بالنسبة للمشكلات الحديثة ، من الضروري استخدام جهاز رياضي معقد وطرق متطورة لحلها. في هذه الحالة ، غالبًا ما يواجه المرء مشاكل يكون الحل التحليلي لها ، أي إن الحل في شكل تعبير تحليلي يربط البيانات الأولية بالنتائج المطلوبة إما مستحيل على الإطلاق ، أو يتم التعبير عنه في صيغ مرهقة بحيث يكون من غير العملي استخدامها لأغراض عملية.

في هذه الحالة ، يتم استخدام طرق الحل العددي ، مما يجعل من الممكن ببساطة الحصول على حل رقمي للمشكلة. يتم تنفيذ الطرق العددية باستخدام الخوارزميات الحسابية.

تنقسم مجموعة الطرق العددية الكاملة إلى مجموعتين:

دقيق - يفترضون أنه إذا تم إجراء الحسابات بدقة ، فبمساعدة عدد محدود من العمليات الحسابية والمنطقية ، يمكن الحصول على القيم الدقيقة للكميات المرغوبة.

تقريبي - والذي ، حتى في ظل افتراض إجراء الحسابات دون تقريب ، يسمح لك بالحصول على حل للمشكلة بدقة معينة فقط.

1. القيمة والعدد. الكمية هي شيء يمكن التعبير عنه كرقم بوحدات معينة.

عندما يتحدثون عن قيمة كمية ، فإنهم يقصدون رقمًا معينًا ، يسمى القيمة العددية للكمية ، ووحدة قياسها.

وبالتالي ، فإن الكمية هي خاصية مميزة لخاصية كائن أو ظاهرة ، وهي شائعة في العديد من الكائنات ، ولكن لها قيم فردية لكل منها.

يمكن أن تكون القيم ثابتة أو متغيرة. إذا كانت الكمية ، في ظل ظروف معينة ، تأخذ قيمة واحدة فقط ولا تستطيع تغييرها ، فإنها تسمى ثابتًا ، ولكن إذا كان يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة ، فإنها تسمى متغير. لذلك ، فإن تسارع السقوط الحر لجسم ما في مكان معين على سطح الأرض هو قيمة ثابتة ، تأخذ قيمة عددية واحدة g = 9.81 ... m / s2 ، في حين أن المسار s تجتازه نقطة مادية خلال الحركة هي قيمة متغيرة.

2. القيم التقريبية للأرقام. تسمى قيمة الكمية ، التي لا نشك في حقيقتها ، بالدقة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، عند البحث عن قيمة كمية ما ، يتم الحصول على قيمتها التقريبية فقط. في ممارسة العمليات الحسابية ، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع القيم التقريبية للأرقام. إذن ، p هو رقم دقيق ، ولكن نظرًا لعدم عقلانيته ، يمكن استخدام قيمته التقريبية فقط.

في العديد من المشكلات ، نظرًا للتعقيد ، وغالبًا ما يكون من المستحيل الحصول على حلول دقيقة ، يتم استخدام طرق تقريبية للحل ، وتشمل هذه: حل المعادلات التقريبي ، واستيفاء الوظائف ، والحساب التقريبي للتكاملات ، إلخ.

المطلب الرئيسي للحسابات التقريبية هو الامتثال للدقة المحددة للحسابات الوسيطة والنتيجة النهائية. في الوقت نفسه ، فإن كلا من الزيادة في الأخطاء (الأخطاء) عن طريق التقليل غير المبرر للحسابات ، والاحتفاظ بالأرقام الزائدة التي لا تتوافق مع الدقة الفعلية غير مقبولة أيضًا.

هناك نوعان من الأخطاء الناتجة عن العمليات الحسابية وتقريب الأرقام - المطلقة والنسبية.

1. خطأ مطلق (خطأ).

دعونا نقدم التدوين:

لنفترض أن A هي القيمة الدقيقة لبعض الكمية ، السجل أ »أسنقرأ "أ يساوي تقريبًا أ". في بعض الأحيان نكتب أ = أ ، مع الأخذ في الاعتبار أننا نتحدث عن المساواة التقريبية.

إذا كان معروفًا أن ملف< А, то а называют القيمة التقريبية لـ A مع وجود عيب.إذا كان a> A ، فسيتم استدعاء القيمة التقريبية لـ A الزائدة.

يسمى الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية للكمية خطأ تقريبيويشار إليه بـ D ، أي

د \ u003d أ - أ (1)

يمكن أن يكون الخطأ D للتقريب موجبًا وسالبًا.

