I en lang række teoretiske og anvendte forskning er metoder til matematisk modellering i vid udstrækning brugt, som reducerer løsningen af ​​problemer i et givent fagområde til løsningen af ​​matematiske problemer, der er tilstrækkelige (eller tilnærmelsesvis tilstrækkelige til dem). Det er nødvendigt at bringe løsningen af ​​disse problemer for at opnå et numerisk resultat (beregninger af forskellige slags mængder, løsninger af forskellige typer ligninger osv.). Målet med beregningsmatematik er at udvikle algoritmer til numerisk løsning af en bred vifte af matematiske problemer. Metoder bør udformes, så de effektivt kan implementeres ved hjælp af moderne computerteknologi. Som regel tillader de undersøgte problemer ikke en nøjagtig løsning, så vi taler om udviklingen af ​​algoritmer, der giver en omtrentlig løsning. For at kunne erstatte den ukendte nøjagtige løsning af problemet med en omtrentlig, er det nødvendigt, at sidstnævnte er tilstrækkelig tæt på den nøjagtige. I denne forbindelse bliver det nødvendigt at estimere den omtrentlige løsnings nærhed til den nøjagtige og at udvikle omtrentlige metoder til at konstruere omtrentlige løsninger så tæt som muligt på de nøjagtige.

Skematisk er beregningsprocessen den for en given mængde x(numerisk, vektor osv.) beregne værdien af ​​en funktion Økse). Forskellen mellem den nøjagtige og omtrentlige værdi af en mængde kaldes fejl. Nøjagtig værdiberegning Økse) normalt umuligt, og tvinger dig til at udskifte funktionen (drift) EN dens omtrentlige repræsentation à , som kan beregnes: beregning af værdien Økse), erstattes af beregningen - Økse) A(x) - Ã(x) hedder metode fejl. En metode til at estimere denne fejl bør udvikles sammen med udviklingen af ​​en metode til beregning af mængden Økse). Af de mulige metoder til at konstruere en tilnærmelse bør man bruge den, der med de tilgængelige midler og muligheder giver den mindste fejl.

Værdien af ​​mængden x, det vil sige, at de indledende data, i reelle problemer, opnås enten direkte fra målinger eller som et resultat af det foregående trin af beregninger. I disse tilfælde bestemmes kun en omtrentlig værdi x o mængder x. Derfor i stedet for værdien Økse) kun en omtrentlig værdi kan beregnes Г(xo). Den resulterende fejl A(x) - Ã(x o) hedder fatal. Som et resultat af den uundgåelige afrunding under beregninger, i stedet for værdien Г(xo) dens "afrundede" værdi beregnes, hvilket fører til udseendet afrundingsfejl Г(xo)- . Den samlede regnefejl viser sig at være lig med Økse) - .

Lad os repræsentere den samlede fejl i formularen

Økse) - = [A(x) - ] + [ - Ã(xo)] +

+ [Ã(xo) - ] (1)

Den sidste lighed viser, at den samlede regnefejl er lig med summen af ​​metodefejlen, den fatale fejl og afrundingsfejlen. De første to komponenter af fejlen kan estimeres, før beregningerne påbegyndes. Afrundingsfejlen estimeres kun i forbindelse med beregninger.

Overvej følgende opgaver:

a) karakterisering af nøjagtigheden af ​​omtrentlige tal

b) vurdering af nøjagtigheden af ​​resultatet med en kendt nøjagtighed af de oprindelige data (estimering af den uoprettelige fejl)

c) bestemmelse af den nødvendige nøjagtighed af de indledende data for at sikre den specificerede nøjagtighed af resultatet

d) koordinering af nøjagtigheden af ​​de indledende data og beregninger med de tilgængelige computerfaciliteters muligheder.

4 Måleusikkerheder

4.1 Sande og reelle værdier af fysiske størrelser. Målefejl. Årsager til målefejl

Når man analyserer målinger, skal der tydeligt skelnes mellem to begreber: de sande værdier af fysiske mængder og deres empiriske manifestationer - resultaterne af målinger.

Sande værdier af fysiske størrelser - det er værdier, der ideelt set afspejler egenskaberne for et givet objekt, både kvantitativt og kvalitativt. De er ikke afhængige af målemidlerne og er den absolutte sandhed, som søges i målingerne.

Tværtimod er resultaterne af målinger produkter af viden. Repræsenterer omtrentlige estimater af værdierne af mængder fundet som et resultat af målinger, de afhænger af målemetoden, af måleinstrumenter og andre faktorer.

Målefejl forskellen mellem måleresultatet x og den sande værdi Q af den målte størrelse kaldes:

Δ= x – Q (4,1)

Men da den sande værdi af Q af den målte størrelse er ukendt, så erstattes den såkaldte reelle værdi for at bestemme målefejlen i formel (4.1) i stedet for den sande værdi.

Under den faktiske værdi af den målte mængde dens betydning er forstået, fundet eksperimentelt og så tæt på den sande, at den til dette formål kan bruges i stedet for den.

Årsagerne til forekomsten af ​​fejl er: ufuldkommenhed af målemetoder, måleinstrumenter og sanseorganer hos observatøren. I en særskilt gruppe bør årsagerne forbundet med påvirkningen af ​​måleforholdene kombineres. Sidstnævnte optræder på to måder. På den ene side afhænger alle fysiske størrelser, der spiller nogen rolle i målinger, af hinanden i en eller anden grad. Derfor ændres de sande værdier af de målte mængder med en ændring i eksterne forhold. På den anden side påvirker måleforholdene også måleinstrumenternes egenskaber og de fysiologiske egenskaber ved observatørens sanseorganer og bliver derigennem en kilde til målefejl.

4.2 Klassificering af målefejl afhængig af arten af ​​deres ændring

De beskrevne årsager til fejl er en kombination af et stort antal faktorer, under påvirkning af hvilke den samlede målefejl dannes. De kan grupperes i to hovedgrupper.

Den første gruppe omfatter faktorer, der optræder uregelmæssigt og pludselig forsvinder eller optræder med en intensitet, der er svær at forudse. Disse omfatter f.eks. små udsving af påvirkende mængder (temperatur, omgivende tryk osv.). Andelen eller komponenten af ​​den samlede målefejl, der opstår under indflydelse af faktorer i denne gruppe, bestemmer den tilfældige målefejl.

På denne måde tilfældig målefejl - komponent af målefejlen, som varierer tilfældigt med gentagne målinger af samme værdi.

Ved oprettelse af måleinstrumenter og organisering af måleprocessen som helhed kan manifestationsintensiteten af ​​de faktorer, der bestemmer den tilfældige målefejl, reduceres til et fælles niveau, så de alle påvirker mere eller mindre ligeligt på dannelsen af ​​en tilfældig fejl . Men nogle af dem, for eksempel et pludseligt fald i spændingen i strømforsyningsnettet, kan manifestere sig uventet stærkt, som et resultat af, at fejlen vil antage størrelser, der klart går ud over grænserne bestemt af målingsforløbet eksperiment. Sådanne fejl i sammensætningen af ​​den tilfældige fejl kaldes uhøflig . De er tæt beslægtede savner - fejl afhængig af observatøren og forbundet med forkert håndtering af måleinstrumenter, forkert aflæsning af aflæsninger eller fejl i registrering af resultater.

Den anden gruppe omfatter faktorer, der er konstante eller ændrer sig regelmæssigt under måleeksperimentet, for eksempel jævne ændringer i påvirkende mængder. Komponenten af ​​den samlede målefejl, som opstår under påvirkning af faktorer i denne gruppe, bestemmer den systematiske målefejl.

På denne måde systematisk målefejl - komponent af målefejlen, der forbliver konstant eller regelmæssigt ændres under gentagne målinger af samme størrelse.

Under måleprocessen vises de beskrevne komponenter af fejlen samtidigt, og den samlede fejl kan repræsenteres som summen

, (4.2)

hvor - tilfældig, a Δ s - systematiske fejl.

