قدمه لنا العمليات الخطية على النواقلتجعل من الممكن إنشاء تعبيرات مختلفة لـ كميات ناقلاتوتحويلها باستخدام الخصائص المحددة لهذه العمليات.

استنادًا إلى مجموعة معينة من المتجهات a 1 و ... و n ، يمكنك تكوين تعبير عن النموذج

حيث 1 و ... و n هي أرقام حقيقية عشوائية. هذا التعبير يسمى مزيج خطي من النواقلأ 1 ، ... ، أ ن. الأرقام α i ، i = 1 ، n ، هي معاملات التركيبة الخطية. تسمى مجموعة النواقل أيضًا نظام ناقلات.

فيما يتعلق بالمفهوم المقدم للمزيج الخطي من المتجهات ، تنشأ مشكلة وصف مجموعة المتجهات التي يمكن كتابتها كمجموعة خطية لنظام معين من المتجهات أ 1 ، ... ، أ ن. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الأسئلة حول الشروط التي بموجبها يوجد تمثيل للمتجه في شكل تركيبة خطية ، وحول تفرد مثل هذا التمثيل ، هي أسئلة طبيعية.

التعريف 2.1.يتم استدعاء المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه المجموعة من المعاملات α 1 ، ... ، α n ذلك

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

وواحد على الأقل من هذه المعاملات يساوي صفرًا. إذا كانت مجموعة المعاملات المحددة غير موجودة ، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

إذا كانت α 1 = ... = α n = 0 ، فمن الواضح أن α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا أن نقول: المتجهات a 1 ، ... ، و تكون n مستقلة خطيًا إذا كان يتبع من المساواة (2.2) أن جميع المعاملات α 1 ، ... ، α n تساوي صفرًا.

تشرح النظرية التالية سبب تسمية المفهوم الجديد بمصطلح "الاعتماد" (أو "الاستقلال") ، وتعطي معيارًا بسيطًا للاعتماد الخطي.

نظرية 2.1.من أجل أن تكون المتجهات a 1 ، ... ، و n ، n> 1 ، مرتبطة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون أحدهما مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

ضرورة. افترض أن المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيًا. وفقًا للتعريف 2.1 للاعتماد الخطي ، في المساواة (2.2) يوجد معامل واحد على الأقل غير صفري على اليسار ، على سبيل المثال α 1. ترك المصطلح الأول على الجانب الأيسر من المساواة ، وننقل الباقي إلى الجانب الأيمن ، ونغير علاماتهم كالمعتاد. بقسمة المساواة الناتجة على α 1 ، نحصل عليها

أ 1 = -α 2 / α 1 ⋅ أ 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

أولئك. تمثيل المتجه أ 1 كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية أ 2 و ... و ن.

قدرة. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن المتجه الأول أ 1 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية: أ 1 = β 2 أ 2 + ... + ن أ ن. نقل جميع الشروط من الجانب الأيمن إلى اليسار ، نحصل على 1 - 2 أ 2 - ... - β n a n = 0 ، أي تركيبة خطية من المتجهات a 1 ، ... ، و n مع المعاملات α 1 = 1 ، α 2 = - β 2 ، ... ، α n = - n ، تساوي ناقل صفر.في هذه المجموعة الخطية ، ليست كل المعاملات تساوي الصفر. وفقًا للتعريف 2.1 ، فإن المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيًا.

يتم صياغة تعريف ومعيار الاعتماد الخطي بطريقة تعني ضمناً وجود متجهين أو أكثر. ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يتحدث أيضًا عن اعتماد خطي لمتجه واحد. لتحقيق هذا الاحتمال ، بدلاً من "النواقل تعتمد خطيًا" نحتاج إلى القول "نظام النواقل يعتمد خطيًا". من السهل أن نرى أن التعبير "نظام متجه واحد يعتمد خطيًا" يعني أن هذا المتجه الفردي هو صفر (يوجد معامل واحد فقط في تركيبة خطية ، ويجب ألا يكون مساويًا للصفر).

مفهوم الاعتماد الخطي له تفسير هندسي بسيط. يتم توضيح هذا التفسير من خلال العبارات الثلاثة التالية.

نظرية 2.2.متجهان يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا علاقة خطية متداخلة.

◄ إذا كان المتجهان أ و ب معتمدين خطيًا ، فسيتم التعبير عن أحدهما ، على سبيل المثال أ ، من خلال الآخر ، أي a = λb لبعض العدد الحقيقي λ. حسب التعريف 1.7 يعملالمتجهات برقم ، يكون المتجهان a و b على خط واحد.