لتمييز الفرق بين القيمة التقريبية للكمية والقيمة الدقيقة ، غالبًا ما يكون كافياً للإشارة إلى القيمة المطلقة للفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية.

القيمة المطلقة للفرق بين التقريبي أودقيق لكنيتم استدعاء قيم الأرقام الخطأ المطلق (خطأ) التقريبويشار إليها من قبل د أ:

د أ = ½ أ – لكن½ (2)

مثال 1عند قياس الخط لاستخدمنا مسطرة ، قيمة قسمة المقياس لها 0.5 سم ، حصلنا على قيمة تقريبية لطول القطعة أ= 204 سم.

من الواضح أنه أثناء القياس يمكن أن يخطئوا بما لا يزيد عن 0.5 سم ، أي لا يتجاوز خطأ القياس المطلق 0.5 سم.

عادة الخطأ المطلق غير معروف ، لأن القيمة الدقيقة للرقم أ غير معروفة ، لذلك البعض تقييمالخطأ المطلق:

د أ <= Dأ قبل. (3)

أين د قبل. - خطأ هامشي (رقم ، أكثرصفر) ، والذي يتم تعيينه مع مراعاة اليقين الذي يُعرف به الرقم أ.

الحد من الخطأ المطلق يسمى أيضا هامش الخطأ. لذلك ، في المثال المعطى ،
د قبل. = 0.5 سم.

من (3) نحصل على: د أ = ½ أ – لكن½<= Dأ قبل. . وثم

أ- د أ قبل. ≤ لكن≤ أ+ د أ قبل. . (4)

وسائل، ميلادي أ قبل. سيكون تقريبيًا لكنمع عيب و أ + د أ قبل – القيمة التقريبية لكنفي الزائدة. يستخدمون أيضًا الاختصار: لكن= أ± د أ قبل (5)

ويترتب على تعريف الخطأ المطلق المحدود أن الأرقام د أ قبل، إرضاء عدم المساواة (3) ، سيكون هناك مجموعة لانهائية. في الممارسة العملية ، نحاول الاختيار ربما أقلمن الأرقام د قبل، وإرضاء عدم المساواة د أ <= Dأ قبل.

مثال 2دعونا نحدد الخطأ المطلق المحدد للعدد أ = 3.14، كقيمة تقريبية للرقم π.

ومن المعروف أن 3,14<π<3,15. ومن ثم يتبع ذلك

|أ – π |< 0,01.

يمكن اعتبار الرقم D بمثابة الخطأ المطلق المحدد أ = 0,01.

ومع ذلك ، إذا أخذنا ذلك في الاعتبار 3,14<π<3,142 ، ثم نحصل على تقدير أفضل: د أ= 0.002 إذن π ≈3.14 ± 0.002.

خطأ نسبي (خطأ).إن معرفة الخطأ المطلق فقط لا يكفي لوصف جودة القياس.

دعنا ، على سبيل المثال ، عند وزن جسدين ، يتم الحصول على النتائج التالية:

P 1 \ u003d 240.3 ± 0.1 جم.

P 2 \ u003d 3.8 ± 0.1 جم.

على الرغم من أن أخطاء القياس المطلقة لكلا النتيجتين هي نفسها ، فإن جودة القياس في الحالة الأولى ستكون أفضل منها في الحالة الثانية. يتميز بخطأ نسبي.

خطأ نسبي (خطأ)تقريب العدد لكنيسمى نسبة الخطأ المطلق د أتقريب القيمة المطلقة للرقم أ:

نظرًا لأن القيمة الدقيقة للكمية غير معروفة عادةً ، يتم استبدالها بقيمة تقريبية ثم:

الحد من الخطأ النسبيأو حد خطأ التقريب النسبي ،يسمى الرقم د و قبل.> 0 ، مثل:

د أ<= د و قبل.

بالنسبة للخطأ النسبي المحدد ، من الواضح أنه يمكن للمرء أن يأخذ نسبة الخطأ المطلق المحدود إلى القيمة المطلقة للقيمة التقريبية:

من (9) العلاقة المهمة التالية يمكن الحصول عليها بسهولة:

∆و قبل. = |أ| د و قبل.

عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي المحدد كنسبة مئوية:

مثال.أساس اللوغاريتمات الطبيعية للحساب يؤخذ على قدم المساواة ه= 2.72. أخذنا القيمة الدقيقة هم = 2.7183. أوجد الأخطاء المطلقة والنسبية لعدد تقريبي.

د ه = ½ ه – هر ½ = 0.0017 ؛

.

