كيفية إيجاد حجم المنشور الثلاثي. حجم المنشور الثلاثي: صيغة عامة وصيغة لمنشور منتظم

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

في المنشور المثلثي العادي ABCA_1B_1C_1 ، تكون جوانب القاعدة 4 ، والحواف الجانبية 10. أوجد مساحة المقطع للمنشور بالمستوى الذي يمر عبر نقاط المنتصف للحواف AB و AC و A_1B_1 و A_1C_1.

المحلول

تأمل الشكل التالي.

الجزء MN هو خط الوسط للمثلث A_1B_1C_1 ، لذلك MN = \ frac12 B_1C_1 = 2.على نفس المنوال، KL = \ frac12BC = 2.بالإضافة إلى ذلك ، MK = NL = 10. هذا يعني أن الشكل الرباعي MNLK متوازي أضلاع. منذ MK \ متوازي AA_1 ، ثم MK \ perp ABC و MK \ perp KL. لذلك ، فإن الشكل الرباعي MNLK هو مستطيل. S_ (MNLK) = MK \ cdot KL = 10 \ cdot 2 = 20.

إجابه

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

حجم المنشور رباعي الزوايا العادي ABCDA_1B_1C_1D_1 هو 24. النقطة K هي منتصف الحافة CC_1. أوجد حجم الهرم KBCD.

المحلول

وفقًا للشرط ، KC هو ارتفاع الهرم KBCD. CC_1 هو ارتفاع المنشور ABCDA_1B_1C_1D_1.

نظرًا لأن K هي نقطة المنتصف CC_1 ، إذن KC = \ frac12CC_1.دع CC_1 = H ، إذن KC = \ frac12H. لاحظ أيضًا أن S_ (BCD) = \ frac12S_ (ABCD).ثم، V_ (KBCD) = \ frac13S_ (BCD) \ cdot \ frac (H) (2) = \ frac13 \ cdot \ frac12S_ (ABCD) \ cdot \ frac (H) (2) = \ frac (1) (12) \ cdot S_ (ABCD) \ cdot H = \ frac (1) (12) V_ (ABCDA_1B_1C_1D_1).بالتالي، V_ (KBCD) = \ frac (1) (12) \ cdot24 = 2.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

أوجد مساحة السطح الجانبية لمنشور سداسي منتظم ضلع قاعدته 6 وارتفاعه 8.

المحلول

تم العثور على مساحة السطح الجانبي للمنشور بواسطة الصيغة S الجانب. = ف رئيسي. · ح = 6 أ \ cdot ح ، حيث ف رئيسي. و h ، على التوالي ، محيط القاعدة وارتفاع المنشور ، يساوي 8 ، و a هو ضلع سداسي منتظم ، يساوي 6. لذلك ، الجانب S. = 6 \ cdot 6 \ cdot 8 = 288.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

يُسكب الماء في إناء على شكل موشور مثلثي منتظم. يصل منسوب الماء إلى 40 سم ، في أي ارتفاع يكون منسوب الماء إذا صُب في إناء آخر من نفس الشكل ضلع قاعدته ضعف الجانب الأول؟ عبر عن إجابتك بالسنتيمتر.

المحلول

لنفترض أن a جانب قاعدة الإناء الأول ، ثم 2 a هو جانب قاعدة الوعاء الثاني. حسب الحالة ، يكون حجم السائل V في الوعاء الأول والثاني هو نفسه. تشير بواسطة H إلى المستوى الذي ارتفع إليه السائل في الوعاء الثاني. ثم الخامس = \ frac12 \ cdot a ^ 2 \ cdot \ sin60 ^ (\ circ) \ cdot40 = \ frac (a ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot40 ،و، V = \ frac ((2a) ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot H.من هنا \ frac (a ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot40 = \ frac ((2a) ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot H ، 40 = 4 ساعات ، ع = 10.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

في منشور سداسي منتظم ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 ، تكون جميع الحواف 2. أوجد المسافة بين النقطتين A و E_1.

