طرق حل المعادلات المثلثية على أمثلة محددة. معادلات مثلثية أكثر تعقيدًا

الدواء

المعادلات المثلثية ليست الموضوع الأسهل. إنها متنوعة بشكل مؤلم.) على سبيل المثال ، هذه:

sin2x + cos3x = ctg5x

الخطيئة (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميع أخرى) لها ميزتان مشتركتان وإجباريتان. أولاً - لن تصدق ذلك - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانيًا: جميع التعبيرات التي تحتوي على x هي ضمن هذه الوظائف نفسها.وفقط هناك! إذا ظهر x في مكان ما الخارج،فمثلا، sin2x + 3x = 3 ،ستكون هذه معادلة مختلطة. تتطلب مثل هذه المعادلات مقاربة فردية. هنا لن نعتبرهم.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا ا؟ نعم لأن القرار أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم تقليل المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال التحولات المختلفة. في الثانية - تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذلك ، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية ، فإن المرحلة الأولى لا معنى لها.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

هنا أ لتقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة ، قد لا يكون هناك علامة x نقية داخل الوظيفة ، ولكن هناك نوع من التعبير ، مثل:

كوس (3 س + π / 3) = 1/2

إلخ. هذا يعقد الحياة ، لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيف تحل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سوف نستكشف هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - باستخدام الذاكرة والصيغ - سيتم النظر فيها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) وهي جيدة لحل المعادلات المثلثية وعدم المساواة وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!

نحل المعادلات باستخدام دائرة مثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. ألا يمكنك !؟ ومع ذلك ... سيكون من الصعب عليك في علم المثلثات ...) لكن هذا لا يهم. الق نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية ...... ما هي؟" و "عد الزوايا على دائرة مثلثية." كل شيء بسيط هناك. على عكس الكتب المدرسية ...)

آه ، أنت تعلم !؟ وحتى يتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية" !؟ تقبل التهاني. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. الجيب وجيب التمام والظل والظل - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. مبدأ الحل هو نفسه.

إذن ، نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوسكس = 0.5

أحتاج أن أجد X. التحدث بلغة بشرية ، أنت بحاجة أوجد الزاوية (x) التي يساوي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة من قبل؟ رسمنا زاوية عليها. بالدرجات أو بالتقدير الدائري. وعلى الفور رأيت الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. ارسم جيب التمام يساوي 0.5 على الدائرة وعلى الفور سوف نرى ركن. يبقى فقط كتابة الإجابة.) نعم ، نعم!

نرسم دائرة ونضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام بالطبع. مثله:

لنرسم الآن الزاوية التي يعطينا جيب التمام هذا. حرك الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة على الكمبيوتر اللوحي) ، و نرىهذه الزاوية نفسها X.

أي زاوية لها جيب تمام 0.5؟

س \ u003d π / 3

كوس 60 درجة= كوس ( / 3) = 0,5

بعض الناس سوف يتذمرون متشككين ، نعم ... يقولون ، هل كان الأمر يستحق العناء لتسييج الدائرة ، عندما يكون كل شيء واضحًا على أي حال ... يمكنك ، بالطبع ، النخر ...) ولكن الحقيقة هي أن هذا خطأ إجابه. أو بالأحرى غير ملائم. يفهم خبراء الدائرة أنه لا تزال هناك مجموعة كاملة من الزوايا التي تعطي أيضًا جيب تمام يساوي 0.5.

إذا قمت بإدارة الجانب المتحرك OA لدور كامل، ستعود النقطة A إلى موضعها الأصلي. بنفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. ستتغير الزاوية 360 درجة أو 2π راديان ، و جيب التمام ليس كذلك.ستكون الزاوية الجديدة 60 درجة + 360 درجة = 420 درجة أيضًا حلاً لمعادلتنا ، لأن

هناك عدد لا حصر له من هذه الدورات الكاملة ... وستكون كل هذه الزوايا الجديدة حلولاً لمعادلتنا المثلثية. وكلهم بحاجة إلى أن يكتبوا بطريقة ما. الجميع.خلاف ذلك ، لا يتم النظر في القرار ، نعم ...)