الآن دع المتجهين a و b على خط واحد. إذا كان كلاهما صفرًا ، فمن الواضح أنهما معتمدين خطيًا ، لأن أي مجموعة خطية منهما تساوي المتجه الصفري. دع أحد هذه المتجهات لا تساوي 0 ، على سبيل المثال المتجه ب. قم بالإشارة إلى λ نسبة أطوال المتجهات: λ = | а | / | b |. يمكن أن تكون النواقل الخطية أحادي الاتجاهأو اتجاهين متعاكسين. في الحالة الأخيرة ، نقوم بتغيير علامة λ. بعد ذلك ، بالتحقق من التعريف 1.7 ، نرى أن a = λb. وفقًا للنظرية 2.1 ، فإن المتجهين أ و ب يعتمدان خطيًا.

ملاحظة 2.1.في حالة متجهين ، مع الأخذ في الاعتبار معيار الاعتماد الخطي ، يمكن إعادة صياغة النظرية المثبتة على النحو التالي: متجهان متصلان إذا وفقط إذا تم تمثيل أحدهما كمنتج للآخر برقم. هذا معيار مناسب للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.

نظرية 2.3.ثلاثة نواقل تعتمد خطيا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

◄ إذا كانت ثلاثة نواقل أ ، ب ، ج تعتمد خطيًا ، فوفقًا للنظرية 2.1 ، يكون أحدها ، على سبيل المثال أ ، مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى: أ = ب + ج. دعونا نجمع بين أصول المتجهين b و c عند النقطة A. ثم المتجهات b ، c سيكون لها أصل مشترك عند النقطة A و متوازي الأضلاع حكم مجموعهم ،أولئك. المتجه a ، سيكون متجهًا مع البداية A و نهاية، وهو رأس متوازي الأضلاع مبني على متجهات جمع. وبالتالي ، تقع جميع النواقل في نفس المستوى ، أي أنها متحد المستوى.

دع المتجهات أ ، ب ، ج تكون متحد المستوى. إذا كان أحد هذه المتجهات صفرًا ، فمن الواضح أنه سيكون مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى. يكفي أن تساوي جميع معاملات التركيبة الخطية صفرًا. لذلك ، يمكننا أن نفترض أن المتجهات الثلاثة ليست صفرًا. متناسق بدايةهذه المتجهات عند نقطة مشتركة O. اجعل نهاياتها ، على التوالي ، النقاط A ، B ، C (الشكل 2.1). ارسم خطوطًا من خلال النقطة C موازية للخطوط التي تمر عبر أزواج من النقاط O و A و O و B. مع الإشارة إلى نقاط التقاطع على أنها A "و B" ، نحصل على متوازي الأضلاع "CB" ، لذلك OC "= OA" + OB ". Vector OA" والمتجه غير الصفري a = OA مترابطان ، وبالتالي يمكن الحصول على أولهما بضرب الثاني في رقم حقيقي α: OA "= αOA. وبالمثل ، OB" = βOB ، β ∈ R. نتيجة لذلك ، نحصل على أن OC "= α OA + βOB ، أي أن المتجه c هو مزيج خطي من المتجهين a و b. وفقًا للنظرية 2.1 ، المتجهات a و b و c تعتمد خطيًا.

نظرية 2.4.أي أربعة نواقل تعتمد خطيا.

يتبع الدليل نفس المخطط كما في النظرية 2.3. اعتبر أربعة نواقل عشوائية أ ، ب ، ج ، د. إذا كان أحد المتجهات الأربعة صفرًا ، أو كان هناك متجهان خطيان بينهما ، أو كان ثلاثة من المتجهات الأربعة متحد المستوى ، فإن هذه المتجهات الأربعة تعتمد خطيًا. على سبيل المثال ، إذا كان المتجهان a و b على علاقة خطية ، فيمكننا تكوين تركيبة خطية αa + b = 0 مع معاملات غير صفرية ، ثم نضيف المتجهين المتبقيين إلى هذه المجموعة ، مع أخذ الأصفار كمعامِلات. نحصل على تركيبة خطية من أربعة نواقل تساوي 0 ، وفيها معاملات غير صفرية.

وبالتالي ، يمكننا أن نفترض أنه من بين النواقل الأربعة المختارة لا توجد نواقل فارغة ، ولا يوجد اثنان على علاقة خطية ، ولا يوجد ثلاثة نواقل مستوية. نختار النقطة O كبداية مشتركة ، ثم نهايات المتجهات أ ، ب ، ج ، د ستكون بعض النقاط أ ، ب ، ج ، د (الشكل 2.2). من خلال النقطة D ، نرسم ثلاث طائرات موازية للطائرات ОВС ، و OCA ، و OAB ، ونفترض أن A "، B" ، С "تكون نقاط تقاطع هذه المستويات مع الخطوط OA ، OB ، OS ، على التوالي. نحصل على خط متوازي OA "C" B "C" B "DA" ، والمتجهات أ ، ب ، ج تقع على حوافها الخارجة من الرأس O. نظرًا لأن OC الرباعي "DC" متوازي أضلاع ، إذن OD = OC "+ OC ". بدوره ، المقطع OS" هو متوازي أضلاع قطري OA "C" B "، لذا OC" = OA "+ OB" ، و OD = OA "+ OB" + OC ".