تظل قيمة الخطأ النسبي دون تغيير مع التغيير النسبي في الرقم التقريبي وخطأه المطلق. لذلك ، بالنسبة للرقم 634.7 ، المحسوب بالخطأ المطلق D = 1.3 ، وبالنسبة للرقم 6347 بالخطأ D = 13 ، فإن الأخطاء النسبية هي نفسها: د= 0,2.

منطقة سخالين

"المدرسة المهنية رقم 13"

تعليمات منهجية للعمل المستقل للطلاب

ألكساندروفسك ساخالينسكي

القيم التقريبية للكميات وأخطاء التقريب: مواصفات الطريقة. / شركات.

GBOU NPO "المدرسة المهنية رقم 13" - ألكساندروفسك ساخالينسكي ، 2012

التعليمات المنهجية مخصصة للطلاب من جميع المهن الذين يدرسون مادة الرياضيات

رئيس مجلس النواب

القيمة التقريبية للكمية وأخطاء التقريب.

من الناحية العملية ، لا نعرف أبدًا القيم الدقيقة للكميات. لا يوجد مقياس ، مهما كانت دقته ، يظهر الوزن بالضبط ؛ يظهر أي مقياس حرارة درجة الحرارة بخطأ أو بآخر ؛ لا يوجد مقياس التيار الكهربائي يمكنه إعطاء قراءات دقيقة للتيار ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أعيننا غير قادرة على قراءة قراءات أدوات القياس بشكل صحيح تمامًا. لذلك ، بدلاً من التعامل مع القيم الحقيقية للكميات ، فإننا مضطرون للعمل بقيمها التقريبية.

حقيقة ان أ" هي القيمة التقريبية للرقم أ ، على النحو التالي:

أ ≈ أ " .

اذا كان أ" هي قيمة تقريبية للكمية أ ثم الاختلاف Δ = أ-أ " اتصل خطأ تقريبي*.

* Δ - حرف يوناني. قراءة: دلتا. يأتي بعد ذلك حرف يوناني آخر ε (اقرأ: إبسيلون).

على سبيل المثال ، إذا تم استبدال الرقم 3.756 بقيمته التقريبية 3.7 ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. إذا أخذنا 3.8 كقيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام خطأ التقريب Δ ، والقيمة المطلقة لهذا الخطأ | Δ |. فيما يلي ، سنشير ببساطة إلى هذه القيمة المطلقة للخطأ كـ الخطأ المطلق. يعتبر أن أحد التقريبات أفضل من الآخر إذا كان الخطأ المطلق للتقريب الأول أقل من الخطأ المطلق للتقريب الثاني. على سبيل المثال ، التقريب 3.8 للرقم 3.756 أفضل من التقريب 3.7 ، لأنه بالنسبة للتقريب الأول
|Δ | = | - 0.044 | = 0.044 وللثاني | Δ | = |0,056| = 0,056.

رقم أ" أيصل إلىε ، إذا كان الخطأ المطلق لهذا التقريب أقل منε :

|أ-أ " | < ε .

على سبيل المثال ، 3.6 تقريب من 3.671 إلى 0.1 ، لأن | 3.671 - 3.6 | = | 0.071 | = 0.071< 0,1.

وبالمثل ، يمكن اعتبار -3/2 تقريبيًا لـ -8/5 في حدود 1/5 ، منذ ذلك الحين

< أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ مع عيب.

إذا أ" > أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ في الزائدة.

على سبيل المثال ، 3.6 قيمة تقريبية 3.671 مع وجود عيب ، منذ 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

إذا كنا بدلاً من الأرقام أ و ب تضيف قيمها التقريبية أ" و ب" ، ثم النتيجة أ "+ ب" ستكون القيمة التقريبية للمبلغ أ + ب . السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن تقدير دقة هذه النتيجة إذا كانت دقة التقريب لكل مصطلح معروفة؟ يعتمد حل هذه المشكلة والمشكلات المماثلة على الخاصية التالية للقيمة المطلقة:

|أ + ب | < |أ | + |ب |.

لا تتجاوز القيمة المطلقة لمجموع أي رقمين مجموع قيمهما المطلقة.

أخطاء

يسمى الفرق بين الرقم الدقيق x وقيمته التقريبية a خطأ هذا الرقم التقريبي. إذا كان معروفًا أن | | x - أ |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

تسمى نسبة الخطأ المطلق إلى معامل القيمة التقريبية الخطأ النسبي للقيمة التقريبية. عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

حقًا،

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

تمارين للعمل المستقل.

