة الخطأ المطلق فقط لا يكفي لوصف جودة القياس.

دعنا ، على سبيل المثال ، عند وزن جسدين ، يتم الحصول على النتائج التالية:

P 1 \ u003d 240.3 ± 0.1 جم.

P 2 \ u003d 3.8 ± 0.1 جم.

على الرغم من أن أخطاء القياس المطلقة لكلا النتيجتين هي نفسها ، فإن جودة القياس في الحالة الأولى ستكون أفضل منها في الحالة الثانية. يتميز بخطأ نسبي.

خطأ نسبي (خطأ)تقريب العدد لكنيسمى نسبة الخطأ المطلق د أتقريب القيمة المطلقة للرقم أ:

نظرًا لأن القيمة الدقيقة للكمية غير معروفة عادةً ، يتم استبدالها بقيمة تقريبية ثم:

الحد من الخطأ النسبيأو حد خطأ التقريب النسبي ،يسمى الرقم د و قبل.> 0 ، مثل:

د أ<= د و قبل.

بالنسبة للخطأ النسبي المحدد ، من الواضح أنه يمكن للمرء أن يأخذ نسبة الخطأ المطلق المحدود إلى القيمة المطلقة للقيمة التقريبية:

من (9) العلاقة المهمة التالية يمكن الحصول عليها بسهولة:

∆و قبل. = |أ| د و قبل.

عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي المحدد كنسبة مئوية:

مثال.أساس اللوغاريتمات الطبيعية للحساب يؤخذ على قدم المساواة ه= 2.72. أخذنا القيمة الدقيقة هم = 2.7183. أوجد الأخطاء المطلقة والنسبية لعدد تقريبي.

د ه = ½ ه – هر ½ = 0.0017 ؛

.

تظل قيمة الخطأ النسبي دون تغيير مع التغيير النسبي في الرقم التقريبي وخطأه المطلق. لذلك ، بالنسبة للرقم 634.7 ، المحسوب بالخطأ المطلق D = 1.3 ، وبالنسبة للرقم 6347 بالخطأ D = 13 ، فإن الأخطاء النسبية هي نفسها: د= 0,2.

في معظم الحالات ، تكون البيانات الرقمية في المشكلات تقريبية. في ظروف المشكلات ، يمكن أيضًا مواجهة القيم الدقيقة ، على سبيل المثال ، نتائج حساب عدد صغير من الكائنات ، وبعض الثوابت ، إلخ.

للإشارة إلى القيمة التقريبية للرقم ، استخدم علامة المساواة التقريبية ؛ قراءة مثل هذا: "تقريبًا متساوٍ" (لا ينبغي أن تقرأ: "تقريبًا متساوية").

يعد اكتشاف طبيعة البيانات الرقمية خطوة تحضيرية مهمة في حل أي مشكلة.

يمكن أن تساعدك الإرشادات التالية في التعرف على القيم الدقيقة والتقريبية للأرقام:

القيم الدقيقة	القيم التقريبية
1. قيم عدد من عوامل التحويل للانتقال من وحدة قياس إلى أخرى (1 م \ u003d 1000 مم ؛ 1 ساعة \ u003d 3600 ثانية) تم قياس العديد من عوامل التحويل وحسابها بهذه الدقة (المترولوجية) العالية التي تعتبر في الواقع دقيقة الآن.	1. معظم قيم الكميات الرياضية المحددة في الجداول (الجذور ، اللوغاريتمات ، قيم الدوال المثلثية ، وكذلك قيمة عدد وأساس اللوغاريتمات الطبيعية المستخدمة في الممارسة (عدد ه))
2. عوامل النطاق. على سبيل المثال ، إذا كان من المعروف أن المقياس هو 1: 10000 ، فإن الرقمين 1 و 10000 يعتبران دقيقين. إذا تم الإشارة إلى أن هناك 4 أمتار في 1 سم ، فإن 1 و 4 هما الأطوال الدقيقة	2. نتائج القياس. (بعض الثوابت الأساسية: سرعة الضوء في الفراغ ، وثابت الجاذبية ، وشحنة الإلكترون وكتلته ، وما إلى ذلك) القيم الجدولية للكميات الفيزيائية (كثافة المادة ، ونقاط الانصهار والغليان ، إلخ.)
3. التعريفات والأسعار. (تكلفة 1 كيلو وات ساعة من الكهرباء هي القيمة الدقيقة للسعر)	3. بيانات التصميم تقريبية أيضًا ، لأن يتم تعيينها مع بعض الانحرافات ، والتي يتم تطبيعها بواسطة GOSTs. (على سبيل المثال ، وفقًا للمعيار ، أبعاد الطوب: الطول 250 6 مم ، العرض 120 4 مم ، السُمك 65 3 مم) نفس مجموعة الأرقام التقريبية تشمل الأبعاد المأخوذة من الرسم
4. القيم الشرطية للكميات (أمثلة: درجة حرارة الصفر المطلق -273.15 درجة مئوية ، الضغط الجوي العادي 101325 باسكال)
5. المعاملات والأسس الموجودة في الصيغ الفيزيائية والرياضية (؛٪ ؛ إلخ).
6. نتائج عد العناصر (عدد البطاريات في البطارية ؛ عدد علب الحليب التي ينتجها المصنع ويتم عدها بواسطة العداد الكهروضوئي)
7. إعطاء قيم الكميات (على سبيل المثال ، في المهمة "أوجد فترات التذبذب للبندولات بطول 1 و 4 أمتار" ، يمكن اعتبار الرقمين 1 و 4 القيم الدقيقة للطول البندول)

مكتمل في المهام التالية ، اكتب الإجابة على شكل جدول:

1. وضح أيًا من القيم المعطاة دقيقة ، والتي هي تقريبية:

1) كثافة الماء (4 درجة مئوية) .................. .................. 1000 كجم / م 3

2) سرعة الصوت (0 درجة مئوية) …………………………………………………………… .332 م / ث

3) السعة الحرارية النوعية للهواء .... ........................................... 1.0 كيلو جول / (كجم ∙ كلفن)

4) نقطة غليان الماء ……………. ………………………………… .100 درجة مئوية

5) ثابت أفوجادرو…. ………………………………… .. ..… .. 6.02 ∙ 10 23 مول -1

6) الكتلة الذرية النسبية للأكسجين …………………………………… .. 16

2. ابحث عن قيم دقيقة وتقريبية في شروط المهام التالية:

1) في المحرك البخاري ، البكرة البرونزية ، التي يبلغ طولها وعرضها 200 و 120 ملم على التوالي ، تتعرض لضغط 12 ميجا باسكال. أوجد القوة المطلوبة لتحريك البكرة على سطح الأسطوانة المصنوع من الحديد الزهر. معامل الاحتكاك 0.10.

2) تحديد مقاومة فتيل المصباح الكهربائي حسب بيانات التأشير التالية: "220V، 60 W".

3. ما هي الإجابات - الدقيقة أو التقريبية - التي سنحصل عليها عند حل المشكلات التالية؟

1) ما هي سرعة الجسم الساقط بحرية في نهاية الـ 15 ثانية ، مع الأخذ في الاعتبار الفترة الزمنية المحددة بالضبط؟

2) ما هي سرعة البكرة إذا كان قطرها 300 مم وسرعة الدوران 10 لفة في الدقيقة؟ تعتبر البيانات دقيقة.

3) أوجد معامل القوة. مقياس 1 سم - 50N.

4) حدد معامل الاحتكاك الساكن لجسم يقع على مستوى مائل ، إذا بدأ الجسم في الانزلاق بشكل موحد على طول المنحدر عند = 0.675 ، حيث زاوية ميل المستوى.