Referencedata for tangent (tg x) og cotangens (ctg x). Geometrisk definition, egenskaber, grafer, formler. Tabel over tangenter og cotangenter, derivater, integraler, serieudvidelser. Udtryk gennem komplekse variable. Forbindelse med hyperbolske funktioner.

Geometrisk definition

|BD| - længden af ​​cirkelbuen centreret i punkt A.
α er vinklen udtrykt i radianer.

Tangent ( tgα) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben |BC| til længden af ​​det tilstødende ben |AB| .

Cotangens ( ctgα) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det tilstødende ben |AB| til længden af ​​det modsatte ben |BC| .

Tangent

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur betegnes tangenten som følger:
.
;
;
.

Graf for tangentfunktionen, y = tg x

Cotangens

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er cotangensen betegnet som følger:
.
Følgende notation er også blevet vedtaget:
;
;
.

Graf over cotangensfunktionen, y = ctg x

Egenskaber for tangent og cotangens

Periodicitet

Funktioner y= tg x og y= ctg x er periodiske med periode π.

Paritet

Funktionerne tangent og cotangens er ulige.

Domæner af definition og værdier, stigende, faldende

Funktionerne tangent og cotangens er kontinuerte på deres definitionsdomæne (se beviset for kontinuitet). Tangentens og cotangensens hovedegenskaber er præsenteret i tabellen ( n- heltal).

	y= tg x	y= ctg x
Omfang og kontinuitet
Vifte af værdier	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Stigende		-
Aftagende	-
Yderligheder	-	-
Nuller, y= 0
Skæringspunkter med y-aksen, x = 0	y= 0	-

Formler

Udtryk i form af sinus og cosinus

; ;
; ;
;

Formler for tangent og cotangens af sum og differens

Resten af ​​formlerne er lette at få f.eks

Produkt af tangenter

Formlen for summen og forskellen af ​​tangenter

Denne tabel viser værdierne af tangenter og cotangenter for nogle værdier af argumentet.

Udtryk i form af komplekse tal

Udtryk i form af hyperbolske funktioner

;
;

Derivater

; .

.
Afledt af n. orden med hensyn til variablen x af funktionen:
.
Afledning af formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler

Udvidelser til serier

For at få udvidelsen af ​​tangenten i potenser af x, skal du tage flere led af udvidelsen i en potensrække for funktionerne synd x og fordi x og opdele disse polynomier i hinanden, . Dette resulterer i følgende formler.

kl.

kl.
hvor B n- Bernoulli tal. De bestemmes enten ud fra gentagelsesrelationen:
;
;
hvor .
Eller ifølge Laplace-formlen:

Omvendte funktioner

De omvendte funktioner til tangent og cotangens er henholdsvis arctangent og arccotangens.

Arctangens, arctg

, hvor n- hel.

Bue tangens, arcctg

, hvor n- hel.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved videregående uddannelsesinstitutioner, Lan, 2009.
G. Korn, Håndbog i matematik for forskere og ingeniører, 2012.

Formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus for to vinkler α og β giver dig mulighed for at gå fra summen af ​​de angivne vinkler til produktet af vinklerne α + β 2 og α - β 2 . Vi bemærker med det samme, at du ikke skal forveksle formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus med formlerne for sinus og cosinus for summen og forskellen. Nedenfor lister vi disse formler, giver deres afledning og viser eksempler på anvendelse til specifikke problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formler for summen og forskellen mellem sinus og cosinus

Lad os skrive ned, hvordan sum- og differensformlerne for sinus og cosinus ser ud

Sum- og differensformler for sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Sum- og differensformler for cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Disse formler er gyldige for alle vinkler α og β. Vinklerne α + β 2 og α - β 2 kaldes henholdsvis halv-sum og halv-forskel af vinklerne alfa og beta. Vi giver en formulering for hver formel.

Definitioner af sum- og differensformler for sinus og cosinus

Summen af ​​sinus af to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halvsummen af ​​disse vinkler og cosinus af halvforskellen.

Forskellen mellem sinus i to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halv-forskellen af ​​disse vinkler og cosinus af halvsummen.

Summen af ​​cosinus af to vinkler er lig med to gange produktet af cosinus af halvsummen og cosinus af halvforskel af disse vinkler.

Forskellen på cosinus af to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halvsummen og cosinus af halv-forskellen af ​​disse vinkler taget med et negativt fortegn.