1. بأية دقة يمكن قياس الأطوال باستخدام مسطرة عادية؟

2. ما مدى دقة الساعة؟

3. هل تعرف بأي دقة يمكن قياس وزن الجسم على الموازين الكهربائية الحديثة؟

4. أ) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية ضمن 0.01 تساوي 0.99؟

ب) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمته التقريبية الناقصة في حدود 0.01 تساوي 0.99؟

ج) ما هو نطاق الرقم؟ أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية التي تزيد عن 0.01 تساوي 0.99؟

5. ما هو الرقم التقريبي π 3.1415 أفضل: 3.1 أم 3.2؟

6. هل يمكن اعتبار القيمة التقريبية لرقم معين بدقة 0.01 قيمة تقريبية لنفس الرقم بدقة 0.1؟ والعكس صحيح؟

7. على خط الأعداد ، موضع النقطة المطابق للرقم أ . أشر على هذا الخط:

أ) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ مع عيب بدقة 0.1 ؛

ب) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ تتجاوز بدقة 0.1 ؛

ج) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ بدقة 0.1.

8. في هذه الحالة تكون القيمة المطلقة لمجموع رقمين:

أ) أقل من مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام ؛

ب) يساوي مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام؟

9. إثبات عدم المساواة:

أ) | أ-ب | < |أ| + |ب | ؛ ب) * | أ - ب | > ||أ | - | ب ||.

متى تظهر علامة التساوي في هذه الصيغ؟

المؤلفات:

1. الأحذية (المستوى الأساسي) 10-11 خلية. - م ، 2012

2. باشماكوف ، 10 خلايا. مجموعة من المهام. - م: دار النشر "الأكاديمية" ، 2008

3. ، موردكوفيتش: المواد المرجعية: كتاب للطلاب. - الطبعة الثانية. - م: التنوير ، 1990

4. القاموس الموسوعي لعالم رياضيات شاب / كومب. .- م: علم أصول التدريس ، 1989

من الناحية العملية ، لا نعرف أبدًا القيم الدقيقة للكميات. لا يوجد مقياس ، مهما كانت دقته ، يظهر الوزن بالضبط ؛ يظهر أي مقياس حرارة درجة الحرارة بخطأ أو بآخر ؛ لا يوجد مقياس التيار الكهربائي يمكنه إعطاء قراءات دقيقة للتيار ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أعيننا غير قادرة على قراءة قراءات أدوات القياس بشكل صحيح تمامًا. لذلك ، بدلاً من التعامل مع القيم الحقيقية للكميات ، فإننا مضطرون للعمل بقيمها التقريبية.

حقيقة ان أ" هي القيمة التقريبية للرقم أ ، على النحو التالي:

أ ≈ أ ".

اذا كان أ" هي قيمة تقريبية للكمية أ ثم الاختلاف Δ = أ-أ " اتصل خطأ تقريبي*.

* Δ - حرف يوناني. قراءة: دلتا. يأتي بعد ذلك حرف يوناني آخر ε (اقرأ: إبسيلون).

على سبيل المثال ، إذا تم استبدال الرقم 3.756 بقيمته التقريبية 3.7 ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. إذا أخذنا 3.8 كقيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام خطأ التقريب Δ ، والقيمة المطلقة لهذا الخطأ | Δ |. فيما يلي ، سنشير ببساطة إلى هذه القيمة المطلقة للخطأ كـ الخطأ المطلق. يعتبر أن أحد التقريبات أفضل من الآخر إذا كان الخطأ المطلق للتقريب الأول أقل من الخطأ المطلق للتقريب الثاني. على سبيل المثال ، التقريب 3.8 للرقم 3.756 أفضل من التقريب 3.7 ، لأنه بالنسبة للتقريب الأول
|Δ | = | - 0.044 | = 0.044 وللثاني | Δ | = |0,056| = 0,056.

رقم أ" أيصل إلىε ، إذا كان الخطأ المطلق لهذا التقريب أقل منε :

|أ-أ " | < ε .

على سبيل المثال ، 3.6 تقريب من 3.671 إلى 0.1 ، لأن | 3.671 - 3.6 | = | 0.071 | = 0.071< 0,1.

وبالمثل ، يمكن اعتبار -3/2 تقريبيًا لـ -8/5 في حدود 1/5 ، منذ ذلك الحين

اذا كان أ" < أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ مع عيب.

إذا أ" > أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ في الزائدة.

على سبيل المثال ، 3.6 قيمة تقريبية 3.671 مع وجود عيب ، منذ 3.6< 3,671, а - 3 / 2 есть приближенное значение числа - 8 / 5 c избытком, так как - 3 / 2 > - 8 / 5 .