يبقى أن نلاحظ أن أزواج المتجهات OA ≠ 0 و OA "و OB ≠ 0 و OB" و OC ≠ 0 و OC "مترابطة ، وبالتالي ، يمكننا اختيار المعاملات α و β و γ بحيث يكون OA" = αOA و OB "= βOB و OC" = γOC. أخيرًا ، نحصل على OD = αOA + βOB + γOC. وبالتالي ، يتم التعبير عن المتجه OD من حيث المتجهات الثلاثة المتبقية ، وجميع المتجهات الأربعة ، وفقًا للنظرية 2.1 ، تعتمد خطيًا.

يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام ، من بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر ، أن المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif "width =" 57 "height =" 24 src = ">.

إذا كانت هذه المساواة صحيحة فقط إذا كانت جميعها ، فسيتم استدعاء نظام النواقل مستقل خطيا.

نظرية.نظام النواقل سوف تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد نواقلها على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

مثال 1متعدد الحدود عبارة عن مجموعة خطية من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif "width =" 88 height = 24 "height =" 24 ">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلًا خطيًا ، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 ">.

مثال 2نظام المصفوفة ، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 "height =" 48 src = "> مستقل خطيًا ، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif "width =" 69 "height =" 21 "> ، https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif "width =" 40 "height =" 21 "> تابع خطيًا.

المحلول.

قم بتكوين مجموعة خطية من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "width =" 97 "height =" 24 "> = 0..gif" width = "360" height = "22">.

معادلة الإحداثيات التي تحمل نفس الاسم للمتجهات المتساوية ، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif "width =" 289 "height =" 69 ">

أخيرا نحصل

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد ، لذا فإن التركيبة الخطية لهذه المتجهات تكون صفرًا فقط إذا كانت جميع المعاملات صفرًا. لذلك ، فإن نظام النواقل هذا مستقل خطيًا.

مثال 4النواقل مستقلة خطيًا. ماذا ستكون أنظمة النواقل

أ).;

ب).?

المحلول.

أ).قم بتكوين مجموعة خطية ومساواتها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في مساحة خطية ، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا ، يجب أن تكون معاملات من أجل مساوية للصفر ، أي .. gif "width =" 12 "height =" 23 src = ">

نظام المعادلات الناتج له حل تافه فريد .

منذ المساواة (*) تم تنفيذه فقط على https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif "width =" 115 height = 20 "height =" 20 "> - مستقل خطيًا ؛

ب).قم بتكوين المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif "width =" 265 "height =" 24 src = "> (**)

بتطبيق نفس المنطق ، نحصل عليه

نحصل على حل نظام المعادلات بطريقة جاوس

أو

يحتوي النظام الأخير على عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = ">. وبالتالي ، هناك غير- صفر مجموعة من المعاملات التي من أجلها المساواة (**) . لذلك ، نظام النواقل يعتمد خطيًا.

مثال 5نظام المتجه مستقل خطيًا ، ونظام المتجه يعتمد خطيًا .. gif "width =" 80 "height =" 24 ">. gif" width = "149 height = 24" height = "24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دل .

احصل على

مهام الحل المستقل (في الفصل الدراسي)

1. النظام الذي يحتوي على متجه صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا ، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي ، يتم الحصول على أحدهما من الآخر بضربه في رقم).

4. إذا تمت إضافة ناقل إلى نظام تابع خطيًا ، فسيتم الحصول على نظام يعتمد خطيًا.

5. إذا تمت إزالة ناقل من نظام مستقل خطيًا ، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلاً خطيًا.

6. إذا كان النظام سمستقل خطيًا ، لكنه يصبح معتمدًا خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بمعبرًا عنها خطيًا من حيث متجهات النظام س.

ج).نظام المصفوفات ، في فضاء مصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام النواقل أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيًا. إثبات الاستقلال الخطي للأنظمة التالية من النواقل:

أ).أ +ب ، ب ، ج.

ب).أ +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> -عدد التعسفي

ج).أ +ب ، أ + ج ، ب + ج.

11. يترك أ،ب،جهي ثلاثة متجهات في المستوى يمكن استخدامها لتشكيل مثلث. هل ستعتمد هذه النواقل خطيًا؟

12. نظرا اثنين من النواقل أ 1 = (1 ، 2 ، 3 ، 4) ،a2 = (0 ، 0 ، 0 ، 1). التقط اثنين من ناقلات 4D أخرى a3 وأ 4بحيث النظام a1 ،a2 ،a3 ،أ 4كانت مستقلة خطيًا .

أ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, أ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, أ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

المحلول.نحن نبحث عن حل عام لنظام المعادلات

أ 1 x 1 + أ 2 x 2 + أ 3 x 3 = Θ

طريقة جاوس. للقيام بذلك ، نكتب هذا النظام المتجانس في الإحداثيات:

مصفوفة النظام

يبدو النظام المسموح به كما يلي: (ص أ = 2, ن= 3). النظام متسق وغير محدد. حلها العام ( x 2 - متغير حر): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => Xس =. يشير وجود حل خاص غير صفري ، على سبيل المثال ، إلى أن المتجهات أ 1 , أ 2 , أ 3 تعتمد خطيا.