يمكن للرياضيات أن تفعل هذا ببساطة وأنيقة. اكتب في إجابة قصيرة واحدة مجموعة لانهائيةحلول. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ Z

سوف أفك. ما زلت أكتب بشكل هادفأجمل من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء ، أليس كذلك؟)

/ 3 هي نفس الزاوية التي نحن منشارعلى الدائرة و يحددوفقًا لجدول جيب التمام.

2π دورة كاملة بالتقدير الدائري.

ن - هذا هو عدد الاكتمال ، أي كاملالثورات. فمن الواضح أن ن يمكن أن يكون 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 .... وهكذا. كما يتضح من الدخول القصير:

ن ∈ Z

ن ينتمي ( ∈ ) إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ( ض ). بالمناسبة ، بدلا من الحرف ن يمكن استخدام الحروف ك ، م ، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . -3 على الأقل ، 0 على الأقل ، +55 على الأقل. ماذا تريد. إذا أدخلت هذا الرقم في إجابتك ، فستحصل على زاوية محددة ، والتي من المؤكد أنها ستكون الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بعبارة أخرى ، س \ u003d π / 3 هو الجذر الوحيد لمجموعة لانهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى ، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π / 3 ( ن ) بالتقدير الدائري. أولئك. 2πn راديان.

كل شىء؟ رقم. أنا على وجه التحديد أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) تلقينا جزءًا فقط من الإجابات على معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل على النحو التالي:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

× 1 - ليس جذرًا واحدًا ، إنه سلسلة كاملة من الجذور ، مكتوبة بصيغة مختصرة.

لكن هناك زوايا أخرى تعطي جيب تمام يساوي 0.5!

دعنا نعود إلى صورتنا ، والتي بموجبها كتبنا الإجابة. ها هي ذا:

حرك الماوس فوق الصورة و نرىزاوية أخرى يعطي أيضًا جيب تمام 0.5.ما رأيك أنه يساوي؟ المثلثات هي نفسها ... نعم! إنها تساوي الزاوية X ، فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π / 3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

× 2 \ u003d - π / 3

وبالطبع نضيف كل الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال المنعطفات الكاملة:

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية ، نحن منشار(من يفهم طبعا)) الكلالزوايا التي تعطي جيب تمام يساوي 0.5. وقاموا بتدوين هذه الزوايا بصيغة رياضية قصيرة. الجواب هو سلسلتان لا حصر لهما من الجذور:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا هو الجواب الصحيح.

أمل، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةبمساعدة دائرة أمر مفهوم. نحدد جيب التمام (الجيب ، الظل ، ظل التمام) من المعادلة المعطاة على الدائرة ، ونرسم الزوايا المقابلة ونكتب الإجابة.بالطبع ، أنت بحاجة إلى معرفة أي نوع من الزوايا نحن منشارعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا ، كما قلت ، المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معادلة مثلثية أخرى:

يرجى ملاحظة أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إنه مناسب لي أكثر من كتابة الجذور والكسور.

نعمل وفق المبدأ العام. نرسم دائرة ، ونضع علامة (على محور الجيب ، بالطبع!) 0.5. نرسم مرة واحدة كل الزوايا المقابلة لهذا الجيب. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولاً. X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. الأمر بسيط:

س \ u003d π / 6

نتذكر المنعطفات الكاملة ، وبضمير مرتاح ، نكتب أول سلسلة من الإجابات:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

تم الانتهاء من نصف العمل. الآن نحن بحاجة إلى تحديد الزاوية الثانية ...هذا أصعب مما هو عليه في جيب التمام ، نعم ... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال x؟ نعم سهل! المثلثات في الصورة هي نفسها ، والركن الأحمر هو نفسه X يساوي الزاوية X . فقط يتم حسابه من الزاوية π في الاتجاه السلبي. هذا هو السبب في أنها حمراء.) وللحصول على الإجابة ، نحتاج إلى قياس زاوية بشكل صحيح من المحور شبه الموجب OX ، أي بزاوية 0 درجة.

حرك المؤشر فوق الصورة وشاهد كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا تتعقيد الصورة. ستكون الزاوية التي تهمنا (المرسومة باللون الأخضر) مساوية لـ:

π - س

س نحن نعرف ذلك π / 6 . إذن ستكون الزاوية الثانية:

π - / 6 = 5π / 6

مرة أخرى ، نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

يمكن حل المعادلات ذات الظل والتظل بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. ما لم تعرف ، بالطبع ، كيفية رسم الظل والظل على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه ، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا نوسع قدراتنا إلى كل القيم الأخرى.قرر ، لذا قرر!)