إذا كنا بدلاً من الأرقام أ و ب تضيف قيمها التقريبية أ" و ب" ، ثم النتيجة أ "+ ب" ستكون القيمة التقريبية للمبلغ أ + ب . السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن تقدير دقة هذه النتيجة إذا كانت دقة التقريب لكل مصطلح معروفة؟ يعتمد حل هذه المشكلة والمشكلات المماثلة على الخاصية التالية للقيمة المطلقة:

|أ + ب | < |أ | + |ب |.

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى:

دليل منهجي لأداء العمل العملي في تخصص الرياضيات الجزء 1

دليل منهجي لأداء العمل العملي في التخصص .. لمهن التعليم المهني الابتدائي وتخصصات التعليم المهني الثانوي ..

إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع ، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه ، فإننا نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك ، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

سقسقة

جميع المواضيع في هذا القسم:

ملاحظة توضيحية
تم تجميع الدليل المنهجي وفقًا لبرنامج العمل الخاص بمجال "الرياضيات" ، والذي تم تطويره على أساس معيار الولاية التعليمي الفيدرالي للجيل الثالث.

النسب. فائدة.
أهداف الدرس: 1) تلخيص المعرفة النظرية حول موضوع "النسب المئوية والنسب". 2) النظر في الأنواع والخوارزميات لحل مسائل النسب المئوية وتجميع النسب لحلها

نسبة.
النسبة (من النسبة اللاتينية - النسبة ، التناسب) ، 1) في الرياضيات - المساواة بين نسبتين من أربع كميات أ ، ب ، ج ،

العمل العملي 2
"المعادلات وعدم المساواة" أهداف الدرس: 1) تلخيص المعرفة النظرية حول الموضوع: "المعادلات وعدم المساواة". 2) النظر في الخوارزميات لحل المهام حول موضوع “Ur

المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة modulo.
يتم تحديد الوحدة النمطية للرقم أ على النحو التالي: مثال: حل المعادلة. الحل إذا ، فإن هذه المعادلة تأخذ الشكل أيضًا. يمكن كتابتها على النحو التالي:

المعادلات ذات المتغير في المقام.
ضع في اعتبارك معادلات النموذج. (1) يعتمد حل المعادلة بالصيغة (1) على العبارة التالية: الكسر يساوي 0 إذا وفقط إذا كان بسطه يساوي 0 ومقامه مختلف عن الصفر.

المعادلات المنطقية.
تسمى المعادلة f (x) = g (x) منطقيًا إذا كانت f (x) و g (x) تعابير منطقية. علاوة على ذلك ، إذا كانت f (x) و g (x) عبارة عن تعبيرات عددية ، فإن المعادلة تسمى عددًا صحيحًا ؛

حل المعادلات بإدخال متغير جديد.
دعونا نشرح جوهر الطريقة بمثال. مثال: حل المعادلة. القرار: لنفترض أننا حصلنا على المعادلة من حيث نجدها. يتم تقليل المشكلة إلى حل مجموعة من المعادلات

المعادلات غير المنطقية.
المعادلة غير المنطقية هي معادلة يتم فيها احتواء المتغير تحت علامة الجذر أو تحت علامة رفع إلى قوة كسرية. إحدى طرق حل هذه المعادلات هي طريقة

طريقة التباعد
مثال: حل متباينة. المحلول. ODZ: من أين لدينا x [-1 ؛ 5) (5؛ +) حل المعادلة بسط الكسر هو 0 عند x = -1 ، هذا هو جذر المعادلة.

تمارين للعمل المستقل.
3x + (20 - x) \ u003d 35.2 ، (x - 3) - x \ u003d 7-5x. (x + 2) - 11 (x + 2) \ u003d 12. x \ u003d x، 3y \ u003d 96، x + x + x + 1 \ u003d 0، - 5.5n (n - 1) (n + 2.5) (ن-

العمل العملي 4
"الوظائف وخصائصها والرسوم البيانية" أهداف الدرس: 1) تعميم المعرفة النظرية حول الموضوع: "الوظائف والخصائص والرسوم البيانية". 2) ضع في اعتبارك الخوارزميات

سيكون من الخطأ الفادح ، عند رسم رسم ، عن طريق الإهمال ، السماح للرسم البياني بالتقاطع مع الخط المقارب.
مثال 3 قم ببناء الفرع الأيمن للقطع الزائد نستخدم طريقة البناء النقطية ، بينما من المفيد تحديد القيم بحيث يتم تقسيمها بالكامل:

الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية
دعنا نرسم قوس القوس رسم بياني قوس جيب الزاوية رسم قوس ظل الزاوية مجرد فرع مقلوب من الظل. نحن نسرد الرئيسي

