Geometrisk område- en numerisk karakteristik af en geometrisk figur, der viser størrelsen af ​​denne figur (en del af overfladen afgrænset af en lukket kontur af denne figur). Størrelsen af ​​området er udtrykt ved antallet af kvadratenheder indeholdt i det.

Formler for trekantareal

1. Trekantarealformel for side og højde
   Areal af en trekant lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​en side af en trekant og længden af ​​højden trukket til denne side
   
2. Formlen for arealet af en trekant givet tre sider og radius af den omskrevne cirkel
   
3. Formlen for arealet af en trekant givet tre sider og radius af en indskrevet cirkel
   Areal af en trekant er lig med produktet af trekantens halve omkreds og radius af den indskrevne cirkel.
   
hvor S er arealet af trekanten,
- længden af ​​trekantens sider,
- højden af ​​trekanten,
- vinklen mellem siderne og,
- radius af den indskrevne cirkel,
R - radius af den omskrevne cirkel,

Formler for kvadratisk areal

1. Formlen for arealet af et kvadrat givet længden af ​​en side
   kvadratisk areal er lig med kvadratet af dens sidelængde.
2. Formlen for arealet af et kvadrat givet længden af ​​diagonalen
   kvadratisk areal lig med halvdelen af ​​kvadratet af længden af ​​dens diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

hvor S er arealet af kvadratet,
er længden af ​​siden af ​​kvadratet,
er længden af ​​kvadratets diagonal.

Formel for rektangelareal

Rektangel område er lig med produktet af længderne af dens to tilstødende sider

hvor S er arealet af rektanglet,
er længderne af rektanglets sider.

Formler for arealet af et parallelogram

1. Parallelogramarealformel for sidelængde og -højde
   Parallelogram område
2. Formlen for arealet af et parallelogram givet to sider og vinklen mellem dem
   Parallelogram område er lig med produktet af længderne af dens sider ganget med sinus af vinklen mellem dem.
   

   a b sinα

hvor S er arealet af parallelogrammet,
er længden af ​​siderne af parallelogrammet,
er højden af ​​parallelogrammet,
er vinklen mellem siderne af parallelogrammet.

Formler for området af en rombe

1. Rombearealformel givet sidelængde og højde
   Rhombus område er lig med produktet af længden af ​​dens side og længden af ​​højden sænket til denne side.
2. Formlen for arealet af en rombe givet længden af ​​siden og vinklen
   Rhombus område er lig med produktet af kvadratet af længden af ​​dens side og sinus af vinklen mellem siderne af romben.
3. Formlen for arealet af en rhombus fra længden af ​​dens diagonaler
   Rhombus område er lig med halvdelen af ​​produktet af længderne af dens diagonaler.
hvor S er arealet af romben,
- længden af ​​siden af ​​romben,
- længden af ​​rhombus højde,
- vinklen mellem siderne af romben,
1, 2 - længderne af diagonalerne.

Trapezium område formler

1. Herons formel for en trapez

   Hvor S er arealet af trapezet,
   - længden af ​​trapezets baser,
   - længden af ​​trapezets sider,
   

For at løse problemer i geometri skal du kende formler - såsom arealet af en trekant eller arealet af et parallelogram - såvel som simple tricks, som vi vil tale om.

Lad os først lære formlerne for figurernes områder. Vi har specielt samlet dem i et praktisk bord. Print, lær og anvend!

Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i vores tabel. For eksempel, for at løse problemer i geometri og stereometri i anden del af profileksamenen i matematik, bruges andre formler for arealet af en trekant også. Vi vil helt sikkert fortælle dig om dem.

Men hvad hvis du ikke skal finde arealet af en trapez eller trekant, men arealet af en kompleks figur? Der er universelle måder! Vi vil vise dem ved hjælp af eksempler fra FIPI-opgavebanken.

1. Hvordan finder man arealet af en ikke-standardfigur? For eksempel en vilkårlig firkant? En simpel teknik - lad os dele denne figur op i dem, som vi alle kender til, og finde dens areal - som summen af ​​arealerne af disse figurer.

Opdel denne firkant med en vandret linje i to trekanter med en fælles base lig med . Højderne af disse trekanter er lig med og . Så er arealet af firkanten lig med summen af ​​arealerne af de to trekanter: .

Svar: .

2. I nogle tilfælde kan arealet af figuren repræsenteres som forskellen mellem ethvert område.

Det er ikke så nemt at beregne, hvad grundfladen og højden i denne trekant er lig med! Men vi kan sige, at dens areal er lig med forskellen mellem arealerne af et kvadrat med en side og tre retvinklede trekanter. Se dem på billedet? Vi får: .

Svar: .