For at opnå resultater, der afviger minimalt fra mængdernes sande værdier, udføres flere observationer af den målte værdi efterfulgt af bearbejdning af de eksperimentelle data. Derfor er det af stor betydning at studere fejlen som funktion af observationstallet, dvs. tidspunkt A(t). Så kan de individuelle fejlværdier fortolkes som et sæt værdier af denne funktion:

Δ1 = Δ(t1), Δ2 = Δ(t2),..., Δn = Δ(tn).

I det generelle tilfælde er fejlen en tilfældig funktion af tiden, som adskiller sig fra de klassiske funktioner i matematisk analyse ved, at det er umuligt at sige, hvilken værdi den vil have på tidspunktet t i. Du kan kun angive sandsynligheden for forekomsten af ​​dens værdier i et bestemt interval. I en række eksperimenter bestående af en række flere observationer får vi én implementering af denne funktion. Når vi gentager serien med de samme værdier af de mængder, der karakteriserer faktorerne i den anden gruppe, opnår vi uundgåeligt en ny erkendelse, der adskiller sig fra den første. Implementeringer adskiller sig fra hinanden på grund af indflydelsen fra faktorerne i den første gruppe, og faktorerne i den anden gruppe, som er de samme, når hver implementering modtages, giver dem nogle fælles træk (Figur 4.1).

Målefejlen svarende til hvert tidspunkt t i kaldes tværsnittet af den tilfældige funktion Δ(t). I hvert afsnit kan du finde gennemsnitsværdien af ​​fejlen Δ s (t i), i forhold til hvilken fejlene i forskellige implementeringer er grupperet. Hvis der trækkes en glat kurve gennem punkterne Δ s (t i) opnået på denne måde, så vil det karakterisere den generelle tendens for fejlen i tid. Det er let at se, at gennemsnitsværdierne Δ s (tj) er bestemt af virkningen af ​​faktorer i den anden gruppe og repræsenterer en systematisk målefejl på tidspunktet t i, og afvigelserne Δ j (t j) fra gennemsnitsværdien i afsnittet t i, der svarer til den j. implementering, giver værdien af ​​tilfældige fejl. Således ligheden

(4.3)

Figur 4.1

Antag, at Δ s (t i) = 0, dvs. systematiske fejl udelukkes på en eller anden måde fra resultaterne af observationer, og vi vil kun overveje tilfældige fejl, hvis gennemsnitsværdier er lig med nul i hver sektion. Lad os antage, at tilfældige fejl i forskellige sektioner ikke afhænger af hinanden, dvs. kendskab til den tilfældige fejl i en sektion giver os ingen yderligere information om værdien af ​​denne implementering i nogen sektion, og at alle de sandsynlighedsteoretiske træk ved tilfældige fejl, som er værdierne af en implementering i alle sektioner , falder sammen med hinanden. Derefter kan den tilfældige fejl betragtes som en tilfældig variabel, og dens værdier for hver af de multiple observationer af samme fysiske mængde som resultaterne af uafhængige observationer på den.

Under sådanne forhold defineres den tilfældige målefejl som forskellen mellem det korrigerede måleresultat XI (et resultat, der ikke indeholder en systematisk fejl) og den sande værdi Q af den målte størrelse:

Δ = X OG –Q 4.4)

desuden vil måleresultatet blive rettet, hvorfra systematiske fejl vil blive udelukket.

Sådanne data opnås sædvanligvis under verifikationen af ​​måleinstrumenter ved at måle tidligere kendte mængder. Ved udførelse af målinger er målet at estimere den sande værdi af den målte mængde, som er ukendt før forsøget. Måleresultatet inkluderer, udover den sande værdi, også en tilfældig fejl, derfor er det i sig selv en tilfældig variabel. Under disse forhold karakteriserer den faktiske værdi af den tilfældige fejl opnået under verifikationen endnu ikke målenøjagtigheden, så det er ikke klart, hvilken værdi man skal tage som det endelige måleresultat, og hvordan man karakteriserer dens nøjagtighed.

Svaret på disse spørgsmål kan fås ved at bruge metoderne til matematisk statistik, der specifikt beskæftiger sig med tilfældige variable, i behandlingen af ​​resultaterne af observationer.

4.3 Klassificering af målefejl afhængig af årsagerne til deres forekomst

Afhængigt af årsagerne til forekomsten skelnes følgende grupper af fejl: metodiske, instrumentelle, eksterne og subjektive.

I mange målemetoder kan man finde metodisk fejl , som er en konsekvens af visse antagelser og forenklinger, brugen af ​​empiriske formler og funktionelle afhængigheder. I nogle tilfælde er virkningen af ​​sådanne antagelser ubetydelig, dvs. meget mindre end de tilladte målefejl; i andre tilfælde overstiger den disse fejl.

Et eksempel på metodiske fejl er fejlene i metoden til at måle elektrisk modstand ved hjælp af et amperemeter og voltmeter (figur 4.2). Hvis modstanden R x er bestemt af formlen for Ohms lov R x \u003d U v / I a, hvor U v er spændingsfaldet målt af voltmeteret V; I a er strømstyrken målt af amperemeteret A, så i begge tilfælde vil metodiske målefejl være tilladt.

I figur 4.2,a vil strømstyrken I a, målt med et amperemeter, være større end strømstyrken i modstanden R x med værdien af ​​strømstyrken I v i et voltmeter forbundet parallelt med modstanden. Modstanden R x beregnet ved hjælp af ovenstående formel vil være mindre end den faktiske. På figur 4.2.6 vil spændingen målt af voltmeteret V være større end spændingsfaldet U r i modstanden R x med værdien U a (spændingsfald over modstanden af ​​amperemeteret A). Modstanden beregnet ved formlen for Ohms lov vil være større end modstanden R x med værdien af ​​Ra (amperemeter modstand). Korrektioner i begge tilfælde kan let beregnes, hvis du kender modstanden på voltmeteret og amperemeteret. Korrektioner kan udelades, hvis de er væsentligt mindre end den tilladte fejl ved måling af modstanden R x, for eksempel hvis i det første tilfælde voltmeterets modstand er signifikant b

Olshe R x , og i det andet tilfælde er Ra meget mindre end R x .

Figur 4.2

Et andet eksempel på forekomsten af ​​en metodisk fejl er måling af volumen af ​​legemer, hvis form antages at være geometrisk korrekt, ved at måle dimensionerne et eller et utilstrækkeligt antal steder, for eksempel ved at måle volumen af et rum ved kun at måle længde, bredde og højde i tre retninger. For nøjagtigt at bestemme volumen, ville det være nødvendigt at bestemme længden og bredden af ​​rummet langs hver væg, øverst og nederst, måle højden i hjørnerne og i midten, og endelig vinklerne mellem væggene. Dette eksempel illustrerer muligheden for en væsentlig metodefejl i tilfælde af urimelig forenkling af metoden.

Som regel er den metodiske fejl en systematisk fejl.

Instrumentel fejl - dette er en del af fejlen på grund af ufuldkommenhed af måleinstrumenterne. Et klassisk eksempel på en sådan fejl er fejlen i et måleinstrument forårsaget af unøjagtig graduering af dets skala. Det er meget vigtigt klart at skelne mellem målefejl og instrumentelle fejl. Ufuldkommenheden af ​​måleinstrumenter er kun en af ​​kilderne til målefejl og bestemmer kun en af ​​dens komponenter - instrumentel fejl. Til gengæld er den instrumentelle fejl en total fejl, hvis komponenter - fejlene i funktionelle enheder - kan være både systematiske og tilfældige.