Udledning af formler for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus

For at udlede formler for summen og differensen af ​​sinus og cosinus af to vinkler bruges additionsformler. Vi præsenterer dem nedenfor

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Vi repræsenterer også selve vinklerne som summen af ​​halve summer og halve forskelle.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + 2 - α

Vi går direkte videre til udledningen af ​​sum- og differensformlerne for sin og cos.

Afledning af formlen for summen af ​​sinus

I summen sin α + sin β erstatter vi α og β med udtrykkene for disse vinkler givet ovenfor. Få

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Nu anvender vi additionsformlen på det første udtryk, og sinusformlen for vinkelforskellene på det andet (se formlerne ovenfor)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Trinene til at udlede resten af ​​formlerne ligner hinanden.

Afledning af formlen for forskellen på sinus

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Afledning af formlen for summen af ​​cosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Afledning af formlen for cosinusforskel

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Eksempler på løsning af praktiske problemer

Til at begynde med vil vi kontrollere en af ​​formlerne ved at erstatte specifikke vinkelværdier i den. Lad α = π 2 , β = π 6 . Lad os beregne værdien af ​​summen af ​​disse vinklers sinus. Først bruger vi tabellen med grundlæggende værdier for trigonometriske funktioner, og derefter anvender vi formlen for summen af ​​sinus.

Eksempel 1. Kontrol af formlen for summen af ​​sinus af to vinkler

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Lad os nu overveje tilfældet, når værdierne af vinklerne afviger fra de grundlæggende værdier præsenteret i tabellen. Lad α = 165°, β = 75°. Lad os beregne værdien af ​​forskellen mellem disse vinklers sinus.

Eksempel 2. Anvendelse af formlen for sinusforskel

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Ved hjælp af formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus kan du gå fra summen eller forskellen til produktet af trigonometriske funktioner. Ofte kaldes disse formler for formler for overgangen fra sum til produkt. Formlerne for summen og forskellen mellem sinus og cosinus er meget brugt til at løse trigonometriske ligninger og til at konvertere trigonometriske udtryk.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

En af de grene af matematikken, som skolebørn håndterer de største vanskeligheder med, er trigonometri. Ikke så mærkeligt: ​​For frit at mestre dette vidensområde har du brug for rumlig tænkning, evnen til at finde sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjælp af formler, forenkle udtryk og være i stand til at bruge tallet pi i beregninger. Derudover skal du kunne anvende trigonometri, når du skal bevise sætninger, og det kræver enten en udviklet matematisk hukommelse eller evnen til at udlede komplekse logiske kæder.

Trigonometriens oprindelse

Bekendtskab med denne videnskab bør begynde med definitionen af ​​vinklens sinus, cosinus og tangens, men først skal du finde ud af, hvad trigonometri gør generelt.

Historisk set har retvinklede trekanter været hovedobjektet for undersøgelsen i dette afsnit af matematisk videnskab. Tilstedeværelsen af ​​en vinkel på 90 grader gør det muligt at udføre forskellige operationer, der gør det muligt at bestemme værdierne af alle parametre i den betragtede figur ved hjælp af to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere bemærkede folk dette mønster og begyndte aktivt at bruge det i opførelsen af ​​bygninger, navigation, astronomi og endda kunst.

Første etape

Indledningsvis talte folk om forholdet mellem vinkler og sider udelukkende på eksemplet med retvinklede trekanter. Så blev der opdaget specielle formler, der gjorde det muligt at udvide grænserne for brugen i hverdagen for denne sektion af matematik.

Studiet af trigonometri på skolen i dag begynder med retvinklede trekanter, hvorefter den tilegnede viden bruges af elever i fysik og løsning af abstrakte trigonometriske ligninger, arbejde med som begynder i gymnasiet.

Sfærisk trigonometri

Senere, da videnskaben nåede det næste udviklingsniveau, begyndte formler med sinus, cosinus, tangent, cotangens at blive brugt i sfærisk geometri, hvor andre regler gælder, og summen af ​​vinklerne i en trekant er altid mere end 180 grader. Dette afsnit studeres ikke i skolen, men det er nødvendigt at vide om dets eksistens, i det mindste fordi jordens overflade, og overfladen på enhver anden planet, er konveks, hvilket betyder, at enhver overflademarkering vil være "bueformet" i tredimensionelt rum.