مثال 2

اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات المعين يعتمد خطيًا أو مستقلًا خطيًا:

1. أ 1 = { -20, -15, - 4 }, أ 2 = { –7, -2, -4 }, أ 3 = { 3, –1, –2 }.

المحلول.ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس أ 1 x 1 + أ 2 x 2 + أ 3 x 3 = Θ

أو موسعة (بالإحداثيات)

النظام متجانس. إذا كانت غير متدهورة ، فلديها حل فريد. في حالة النظام المتجانس ، الحل الصفري (التافه). ومن ثم ، في هذه الحالة ، يكون نظام النواقل مستقلاً. إذا كان النظام متدهورًا ، فعندئذٍ يكون لديه حلول غير صفرية ، وبالتالي فهو تابع.

فحص نظام التحلل:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

النظام غير متدهور ، وبالتالي ، النواقل أ 1 , أ 2 , أ 3 مستقلة خطيًا.

مهام.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات المعين يعتمد خطيًا أو مستقلًا خطيًا:

1. أ 1 = { -4, 2, 8 }, أ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. أ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, أ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. أ 1 = { -7, 5, 19 }, أ 2 = { -5, 7 , -7 }, أ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. أ 1 = { 1, 2, -2 }, أ 2 = { 0, -1, 4 }, أ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. أ 1 = { 1, 8 , -1 }, أ 2 = { -2, 3, 3 }, أ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. أ 1 = { 1, 2 , 3 }, أ 2 = { 2, -1 , 1 }, أ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. أ 1 = {0, 1, 1 , 0}, أ 2 = {1, 1 , 3, 1}, أ 3 = {1, 3, 5, 1}, أ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. أ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, أ 2 = {2, 3 , 2, 1}, أ 3 = {4, 4, 4, -3}, أ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. إثبات أن نظام النواقل سيعتمد خطيًا إذا كان يحتوي على:

أ) متجهان متساويان ؛

ب) متجهان متناسبان.

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات.
أساس النواقل. نظام الإحداثيات Affine

هناك عربة بها شوكولاتة في الجمهور ، واليوم سيحصل كل زائر على زوج جميل - هندسة تحليلية مع الجبر الخطي. ستتطرق هذه المقالة إلى قسمين من الرياضيات العليا في وقت واحد ، وسنرى كيف يتعايشان معًا في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة ، كل تويكس! ... اللعنة ، حسنا ، مجادلة هراء. على الرغم من أنني بخير ، لن أسجل ، في النهاية ، يجب أن يكون هناك موقف إيجابي للدراسة.

الاعتماد الخطي على النواقل, الاستقلال الخطي للناقلات, أساس النواقلوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فحسب ، بل لها معنى جبري قبل كل شيء. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي بعيد كل البعد عن المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على مستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن البرهان ، حاول رسم متجه لفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس ، الذي ذهبت للتو إلى Gismeteo من أجله: - درجة الحرارة والضغط الجوي ، على التوالي. المثال ، بالطبع ، غير صحيح من وجهة نظر خصائص فضاء المتجه ، ولكن ، مع ذلك ، لا أحد يحظر صياغة هذه المعلمات كمتجه. أنفاس الخريف ...

لا ، لن أتعبك بالنظرية ، فضاءات المتجهات الخطية ، المهمة هي تفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي ، والاستقلالية ، والجمع الخطي ، والأساس ، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية ، ولكن سيتم إعطاء أمثلة هندسية. وبالتالي ، كل شيء بسيط ، سهل الوصول إليه ومرئي. بالإضافة إلى مشاكل الهندسة التحليلية ، سننظر أيضًا في بعض المهام النموذجية للجبر. لإتقان المادة ، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيف تحسب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلالية المتجهات المستوية.
أساس الطائرة ونظام إحداثيات أفيني

ضع في اعتبارك مستوى سطح مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة ، طاولة بجانب السرير ، أرضية ، سقف ، أي شيء تريده). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي ، سطح الطاولة له طول وعرض ، لذلك من الواضح بشكل بديهي أن هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن أحد النواقل لا يكفي ، وثلاثة نواقل أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار ضبط نظام الإحداثيات(تنسيق الشبكة) لتعيين إحداثيات لجميع العناصر الموجودة على الجدول.