Ekstern fejl - komponent af målefejlen forårsaget af afvigelsen af ​​en eller flere påvirkningsmængder fra normale værdier eller deres overskridelse af det normale område (f.eks. påvirkning af temperatur, eksterne elektriske og magnetiske felter, mekaniske påvirkninger osv.). Som regel bestemmes eksterne fejl af de ekstra fejl i de anvendte måleinstrumenter og er systematiske. Men hvis de påvirkende mængder er ustabile, kan de blive tilfældige.

Subjektiv (personlig) fejl på grund af forsøgslederens individuelle karakteristika og kan være både systematiske og tilfældige. Ved brug af moderne digitale måleinstrumenter kan subjektiv fejl negligeres. Men ved aflæsning af pointerinstrumenters aflæsninger kan sådanne fejl også være væsentlige på grund af forkert aflæsning af tiendedele af skalainddelingen, asymmetri, der opstår, når slaget sættes midt mellem to risici osv. For eksempel kan de fejl, som en eksperimentator laver, når han estimerer tiendedele af en skaladeling af et instrument, nå op på 0,1 divisioner. Disse fejl kommer til udtryk i det faktum, at for forskellige tiendedele af en division har forskellige eksperimentatorer forskellige frekvenser af estimater, og hver eksperimentator bevarer sin iboende fordeling i lang tid. En eksperimentator henviser således oftere end han burde, aflæsningerne til linjerne, der danner kanterne af divisionen, og til værdien af ​​0,5 divisioner. Den anden - til værdierne 0,4 og 0,6 divisioner. Den tredje foretrækker 0,2 og 0,8 divisioner og så videre. I almindelighed kan fordelingen af ​​fejl ved at tælle tiendedele af en division betragtes som ensartet med grænser på ±0,1 divisioner.

4.4 Former for præsentation af målefejl. Nøjagtighed af målinger

Målefejlen kan repræsenteres i formularen absolut fejl, udtrykt i enheder af den målte værdi og bestemt ved formlen (4.1), eller i forhold fejl, defineret som forholdet mellem den absolutte fejl og den sande værdi af den målte størrelse:

δ = Δ/Q. (4,5)

I tilfælde af at udtrykke den tilfældige fejl i procent, multipliceres forholdet Δ/Q med 100 %. Derudover er det i formel (4.5) tilladt at bruge resultatet af måling af x i stedet for den sande værdi af Q.

Udtrykket er også meget brugt nøjagtighed af målinger - en egenskab, der afspejler, hvor tæt deres resultater er på den sande værdi af den målte mængde. Med andre ord svarer høj nøjagtighed til små målefejl. Derfor kan målingernes nøjagtighed estimeres kvantitativt ved den reciprokke modul af den relative fejl

3.2. afrunding

En kilde til at få omtrentlige tal er om afrunding. Afrund både nøjagtige og omtrentlige tal.

afrunding et givet tal op til et bestemt ciffer kaldes at erstatte det med et nyt tal, som fås fra det givne ved kasserer alle dens cifre skrevet til højre cifre i denne bit, eller ved at erstatte den med nuller. Disse nuller som regel understreg eller skriv dem mindre. For at sikre den nærmeste nærhed af det afrundede tal til det afrundede, bør du bruge et sådant regler:

for at runde et tal op til et bestemt ciffer, skal du kassere alle cifrene efter cifferet i dette ciffer, og i hele tallet erstatte dem med nuller. Dette tager højde for følgende:

1 ) hvis det første (venstre) af de kasserede cifre mindre end 5, så ændres det sidste ciffer tilbage ikke (afrunding fra ulempe);

2 ) hvis det første ciffer skal kasseres større end 5 eller lig med 5, så øges det sidste resterende ciffer med én (afrunding fra overskydende).*

For eksempel:

runde op:Svar:

-en) op til tiendedele af 12,34; 12,34 ≈ 12,3;

b) op til hundrededele af 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

i) op til tusindedele af 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;

G) op til tusinder 12 375, 320 729. 12 375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.

(* For et par år siden, i tilfælde af kun at kassere én figur 5 nød "lige talsregel": det sidste ciffer forblev uændret, hvis det var lige, og steget med et, hvis det var ulige. Nu reglerne "lige tal" ikke overholde: hvis ét ciffer er kasseret 5 , så tilføjes et til det sidste resterende ciffer, uanset om det er lige eller ulige).

3.3. Absolutte og relative fejl af den omtrentlige værdi af mængder

Absolut værdi forskelle mellem den omtrentlige og nøjagtige (sande) værdi af en størrelse kaldes absolut fejl omtrentlige værdi. For eksempel hvis det nøjagtige antal 1,214 afrundet til tiendedele får vi et omtrentligt tal 1,2 . I dette tilfælde vil den absolutte fejl af det omtrentlige antal være 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Men i de fleste tilfælde er den nøjagtige værdi af den pågældende mængde ukendt, men kun omtrentlig. Så er den absolutte fejl også ukendt. I disse tilfælde angives grænse hvilket den ikke overstiger. Dette nummer kaldes grænse absolut fejl. De siger, at den nøjagtige værdi af et tal er lig med dets omtrentlige værdi med en fejl mindre end grænsefejlen. For eksempel, nummer 23,71 er den omtrentlige værdi af tallet 23,7125 op til 0,01 , da den absolutte tilnærmelsesfejl er lig med 0,0025 og mindre 0,01 . Her er grænsen absolut fejl lig med 0,01 .*

(* Absolut fejl er både positiv og negativ. For eksempel,1,68 ≈ 1,7 . Den absolutte fejl er 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Grænse fejl er altid positiv).

Den absolutte grænsefejl for det omtrentlige tal " -en » er angivet med symbolet Δ -en . Indspilning

X ≈ a (Δa)

skal forstås som følger: den nøjagtige værdi af mængden x er midt imellem -en +Δ -en og -en –Δ en, som er navngivet hhv bund og øvre grænsex og betegne H G x og PÅ G x .

For eksempel, hvis x ≈ 2,3 ( 0,1), derefter 2,2 < x < 2,4 .

Tværtimod, hvis 7,3 < x < 7,4 , derefter x ≈ 7,35 ( 0,05).

Absolut eller grænse absolut fejl ikke karakterisere kvaliteten af ​​målingen. Den samme absolutte fejl kan betragtes som væsentlig og ubetydelig, afhængig af det tal, der udtrykker den målte værdi.

For eksempel, hvis vi måler afstanden mellem to byer med en nøjagtighed på en kilometer, så er en sådan nøjagtighed ganske tilstrækkelig til denne måling, mens på samme tid, når man måler afstanden mellem to huse på samme gade, vil en sådan nøjagtighed være uacceptabel .

Derfor afhænger nøjagtigheden af ​​den omtrentlige værdi af en mængde ikke kun af størrelsen af ​​den absolutte fejl, men også af værdien af ​​den målte mængde. Derfor målet for nøjagtighed er den relative fejl.

Relativ fejl er forholdet mellem den absolutte fejl og værdien af ​​det omtrentlige tal. Forholdet mellem den absolutte grænsefejl og det omtrentlige tal kaldes grænse relativ fejl; benævn det sådan her: Δ a/a . Relative og grænserelative fejl udtrykkes normalt i procenter.

For eksempel hvis målinger viser, at afstanden mellem to punkter er større end 12,3 km, men mindre 12,7 km, derefter for omtrentlig dens betydning er accepteret gennemsnit disse to tal, dvs. dem halv sum, derefter grænse den absolutte fejl er semi-forskel disse tal. I dette tilfælde x ≈ 12,5 ( 0,2). Her er grænsen absolut fejlen er 0,2 km, og grænsen i forhold:

Absolutte og relative fejl

Absolut målefejl kaldet værdien bestemt af forskellen mellem måleresultatet x og den sande værdi af den målte mængde x 0:

Δ x = |x – x 0 |.