المحلول

المثلث AEE_1 قائم الزاوية ، نظرًا لأن الحافة EE_1 متعامدة على مستوى قاعدة المنشور ، فإن الزاوية AEE_1 ستكون زاوية قائمة.

ثم من خلال نظرية فيثاغورس AE_1 ^ 2 = AE ^ 2 + EE_1 ^ 2. أوجد AE من المثلث AFE باستخدام نظرية جيب التمام. كل زاوية داخلية لشكل سداسي منتظم تساوي 120 ^ (\ circ). ثم AE ^ 2 = AF ^ 2 + FE ^ 2-2 \ cdot AF \ cdot FE \ cdot \ cos120 ^ (\ circ) = 2 ^ 2 + 2 ^ 2-2 \ cdot2 \ cdot2 \ cdot \ left (- \ frac12 \ right).

ومن ثم ، AE ^ 2 = 4 + 4 + 4 = 12 ،

AE_1 ^ 2 = 12 + 4 = 16 ،

AE_1 = 4.

إجابه

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 8
الموضوع: منشور

حالة

أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مستقيم قاعدته عبارة عن معين قطري يساوي 4 \ مربع 5و 8 ، وحافة جانبية تساوي 5.

المحلول

يمكن إيجاد مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم بواسطة الصيغة S الضلع. = ف رئيسي. · ح = 4 أ \ cdot ح ، حيث ف رئيسي. و h ، على التوالي ، محيط القاعدة وارتفاع المنشور ، يساوي 5 ، و a هو جانب المعين. لنجد جانب المعين ، باستخدام حقيقة أن قطري المعين ABCD متعامدين بشكل متبادل وأن نقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين.

في الفيزياء ، غالبًا ما يستخدم المنشور الثلاثي المصنوع من الزجاج لدراسة طيف الضوء الأبيض ، حيث يمكنه تقسيمه إلى مكوناته الفردية. في هذه المقالة ، سننظر في صيغة الحجم

ما هو المنشور الثلاثي؟

قبل إعطاء صيغة الحجم ، ضع في اعتبارك خصائص هذا الشكل.

للحصول على هذا ، عليك أن تأخذ شكلًا تعسفيًا مثلثًا وتحركه بالتوازي مع نفسه لمسافة معينة. يجب أن تكون رؤوس المثلث في الموضعين الأولي والنهائي متصلة بقطاعات مستقيمة. يسمى الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج بالمنشور الثلاثي. لها خمسة جوانب. اثنان منهم يسمى القواعد: فهي متوازية ومتساوية مع بعضها البعض. قواعد المنشور المدروس هي مثلثات. الأضلاع الثلاثة المتبقية هي متوازي الأضلاع.

بالإضافة إلى الجوانب ، يتميز المنشور قيد الدراسة بستة رؤوس (ثلاثة لكل قاعدة) وتسعة حواف (تقع 6 حواف في مستويات القواعد و 3 حواف تتشكل من تقاطع الجوانب). إذا كانت الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد ، فإن هذا المنشور يسمى مستطيل.

الفرق بين المنشور الثلاثي وجميع الأشكال الأخرى لهذه الفئة هو أنه دائمًا ما يكون محدبًا (أربعة ، وخمسة ، ... ، يمكن أيضًا أن تكون موشور n-gonal مقعرة).

هذا شكل مستطيل ، في قاعدته مثلث متساوي الأضلاع.

حجم المنشور الثلاثي من النوع العام

كيف تجد حجم المنشور الثلاثي؟ تشبه الصيغة بشكل عام تلك الخاصة بالمنشور من أي نوع. يحتوي على الترميز الرياضي التالي:

هنا h ارتفاع الشكل ، أي المسافة بين قاعدته ، S o هي مساحة المثلث.

يمكن إيجاد قيمة S o إذا كانت بعض معلمات المثلث معروفة ، على سبيل المثال ، جانب واحد وزاويتان ، أو جانبان وزاوية واحدة. مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب ارتفاعه وطول الضلع الذي ينزل فيه هذا الارتفاع.