صور رياضية من الأمثال
تعرف الرياضيات الحديثة العديد من الوظائف ، ولكل منها مظهرها الفريد ، تمامًا كما أن مظهر كل من مليارات البشر الذين يعيشون على الأرض فريد من نوعه. ومع ذلك ، على الرغم من كل الاختلاف في شخص واحد ،

أنشئ الرسوم البيانية للوظائف أ) ص \ u003d x2 ، ص \ u003d x2 + 1 ، y \ u003d (x-2) 2 مستوى إحداثي. وظائف المؤامرة ج

عدد صحيح

خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية
أ + ب = ب + أ - خاصية تبادلية للإضافة (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) - الخاصية الترابطية للإضافة ab = ba

علامات قسمة الأعداد الطبيعية
إذا كان كل مصطلح يقبل القسمة على عدد ما ، فإن المجموع قابل للقسمة أيضًا على هذا الرقم. إذا كان أحد العوامل على الأقل في المنتج قابلاً للقسمة على رقم معين ، فإن المنتج أيضًا قابل للقسمة.

المقاييس والإحداثيات
يتم قياس أطوال المقاطع بمسطرة. المسطرة (الشكل 19) لها ضربات. إنهم يقسمون الخط إلى أجزاء متساوية. هذه الأجزاء تسمى الانقسامات. في الشكل 19 ، طول

أرقام نسبية
أهداف الدرس: 1) تعميم المعرفة النظرية حول موضوع "الأعداد الطبيعية". 2) النظر في الأنواع والخوارزميات لحل المشكلات المتعلقة بمفهوم العدد الطبيعي.

الكسور العشرية. تحويل عشري إلى كسر مشترك.
الكسر العشري هو شكل آخر لكسر مقامه ، على سبيل المثال ،. إذا كان توسيع مقام الكسر إلى العوامل الأولية يحتوي على 2 و 5 فقط ، فيمكن كتابة هذا الكسر على النحو التالي:

جذر 2
افترض العكس: إنه عقلاني ، أي يتم تمثيله ككسر غير قابل للاختزال ، حيث هو عدد صحيح وعدد طبيعي. دعونا نربّع المساواة المتوقعة:. من هنا

لا تتجاوز القيمة المطلقة لمجموع أي رقمين مجموع قيمهما المطلقة.
أخطاء يسمى الاختلاف بين الرقم الدقيق x وقيمته التقريبية a خطأ هذا الرقم التقريبي. إذا كان معروفًا أن | | x - أ |< a, то величина a называется

مستوى أساسي من
مثال احسب. المحلول: . الجواب: 2.5. مثال. احسب. الحل: الإجابة: 15.

هناك أنواع مختلفة من التمارين للتحولات المتطابقة في التعبيرات. النوع الأول: يتم تحديد التحويل المطلوب إجراؤه بشكل صريح. فمثلا. واحد

مهام الحل المستقل
حدد رقم الإجابة الصحيحة: نتيجة تبسيط التعبير هي 1. ؛ أربعة. 2 .؛ 5.. 3 .؛ قيمة التعبير هي 1) 4 ؛ 2) ؛ 3)

مهام الحل المستقل
أوجد قيمة التعبير 1. .2. . 2.. 3.. أربعة. 5. .7. . 6 .. في. 7 .. في. 8 .. في. 9. في. واحد

مهام الحل المستقل
السؤال 1. أوجد لوغاريتم 25 للأساس 5. السؤال 2. أوجد اللوغاريتم للأساس 5. السؤال 3.

العمل العملي 17
"بديهيات القياس الفراغي ونتائجها" الغرض من الدرس: 1) تعميم المعرفة النظرية

منطقة سخالين

"المدرسة المهنية رقم 13"

تعليمات منهجية للعمل المستقل للطلاب

ألكساندروفسك ساخالينسكي

القيم التقريبية للكميات وأخطاء التقريب: مواصفات الطريقة. / شركات.

GBOU NPO "المدرسة المهنية رقم 13" - ألكساندروفسك ساخالينسكي ، 2012

التعليمات المنهجية مخصصة للطلاب من جميع المهن الذين يدرسون مادة الرياضيات

رئيس مجلس النواب

القيمة التقريبية للكمية وأخطاء التقريب.

من الناحية العملية ، لا نعرف أبدًا القيم الدقيقة للكميات. لا يوجد مقياس ، مهما كانت دقته ، يظهر الوزن بالضبط ؛ يظهر أي مقياس حرارة درجة الحرارة بخطأ أو بآخر ؛ لا يوجد مقياس التيار الكهربائي يمكنه إعطاء قراءات دقيقة للتيار ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، فإن أعيننا غير قادرة على قراءة قراءات أدوات القياس بشكل صحيح تمامًا. لذلك ، بدلاً من التعامل مع القيم الحقيقية للكميات ، فإننا مضطرون للعمل بقيمها التقريبية.