Tag globus og tråd. Fastgør tråden til to vilkårlige punkter på kloden, så den er stram. Vær opmærksom - den har fået form som en bue. Det er med sådanne former, at sfærisk geometri, som bruges i geodæsi, astronomi og andre teoretiske og anvendte områder, handler.

retvinklet trekant

Efter at have lært lidt om måderne at bruge trigonometri på, lad os vende tilbage til grundlæggende trigonometri for yderligere at forstå, hvad sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger der kan udføres med deres hjælp, og hvilke formler der skal bruges.

Det første skridt er at forstå begreberne relateret til en retvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden modsat 90 graders vinkel. Hun er den længste. Vi husker, at ifølge Pythagoras sætning er dens numeriske værdi lig med roden af ​​summen af ​​kvadraterne på de to andre sider.

For eksempel, hvis to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil længden af ​​hypotenusen være 5 centimeter. Forresten vidste de gamle egyptere om dette for omkring fire og et halvt tusind år siden.

De to resterende sider, der danner en ret vinkel, kaldes ben. Derudover skal vi huske, at summen af ​​vinklerne i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er 180 grader.

Definition

Endelig, med en solid forståelse af den geometriske base, kan vi vende os til definitionen af ​​sinus, cosinus og tangens af en vinkel.

En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte ben (dvs. siden modsat den ønskede vinkel) og hypotenusen. Cosinus af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.

Husk at hverken sinus eller cosinus kan være større end én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den længste. Uanset hvor lang benet er, vil den være kortere end hypotenusen, hvilket betyder, at deres forhold altid vil være mindre end én. Så hvis du får en sinus eller cosinus med en værdi større end 1 i svaret på opgaven, skal du kigge efter en fejl i beregninger eller ræsonnementer. Dette svar er klart forkert.

Endelig er tangenten af ​​en vinkel forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. Det samme resultat vil give divisionen af ​​sinus med cosinus. Se: i overensstemmelse med formlen dividerer vi længden af ​​siden med hypotenusen, hvorefter vi dividerer med længden af ​​den anden side og multiplicerer med hypotenusen. Dermed får vi samme forhold som i definitionen af ​​tangent.

Cotangensen er henholdsvis forholdet mellem den side, der støder op til hjørnet, og den modsatte side. Vi får det samme resultat ved at dividere enheden med tangenten.

Så vi har overvejet definitionerne af, hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, og vi kan beskæftige os med formler.

De enkleste formler

I trigonometri kan man ikke undvære formler - hvordan finder man sinus, cosinus, tangent, cotangens uden dem? Og det er præcis, hvad der kræves, når man løser problemer.

Den første formel, du skal kende, når du begynder at studere trigonometri, siger, at summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus i en vinkel er lig med én. Denne formel er en direkte konsekvens af Pythagoras sætning, men det sparer tid, hvis du vil vide værdien af ​​vinklen, ikke siden.

Mange elever kan ikke huske den anden formel, som også er meget populær, når man løser skoleopgaver: Summen af ​​en og kvadratet af tangenten til en vinkel er lig med én divideret med kvadratet af vinklens cosinus. Se nærmere: Det er trods alt det samme udsagn som i den første formel, kun begge sider af identiteten blev divideret med kvadratet af cosinus. Det viser sig, at en simpel matematisk operation gør den trigonometriske formel fuldstændig uigenkendelig. Husk: Ved at vide hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, konverteringsreglerne og nogle få grundlæggende formler, kan du til enhver tid selvstændigt udlede de nødvendige mere komplekse formler på et ark papir.

Dobbeltvinkelformler og tilføjelse af argumenter

Yderligere to formler, som du skal lære, er relateret til værdierne af sinus og cosinus for summen og forskellen af ​​vinklerne. De er vist i figuren nedenfor. Bemærk venligst, at i det første tilfælde ganges sinus og cosinus begge gange, og i det andet lægges det parvise produkt af sinus og cosinus til.

Der er også formler forbundet med dobbeltvinkelargumenter. De er fuldstændig afledt af de foregående - som en praksis, prøv at få dem selv ved at tage alfavinklen lig med betavinklen.

Bemærk endelig, at dobbeltvinkelformlerne kan konverteres til at sænke graden af ​​sinus, cosinus, tangent alfa.

Sætninger

De to hovedsætninger i grundlæggende trigonometri er sinussætningen og cosinussætningen. Ved hjælp af disse teoremer kan du nemt forstå, hvordan man finder sinus, cosinus og tangent, og derfor arealet af figuren og størrelsen af ​​hver side osv.