بالنسبة لارتفاع الشكل h ، فمن الأسهل العثور عليه لمنشور مستطيل. في الحالة الأخيرة ، يتطابق h مع طول الحافة الجانبية.

حجم المنشور الثلاثي المنتظم

يمكن استخدام الصيغة العامة لحجم المنشور الثلاثي ، الواردة في القسم السابق من المقالة ، لحساب القيمة المقابلة لمنشور مثلث منتظم. بما أن قاعدته مثلث متساوي الأضلاع ، فإن مساحته هي:

يمكن للجميع الحصول على هذه الصيغة إذا تذكروا أنه في مثلث متساوي الأضلاع جميع الزوايا متساوية مع بعضها البعض وتشكل 60 o. هنا الرمز أ هو طول ضلع المثلث.

الارتفاع h هو طول الحافة. لا علاقة له بقاعدة المنشور العادي ويمكن أن يتخذ قيمًا عشوائية. نتيجة لذلك ، تبدو صيغة حجم المنشور الثلاثي بالشكل الصحيح كما يلي:

بعد حساب الجذر ، يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة على النحو التالي:

وبالتالي ، لإيجاد حجم المنشور العادي ذي القاعدة المثلثة ، من الضروري تربيع جانب القاعدة ، وضرب هذه القيمة في الارتفاع ، وضرب القيمة الناتجة في 0.433.

تختلف المناشير المختلفة عن بعضها البعض. في نفس الوقت ، لديهم الكثير من القواسم المشتركة. للعثور على مساحة قاعدة المنشور ، تحتاج إلى معرفة نوعه.

النظرية العامة

المنشور هو أي متعدد الوجوه يكون جوانبه على شكل متوازي أضلاع. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون أي متعدد الوجوه في قاعدته - من مثلث إلى n-gon. علاوة على ذلك ، فإن قواعد المنشور تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض. ما لا ينطبق على الوجوه الجانبية - يمكن أن يختلف حجمها بشكل كبير.

عند حل المشكلات ، لا تتم مصادفة مساحة قاعدة المنشور فقط. قد يكون من الضروري معرفة السطح الجانبي ، أي كل الوجوه التي ليست قواعد. سيكون السطح الكامل بالفعل اتحادًا لجميع الوجوه التي يتكون منها المنشور.

تظهر الارتفاعات أحيانًا في المهام. إنه عمودي على القواعد. قطري متعدد السطوح هو قطعة تربط في أزواج أي رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.

وتجدر الإشارة إلى أن مساحة قاعدة المنشور المستقيم أو المائل لا تعتمد على الزاوية بينها وبين الوجوه الجانبية. إذا كان لديهم نفس الأشكال في الوجوه العلوية والسفلية ، فستكون مناطقهم متساوية.

منشور ثلاثي

يوجد في القاعدة شكل به ثلاثة رؤوس ، أي مثلث. من المعروف أن تكون مختلفة. إذا كان يكفي أن نتذكر أن مساحتها تحدد بنصف منتج الساقين.

يبدو التدوين الرياضي كما يلي: S = ½ av.

لمعرفة مساحة القاعدة بشكل عام ، فإن الصيغ مفيدة: مالك الحزين والصيغة التي يتم فيها نقل نصف الجانب إلى الارتفاع المرسوم عليه.

يجب كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي: S \ u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). يحتوي هذا المدخل على نصف محيط (p) ، أي مجموع ثلاثة جوانب مقسومًا على اثنين.

ثانيًا: S = ½ n a * a.

إذا كنت تريد معرفة مساحة قاعدة المنشور الثلاثي ، وهو أمر منتظم ، فسيكون المثلث متساوي الأضلاع. لها صيغتها الخاصة: S = ¼ a 2 * √3.

منشور رباعي الزوايا

قاعدتها هي أي من الأشكال الرباعية المعروفة. يمكن أن يكون مستطيلًا أو مربعًا أو متوازي السطوح أو معينًا. في كل حالة ، من أجل حساب مساحة قاعدة المنشور ، ستحتاج إلى الصيغة الخاصة بك.