Værdien δ, lig med forholdet mellem den absolutte målefejl og måleresultatet, kaldes den relative fejl:

Eksempel 2.1. Den omtrentlige værdi af tallet π er 3,14. Så er dens fejl lig med 0,00159…. Den absolutte fejl kan betragtes som lig med 0,0016, og den relative fejl lig med 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Betydelige tal. Hvis den absolutte fejl af værdien a ikke overstiger en enhed af det sidste ciffer i tallet a, så siger de, at tallet har alle fortegn korrekte. Omtrentlige tal skal skrives ned, idet kun de korrekte tegn skal opbevares. Hvis f.eks. den absolutte fejl af tallet 52 400 er 100, skal dette tal f.eks. skrives i formen 524 10 2 eller 0,524 10 5. Du kan estimere fejlen for et omtrentligt tal ved at angive, hvor mange ægte signifikante cifre, den indeholder. Ved optælling af signifikante cifre tælles nuller på venstre side af tallet ikke.

For eksempel har 0,0283 tre gyldige signifikante cifre, og 2,5400 har fem gyldige signifikante cifre.

Nummerafrundingsregler. Hvis det omtrentlige tal indeholder ekstra (eller forkerte) tegn, skal det afrundes. Ved afrunding opstår der en yderligere fejl, der ikke overstiger halvdelen af ​​enheden af ​​det sidste signifikante ciffer ( d) afrundet tal. Ved afrunding er kun korrekte tegn bevaret; ekstra tegn kasseres, og hvis det første kasserede ciffer er større end eller lig med d/2, så øges det sidst gemte ciffer med én.

Ekstra cifre i heltal erstattes af nuller, og i decimalbrøker kasseres de (såvel som ekstra nuller). For eksempel, hvis målefejlen er 0,001 mm, rundes resultatet 1,07005 op til 1,070. Hvis det første af de nul-modificerede og kasserede cifre er mindre end 5, ændres de resterende cifre ikke. Eksempelvis har tallet 148.935 med en målepræcision på 50 en afrunding på 148.900. Hvis det første ciffer, der skal erstattes med nuller eller kasseres, er 5, og det efterfølges af ingen cifre eller nuller, afrundes der til nærmeste lige nummer. For eksempel rundes tallet 123,50 op til 124. Hvis det første ciffer, der skal erstattes med nuller eller kasseres, er større end 5 eller lig med 5, men efterfulgt af et signifikant ciffer, så øges det sidste resterende ciffer med et. For eksempel rundes tallet 6783.6 op til 6784.

Eksempel 2.2. Ved afrunding af tallet 1284 til 1300 er den absolutte fejl 1300 - 1284 = 16, og ved afrunding til 1280 er den absolutte fejl 1280 - 1284 = 4.

Eksempel 2.3. Ved afrunding af tallet 197 til 200 er den absolutte fejl 200 - 197 = 3. Den relative fejl er 3/197 ≈ 0,01523 eller cirka 3/200 ≈ 1,5%.

Eksempel 2.4. Sælgeren vejer vandmelonen på en vægt. I vægtsættet er den mindste 50 g. Vejningen gav 3600 g. Dette tal er omtrentligt. Den nøjagtige vægt af vandmelonen er ukendt. Men den absolutte fejl overstiger ikke 50 g. Den relative fejl overstiger ikke 50/3600 = 1,4%.

Fejl ved løsning af problemet på PC

Tre typer fejl betragtes normalt som de vigtigste fejlkilder. Disse er de såkaldte trunkeringsfejl, afrundingsfejl og udbredelsesfejl. For eksempel, når man bruger iterative metoder til at finde rødderne til ikke-lineære ligninger, er resultaterne omtrentlige, i modsætning til direkte metoder, der giver en nøjagtig løsning.

Trunkeringsfejl

Denne type fejl er forbundet med fejlen i selve problemet. Det kan skyldes unøjagtighed i definitionen af ​​de oprindelige data. For eksempel, hvis nogen dimensioner er angivet i problemets tilstand, så er disse dimensioner i praksis for rigtige genstande altid kendt med en vis nøjagtighed. Det samme gælder for andre fysiske parametre. Dette inkluderer også unøjagtigheden af ​​beregningsformlerne og de numeriske koefficienter, der er inkluderet i dem.

Udbredelsesfejl

Denne type fejl er forbundet med brugen af ​​en eller anden metode til at løse problemet. I løbet af beregninger sker der uundgåeligt en akkumulering eller med andre ord fejludbredelse. Udover at de originale data i sig selv ikke er nøjagtige, opstår der en ny fejl, når de multipliceres, adderes osv. Fejlens akkumulering afhænger af arten og antallet af regneoperationer, der anvendes i beregningen.

Afrundingsfejl

Denne type fejl skyldes, at den sande værdi af et tal ikke altid er nøjagtigt lagret af computeren. Når et reelt tal er gemt i computerens hukommelse, skrives det som en mantisse og eksponent på nogenlunde samme måde, som et tal vises på en lommeregner.

Sakhalin-regionen

"Erhvervsskole nr. 13"

Metodiske instruktioner til selvstændigt arbejde af studerende

Aleksandrovsk-Sakhalinsky

Tilnærmede værdier af mængder og tilnærmelsesfejl: Metode spec. / Komp.

GBOU NPO "Vocational School No. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

Metodiske instruktioner er beregnet til studerende fra alle professioner, der studerer matematikkurset

Formand for MK

Tilnærmet værdi af mængde og tilnærmelsesfejl.

I praksis kender vi næsten aldrig de nøjagtige værdier af mængderne. Ingen vægt, uanset hvor nøjagtig den er, viser vægten nøjagtigt; ethvert termometer viser temperaturen med en eller anden fejl; intet amperemeter kan give nøjagtige aflæsninger af strøm osv. Derudover er vores øje ikke i stand til at aflæse aflæsningerne af måleinstrumenter helt korrekt. Derfor, i stedet for at beskæftige os med de sande værdier af mængder, er vi tvunget til at operere med deres omtrentlige værdier.

Det faktum, at en" er den omtrentlige værdi af tallet -en , er skrevet som følger:

a ≈ a" .

Hvis en en" er en omtrentlig værdi af mængden -en , så forskellen Δ = a-a" hedder tilnærmelsesfejl*.

* Δ - græsk bogstav; læs: delta. Dernæst kommer endnu et græsk bogstav ε (læs: epsilon).

For eksempel, hvis tallet 3.756 erstattes af dets omtrentlige værdi på 3.7, vil fejlen være lig med: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Hvis vi tager 3,8 som en omtrentlig værdi, vil fejlen være lig med: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

I praksis bruges tilnærmelsesfejlen oftest Δ , og den absolutte værdi af denne fejl | Δ |. I det følgende vil vi blot henvise til denne absolutte værdi af fejlen som absolut fejl. Det anses for, at en tilnærmelse er bedre end en anden, hvis den absolutte fejl i den første tilnærmelse er mindre end den absolutte fejl i den anden tilnærmelse. For eksempel er tilnærmelsen 3,8 for tallet 3,756 bedre end tilnærmelsen 3,7, fordi for den første tilnærmelse
|Δ | = | - 0,044| =0,044, og for den anden | Δ | = |0,056| = 0,056.

Nummer en" -en op tilε , hvis den absolutte fejl i denne tilnærmelse er mindre endε :

|a-a" | < ε .

For eksempel er 3,6 en tilnærmelse af 3,671 til inden for 0,1, fordi |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Ligeledes kan -3/2 opfattes som en tilnærmelse af -8/5 til inden for 1/5, da

< -en , derefter en" kaldes den omtrentlige værdi af tallet -en med en ulempe.

Hvis en" > -en , derefter en" kaldes den omtrentlige værdi af tallet -en i overskud.

For eksempel er 3,6 en omtrentlig værdi på 3,671 med en ulempe, da 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Hvis vi i stedet for tal -en og b lægge deres omtrentlige værdier sammen en" og b" , så resultatet a" + b" vil være en omtrentlig værdi af summen a + b . Spørgsmålet opstår: hvordan estimerer man nøjagtigheden af ​​dette resultat, hvis nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen af ​​hvert udtryk er kendt? Løsningen af ​​dette og lignende problemer er baseret på følgende egenskab af den absolutte værdi:

|a + b | < |-en | + |b |.