لذلك ، لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة المثلثية التالية:

لا توجد مثل هذه القيمة لجيب التمام في الجداول القصيرة. نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. نرسم دائرة ونضع علامة 2/3 على محور جيب التمام ونرسم الزوايا المقابلة. لقد حصلنا على هذه الصورة.

نحن نفهم ، بالنسبة للمبتدئين ، بزاوية في الربع الأول. لمعرفة ما يساوي x ، سيكتبون الإجابة على الفور! لا نعرف ... فشل !؟ هدوء! الرياضيات لا تترك نفسها في مأزق! اخترعت جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف. إنه أسهل بكثير مما تعتقد. وفقًا لهذا الرابط ، لا توجد تعويذة واحدة صعبة حول "الدوال المثلثية العكسية" ... إنها غير ضرورية في هذا الموضوع.

إذا كنت على دراية ، فقط قل لنفسك ، "X زاوية جيب تمامها 2/3." وعلى الفور ، من خلال تعريف قوس القوس ، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n ، n ∈ Z

يتم أيضًا كتابة السلسلة الثانية من الجذور تلقائيًا تقريبًا للزاوية الثانية. كل شيء هو نفسه ، فقط x (arccos 2/3) ستكون مع سالب:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n ، n ∈ Z

وكل شيء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من القيم المجدولة. لا تحتاج إلى تذكر أي شيء.) بالمناسبة ، سيلاحظ الأكثر انتباهاً أن هذه الصورة مع الحل من خلال جيب التمام القوسي لا يختلف جوهريًا عن الصورة الخاصة بالمعادلة cosx = 0.5.

بالضبط! المبدأ العام على ذلك والعام! لقد رسمت على وجه التحديد صورتين متطابقتين تقريبًا. تبين لنا الدائرة الزاوية X بجيب التمام. إنه جيب تمام جدولي ، أم لا - لا تعرف الدائرة. أي نوع من الزاوية هذه ، π / 3 ، أو أي نوع من قوس جيب التمام علينا أن نقرره.

مع نفس الأغنية. فمثلا:

مرة أخرى نرسم دائرة ، ونضع علامة على الجيب يساوي 1/3 ، ونرسم الزوايا. اتضح هذه الصورة:

ومرة أخرى ، فإن الصورة هي نفسها تقريبًا كما في المعادلة sinx = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما الذي يساوي x إذا كان الجيب يساوي 1/3؟ لا مشكلة!

لذا فإن الحزمة الأولى من الجذور جاهزة:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

لنلق نظرة على الزاوية الثانية. في المثال ذي قيمة الجدول 0.5 ، كانت تساوي:

π - س

حتى هنا سيكون هو نفسه بالضبط! فقط x مختلفة ، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك كتابة الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = π - قوسين 1/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تمامًا. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. لكن هذا مفهوم ، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. هذا المسار واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية باختيار الجذور في فترة زمنية معينة ، في التفاوتات المثلثية - يتم حلها بشكل عام تقريبًا في دائرة. باختصار ، في أي مهام تكون أكثر تعقيدًا بقليل من المهام القياسية.

وضع المعرفة موضع التنفيذ؟

حل المعادلات المثلثية:

في البداية يكون الأمر أبسط ، مباشرة في هذا الدرس.

الآن الأمر أكثر صعوبة.

تلميح: هنا عليك التفكير في الدائرة. شخصيا.)

والآن متواضع ظاهريًا ... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

sinx = 0

sinx = 1

كوسكس = 0

كوسكس = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة في دائرة حيث توجد سلسلتان من الإجابات ، وأين توجد واحدة ... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم ، حتى لا يتم فقد جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

sinx = 0,3

كوسكس = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة ما هو القوسين ، القوسين؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل؟ أبسط التعاريف. لكنك لست بحاجة إلى تذكر أي قيم جدولة!)