إذا كانت القاعدة عبارة عن مستطيل ، فسيتم تحديد مساحتها على النحو التالي: S = av ، حيث a ، b هي جانبي المستطيل.

عندما يتعلق الأمر بمنشور رباعي الزوايا ، يتم حساب مساحة قاعدة المنشور العادي باستخدام صيغة المربع. لأنه هو الذي يقع في القاعدة. S \ u003d أ 2.

في الحالة التي تكون فيها القاعدة متوازية ، ستكون هناك حاجة إلى المساواة التالية: S \ u003d a * n a. يحدث أن يتم إعطاء جانب من خط متوازي وأحد الزوايا. بعد ذلك ، لحساب الارتفاع ، ستحتاج إلى استخدام صيغة إضافية: na \ u003d b * sin A. علاوة على ذلك ، فإن الزاوية A مجاورة للضلع "b" ، والارتفاع n هو المقابل لهذه الزاوية.

إذا كان المعين يقع في قاعدة المنشور ، فستكون هناك حاجة إلى نفس الصيغة لتحديد مساحته مثل متوازي الأضلاع (نظرًا لأنه يمثل حالة خاصة منه). لكن يمكنك أيضًا استخدام هذا: S = ½ d 1 d 2. هنا d 1 و d 2 قطران من المعين.

منشور خماسي منتظم

تتضمن هذه الحالة تقسيم المضلع إلى مثلثات يسهل اكتشاف مناطقها. على الرغم من أنه يحدث أن الأرقام يمكن أن تكون بعدد مختلف من الرؤوس.

نظرًا لأن قاعدة المنشور عبارة عن خماسي منتظم ، فيمكن تقسيمها إلى خمسة مثلثات متساوية الأضلاع. ثم مساحة قاعدة المنشور تساوي مساحة أحد هذه المثلث (يمكن رؤية الصيغة أعلاه) ، مضروبة بخمسة.

منشور سداسي منتظم

وفقًا للمبدأ الموصوف للمنشور الخماسي ، من الممكن تقسيم مسدس القاعدة إلى 6 مثلثات متساوية الأضلاع. تشبه صيغة مساحة قاعدة هذا المنشور السابقة. فقط فيه يجب ضرب ستة.

ستبدو الصيغة كما يلي: S = 3/2 و 2 * √3.

مهام

رقم 1. خط مستقيم منتظم ، قطره 22 سم ، ارتفاع متعدد السطوح 14 سم. احسب مساحة قاعدة المنشور والسطح بأكمله.

المحلول.قاعدة المنشور مربعة لكن ضلعها غير معروف. يمكنك إيجاد قيمته من قطر المربع (x) ، المرتبط بقطر المنشور (d) وارتفاعه (n). س 2 \ u003d د 2 - ن 2. من ناحية أخرى ، هذا الجزء "x" هو وتر المثلث الذي تساوي أرجله ضلع المربع. أي x 2 \ u003d a 2 + a 2. وهكذا ، اتضح أن 2 \ u003d (د 2 - ن 2) / 2.

استبدل الرقم 22 بدلاً من d ، واستبدل "n" بقيمته - 14 ، اتضح أن ضلع المربع يساوي 12 سم. الآن من السهل معرفة مساحة القاعدة: 12 * 12 \ u003d 144 سم 2 .

لمعرفة مساحة السطح بالكامل ، تحتاج إلى إضافة ضعف قيمة مساحة القاعدة ومضاعفة الجانب أربع مرات. من السهل العثور على الأخير بواسطة صيغة المستطيل: اضرب ارتفاع متعدد السطوح وجانب القاعدة. أي ، 14 و 12 ، هذا الرقم سيساوي 168 سم 2. وُجد أن إجمالي مساحة سطح المنشور تساوي 960 سم 2.

إجابه.مساحة قاعدة المنشور 144 سم 2. السطح بالكامل - 960 سم 2.