3. Nogle gange er det i en opgave nødvendigt at finde arealet ikke af hele figuren, men af ​​dens del. Normalt taler vi om arealet af en sektor - del af en cirkel. Find arealet af en sektor af en cirkel med radius, hvis buelængde er lig med .

På dette billede ser vi en del af en cirkel. Arealet af hele cirklen er lig med , da . Det er tilbage at finde ud af, hvilken del af cirklen der er afbildet. Da længden af ​​hele cirklen er (siden), og længden af ​​buen af ​​denne sektor er ens, derfor er længden af ​​buen flere gange mindre end længden af ​​hele cirklen. Vinklen, som denne bue hviler på, er også gange mindre end en hel cirkel (det vil sige grader). Dette betyder, at arealet af sektoren vil være flere gange mindre end arealet af hele cirklen.

Områderne af geometriske figurer er numeriske værdier, der karakteriserer deres størrelse i todimensionelt rum. Denne værdi kan måles i systemenheder og ikke-systemenheder. Så for eksempel er en arealenhed uden for systemet hundrede, en hektar. Dette er tilfældet, hvis den målte overflade er et stykke jord. Systemenheden for areal er kvadratet på længden. I SI-systemet er det sædvanligt at overveje, at arealenheden på en flad overflade er en kvadratmeter. I CGS er arealenheden udtrykt i kvadratcentimeter.

Geometri og arealformler er uløseligt forbundet. Denne sammenhæng ligger i, at beregningen af ​​arealer af flade figurer er baseret netop på deres anvendelse. For mange figurer udledes flere muligheder, hvorefter deres kvadratstørrelser beregnes. Baseret på data fra problemformuleringen kan vi bestemme den enkleste måde at løse det på. Dette letter beregningen og reducerer sandsynligheden for regnefejl til et minimum. For at gøre dette skal du overveje hovedområdet for figurer i geometri.

Formler til at finde arealet af enhver trekant præsenteres på flere måder:

1) Arealet af en trekant beregnes ud fra basen a og højden h. Basen er den side af figuren, hvor højden er sænket. Så er arealet af trekanten:

2) Arealet af en retvinklet trekant beregnes på nøjagtig samme måde, hvis hypotenusen betragtes som basen. Hvis benet imidlertid tages som base, vil arealet af den retvinklede trekant være lig med produktet af halverede ben.

Formlerne til beregning af arealet af enhver trekant slutter ikke der. Et andet udtryk indeholder siderne a,b og den sinusformede funktion af vinklen γ mellem a og b. Værdien af ​​sinus findes i tabellerne. Det kan også findes ved hjælp af en lommeregner. Så er arealet af trekanten:

I henhold til denne lighed kan du også sikre dig, at arealet af en retvinklet trekant bestemmes gennem benlængderne. Fordi vinklen γ er en ret vinkel, så arealet af en retvinklet trekant beregnes uden at gange med sinusfunktionen.

3) Overvej et særligt tilfælde - en regulær trekant, hvor side a er kendt af tilstand eller dens længde kan findes ved løsning. Der vides ikke mere om figuren i geometriproblemet. Hvordan finder man så området under denne tilstand? I dette tilfælde anvendes formlen for arealet af en regulær trekant:

Rektangel

Hvordan finder man arealet af et rektangel og bruger dimensionerne af de sider, der har et fælles toppunkt? Udtrykket for beregningen er:

Hvis du vil bruge længderne af diagonalerne til at beregne arealet af et rektangel, skal du bruge sinusfunktionen af ​​vinklen, der dannes, når de skærer hinanden. Formlen for arealet af et rektangel er:

Firkant

Arealet af et kvadrat er defineret som anden potens af sidelængden:

Beviset følger af definitionen på, at et rektangel kaldes et kvadrat. Alle sider, der danner en firkant, har samme dimensioner. Derfor reduceres beregningen af ​​arealet af et sådant rektangel til at gange den ene med den anden, det vil sige til anden potens af siden. Og formlen til at beregne arealet af en firkant vil tage den ønskede form.

Arealet af en firkant kan findes på en anden måde, for eksempel hvis du bruger en diagonal:

Hvordan beregner man arealet af en figur, der er dannet af en del af et plan afgrænset af en cirkel? For at beregne arealet er formlerne:

Parallelogram

For et parallelogram indeholder formlen de lineære dimensioner af siden, højden og den matematiske operation - multiplikation. Hvis højden er ukendt, hvordan finder man så arealet af parallelogrammet? Der er en anden måde at regne på. En vis værdi er påkrævet, som vil blive taget af den trigonometriske funktion af vinklen dannet af tilstødende sider, såvel som deres længde.