الإجابات ، بالطبع ، في حالة من الفوضى):

× 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
× 2= π - قوسين 0.3 + 2

لا يعمل كل شيء؟ يحدث ذلك. اقرأ الدرس مرة أخرى. فقط بعناية(هناك مثل هذه الكلمة التي عفا عليها الزمن ...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. بدونها في علم المثلثات - كيفية عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

لحل المعادلة المثلثية ، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. ينتهي حل المعادلة المثلثية في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأساسية الأربعة.

حل المعادلات المثلثية الأساسية.

هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
تان س = أ ؛ ctg x = أ
يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة ، بالإضافة إلى استخدام جدول تحويل (أو آلة حاسبة).
مثال 1. sin x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: 2π / 3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال ، دورية كل من sin x و cos x هي 2πn ، ودورية tg x و ctg x هي n. إذن الجواب مكتوب على النحو التالي:
x1 = π / 3 + 2πn ؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
مثال 2 cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = 2π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π / 3.
x1 = 2π / 3 + 2π ؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
مثال 3. tg (x - π / 4) = 0.
الجواب: س \ u003d π / 4 + πn.
مثال 4. ctg 2x = 1.732.
الجواب: س \ u003d π / 12 + πn.

التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.

لتحويل المعادلات المثلثية ، يتم استخدام التحويلات الجبرية (التحليل ، تقليل المصطلحات المتجانسة ، إلخ) والهويات المثلثية.
مثال 5. باستخدام المتطابقات المثلثية ، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. وهكذا ، فإن المعادلات المثلثية الأساسية التالية تحتاج إلى حل: cos x = 0 ؛ الخطيئة (3x / 2) = 0 ؛ كوس (س / 2) = 0.
إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف.
- قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية ، عليك أن تتعلم كيفية إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول تحويل أو آلة حاسبة.
- مثال: cos x = 0.732. ستعطي الآلة الحاسبة الإجابة س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية ، وجيب تمامها يساوي أيضًا 0.732.
ضع المحلول على دائرة الوحدة جانبًا.
- يمكنك وضع حلول للمعادلة المثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس المضلع المنتظم.
- مثال: الحلول x = π / 3 + n / 2 على دائرة الوحدة هي رؤوس المربع.
- مثال: الحلول x = π / 4 + n / 3 على دائرة الوحدة هي رؤوس شكل سداسي منتظم.
طرق حل المعادلات المثلثية.
- إذا كانت المعادلة المثلثية تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط ، فقم بحل هذه المعادلة باعتبارها معادلة مثلثية أساسية. إذا تضمنت معادلة معينة وظيفتين أو أكثر من الوظائف المثلثية ، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
  - طريقة 1
- حول هذه المعادلة إلى معادلة بالشكل: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) ، h (x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
- مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- المحلول. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2 * sin x * cos x ، استبدل sin 2x.
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
- مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
- مثال 8. sin x - sin 3x \ u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
  - الطريقة الثانية
- حول المعادلة المثلثية المعطاة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية ببعضها غير المعروفة ، على سبيل المثال ، t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t ، إلخ).
- مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- المحلول. في هذه المعادلة ، استبدل (cos ^ 2 x) بـ (1 - sin ^ 2 x) (حسب الهوية). تبدو المعادلة المحولة كما يلي:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. تبدو المعادلة الآن كما يلي: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذه معادلة من الدرجة الثانية بجذرين: t1 = -1 و t2 = 9/5. لا يفي الجذر الثاني t2 بنطاق الوظيفة (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- مثال 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- المحلول. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tg x.

عند حل الكثير مسائل حسابية، خاصةً تلك التي تحدث قبل الصف العاشر ، يتم تحديد ترتيب الإجراءات التي ستؤدي إلى الهدف بوضوح. تتضمن هذه المشكلات ، على سبيل المثال ، المعادلات الخطية والتربيعية ، والمتباينات الخطية والتربيعية ، والمعادلات الكسرية ، والمعادلات التي تختزل إلى المعادلات التربيعية. مبدأ الحل الناجح لكل من المهام المذكورة هو كما يلي: من الضروري تحديد نوع المشكلة التي يتم حلها ، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة ، أي أجب واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى دقة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها ، ومدى استنساخ تسلسل جميع مراحل حلها بشكل صحيح. بالطبع ، في هذه الحالة ، من الضروري امتلاك المهارات اللازمة لإجراء عمليات تحويل وحسابات متطابقة.