Den absolutte værdi af summen af ​​to tal overstiger ikke summen af ​​deres absolutte værdier.

Fejl

Forskellen mellem det nøjagtige tal x og dets omtrentlige værdi a kaldes fejlen for dette omtrentlige tal. Hvis det vides, at | | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Forholdet mellem den absolutte fejl og modulet af den omtrentlige værdi kaldes den relative fejl af den omtrentlige værdi. Den relative fejl udtrykkes normalt som en procentdel.

Eksempel. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Virkelig,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Øvelser til selvstændigt arbejde.

1. Med hvilken nøjagtighed kan længder måles med en almindelig lineal?

2. Hvor nøjagtigt er uret?

3. Ved du med hvilken nøjagtighed kropsvægt kan måles på moderne elektriske vægte?

4. a) Hvad er grænserne for antallet -en , hvis dens omtrentlige værdi inden for 0,01 er lig med 0,99?

b) Hvad er grænserne for antallet -en , hvis dens mangelfulde omtrentlige værdi inden for 0,01 er 0,99?

c) Hvad er rækkevidden af ​​tallet? -en , hvis dens omtrentlige værdi med et overskud inden for 0,01 er 0,99?

5 . Hvad er det omtrentlige antal π ≈ 3,1415 er bedre: 3,1 eller 3,2?

6. Kan den omtrentlige værdi af et bestemt tal med en nøjagtighed på 0,01 betragtes som en omtrentlig værdi af det samme tal med en nøjagtighed på 0,1? Og omvendt?

7. På tallinjen, positionen af ​​punktet svarende til tallet -en . Peg på denne linje:

a) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til de omtrentlige værdier af tallet -en med en ulempe med en nøjagtighed på 0,1;

b) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til tallets omtrentlige værdier -en i overskud med en nøjagtighed på 0,1;

c) placeringen af ​​alle punkter, der svarer til tallets omtrentlige værdier -en med en nøjagtighed på 0,1.

8. I hvilket tilfælde er den absolutte værdi af summen af ​​to tal:

a) mindre end summen af ​​de absolutte værdier af disse tal;

b) er lig med summen af ​​de absolutte værdier af disse tal?

9. Bevis ulighederne:

a) | a-b | < |-en| + |b |; b)* | a - b | > ||-en | - | b ||.

Hvornår optræder lighedstegnet i disse formler?

Litteratur:

1. Sko (grundniveau) 10-11 celler. - M., 2012

2. Bashmakov, 10 celler. Samling af opgaver. - M: Publishing Center "Academy", 2008

3., Mordkovich: Referencematerialer: Bog for studerende.-2. udg.-M.: Enlightenment, 1990

4. Encyklopædisk ordbog over en ung matematiker / Comp. .-M.: Pædagogik, 1989

Nøjagtige og omtrentlige værdier af mængder

I de fleste tilfælde er numeriske data i problemer omtrentlige. Under betingelserne for opgaver stødte nøjagtige værdier også på, for eksempel resultaterne af at tælle et lille antal objekter, nogle konstanter osv.

For at angive den omtrentlige værdi af et tal, brug tegnet for omtrentlig lighed; læses således: "ca. ens" (skal ikke læses: "ca. ens").

At finde ud af arten af ​​numeriske data er et vigtigt forberedende skridt til at løse ethvert problem.

Følgende retningslinjer kan hjælpe dig med at genkende de nøjagtige og omtrentlige værdier af tal:

Præcise værdier	Tilnærmede værdier
1. Værdierne af en række konverteringsfaktorer for overgangen fra en måleenhed til en anden (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Mange omregningsfaktorer er blevet målt og beregnet med så høj (metrologisk) nøjagtighed, at praktisk talt de anses nu for at være nøjagtige.	1. De fleste af værdierne for matematiske størrelser specificeret i tabellerne (rødder, logaritmer, værdier af trigonometriske funktioner samt værdien af ​​antallet og basis af naturlige logaritmer brugt i praksis (antal) e))
2. Skalafaktorer. Hvis man for eksempel ved, at skalaen er 1:10000, så anses tallene 1 og 10000 for at være nøjagtige. Hvis det er angivet, at der er 4 m på 1 cm, så er 1 og 4 de nøjagtige længder	2. Måleresultater. (Nogle grundlæggende konstanter: lysets hastighed i et vakuum, gravitationskonstanten, ladningen og massen af ​​en elektron osv.) Tabelværdier af fysiske størrelser (tæthed af et stof, smelte- og kogepunkter osv.)
3. Takster og priser. (prisen på 1 kWh elektricitet er den nøjagtige værdi af prisen)	3. Designdata er også omtrentlige, fordi de er sat med nogle afvigelser, som er normaliseret af GOST'er. (For eksempel, i henhold til standarden, murstensdimensioner: længde 250 6 mm, bredde 120 4 mm, tykkelse 65 3 mm) Den samme gruppe af omtrentlige tal inkluderer dimensioner taget fra tegningen
4. Betingede værdier af mængder (Eksempler: absolut nultemperatur -273,15 C, normalt atmosfærisk tryk 101325 Pa)
5. Koefficienter og eksponenter fundet i fysiske og matematiske formler (;%; osv.).
6. Vareoptællingsresultater (antal batterier i batteriet; antal mælkekartoner produceret af fabrikken og optalt af den fotoelektriske tæller)
7. Givet værdier af mængder (f.eks. i opgaven "Find svingningsperioderne for penduler 1 og 4 m lange", kan tallene 1 og 4 betragtes som de nøjagtige værdier af længden af pendulet)

Komplet følgende opgaver, skriv svaret i form af en tabel:

1. Angiv hvilke af de givne værdier der er nøjagtige, som er omtrentlige:

1) Densitet af vand (4 C)………..………………………..……………1000kg/m 3

2) Lydens hastighed (0 С)………………………………………………………………….332 m/s

3) Luftens specifik varmekapacitet….………………………………………1,0 kJ/(kg∙K)

4) Vands kogepunkt ………………….……………………………………….100 C

5) Avogadros konstant….………………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1

6) Relativ atommasse af oxygen…………………………………………..16

2. Find nøjagtige og omtrentlige værdier under betingelserne for følgende opgaver:

1) I en dampmaskine oplever en bronzespole, hvis længde og bredde er henholdsvis 200 og 120 mm, et tryk på 12 MPa. Find den kraft, der kræves for at flytte spolen over cylinderens støbejernsoverflade. Friktionskoefficienten er 0,10.

2) Bestem modstanden af ​​glødetråden i den elektriske lampe i henhold til følgende markeringsdata: "220V, 60 W".

3. Hvilke svar - nøjagtige eller omtrentlige - får vi, når vi løser følgende problemer?

1) Hvad er hastigheden af ​​et frit faldende legeme i slutningen af ​​det 15. sekund, i betragtning af det præcise angivne tidsinterval?

2) Hvad er hastigheden af ​​remskiven, hvis dens diameter er 300 mm, rotationshastigheden er 10 rpm? Dataene anses for at være nøjagtige.

3) Bestem kraftmodulet. Skala 1 cm - 50N.

4) Bestem den statiske friktionskoefficient for et legeme placeret på et skråplan, hvis kroppen begynder at glide ensartet langs hældningen ved = 0,675, hvor er hældningsvinklen for planet.