Sinussætningen siger, at som et resultat af at dividere længden af ​​hver af trekantens sider med værdien af ​​den modsatte vinkel, får vi det samme tal. Desuden vil dette tal være lig med to radier af den omskrevne cirkel, det vil sige cirklen, der indeholder alle punkter i den givne trekant.

Cosinussætningen generaliserer Pythagoras sætning og projicerer den på en hvilken som helst trekanter. Det viser sig, at fra summen af ​​kvadraterne på de to sider skal du trække deres produkt ganget med den dobbelte cosinus af vinklen ved siden af ​​dem - den resulterende værdi vil være lig med kvadratet på den tredje side. Pythagoras sætning viser sig således at være et specialtilfælde af cosinussætningen.

Fejl på grund af uopmærksomhed

Selv ved at vide hvad sinus, cosinus og tangens er, er det let at lave en fejl på grund af fravær eller en fejl i de enkleste beregninger. For at undgå sådanne fejl, lad os stifte bekendtskab med de mest populære af dem.

For det første skal du ikke omregne almindelige brøker til decimaler, før det endelige resultat er opnået – du kan lade svaret være en almindelig brøk, medmindre betingelsen siger andet. En sådan transformation kan ikke kaldes en fejl, men det skal huskes, at der på hvert trin af problemet kan dukke nye rødder op, som ifølge forfatterens idé bør reduceres. I dette tilfælde vil du spilde tid på unødvendige matematiske operationer. Dette gælder især for værdier som roden af ​​tre eller to, fordi de forekommer i opgaver ved hvert trin. Det samme gælder afrunding af "grimme" tal.

Bemærk endvidere, at cosinussætningen gælder for enhver trekant, men ikke Pythagoras sætning! Hvis du ved en fejl glemmer at trække to gange produktet af siderne ganget med cosinus af vinklen mellem dem, vil du ikke kun få et helt forkert resultat, men også demonstrere en fuldstændig misforståelse af emnet. Dette er værre end en skødesløs fejltagelse.

For det tredje må du ikke forveksle værdierne for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse værdier, fordi sinus på 30 grader er lig med cosinus på 60 og omvendt. Det er nemt at blande dem, som et resultat af hvilket du uundgåeligt vil få et fejlagtigt resultat.

Ansøgning

Mange studerende har ikke travlt med at begynde at studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens anvendte betydning. Hvad er sinus, cosinus, tangent for en ingeniør eller astronom? Dette er begreber, takket være hvilke du kan beregne afstanden til fjerne stjerner, forudsige faldet af en meteorit, sende en forskningssonde til en anden planet. Uden dem er det umuligt at bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på overfladen eller en genstands bane. Og disse er blot de mest åbenlyse eksempler! Trigonometri i en eller anden form bruges trods alt overalt, lige fra musik til medicin.

Langt om længe

Så du er sinus, cosinus, tangent. Du kan bruge dem i beregninger og med succes løse skoleproblemer.

Hele essensen af ​​trigonometri bunder i, at ukendte parametre skal beregnes ud fra trekantens kendte parametre. Der er seks parametre i alt: længden af ​​tre sider og størrelsen af ​​tre vinkler. Hele forskellen i opgaverne ligger i, at der gives forskellige inputdata.

Hvordan man finder sinus, cosinus, tangent baseret på de kendte længder af benene eller hypotenusen, ved du nu. Da disse udtryk ikke betyder andet end et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med det trigonometriske problem at finde rødderne til en almindelig ligning eller et ligningssystem. Og her bliver du hjulpet af almindelig skolematematik.

Begreberne sinus (), cosinus (), tangent (), cotangens () er uløseligt forbundet med begrebet vinkel. For at få en god forståelse af disse, ved første øjekast, komplekse begreber (som forårsager en tilstand af rædsel hos mange skolebørn), og for at sikre, at "djævelen ikke er så skræmmende, som han er malet", lad os starte fra begyndelsen og forstå begrebet en vinkel.

Begrebet vinkel: radian, grad

Lad os se på billedet. Vektoren "vendte" i forhold til punktet med en vis mængde. Så målet for denne rotation i forhold til den oprindelige position vil være hjørne.

Hvad skal du ellers vide om begrebet vinkel? Nå, vinkelenheder, selvfølgelig!

Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.

Vinklen ved (én grad) er den centrale vinkel i cirklen, baseret på en cirkelbue lig med den del af cirklen. Hele cirklen består således af "stykker" af cirkelbuer, eller vinklen beskrevet af cirklen er ens.

Det vil sige, at figuren ovenfor viser en vinkel, der er ens, det vil sige, at denne vinkel er baseret på en cirkelbue på størrelse med omkredsen.

En vinkel i radianer kaldes den centrale vinkel i en cirkel, baseret på en cirkelbue, hvis længde er lig med cirklens radius. Nå, forstod du det? Hvis ikke, så lad os se på billedet.

Så figuren viser en vinkel lig med en radian, det vil sige, denne vinkel er baseret på en cirkulær bue, hvis længde er lig med radius af cirklen (længden er lig med længden eller radius er lig med buens længde). Således beregnes længden af ​​buen ved formlen:

Hvor er den centrale vinkel i radianer.

Tja, ved at vide dette, kan du svare på, hvor mange radianer der indeholder en vinkel beskrevet af en cirkel? Ja, til dette skal du huske formlen for omkredsen af ​​en cirkel. Der er hun:

Nå, lad os nu korrelere disse to formler og få, at vinklen beskrevet af cirklen er ens. Det vil sige, at korrelere værdien i grader og radianer, det får vi. Henholdsvis, . Som du kan se, er ordet "radian" i modsætning til "grader" udeladt, da måleenheden normalt fremgår tydeligt af sammenhængen.

Hvor mange radianer er der? Det er rigtigt!

Forstået? Spænd derefter fremad:

Nogle vanskeligheder? Så se svar:

Retvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens af en vinkel

Så med begrebet vinklen regnet ud. Men hvad er sinus, cosinus, tangent, cotangens af en vinkel? Lad os finde ud af det. Til dette vil en retvinklet trekant hjælpe os.

Hvad kaldes siderne i en retvinklet trekant? Det er rigtigt, hypotenusen og benene: hypotenusen er den side, der ligger modsat den rette vinkel (i vores eksempel er dette siden); benene er de to resterende sider og (dem der støder op til den rigtige vinkel), hvis vi betragter benene i forhold til vinklen, så er benet det tilstødende ben, og benet er det modsatte. Så lad os nu besvare spørgsmålet: hvad er sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel?

Sinus af en vinkel er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.

i vores trekant.

Cosinus af en vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.

i vores trekant.

Vinkeltangens- dette er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og det tilstødende (tætte).

i vores trekant.

Cotangens af en vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og det modsatte (fjern).

i vores trekant.

Disse definitioner er nødvendige Husk! For at gøre det lettere at huske, hvilket ben du skal dividere med hvad, skal du tydeligt forstå det i tangent og cotangens kun benene sidder, og hypotenusen vises kun i bihule og cosinus. Og så kan man komme med en kæde af associationer. For eksempel denne:

cosinus→touch→touch→tilstødende;

Cotangens→touch→touch→tilstødende.

Først og fremmest er det nødvendigt at huske, at sinus, cosinus, tangent og cotangens som forhold mellem siderne i en trekant ikke afhænger af længden af ​​disse sider (i en vinkel). Stol ikke på? Så sørg for at se på billedet:

Overvej for eksempel cosinus af en vinkel. Per definition ud fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus af en vinkel ud fra en trekant: . Du kan se, længderne af siderne er forskellige, men værdien af ​​cosinus af en vinkel er den samme. Værdierne for sinus, cosinus, tangens og cotangens afhænger således udelukkende af vinklens størrelse.

Hvis du forstår definitionerne, så gå videre og ret dem!

For trekanten vist i figuren nedenfor finder vi.

Nå, fik du det? Så prøv det selv: beregn det samme for hjørnet.

Enhed (trigonometrisk) cirkel

For at forstå begreberne grader og radianer betragtede vi en cirkel med en radius lig med. Sådan en cirkel kaldes enkelt. Det er meget nyttigt i studiet af trigonometri. Derfor dvæler vi lidt mere detaljeret ved det.

Som du kan se, er denne cirkel bygget i det kartesiske koordinatsystem. Cirklens radius er lig med én, mens cirklens centrum ligger ved origo, radiusvektorens begyndelsesposition er fast langs den positive retning af aksen (i vores eksempel er dette radius).