Formlerne for arealet af et parallelogram er:

Rhombus

Hvordan finder man arealet af en firkant kaldet en rhombus? Arealet af en rhombus bestemmes ved hjælp af simple matematiske operationer med diagonaler. Beviset bygger på det faktum, at diagonalsegmenterne ved d1 og d2 skærer hinanden vinkelret. Tabellen over sinus viser, at for en ret vinkel er denne funktion lig med én. Derfor beregnes arealet af en rhombus som følger:

Arealet af en rombe kan også findes på en anden måde. Det er heller ikke svært at bevise dette, da dets sider er ens i længden. Erstat derefter deres produkt med et lignende udtryk for et parallelogram. Et særligt tilfælde af denne særlige figur er trods alt en rombe. Her er γ den indre vinkel på romben. Arealet af en rombe bestemmes som følger:

Trapeze

Hvordan finder man arealet af en trapez gennem baserne (a og b), hvis deres længder er angivet i problemet? Her, uden en kendt værdi af højdelængden h, vil det ikke være muligt at beregne arealet af en sådan trapez. Fordi denne værdi indeholder udtrykket til beregning:

Den kvadratiske størrelse af en rektangulær trapez kan også beregnes på samme måde. Samtidig tages det i betragtning, at i en rektangulær trapez kombineres begreberne højde og side. Derfor, for en rektangulær trapez, skal du angive længden af ​​siden i stedet for højden.

Cylinder og parallelepipedum

Overvej, hvad der er nødvendigt for at beregne overfladen af ​​hele cylinderen. Arealet af denne figur er et par cirkler, kaldet baser, og en sideflade. Cirkler, der danner cirkler, har radiuslængder lig med r. For arealet af en cylinder finder følgende beregning sted:

Hvordan finder man arealet af et parallelepipedum, der består af tre par ansigter? Dens mål er i overensstemmelse med et bestemt par. Ansigter, der er modsatte, har de samme parametre. Find først S(1), S(2), S(3) - kvadratiske dimensioner af uens flader. Så overfladearealet af parallelepipedet:

Ring

To cirkler med et fælles centrum danner en ring. De begrænser også ringens område. I dette tilfælde tager begge beregningsformler højde for dimensionerne af hver cirkel. Den første, som beregner ringens areal, indeholder større R og mindre r radier. Oftere kaldes de eksterne og interne. I det andet udtryk beregnes ringarealet ved hjælp af de større D- og mindre d-diametre. Således beregnes ringens areal ifølge kendte radier som følger:

Ringens areal, ved hjælp af længderne af diametrene, bestemmes som følger:

Polygon

Hvordan finder man arealet af en polygon, hvis form ikke er korrekt? Der er ingen generel formel for arealet af sådanne figurer. Men hvis det for eksempel er afbildet på et koordinatplan, kan det være ternet papir, hvordan finder man så overfladearealet i dette tilfælde? Her bruger de en metode, der ikke kræver nogenlunde opmåling af figuren. De gør dette: hvis de finder punkter, der falder ind i hjørnet af cellen eller har heltalskoordinater, så tages der kun hensyn til dem. For derefter at finde ud af, hvad området er, skal du bruge formlen bevist af Pick. Det er nødvendigt at tilføje antallet af punkter placeret inde i polylinjen med halvdelen af ​​punkterne liggende på den, og trække en fra, dvs. det beregnes på denne måde:

hvor C, D - antallet af punkter placeret inde i og på hele polylinjen, henholdsvis.

Instruktion

Det er praktisk at handle, hvis din figur er en polygon. Du kan altid opdele det i et endeligt tal, og du behøver kun at huske en formel - arealet af en trekant. Så en trekant er halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens side og længden af ​​højden trukket til netop denne side. Ved at opsummere områderne af individuelle trekanter, hvor en mere kompleks en er omdannet af din vilje, vil du finde ud af det ønskede resultat.

Det er sværere at løse problemet med at bestemme området med en vilkårlig figur. En sådan figur kan have ikke kun, men også krumlinjede grænser. Der er måder at tilnærme beregningen på. Enkel.

Først kan du bruge en palet. Dette er et instrument lavet af et gennemsigtigt materiale med et gitter af firkanter eller trekanter med et kendt område påført dets overflade. Ved at overlejre paletten oven på den form, du leder efter område for, genberegner du antallet af dine enheder, der overlapper billedet. Kombiner ufuldstændigt lukkede måleenheder med hinanden, og udfyld dem i dit sind for at fuldende dem. Yderligere, ved at gange arealet af en paletfigur med det tal, du har beregnet, vil du finde ud af det omtrentlige areal af din vilkårlige figur. Det er klart, at jo oftere gitteret påføres din palet, jo mere præcist er dit resultat.