KOMMUNAL UDDANNELSESINSTITUTION

"KURLEK gymnasium"

Tomsk-regionen
"Matematik

i videnskab og liv"

"Lektion  seminar" om emnet:

"Omtrentlig værdier"
(Om den anvendte orientering af det absolutte og det relative fejl )
Algebra klasse 7

Matematiklærer:

Serebrennikova Vera Alexandrovna

Kurlek - 2006

"Matematik i videnskab og liv"
"Matematikkens sprog er

det er videnskabens universelle sprog"
Emne: Omtrentlige værdier af mængder.(Generaliseringslektion - seminar)

Mål: 1. Opsummer elevernes viden om dette emne under hensyntagen til den anvendte orientering (i fysik, arbejdsuddannelse);

2. Evne til at arbejde i grupper og deltage i oplæg

Udstyr: 2 linealer med opdelinger på 0,1 cm og 1 cm, termometer, vægt, uddelingsark (ark, karbonpapir, kort)
Åbningsord og introduktion af workshopdeltagerne(lærer)

Overvej et af de vigtige spørgsmål - omtrentlige beregninger. Et par ord om dens betydning.

Når man løser praktiske problemer, er man ofte nødt til at forholde sig til omtrentlige værdier af forskellige mængder.

Lad mig minde dig om, i hvilke tilfælde omtrentlige værdier er opnået:

1. 
   når man tæller et stort antal genstande;
2. 
   ved måling med instrumenter af forskellige størrelser (længde, masse, temperatur);
3. 
   ved afrunding af tal.

Lad os diskutere spørgsmålet: « Når målekvaliteten, vil beregningen være højere ».

Deltagerne i seminaret i dag vil være 3 grupper: matematikere, fysikere og repræsentanter for produktionen (praksis).

(De repræsenterer "senior" grupperne, giv deres efternavn).

Seminarets arbejde vil blive evalueret af gæster og en kompetent jury fra offentligheden, hvor der er "matematikere", "fysikere" og "praktikere".

Arbejdet i grupper og individuelle deltagere vil blive evalueret med point.
Arbejdsplan(På bordet)

1. Forestillinger

2. Selvstændigt arbejde

3. Quiz

4. Resultater
. Forestillinger.

1. 
   Et mål til at vurdere afvigelsen af ​​en omtrentlig værdi fra en nøjagtig

er de absolutte og relative fejl. Overvej deres definitioner mht anvendt orientering.
2
Den absolutte fejl viser hvor meget

den omtrentlige værdi afviger fra den nøjagtige, dvs. tilnærmelsesnøjagtighed.

Den relative fejl vurderer kvaliteten af ​​målingen og

udtrykt i procent.

Hvis x ≈ α, hvor x er den nøjagtige værdi, og α er en omtrentlig en, så vil den absolutte fejl være: │х - α │, og relativ: │х - α │∕ │α│%

Eksempler:

1 . Lad os finde de absolutte og relative fejl af den omtrentlige værdi opnået ved at afrunde tallet 0,437 til tiendedele.

Absolut fejl: │0,437 - 0,4 │= │0,037│= 0,037

Relativ fejl: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25 %

1. 
   Lad os finde den omtrentlige værdi fra grafen for funktionen y \u003d x 2

fungerer ved x = 1,6

Hvis x = 1,6, så er y ≈ 2,5

Lad os finde den nøjagtige værdi af y med formlen y \u003d x 2: y \u003d 1,6 2 \u003d 2,56;

Absolut fejl: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

Relativ fejl: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

Hvis vi sammenligner de to resultater af den relative fejl på 9,25% og

2,4%, så i det andet tilfælde vil kvaliteten af ​​beregningen være højere, resultatet vil være mere nøjagtigt.
Hvad bestemmer nøjagtigheden af ​​en omtrentlig værdi?

Det afhænger af mange årsager. Hvis der opnås en omtrentlig værdi under målingen, afhænger dens nøjagtighed af det instrument, som målingen blev udført med. Ingen måling kan foretages helt nøjagtig. Selv foranstaltningerne indeholder fejl. Det er ekstremt svært at lave helt nøjagtige meterlinealer, en kilogramvægt, et literkrus, og loven tillader nogle fejl i fremstillingen.

For eksempel er en fejl på 1 mm tilladt ved fremstilling af en meterlineal. Selve målingen introducerer også unøjagtighed, en fejl i vægte, skalaer. For eksempel på linealen, som vi bruger, markeres inddelinger for hver 1 mm, dvs. 0,1 cm, betyder, at målenøjagtigheden af ​​denne lineal er op til 0,1 (≤ 0,1). På et medicinsk termometer betyder division gennem 0,1 0 nøjagtighed op til 0,1 (≤ 0,1). På vægten er inddelinger markeret efter 200g, hvilket betyder, at nøjagtigheden er op til 200 (≤ 200).

Når en decimal afrundes til tiendedele, vil nøjagtigheden være op til 0,1 (≤ 0,1); til hundrededele - nøjagtighed op til 0,01 (≤ 0,01).

De mest nøjagtige målinger i verden foretages i instituttets laboratorier

Er det altid muligt at finde absolutte og relative fejl?

Ikke altid du kan finde den absolutte fejl, da den ikke er kendt

den nøjagtige værdi af mængden, og dermed den relative fejl.

I dette tilfælde er det generelt accepteret, at den absolutte fejl ikke overstiger divisionsværdien af ​​instrumentskalaen. De der. hvis linealens divisionspris for eksempel er 1 mm = 0,1 cm, så vil den absolutte fejl være nøjagtig til 0,1 (≤ 0,1), og kun estimatet af den relative fejl vil blive bestemt (dvs. ≤ hvilket tal %).

Det ser vi ofte i fysikken. ved demonstration af forsøg, ved udførelse af laboratoriearbejde.

En opgave. Lad os finde den relative fejl, når vi måler længden af ​​et ark af en notesbog med linealer: en - med en nøjagtighed på 0,1 cm (dividende gennem 0,1 cm); den anden - med en nøjagtighed på 1 cm (opdelinger gennem 1 cm).

ℓ 1 = 20,4 cm ℓ 2 = 20,2 cm

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%

De siger, at den relative fejl i det første tilfælde er op til 0,49% (dvs. ≤ 0,49%), i det andet tilfælde op til 4,95% (dvs. ≤ 4,95%).

I det første tilfælde er målenøjagtigheden højere. Vi taler ikke om størrelse.

relativ fejl, men dens skøn.

I produktion i fremstillingen af ​​dele, vi bruger

skydelære (til måling af dybde; diameter: ydre og indre).

Absolut fejl når den måles med denne enhed, er den nøjagtig til 0,1 mm. Lad os finde relativ fejlvurdering ved måling med en skydelære:

d=9,86cm=98,6mm

0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Relativ fejl nøjagtig til inden for 0,1 % (dvs. ≤ 0,1 %).

Sammenlignet med de to foregående målinger er målenøjagtigheden højere.

Ud fra tre praktiske eksempler kan vi konkludere: at der ikke kan være nogen nøjagtige værdier, der foretager målinger under normale forhold.

Men for at udføre målingen mere nøjagtigt, skal du tage en måleenhed, hvis divisionsværdi er så lille som muligt.

4
. Selvstændigt arbejde med muligheder, efterfulgt af verifikation(under tegningen).

Mulighed 1	Mulighed 2
1. Tegn grafen for funktionen y \u003d x 3	1. Tegn grafen for funktionen y \u003d x 2
hvis x = 1,5, så er y ≈ hvis x = -0,5, så er y ≈ b) y = 4 ved x ≈	Brug grafen til at fuldføre optagelsen: hvis x = 2,5, så er y ≈ hvis x = -1,5, så er y ≈ b) y = 5 ved x ≈
2. Afrund tallet 0,356 til tiendedele og find: a) absolut fejl tilnærmelser; b) relativ fejl tilnærmelse	2. Afrund tallet 0,188 til tiendedele og find: a) absolut fejl tilnærmelser; b) relativ fejl tilnærmelse

(Juryen kontrollerer uafhængige værker)

. Quiz.(For hvert korrekt svar - 1 point)

I hvilke eksempler er værdierne af mængderne nøjagtige, og i hvilke er de omtrentlige?