Hvert punkt i cirklen svarer til to tal: koordinaten langs aksen og koordinaten langs aksen. Hvad er disse koordinattal? Og generelt, hvad har de at gøre med det aktuelle emne? For at gøre dette skal du huske om den betragtede retvinklede trekant. På figuren ovenfor kan du se to hele retvinklede trekanter. Overvej en trekant. Den er rektangulær, fordi den er vinkelret på aksen.

Hvad er lig med fra en trekant? Det er rigtigt. Derudover ved vi, at det er radius af enhedscirklen, og derfor . Erstat denne værdi i vores cosinusformel. Her er hvad der sker:

Og hvad er lig med fra en trekant? Jamen selvfølgelig, ! Erstat værdien af ​​radius i denne formel og få:

Så kan du fortælle mig, hvad er koordinaterne for et punkt, der hører til cirklen? Nå, ingen måde? Og hvis du indser det og bare er tal? Hvilken koordinat svarer det til? Nå, selvfølgelig, koordinaten! Hvilken koordinat svarer det til? Det er rigtigt, koordiner! Altså pointen.

Og hvad er så lige og? Det er rigtigt, lad os bruge de passende definitioner af tangent og cotangens og få det, en.

Hvad hvis vinklen er større? Her, for eksempel, som på dette billede:

Hvad har ændret sig i dette eksempel? Lad os finde ud af det. For at gøre dette vender vi igen til en retvinklet trekant. Overvej en retvinklet trekant: en vinkel (som støder op til en vinkel). Hvad er værdien af ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel? Det er rigtigt, vi overholder de tilsvarende definitioner af trigonometriske funktioner:

Nå, som du kan se, svarer værdien af ​​vinklens sinus stadig til koordinaten; værdien af ​​vinklens cosinus - koordinaten; og værdierne af tangent og cotangens til de tilsvarende forhold. Disse relationer er således anvendelige til enhver rotation af radiusvektoren.

Det er allerede blevet nævnt, at startpositionen af ​​radiusvektoren er langs den positive retning af aksen. Indtil videre har vi roteret denne vektor mod uret, men hvad sker der, hvis vi roterer den med uret? Ikke noget ekstraordinært, du vil også få en vinkel af en vis størrelse, men kun den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mod uret, får vi således positive vinkler, og når den drejes med uret - negativ.

Så vi ved, at en hel omdrejning af radiusvektoren rundt om cirklen er eller. Er det muligt at rotere radiusvektoren med eller ved? Nå, selvfølgelig kan du det! I det første tilfælde vil radiusvektoren derfor foretage en hel omdrejning og stoppe ved position eller.

I det andet tilfælde, det vil sige, vil radiusvektoren lave tre komplette omdrejninger og stoppe ved position eller.

Ud fra ovenstående eksempler kan vi således konkludere, at vinkler, der adskiller sig med eller (hvor er et hvilket som helst heltal) svarer til den samme position af radiusvektoren.

Nedenstående figur viser en vinkel. Det samme billede svarer til hjørnet og så videre. Denne liste kan fortsættes på ubestemt tid. Alle disse vinkler kan skrives med den generelle formel eller (hvor er et heltal)

Nu, ved at kende definitionerne af de grundlæggende trigonometriske funktioner og bruge enhedscirklen, prøv at svare på, hvad værdierne er lig med:

Her er en enhedscirkel, der kan hjælpe dig:

Nogle vanskeligheder? Så lad os finde ud af det. Så vi ved at:

Herfra bestemmer vi koordinaterne for de punkter, der svarer til bestemte mål for vinklen. Nå, lad os starte i rækkefølge: hjørnet ved svarer til et punkt med koordinater, derfor:

Eksisterer ikke;

Ydermere, ved at følge den samme logik, finder vi ud af, at hjørnerne i henholdsvis svarer til punkter med koordinater. Ved at vide dette er det let at bestemme værdierne af trigonometriske funktioner på de tilsvarende punkter. Prøv det selv først, og tjek derefter svarene.