For det andet kan du skitsere det maksimale antal trekanter inden for grænserne af en vilkårlig figur, som du bestemmer arealet for. Find arealet af hver og tilføj deres områder. Dette vil være et meget omtrentligt resultat. Hvis du ønsker det, kan du også separat bestemme området af segmenter afgrænset af buer. For at gøre dette skal du forestille dig, at segmentet er en del af . Byg denne cirkel, og tegn radier fra dens centrum til kanterne af buen. Segmenterne danner en vinkel α mellem sig. Arealet af alt er bestemt af π*R^2*α/360. For hver mindre del af din figur bestemmer du arealet og får det samlede resultat ved at tilføje resultaterne.

Den tredje metode er sværere, men mere præcis og for nogen lettere. Arealet af enhver figur kan bestemmes ved hjælp af integralet. Den definerede funktion viser arealet fra funktionens graf til abscissen. Arealet indesluttet mellem to grafer kan bestemmes ved at trække et bestemt integral, med en mindre værdi, fra et integral inden for de samme grænser, men med en større værdi. For at bruge denne metode er det praktisk at overføre din vilkårlige figur til koordinatsystemet og derefter bestemme deres funktioner og bruge metoderne for højere matematik, som vi ikke vil dykke ned i her og nu.

Lektion om emnet: "Formler til bestemmelse af arealet af en trekant, rektangel, firkant"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, feedback, forslag. Alt materiale kontrolleres af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i netbutikken "Integral" til 5. klasse
Simulator til lærebogen af ​​I.I. Zubareva og A.G. Mordkovich
Simulator til lærebogen af ​​G.V. Dorofeev og L.G. Peterson

Definition og koncept for figurens område

For bedre at forstå, hvad arealet af figuren er, skal du overveje figuren.
Denne vilkårlige figur er opdelt i 12 små firkanter. Siden af ​​hver firkant er 1 cm. Og arealet af hver firkant er 1 kvadratcentimeter, hvilket er skrevet som følger: 1 cm2.

Så er arealet af figuren 12 kvadratcentimeter. I matematik er området betegnet med det latinske bogstav S.
Så arealet af vores figur er: S-figurer \u003d 12 cm 2.

Arealet af figuren er lig med arealet af alle de små firkanter, som den består af!

Gutter, husk!
Arealet måles i kvadratiske længdeenheder. Arealenheder:
1. Kvadratkilometer - km 2 (når arealerne er meget store, f.eks. et land eller et hav).
2. Kvadratmeter - m 2 (ganske velegnet til at måle arealet af en grund eller lejlighed).
3. Kvadratcentimeter - cm 2 (bruges normalt i matematiktimerne, når man tegner figurer i en notesbog).
4. Kvadratmillimeter - mm 2.

Areal af en trekant

Overvej to typer trekanter: rektangulære og vilkårlige.

For at finde arealet af en retvinklet trekant skal du kende længden af ​​basen og højden. I en retvinklet trekant erstatter en af ​​siderne højden. Derfor, i formlen for arealet af en trekant, i stedet for højden, erstatter vi en af ​​siderne.
I vores eksempel er siderne 7 cm og 4 cm. Formlen til beregning af arealet af en trekant er skrevet som følger:
S af retvinklet trekant ABC = BC * SA: 2

S af en retvinklet trekant ABC \u003d 7 cm * 4 cm: 2 \u003d 14 cm 2

Overvej nu en vilkårlig trekant.

For en sådan trekant er det nødvendigt at tegne højden til basen.
I vores eksempel er højden 6 cm, og basen er 8 cm. Som i det foregående eksempel beregner vi arealet ved hjælp af formlen:
S af en vilkårlig trekant ABC = BC * h: 2.

Erstat vores data i formlen og få:
S af en vilkårlig trekant ABC \u003d 8 cm * 6 cm: 2 \u003d 24 cm 2.

Areal af rektangel og kvadrat

Tag et rektangel ABCD med siderne 5 cm og 8 cm.
Formlen til at beregne arealet af et rektangel er:
S rektangel ABCD = AB * BC.

S rektangel ABCD \u003d 8 cm * 5 cm \u003d 40 cm 2.

Lad os nu beregne arealet af kvadratet. I modsætning til et rektangel og en trekant skal du kun kende den ene side for at finde arealet af en firkant. I vores eksempel er siden af ​​kvadratet ABCD 9 cm. S for kvadratet ABCD \u003d AB * BC \u003d AB 2.

Erstat vores data i formlen og få:
S kvadratisk ABCD \u003d 9 cm * 9 cm \u003d 81 cm 2.