Eksempler:

1. Der er 36 elever i klassen

2. Der er 1000 indbyggere i arbejderbopladsen

3. Jernbaneskinnen er 50m lang

4. Arbejderen modtog 10 tusind rubler ved kassen

5. Yak-flyet har 40.120 passagersæder

6. Afstanden mellem Moskva og St. Petersborg er 650 km

7. Der er 30.000 kerner i et kilogram hvede.

8. Afstand fra Jorden til Solen 1,5 ∙ 10 8 km

9. En af skoleeleverne, da de blev spurgt, hvor mange elever der studerer på skolen, svarede: "1000", og den anden svarede "950". Hvis svar er mere præcist, hvis skolen har 986 elever?

10. Et brød vejer 1 kg og koster 2500 rubler.

11. En notesbog med 12 ark koster 600 rubler. og har en tykkelse på 3 mm

v. Opsummering, præmiering

Tilnærmede beregninger ved hjælp af differentialet

I denne lektion vil vi se på et almindeligt problem om den omtrentlige beregning af værdien af ​​en funktion ved hjælp af en differential. Her og nedenfor vil vi tale om førsteordens differentialer, for kortheds skyld vil jeg ofte blot sige "differentiel". Problemet med omtrentlige beregninger ved hjælp af en differential har en stiv løsningsalgoritme, og derfor bør der ikke være særlige vanskeligheder. Det eneste er, at der er små faldgruber, som også bliver ryddet op. Så dyk gerne med hovedet først.

Derudover indeholder siden formler til at finde de absolutte og relative regnefejl. Materialet er meget nyttigt, da fejl også skal beregnes i andre opgaver. Fysikere, hvor er jeres bifald? =)

For at kunne mestre eksemplerne skal du være i stand til at finde afledte funktioner i det mindste på et gennemsnitligt niveau, så hvis differentieringen er helt forkert, start venligst med lektionen Hvordan finder man derivatet? Jeg anbefaler også at læse artiklen De enkleste problemer med et derivat, nemlig paragrafferne om at finde den afledede på et punkt og finde differentialet på et punkt. Af de tekniske midler skal du bruge en mikroberegner med forskellige matematiske funktioner. Du kan bruge Excel, men i dette tilfælde er det mindre praktisk.

Workshoppen består af to dele:

– Tilnærmede beregninger ved hjælp af differentialet af en funktion af en variabel.

– Tilnærmede beregninger ved hjælp af den samlede differential af en funktion af to variable.

Hvem har brug for hvad. Faktisk var det muligt at opdele rigdom i to dynger, af den grund, at det andet punkt refererer til anvendelser af funktioner af flere variable. Men hvad kan jeg gøre, jeg elsker lange artikler.

Tilnærmede beregninger
ved at bruge differentialet af en funktion af en variabel

Den pågældende opgave og dens geometriske betydning er allerede blevet gennemgået i lektionen Hvad er en afledt? , og nu vil vi begrænse os til en formel overvejelse af eksempler, som er ganske nok til at lære at løse dem.

I første afsnit hersker funktionen af ​​én variabel. Som alle ved, er det betegnet gennem eller gennem. Til dette problem er det meget mere praktisk at bruge den anden notation. Lad os gå videre til et populært eksempel, der ofte forekommer i praksis:

Eksempel 1

Løsning: Kopier venligst arbejdsformlen i din notesbog for omtrentlig beregning ved hjælp af differential:

Lad os komme i gang, det er nemt!

Det første skridt er at oprette en funktion. Ved betingelse foreslås det at beregne terningroden af ​​tallet: , så den tilsvarende funktion har formen: . Vi skal bruge formlen til at finde en omtrentlig værdi.

Vi kigger på venstre side formler, og den tanke kommer til at tænke på, at tallet 67 skal repræsenteres som . Hvad er den nemmeste måde at gøre dette på? Jeg anbefaler følgende algoritme: beregn denne værdi på en lommeregner:
- det blev 4 med en hale, dette er en vigtig rettesnor for løsningen.

Når vi vælger den "gode" værdi, at udtrække roden. Naturligvis bør denne værdi være så tæt på som muligt til 67. I dette tilfælde:. Virkelig:.

Bemærk: Når monteringen stadig er et problem, skal du blot se på den beregnede værdi (i dette tilfælde ), tag den nærmeste heltalsdel (i dette tilfælde 4) og hæv den til den ønskede styrke (i dette tilfælde ). Som et resultat vil det ønskede valg blive foretaget: .

Hvis , så stiger argumentet: .

Så tallet 67 er repræsenteret som en sum

Først beregner vi værdien af ​​funktionen ved punktet . Faktisk er dette allerede blevet gjort før:

Differentialet i et punkt findes ved formlen:
Du kan også kopiere i din notesbog.

Fra formlen følger det, at du skal tage den første afledte:

Og find dens værdi på det punkt:

På denne måde:

Alt er klar! Ifølge formlen:

Den fundne omtrentlige værdi er tæt nok på værdien beregnes ved hjælp af en mikroberegner.

Svar:

Eksempel 2

Beregn tilnærmelsesvis , og erstatte intervallerne af funktionen med dens differentiale.

Dette er et gør-det-selv eksempel. Et groft eksempel på efterbehandling og et svar i slutningen af ​​lektionen. For begyndere anbefaler jeg, at du først beregner den nøjagtige værdi på en mikroberegner for at finde ud af, hvilket tal du skal tage for og hvilket for. Det skal bemærkes, at i dette eksempel vil være negativ.

Nogle har måske et spørgsmål, hvorfor er denne opgave nødvendig, hvis du kan beregne alt roligt og mere præcist på en lommeregner? Jeg er enig, opgaven er dum og naiv. Men jeg vil prøve at retfærdiggøre det lidt. Først illustrerer opgaven betydningen af ​​funktionen differential. For det andet, i oldtiden, var lommeregneren noget som en personlig helikopter i vores tid. Jeg så selv, hvordan en computer på størrelse med et værelse blev smidt ud af det lokale polytekniske institut et sted i 1985-86 (radioamatører med skruetrækkere kom løbende fra hele byen, og efter et par timer var kun sagen tilbage fra enheden ). Antikviteter blev også fundet i vores fysikafdeling, dog i en mindre størrelse - et sted på størrelse med en skolebord. Sådan led vores forfædre med metoder til omtrentlige beregninger. En hestevogn er også et transportmiddel.

På en eller anden måde forblev problemet i standardforløbet for højere matematik, og det skal løses. Dette er hovedsvaret på dit spørgsmål =)

Eksempel 3

på punktet. Beregn en mere nøjagtig værdi af funktionen på et punkt ved hjælp af en mikroberegner, evaluer de absolutte og relative regnefejl.

Faktisk samme opgave, den kan nemt omformuleres som følger: “Beregn den omtrentlige værdi med en differential

Løsning: Vi bruger den velkendte formel:
I dette tilfælde er en færdiglavet funktion allerede givet: . Endnu en gang gør jeg opmærksom på, at det er mere bekvemt at bruge i stedet for "spil" til at udpege en funktion.

Værdien skal repræsenteres som . Nå, det er nemmere her, vi ser, at tallet 1,97 er meget tæt på "to", så det tyder på sig selv. Og derfor: .

Ved hjælp af formlen , beregner vi differensen på samme punkt.

Sådan finder du den første afledte:

Og dens værdi ved prikken:

Således er forskellen på punktet:

Som et resultat, ifølge formlen:

Anden del af opgaven er at finde den absolutte og relative fejl i beregningerne.

Absolutte og relative fejl i beregninger

Absolut regnefejl findes efter formlen:

Modulo-tegnet viser, at vi er ligeglade med, hvilken værdi der er større, og hvilken der er mindre. Vigtig, hvor langt det omtrentlige resultat afveg fra den nøjagtige værdi i den ene eller anden retning.