يحدث موقف مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

يصعب أحيانًا تحديد نوعه من خلال ظهور المعادلة. وبدون معرفة نوع المعادلة ، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من عدة عشرات من الصيغ المثلثية.

لحل المعادلة المثلثية ، يجب أن نحاول:

1. إحضار جميع الوظائف المدرجة في المعادلة إلى "نفس الزوايا" ؛
2. إحضار المعادلة إلى "نفس الوظائف" ؛
3. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، إلخ.

انصح الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

1. اختزال لأبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.عبر عن الدالة المثلثية من حيث المكونات المعروفة.

الخطوة 2ابحث عن وسيطة دالة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ ؛ س = ± arccos a + 2πn ، n ЄZ.

الخطيئة س = أ ؛ x \ u003d (-1) n arcsin a + πn ، n Є Z.

تان س = أ ؛ x \ u003d arctg a + πn ، n Є Z.

ctg x = أ ؛ x \ u003d arcctg a + πn، n Є Z.

الخطوه 3ابحث عن متغير غير معروف.

مثال.

2 كوس (3 س - π / 4) = -2.

المحلول.

1) كوس (3 س - π / 4) = -2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn ، n Є Z ؛

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn ، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + / 4 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± 3π / 12 + / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z ؛

س = ± π / 4 + / 12 + 2πn / 3 ، ن Є Z.

الجواب: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

ثانيًا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر المعادلة إلى صيغة جبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر ، أدخل قيودًا على t).

الخطوه 3اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة الخامسةحل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

المحلول.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0 ؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x / 2) = t ، حيث | t | ≤ 1.

3) 2 طن 2 + 5 طن + 3 = 0 ؛

t = 1 أو e = -3/2 لا يفي بالشرط | t | ≤ 1.

4) الخطيئة (س / 2) = 1.

5) س / 2 = / 2 + 2πn ، n Є Z ؛

س = π + 4πn ، ن Є Z.

الجواب: x = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية باستخدام صيغ تقليل الطاقة:

الخطيئة 2 x \ u003d 1/2 (1 - cos 2x) ؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x) ؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

المحلول.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4 ؛

3/2 cos 2x = 3/4 ؛

2x = ± π / 3 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± π / 6 + πn ، ن Є Z.

الإجابة: س = ± π / 6 + πn ، n Є Z.

رابعا. معادلات متجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر هذه المعادلة إلى النموذج

أ) خطيئة س + ب كوس س = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى)

أو وجهة النظر

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2اقسم طرفي المعادلة على

أ) cos x 0 ؛

ب) cos 2 × ≠ 0 ؛

واحصل على معادلة tg x:

أ) أ tg x + b = 0 ؛

ب) أ tg 2 x + b arctg x + c = 0.

الخطوه 3حل المعادلة بالطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

المحلول.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ؛

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ؛

الخطيئة 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \ u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) دع tg x = t ، إذن

ر 2 + 3 طن - 4 = 0 ؛

ر = 1 أو ر = -4 ، إذن

tg x = 1 أو tg x = -4.

من المعادلة الأولى س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

الإجابة: س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ س \ u003d -arctg 4 + πk ، ك Є Z.

V. طريقة تحويل معادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام جميع أنواع الصيغ المثلثية ، أحضر هذه المعادلة إلى معادلة يمكن حلها بالطرق الأول والثاني والثالث والرابع.

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

المحلول.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) الخطيئة 2x (2cos x + 1) = 0 ؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0 ؛

من المعادلة الأولى 2 س = π / 2 + n ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

نتيجة لذلك ، x \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

الإجابة: س \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

القدرة والمهارات على حل المعادلات المثلثية للغاية من المهم أن تطويرهم يتطلب جهدًا كبيرًا ، سواء من جانب الطالب والمعلم.

ترتبط العديد من مشكلات القياس الفراغي والفيزياء وما إلى ذلك بحل المعادلات المثلثية ، وتحتوي عملية حل مثل هذه المشكلات ، كما كانت ، على العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها عند دراسة عناصر علم المثلثات.

تحتل المعادلات المثلثية مكانة مهمة في عملية تدريس الرياضيات وتنمية الشخصية بشكل عام.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.