لا تتفاجأ ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. علاوة على ذلك ، عليك. من فضلك ضع السبابة لليد اليسرىعلى حافة سطح الطاولة بحيث ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقل. الآن ضع الاصبع الصغير من اليد اليمنىعلى حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها إلى شاشة العرض. سيكون هذا ناقل. ابتسم ، تبدو رائعًا! ماذا يمكن أن يقال عن النواقل؟ ناقلات البيانات علاقة خطية متداخلةمما يعني خطيامعبر عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا ، أو العكس: أين هو رقم غير صفري.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الدرس. ناقلات للدمى، حيث شرحت قاعدة ضرب متجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على مستوى سطح طاولة الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. نواقل خطية تسافر ذهابًا وإيابًا في وحدهالاتجاه ، بينما الطائرة لها طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

المرجعي: تشير الكلمات "خطي" ، "خطي" إلى حقيقة أنه لا توجد مربعات ، أو مكعبات ، أو قوى أخرى ، أو لوغاريتمات ، أو جيب ، وما إلى ذلك في المعادلات الرياضية ، والتعبيرات. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (من الدرجة الأولى).

متجهان مستويان تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت تربطهما علاقة خطية متداخلة.

ضع أصابعك على الطاولة بحيث يكون هناك أي زاوية بينهما باستثناء 0 أو 180 درجة. متجهان مستويانخطيا ليستعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على علاقة خطية واحدة. لذلك ، يتم استلام الأساس. لا داعي للحرج من أن الأساس اتضح أنه "مائل" مع نواقل غير متعامدة بأطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أنه ليس فقط زاوية 90 درجة مناسبة لبناءها ، وليس فقط متجهات الوحدة ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةتوسع من حيث الأساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس.

يقولون ذلك أيضًا المتجهالمقدمة في النموذج تركيبة خطيةناقلات الأساس. وهذا يعني أن التعبير يسمى ناقلات التحللأساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس.

على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يقول إن المتجه يتم توسيعه على أساس متعامد للطائرة ، أو يمكن القول إنه يتم تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا نصيغ تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةهو زوج من المتجهات المستقلة خطيًا (غير خطية) ، ، حيث أيمتجه المستوى هو مزيج خطي من نواقل الأساس.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن النواقل مأخوذة بترتيب معين. القواعد هاتان قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون ، لا يمكن تحريك الإصبع الصغير لليد اليسرى إلى مكان الإصبع الصغير لليد اليمنى.

لقد توصلنا إلى الأساس ، ولكن لا يكفي تعيين شبكة الإحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ المتجهات مجانية وتتجول فوق الطائرة بأكملها. إذن كيف يمكنك تعيين إحداثيات لنقاط الجدول الصغيرة المتسخة المتبقية من عطلة نهاية أسبوع جامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. وهذه النقطة المرجعية هي نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. فهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. هذه هي الصورة القياسية:

عندما نتحدث عن نظام إحداثيات مستطيل، فغالبًا ما تعني الأصل وتنسيق المحاور والقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام إحداثيات مستطيل" في محرك البحث ، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على مستوى.

من ناحية أخرى ، يحصل المرء على انطباع بأن نظام الإحداثيات المستطيل يمكن تحديده جيدًا من حيث الأساس المتعامد. وكاد يكون. الصياغة تسير على النحو التالي:

الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للطائرة . هذا هو ، نظام إحداثيات مستطيل بالتااكيديتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهات متعامدة من وحدتين. لهذا السبب ، ترى الرسم الذي قدمته أعلاه - في المسائل الهندسية ، غالبًا ما يتم رسم كل من المتجهات ومحاور الإحداثيات (ولكن بعيدًا عن ذلك دائمًا).

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك بمساعدة نقطة (أصل) وأساس متعامد أي نقطة من الطائرة وأي متجه للطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. من الناحية المجازية ، "يمكن ترقيم كل شيء على متن الطائرة".

هل يجب أن تكون نواقل الإحداثيات وحدة؟ لا ، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير صفري. ضع في اعتبارك نقطة ومتجهين متعامدين بطول تعسفي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يحدد أصل الإحداثيات مع المتجهات شبكة الإحداثيات ، وأي نقطة على المستوى ، أي متجه لها إحداثياتها الخاصة في الأساس المحدد. على سبيل المثال ، أو. الإزعاج الواضح هو أن نواقل الإحداثيات على العموملها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي واحدًا ، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد ، وكذلك أدناه في القواعد الأفينية للطائرة والفضاء ، تعتبر الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال ، تحتوي وحدة واحدة على الإحداثي على 4 سم ، ووحدة واحدة على الإحداثي تحتوي على 2 سم ، وهذه المعلومات كافية لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة" إذا لزم الأمر.

والسؤال الثاني ، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل - هل الزاوية بين متجهات الأساس تساوي بالضرورة 90 درجة؟ لا! كما يقول التعريف ، يجب أن تكون نواقل الأساس فقط غير متداخلة. وفقًا لذلك ، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء باستثناء 0 و 180 درجة.