Svar:

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Eksisterer ikke

Derfor kan vi lave følgende tabel:

Der er ingen grund til at huske alle disse værdier. Det er nok at huske overensstemmelsen mellem koordinaterne af punkter på enhedscirklen og værdierne af trigonometriske funktioner:

Men værdierne for de trigonometriske funktioner af vinklerne i og givet i tabellen nedenfor, skal huskes:

Vær ikke bange, nu vil vi vise et af eksemplerne ret simpel huske af de tilsvarende værdier:

For at bruge denne metode er det vigtigt at huske værdierne af sinus for alle tre mål for vinklen (), såvel som værdien af ​​tangenten til vinklen i. Ved at kende disse værdier er det ret nemt at gendanne hele tabellen - cosinusværdierne overføres i overensstemmelse med pilene, det vil sige:

Ved at vide dette kan du gendanne værdierne for. Tælleren " " vil matche, og nævneren " " vil matche. Cotangensværdier overføres i overensstemmelse med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pile, vil det være nok at huske hele værdien fra tabellen.

Koordinater for et punkt på en cirkel

Er det muligt at finde et punkt (dets koordinater) på en cirkel, at kende koordinaterne for cirklens centrum, dens radius og rotationsvinkel?

Nå, selvfølgelig kan du det! Lad os bringe ud generel formel til at finde koordinaterne for et punkt.

Her har vi for eksempel sådan en cirkel:

Vi får, at punktet er cirklens centrum. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere punktet i grader.

Som det kan ses af figuren, svarer punktets koordinat til segmentets længde. Længden af ​​segmentet svarer til koordinaten for midten af ​​cirklen, det vil sige, at den er lig med. Længden af ​​et segment kan udtrykkes ved hjælp af definitionen af ​​cosinus:

Så har vi det for punktet koordinaten.

Med samme logik finder vi værdien af ​​y-koordinaten for punktet. På denne måde

Så generelt er koordinaterne for punkter bestemt af formlerne:

Cirkel centrum koordinater,

cirkel radius,

Rotationsvinkel for radiusvektoren.

Som du kan se, for enhedscirklen, vi overvejer, er disse formler reduceret betydeligt, da koordinaterne for centrum er nul, og radius er lig med en:

Nå, lad os prøve disse formler for en smag, øve os på at finde punkter på en cirkel?

1. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at slå et punkt til.

2. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at dreje et punkt på.

3. Find koordinaterne for et punkt på en enhedscirkel opnået ved at slå et punkt til.

4. Punkt - midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

5. Punkt - midten af ​​cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.

Har du problemer med at finde koordinaterne til et punkt på en cirkel?

Løs disse fem eksempler (eller forstå løsningen godt), og du vil lære, hvordan du finder dem!

1.

Det kan ses. Og vi ved, hvad der svarer til en fuld drejning af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de ønskede koordinater for punktet:

2. Cirklen er enhed med et centrum i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:

Det kan ses. Vi ved, hvad der svarer til to komplette rotationer af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de ønskede koordinater for punktet:

Sinus og cosinus er tabelværdier. Vi husker deres værdier og får:

Det ønskede punkt har således koordinater.

3. Cirklen er enhed med et centrum i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:

Det kan ses. Lad os skildre det betragtede eksempel i figuren:

Radius gør vinkler med aksen lig med og. Ved at vide, at tabelværdierne for cosinus og sinus er ens, og efter at have bestemt, at cosinus her tager en negativ værdi, og sinus er positiv, har vi:

Lignende eksempler analyseres mere detaljeret, når man studerer formlerne til reduktion af trigonometriske funktioner i emnet.

Det ønskede punkt har således koordinater.

4.

Rotationsvinkel for radiusvektoren (efter betingelse)

For at bestemme de tilsvarende tegn på sinus og cosinus konstruerer vi en enhedscirkel og en vinkel:

Som du kan se, er værdien, det vil sige, positiv, og værdien, det vil sige, er negativ. Ved at kende tabelværdierne for de tilsvarende trigonometriske funktioner opnår vi, at:

Lad os erstatte de opnåede værdier i vores formel og finde koordinaterne:

Det ønskede punkt har således koordinater.

5. For at løse dette problem bruger vi formler i generel form, hvor

Koordinaterne for midten af ​​cirklen (i vores eksempel,

Cirkelradius (efter tilstand)

Rotationsvinkel for radiusvektoren (efter betingelse).

Erstat alle værdierne i formlen og få:

og - tabelværdier. Vi husker og erstatter dem med formlen:

Det ønskede punkt har således koordinater.

RESUMÉ OG GRUNDFORMEL

En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.

Cosinus af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.

Tangens af en vinkel er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og det tilstødende (tætte).

Cotangensen af ​​en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og det modsatte (fjern).