حقيقة ان أ" هي القيمة التقريبية للرقم أ ، على النحو التالي:

أ ≈ أ " .

اذا كان أ" هي قيمة تقريبية للكمية أ ثم الاختلاف Δ = أ-أ " اتصل خطأ تقريبي*.

* Δ - حرف يوناني. قراءة: دلتا. يأتي بعد ذلك حرف يوناني آخر ε (اقرأ: إبسيلون).

على سبيل المثال ، إذا تم استبدال الرقم 3.756 بقيمته التقريبية 3.7 ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. إذا أخذنا 3.8 كقيمة تقريبية ، فسيكون الخطأ مساويًا لـ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام خطأ التقريب Δ ، والقيمة المطلقة لهذا الخطأ | Δ |. فيما يلي ، سنشير ببساطة إلى هذه القيمة المطلقة للخطأ كـ الخطأ المطلق. يعتبر أن أحد التقريبات أفضل من الآخر إذا كان الخطأ المطلق للتقريب الأول أقل من الخطأ المطلق للتقريب الثاني. على سبيل المثال ، التقريب 3.8 للرقم 3.756 أفضل من التقريب 3.7 ، لأنه بالنسبة للتقريب الأول
|Δ | = | - 0.044 | = 0.044 وللثاني | Δ | = |0,056| = 0,056.

رقم أ" أيصل إلىε ، إذا كان الخطأ المطلق لهذا التقريب أقل منε :

|أ-أ " | < ε .

على سبيل المثال ، 3.6 تقريب من 3.671 إلى 0.1 ، لأن | 3.671 - 3.6 | = | 0.071 | = 0.071< 0,1.

وبالمثل ، يمكن اعتبار -3/2 تقريبيًا لـ -8/5 في حدود 1/5 ، منذ ذلك الحين

< أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ مع عيب.

إذا أ" > أ ، ومن بعد أ" تسمى القيمة التقريبية للرقم أ في الزائدة.

على سبيل المثال ، 3.6 قيمة تقريبية 3.671 مع وجود عيب ، منذ 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

إذا كنا بدلاً من الأرقام أ و ب تضيف قيمها التقريبية أ" و ب" ، ثم النتيجة أ "+ ب" ستكون القيمة التقريبية للمبلغ أ + ب . السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن تقدير دقة هذه النتيجة إذا كانت دقة التقريب لكل مصطلح معروفة؟ يعتمد حل هذه المشكلة والمشكلات المماثلة على الخاصية التالية للقيمة المطلقة:

|أ + ب | < |أ | + |ب |.

لا تتجاوز القيمة المطلقة لمجموع أي رقمين مجموع قيمهما المطلقة.

أخطاء

يسمى الفرق بين الرقم الدقيق x وقيمته التقريبية a خطأ هذا الرقم التقريبي. إذا كان معروفًا أن | | x - أ |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

تسمى نسبة الخطأ المطلق إلى معامل القيمة التقريبية الخطأ النسبي للقيمة التقريبية. عادة ما يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

حقًا،

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

تمارين للعمل المستقل.

1. بأية دقة يمكن قياس الأطوال باستخدام مسطرة عادية؟

2. ما مدى دقة الساعة؟

3. هل تعرف بأي دقة يمكن قياس وزن الجسم على الموازين الكهربائية الحديثة؟

4. أ) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية ضمن 0.01 تساوي 0.99؟

ب) ما هي حدود العدد أ ، إذا كانت قيمته التقريبية الناقصة في حدود 0.01 تساوي 0.99؟

ج) ما هو نطاق الرقم؟ أ ، إذا كانت قيمتها التقريبية التي تزيد عن 0.01 تساوي 0.99؟

5. ما هو الرقم التقريبي π 3.1415 أفضل: 3.1 أم 3.2؟

6. هل يمكن اعتبار القيمة التقريبية لرقم معين بدقة 0.01 قيمة تقريبية لنفس الرقم بدقة 0.1؟ والعكس صحيح؟

7. على خط الأعداد ، موضع النقطة المطابق للرقم أ . أشر على هذا الخط:

أ) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ مع عيب بدقة 0.1 ؛

ب) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ تتجاوز بدقة 0.1 ؛

ج) موضع جميع النقاط التي تتوافق مع القيم التقريبية للرقم أ بدقة 0.1.