نقطة على متن الطائرة تسمى الأصل، و غير متداخلةثلاثة أبعاد ، ، تعيين نظام إحداثيات أفيني للطائرة :

في بعض الأحيان يسمى نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلالنظام. يتم عرض النقاط والمتجهات كأمثلة في الرسم:

كما تفهم ، فإن نظام الإحداثيات الأفيني أقل ملاءمة ، والصيغ الخاصة بأطوال المتجهات والمقاطع ، التي اعتبرناها في الجزء الثاني من الدرس ، لا تعمل فيه. ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة بـ منتج عددي من النواقل. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم صحيحة ، وصيغ قسمة مقطع في هذا الصدد ، بالإضافة إلى بعض الأنواع الأخرى من المشاكل التي سننظر فيها قريبًا.

والاستنتاج هو أن الحالة الأكثر ملاءمة لنظام إحداثيات أفيني هي نظام المستطيل الديكارتي. لذلك ، يجب رؤيتها ، هي نفسها ، في أغلب الأحيان. ... ومع ذلك ، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي يكون فيها من المناسب أن يكون لديك منحرف (أو بعض الحالات الأخرى ، على سبيل المثال ، قطبي) نظام الإحداثيات. نعم ، وقد تتذوق مثل هذه الأنظمة البشرية =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المشكلات في هذا الدرس صالحة لكل من نظام إحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا ، كل المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات المستوية؟

شيء نموذجي. من أجل متجهين مستويين متداخلة ، من الضروري والكافي أن تكون إحداثيات كل منهما متناسبةبشكل أساسي ، هذا هو تنقيح تنسيق تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل النواقل تشكل الأساس؟ ?

المحلول:
أ) اكتشف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب ، بحيث تتحقق المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "foppish" من تطبيق هذه القاعدة ، والتي تعمل جيدًا في الممارسة العملية. الفكرة هي رسم نسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

دعونا نحسب نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

نحن نقصر:
، وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة ،

يمكن إجراء العلاقة والعكس صحيح ، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي ، يمكن للمرء استخدام حقيقة أن المتجهات الخطية يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه الحالة ، هناك مساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). ندرس المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ، يتبع ذلك ، من المعادلة الثانية ، مما يعني ، النظام غير متسق(لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن إحداثيات المتجهات المقابلة ليست متناسبة.

استنتاج: النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو نسخة مبسطة من الحل كما يلي:

يؤلف النسبة من إحداثيات المتجهات المقابلة :
، وبالتالي ، فإن هذه النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يرفض المراجعون هذا الخيار ، ولكن تظهر مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات مساوية للصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيف تعمل النسبة هنا؟ (حقًا ، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

مثال إبداعي صغير لحل مستقل:

مثال 2

ما قيمة متجهات المعلمة سيكون على علاقة خطية متداخلة؟

في حل العينة ، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة. فلننظم معرفتنا ونضيفها فقط كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين ، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست متداخلة ؛

+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، غير صفري.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) النواقل تعتمد خطيا ؛
2) لا تشكل النواقل أساسًا ؛
3) النواقل متداخلة ؛
4) يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يساوي صفرًا.

أتمنى أن تكون قد فهمت في الوقت الحالي جميع المصطلحات والبيانات الواردة.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:. لاستخدام هذه الميزة ، بالطبع ، يجب أن تكون قادرًا على ذلك إيجاد المحددات.

سنقررالمثال الأول بالطريقة الثانية:

أ) احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، لذلك هذه النواقل على خط واحد.

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل بالنسب.

بمساعدة المادة المدروسة ، من الممكن ليس فقط إنشاء علاقة خطية متداخلة للمتجهات ، ولكن أيضًا لإثبات التوازي بين المقاطع والخطوط المستقيمة. ضع في اعتبارك مشكلتين تتعلقان بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

دليل - إثبات: لا داعي لبناء رسم في المشكلة لأن الحل سيكون تحليلي بحت. تذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي ، حيث تكون الأضلاع المتقابلة متوازية.

وبالتالي ، من الضروري إثبات:
1) التوازي من الجانبين المتقابلين و ؛
2) توازي الضلعين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - نواقل متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا ، ولكن من الأفضل اتخاذ القرار بشكل صحيح ، مع الترتيب. احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، لذلك تكون هذه المتجهات متداخلة ، و.

استنتاج: أضلاع الشكل الرباعي متوازيتان ، لذا فهو متوازي أضلاع بالتعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

من أجل صياغة أكثر صرامة للإثبات ، من الأفضل ، بالطبع ، الحصول على تعريف شبه منحرف ، لكن يكفي فقط تذكر شكله.

هذه مهمة لاتخاذ قرار مستقل. حل كامل في نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهات الفضاء؟

القاعدة متشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضاء على علاقة خطية ، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة مع.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت متجهات الفضاء التالية على علاقة خطية أم لا:

أ) ؛
ب)
في)

المحلول:
أ) تحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

لا يحتوي النظام على حل ، مما يعني أن المتجهات ليست على علاقة خطية واحدة.

يتم إجراء "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المقابلة ليست متناسبة ، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

إجابه:النواقل ليست على علاقة خطية متداخلة.