رقم 2. دانا في القاعدة يوجد مثلث ضلع 6 سم ، وفي هذه الحالة يكون قطر الوجه الجانبي 10 سم ، احسب المساحة: القاعدة والسطح الجانبي.

المحلول.نظرًا لأن المنشور منتظم ، فإن قاعدته هي مثلث متساوي الأضلاع. لذلك ، فإن مساحتها تساوي 6 تربيع في ¼ والجذر التربيعي للرقم 3. وتؤدي عملية حسابية بسيطة إلى النتيجة: 9√3 سم 2. هذه هي مساحة قاعدة المنشور.

جميع أوجه الأضلاع متشابهة وهي مستطيلات طول ضلوعها 6 و 10 سم ، ولحساب مساحتها يكفي ضرب هذه الأعداد. ثم اضربهم في ثلاثة ، لأن للمنشور أوجهًا كثيرة جدًا. ثم يتم لف مساحة السطح الجانبي 180 سم 2.

إجابه.المساحات: القاعدة - 9√3 سم 2 ، السطح الجانبي للمنشور - 180 سم 2.

يجب أن يتعلم تلاميذ المدارس الذين يستعدون لامتحان الرياضيات بالتأكيد كيفية حل المشكلات للعثور على منطقة المنشور المستقيم والمنتظم. تؤكد سنوات الممارسة العديدة حقيقة أن العديد من الطلاب يعتبرون مثل هذه المهام في الهندسة صعبة للغاية.

في الوقت نفسه ، يجب أن يكون طلاب المدارس الثانوية الذين لديهم أي مستوى من التدريب قادرين على العثور على المنطقة وحجم المنشور المنتظم والمباشر. في هذه الحالة فقط ، سيتمكنون من الاعتماد على تلقي نقاط تنافسية بناءً على نتائج اجتياز الاختبار.

النقاط الرئيسية التي يجب تذكرها

• إذا كانت الحواف الجانبية للمنشور متعامدة على القاعدة ، فإنها تسمى مستقيمة. جميع أوجه هذا الشكل عبارة عن مستطيلات. يتزامن ارتفاع المنشور المستقيم مع حافته.
• المنشور المنتظم هو المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة التي تحتوي على المضلع المنتظم. الوجوه الجانبية لهذا الشكل مستطيلات متساوية. يكون المنشور الصحيح دائمًا مستقيمًا.

التحضير لامتحان الدولة الموحدة مع شكولكوفو هو مفتاح نجاحك!

لجعل الفصول الدراسية سهلة وفعالة قدر الإمكان ، اختر بوابتنا الرياضية. ستجد هنا جميع المواد اللازمة التي ستساعدك على التحضير لاختبار الشهادة.

يعرض المتخصصون في المشروع التعليمي "شكولكوفو" الانتقال من البسيط إلى المعقد: أولاً ، نقدم النظرية والصيغ الأساسية والنظريات والمشكلات الأولية مع الحلول ، ثم ننتقل تدريجياً إلى المهام على مستوى الخبراء.

يتم تنظيم المعلومات الأساسية وتقديمها بوضوح في قسم "المرجع النظري". إذا كنت قد تمكنت بالفعل من تكرار المادة الضرورية ، فإننا نوصيك بالتدرب على حل المشكلات في العثور على مساحة وحجم المنشور المستقيم. يقدم قسم الفهرس مجموعة كبيرة من التمارين بدرجات متفاوتة من الصعوبة.

حاول حساب مساحة المنشور المستقيم والمنتظم أو الآن. تفكيك أي مهمة. إذا لم يسبب ذلك صعوبات ، يمكنك الانتقال بأمان إلى تمارين على مستوى الخبراء. وفي حالة استمرار ظهور بعض الصعوبات ، نوصيك بالاستعداد بانتظام للاختبار عبر الإنترنت جنبًا إلى جنب مع بوابة Shkolkovo الرياضية ، وستكون المهام المتعلقة بموضوع "المنشور المباشر والمنتظم" سهلة بالنسبة لك.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.