8. في هذه الحالة تكون القيمة المطلقة لمجموع رقمين:

أ) أقل من مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام ؛

ب) يساوي مجموع القيم المطلقة لهذه الأرقام؟

9. إثبات عدم المساواة:

أ) | أ-ب | < |أ| + |ب | ؛ ب) * | أ - ب | > ||أ | - | ب ||.

متى تظهر علامة التساوي في هذه الصيغ؟

المؤلفات:

1. الأحذية (المستوى الأساسي) 10-11 خلية. - م ، 2012

2. باشماكوف ، 10 خلايا. مجموعة من المهام. - م: دار النشر "الأكاديمية" ، 2008

3. ، موردكوفيتش: المواد المرجعية: كتاب للطلاب. - الطبعة الثانية. - م: التنوير ، 1990

4. القاموس الموسوعي لعالم رياضيات شاب / كومب. .- م: علم أصول التدريس ، 1989

الآن ، عندما يمتلك الشخص ترسانة قوية من أجهزة الكمبيوتر (مختلف الآلات الحاسبة ، وأجهزة الكمبيوتر ، وما إلى ذلك) ، فإن الامتثال لقواعد الحسابات التقريبية أمر مهم بشكل خاص حتى لا يشوه موثوقية النتيجة.

عند إجراء أي حسابات ، يجب أن تكون على دراية بدقة النتيجة ، والتي يمكن أو يجب الحصول عليها (في حالة التثبيت). وبالتالي ، من غير المقبول إجراء حسابات بدقة أكبر مما تعطى بواسطة بيانات مشكلة فيزيائية أو التي تتطلبها ظروف التجربة 1. على سبيل المثال ، عند إجراء عمليات حسابية بقيم عددية للكميات المادية التي تحتوي على رقمين موثوقين (مهمين) ، لا يمكنك تدوين نتيجة الحسابات بدقة تتجاوز رقمين موثوقين ، حتى لو كان لدينا في النهاية المزيد منهم.

يجب تسجيل قيمة الكميات المادية ، مع ملاحظة علامات النتيجة الموثوقة فقط. على سبيل المثال ، إذا كانت القيمة العددية 39600 تحتوي على ثلاثة أرقام معنوية (الخطأ المطلق للنتيجة هو 100) ، فيجب كتابة النتيجة كـ 3.96104 أو 0.396105. لا يتم أخذ الأصفار الموجودة على يسار الرقم في الاعتبار في الحساب من أرقام موثوقة.

لكي تكون نتيجة الحساب صحيحة ، يجب تقريبها ، مع ترك القيمة الحقيقية فقط للقيمة. إذا كانت القيمة الرقمية للكمية تحتوي على أرقام إضافية (غير موثوقة) تتجاوز الدقة المحددة ، فسيتم زيادة الرقم الأخير المخزن بمقدار 1 ، بشرط أن تكون الزيادة (الأرقام الإضافية) مساوية أو أكبر من نصف قيمة الرقم التالي من العدد.

في القيم الرقمية المختلفة ، يمكن أن يكون الصفر رقمًا صالحًا أو رقمًا غير صالح. لذلك ، في المثال ب) إنه رقم غير موثوق به ، وفي د) هو رقم موثوق به وهام. في الفيزياء ، إذا أرادوا التأكيد على موثوقية تفريغ القيمة العددية لكمية مادية ، فإن "0" يشار إليه في تعبيره القياسي. على سبيل المثال ، تشير كتابة قيمة كتلة تبلغ 2.10 10-3 كجم إلى ثلاثة أرقام صالحة للنتيجة ودقة القياس المقابلة ، وقيمة 2.1 10-3 كجم فقط رقمين صالحين.

يجب أن نتذكر أن نتيجة الإجراءات ذات القيم العددية للكميات المادية هي نتيجة تقريبية تأخذ في الاعتبار دقة الحساب أو خطأ القياس. لذلك ، في الحسابات التقريبية ، يجب أن يسترشد المرء بالقواعد التالية لحساب الأرقام الموثوقة:

1. عند إجراء عمليات حسابية بقيم عددية للكميات المادية ، نتيجة لذلك ، يجب أن يأخذ المرء أكبر عدد من الأحرف الموثوقة حيث توجد قيم عددية بأقل عدد من الأحرف الموثوقة.

2. في جميع العمليات الحسابية الوسيطة ، يجب تخزين رقم واحد يزيد عن القيمة العددية بأقل عدد من الأحرف المعنوية. في النهاية ، يتم تجاهل هذا الرقم "الإضافي" بالتقريب.

3. إذا كانت بعض البيانات تحتوي على علامات أكثر موثوقية من غيرها ، فيجب أولاً تقريب قيمها (يمكنك حفظ رقم واحد "زائد") ثم تنفيذ الإجراءات.