ب-ج) هذه نقاط لاتخاذ قرار مستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة لفحص المتجهات المكانية من أجل العلاقة الخطية المتداخلة ومن خلال محدد من الدرجة الثالثة ، تتم تغطية هذه الطريقة في المقالة عبر المنتج من النواقل.

على غرار الحالة المستوية ، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة التوازي بين المقاطع والخطوط المكانية.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلالية نواقل الفضاء ثلاثية الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات الأفيني

العديد من الإجراءات المنتظمة التي أخذناها في الاعتبار على متن الطائرة ستكون صالحة أيضًا للمساحة. حاولت تقليل ملخص النظرية إلى الحد الأدنى ، لأن نصيب الأسد من المعلومات قد تم مضغه بالفعل. ومع ذلك ، أوصيك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية ، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن ، بدلاً من مستوى طاولة الكمبيوتر ، دعنا نفحص الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولاً ، دعنا ننشئ أساسه. شخص ما الآن في الداخل ، وهناك شخص ما في الهواء الطلق ، ولكن على أي حال ، لا يمكننا الابتعاد عن الأبعاد الثلاثة: العرض والطول والارتفاع. لذلك ، يلزم وجود ثلاثة نواقل مكانية لبناء الأساس. لا يكفي واحد أو اثنين من النواقل ، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالتسخين على الأصابع. من فضلك ارفع يدك وانتشر في اتجاهات مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات ، فهي تنظر في اتجاهات مختلفة ، ولها أطوال مختلفة وزوايا مختلفة فيما بينها. مبروك اساس الفضاء ثلاثي الابعاد جاهز! بالمناسبة ، لست بحاجة إلى توضيح ذلك للمعلمين ، بغض النظر عن كيفية تحريك أصابعك ، ولكن لا يمكنك الابتعاد عن التعريفات =)

بعد ذلك ، نطرح سؤالًا مهمًا ، ما إذا كان أي من النواقل الثلاثة يشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع على سطح طاولة الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة متجهات في نفس المستوى ، وبشكل تقريبي ، فقدنا أحد القياسات - الارتفاع. هذه النواقل متحد المستوىومن الواضح تمامًا أن أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد لم يتم إنشاؤه.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات متحد المستوى لا يجب أن تقع في نفس المستوى ، بل يمكن أن تكون في طائرات متوازية (فقط لا تفعل ذلك بأصابعك ، فقط سلفادور دالي خرج هكذا =)).

تعريف: نواقل تسمى متحد المستوىإذا كان هناك مستوى متوازيين. هنا من المنطقي أن نضيف أنه في حالة عدم وجود مثل هذا المستوى ، فلن تكون المتجهات مستوية.

ثلاثة نواقل متحدة المستوى تعتمد دائمًا بشكل خطي، أي يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. من أجل التبسيط ، تخيل مرة أخرى أنهم يقعون في نفس المستوى. أولاً ، المتجهات ليست فقط متحد المستوى ، بل يمكن أن تكون خطية متداخلة أيضًا ، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية ، إذا لم تكن المتجهات ، على سبيل المثال ، خطية متداخلة ، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من خامات القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحد المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًا، أي أنه لا يتم التعبير عنها بأي شكل من الأشكال من خلال بعضها البعض. ومن الواضح أن هذه النواقل فقط هي التي يمكن أن تشكل أساس فضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعاديسمى ثلاثي النواقل المستقلة خطيًا (غير متحد المستوى) ، مأخوذة بترتيب معين، بينما أي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةيتوسع في الأساس المحدد ، حيث توجد إحداثيات المتجه في الأساس المحدد

للتذكير ، يمكنك أيضًا أن تقول أن المتجه يتم تمثيله كـ تركيبة خطيةناقلات الأساس.

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة المستوى ، تكفي نقطة واحدة وأي ثلاثة نواقل مستقلة خطيًا:

الأصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، مأخوذة بترتيب معين، تعيين نظام إحداثيات أفيني للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع ، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير ملائمة ، ولكن ، مع ذلك ، يتيح لنا نظام الإحداثيات المُنشأ بالتااكيدتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. على غرار الطائرة ، في نظام الإحداثيات الأفيني للفضاء ، لن تعمل بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات الأفيني ، كما يمكن للجميع تخمينها ، هي نظام إحداثيات مساحة مستطيلة:

نقطة في الفضاء تسمى الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء . صورة مألوفة:

قبل الشروع في المهام العملية ، نقوم بترتيب المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية ، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) النواقل مستقلة خطيًا ؛
2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست متحد المستوى ؛
4) لا يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يختلف عن الصفر.

التصريحات المعاكسة ، في اعتقادي ، مفهومة.

عادة ما يتم التحقق من الاعتماد الخطي / استقلالية نواقل الفضاء باستخدام المحدد (البند 5). ستكون المهام العملية المتبقية ذات طبيعة جبرية واضحة. حان الوقت لتعليق عصا هندسية على مسمار واستخدام مضرب بيسبول الجبر الخطي:

ثلاثة نواقل فضائيةمتحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا: .

ألفت انتباهك إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة ، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد من هذا - انظر خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة ، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا طرق حساب المحددات قليلاً ، أو ربما يكونون ضعيفي التوجيه على الإطلاق ، أوصي بأحد دروسي القديمة: كيف تحسب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد:

المحلول: في الحقيقة ، الحل كله يعتمد على حساب المحدد.

أ) احسب المحدد ، المكون من إحداثيات المتجهات (يتم توسيع المحدد في السطر الأول):

، مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست مستوية) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابه: هذه النواقل تشكل الأساس

ب) هذه نقطة لاتخاذ قرار مستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا مهام إبداعية:

مثال 7

في أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات متحد المستوى؟

المحلول: المتجهات تكون متحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:

بشكل أساسي ، مطلوب حل معادلة ذات محدد. نطير إلى الأصفار مثل الطائرات الورقية في الجربوع - من الأكثر ربحية فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

نجري المزيد من التبسيط ونختزل الأمر إلى أبسط معادلة خطية:

إجابه: في

من السهل التحقق هنا ، لذلك تحتاج إلى استبدال القيمة الناتجة بالمحدد الأصلي والتأكد من ذلك من خلال إعادة فتحه.

في الختام ، دعونا ننظر في مشكلة نموذجية أخرى ، والتي هي أكثر من طبيعة جبرية ويتم تضمينها تقليديا في سياق الجبر الخطي. من الشائع جدًا أنه يستحق موضوعًا منفصلاً:

إثبات أن 3 نواقل تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد
وابحث عن إحداثيات المتجه الرابع في الأساس المحدد

المثال 8

يتم إعطاء النواقل. بيّن أن المتجهات تشكل أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد واعثر على إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

المحلول: دعونا نتعامل مع الشرط أولاً. حسب الشرط ، يتم إعطاء أربعة متجهات ، وكما ترى ، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو الأساس - لسنا مهتمين. والشيء التالي مهم: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. والخطوة الأولى هي نفسها تمامًا مثل حل المثال 6 ، من الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا بالفعل:

احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد.

! مهم : إحداثيات متجه بالضرورةاكتب في الأعمدةمحدد وليس سلاسل. خلاف ذلك ، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافي.

تعريف. مزيج خطي من النواقلأ 1 ، ... ، ن مع معاملات س 1 ، ... ، س ن يسمى متجه

x 1 a 1 + ... + x n a n.

تافه، إذا كانت جميع المعاملات x 1 ، ... ، x n تساوي صفرًا.

تعريف. المجموعة الخطية x 1 a 1 + ... + x n a n تسمى غير تافه، إذا كان أحد المعاملات على الأقل x 1 ، ... ، x n لا يساوي صفرًا.

مستقل خطيا، إذا لم يكن هناك تركيبة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

أي أن المتجهات a 1 ، ... ، a n تكون مستقلة خطيًا إذا كانت x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 إذا وفقط إذا كانت x 1 = 0 ، ... ، x n = 0.

تعريف. المتجهات أ 1 ، ... ، ن تسمى تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

خصائص النواقل المعتمدة خطيا:

لمتجهات 2 و 3 الأبعاد.

اثنان من النواقل المرتبطة خطيًا متداخلة. (النواقل الخطية تعتمد خطيًا).

للناقلات ثلاثية الأبعاد.

ثلاثة نواقل خطية هي متحد المستوى. (النواقل الثلاثة المستوية تعتمد خطيًا.)

• بالنسبة إلى نواقل الأبعاد.

  نواقل n + 1 دائما تعتمد خطيا.

أمثلة على مهام الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات:

مثال 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (3 ؛ 4 ؛ 5) ، ب = (-3 ؛ 0 ؛ 5) ، ج = (4 ؛ 4 ؛ 4) ، د = (3 ؛ 4 ؛ 0) مستقلة خطيًا .

المحلول:

ستكون المتجهات معتمدة خطيًا ، نظرًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 2. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 1) مستقلة خطيًا.

المحلول:

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	س 1 + س 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

اطرح الثاني من السطر الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

يوضح هذا الحل أن النظام يحتوي على العديد من الحلول ، أي أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 بحيث تكون التركيبة الخطية للمتجهات أ ، ب ، ج متساوية إلى المتجه الصفري ، على سبيل المثال:

أ + ب + ج = 0

مما يعني أن المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيًا.

إجابه:المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيا.

مثال 3. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 2) مستقلة خطيًا.

المحلول:لنجد قيم المعاملات التي عندها سيكون الجمع الخطي لهذه المتجهات مساويًا للمتجه الصفري.

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ص 1 = 0

يمكن كتابة معادلة المتجه هذه كنظام معادلات خطية

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

اطرح الأول من السطر الثاني ؛ اطرح الأول من الصف الثالث:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

اطرح الثاني من السطر الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.