Relativ regnefejl findes efter formlen:
, eller det samme:

Den relative fejl viser med hvilken procentdel det omtrentlige resultat afveg fra den nøjagtige værdi. Der findes en version af formlen uden at gange med 100 %, men i praksis ser jeg næsten altid ovenstående version med procenter.

Efter en kort baggrund vender vi tilbage til vores problemstilling, hvor vi har beregnet funktionens omtrentlige værdi ved hjælp af en differential.

Lad os beregne den nøjagtige værdi af funktionen ved hjælp af en mikroberegner:
, strengt taget er værdien stadig omtrentlig, men vi vil overveje den nøjagtig. Sådanne opgaver forekommer.

Lad os beregne den absolutte fejl:

Lad os beregne den relative fejl:
, tusindedele af en procent opnås, så differentialet gav kun en stor tilnærmelse.

Svar: , absolut regnefejl , relativ regnefejl

Følgende eksempel er for en selvstændig løsning:

Eksempel 4

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af differentialet værdien af ​​funktionen på punktet. Beregn en mere nøjagtig værdi af funktionen på et givet punkt, vurder de absolutte og relative regnefejl.

Et groft eksempel på efterbehandling og et svar i slutningen af ​​lektionen.

Mange har bemærket, at der i alle de betragtede eksempler dukker rødder op. Dette er ikke tilfældigt; i de fleste tilfælde foreslås funktioner med rødder i det pågældende problem.

Men til de lidende læsere gravede jeg et lille eksempel op med arcsine:

Eksempel 5

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af differentialet værdien af ​​funktionen på punktet

Dette korte, men informative eksempel er også til uafhængig beslutning. Og jeg hvilede mig lidt for at overveje en særlig opgave med fornyet kraft:

Eksempel 6

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af differentialet, afrund resultatet til to decimaler.

Løsning: Hvad er nyt i opgaven? Af betingelse er det påkrævet at afrunde resultatet til to decimaler. Men det er ikke meningen, skoleafrundingsproblemet, tror jeg, er ikke svært for dig. Pointen er, at vi har en tangent med et argument, der er udtrykt i grader. Hvad skal man gøre, når man bliver bedt om at løse en trigonometrisk funktion med grader? Fx osv.

Løsningsalgoritmen er grundlæggende bevaret, det vil sige, det er nødvendigt, som i de foregående eksempler, at anvende formlen

Skriv den åbenlyse funktion ned

Værdien skal repræsenteres som . Seriøs hjælp vil tabel over værdier af trigonometriske funktioner. Forresten, hvis du ikke har printet det, anbefaler jeg at gøre det, da du skal kigge der igennem hele forløbet med at læse videregående matematik.

Ved at analysere tabellen bemærker vi en "god" værdi af tangenten, som er tæt på 47 grader:

På denne måde:

Efter foreløbig analyse grader skal omregnes til radianer. Ja, og kun det!

I dette eksempel, direkte fra den trigonometriske tabel, kan du finde ud af det. Formlen for at konvertere grader til radianer er: (formler kan findes i samme tabel).

Yderligere skabelon:

På denne måde: (i beregninger bruger vi værdien ). Resultatet, som krævet af betingelsen, afrundes til to decimaler.

Svar:

Eksempel 7

Beregn tilnærmelsesvis ved hjælp af differentialet, afrund resultatet til tre decimaler.

Dette er et gør-det-selv eksempel. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Som du kan se, intet kompliceret, vi oversætter graderne til radianer og overholder den sædvanlige løsningsalgoritme.

Tilnærmede beregninger
ved at bruge den samlede differential af en funktion af to variable

Alt vil være meget, meget ens, så hvis du kom til denne side med denne særlige opgave, så anbefaler jeg først at se på i det mindste et par eksempler fra det foregående afsnit.

For at studere et afsnit skal du være i stand til at finde anden ordens partielle derivater, hvor uden dem. I ovenstående lektion betegnede jeg funktionen af ​​to variable med bogstavet . Med hensyn til den pågældende opgave er det mere bekvemt at bruge den tilsvarende notation.

Som det er tilfældet med en funktion af én variabel, kan problemets tilstand formuleres på forskellige måder, og jeg vil forsøge at overveje alle de formuleringer, man støder på.

Eksempel 8

Løsning: Uanset hvordan betingelsen er skrevet, i selve løsningen for at udpege funktionen, gentager jeg, det er bedre at bruge ikke bogstavet "Z", men.

Og her er arbejdsformlen:

Foran os er faktisk den ældre søster af formlen i det foregående afsnit. Variablen er lige blevet større. Hvad kan jeg selv sige løsningsalgoritmen vil grundlæggende være den samme!

Ved betingelse er det nødvendigt at finde den omtrentlige værdi af funktionen ved punktet .

Lad os repræsentere tallet 3,04 som . Bollen selv beder om at blive spist:
,

Lad os repræsentere tallet 3,95 som . Turen er kommet til anden halvdel af Kolobok:
,

Og se ikke på alle mulige rævetricks, der er en Gingerbread Man - du skal spise den.

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved punktet:

Differentialet af en funktion i et punkt findes ved formlen:

Af formlen følger det, at du skal finde partielle derivater af første orden og beregn deres værdier ved punktet .

Lad os beregne de partielle afledte af første orden ved punktet:

Samlet forskel på punktet:

Således, ifølge formlen, den omtrentlige værdi af funktionen ved punktet:

Lad os beregne den nøjagtige værdi af funktionen ved punktet:

Denne værdi er helt korrekt.

Fejl beregnes ved hjælp af standardformler, som allerede er blevet diskuteret i denne artikel.

Absolut fejl:

Relativ fejl:

Svar:, absolut fejl: , relativ fejl:

Eksempel 9

Beregn den omtrentlige værdi af en funktion på et tidspunkt ved hjælp af en fuld differens, evaluer den absolutte og relative fejl.

Dette er et gør-det-selv eksempel. Den, der dvæler mere detaljeret ved dette eksempel, vil være opmærksom på, at regnefejlene viste sig at være meget, meget mærkbare. Dette skete af følgende årsag: i det foreslåede problem er stigningerne i argumenterne store nok: . Det generelle mønster er som følger - jo større disse trin i absolut værdi er, jo lavere er nøjagtigheden af ​​beregningerne. Så for eksempel for et lignende punkt vil stigningerne være små: , og nøjagtigheden af ​​omtrentlige beregninger vil være meget høj.

Denne funktion er også gyldig i tilfælde af en funktion af en variabel (den første del af lektionen).

Eksempel 10

Løsning: Vi beregner dette udtryk tilnærmelsesvis ved at bruge den totale differential af en funktion af to variable:

Forskellen fra eksempel 8-9 er, at vi først skal sammensætte en funktion af to variable: . Hvordan funktionen er sammensat, tror jeg, er intuitivt klart for enhver.

Værdien 4,9973 er ​​tæt på "fem", derfor: , .
Værdien af ​​0,9919 er tæt på "én", derfor antager vi: , .

Lad os beregne værdien af ​​funktionen ved punktet:

Vi finder differentialet i et punkt ved formlen:

For at gøre dette beregner vi de partielle afledte af første orden ved punktet .

De afledte produkter her er ikke de enkleste, og du skal være forsigtig:

;

.

Samlet forskel på punktet:

Således er den omtrentlige værdi af dette udtryk:

Lad os beregne en mere nøjagtig værdi ved hjælp af en mikroberegner: 2.998899527

Lad os finde den relative regnefejl:

Svar: ,

Bare en illustration af ovenstående, i det overvejede problem, er stigningerne i argumenterne meget små, og fejlen viste sig at være fantastisk ringe.

Eksempel 11

Beregn tilnærmelsesvis værdien af ​​dette udtryk ved hjælp af den samlede differential af en funktion af to variable. Beregn det samme udtryk ved hjælp af en mikroberegner. Estimer i procent den relative fejl i beregningerne.

Dette er et gør-det-selv eksempel. Et omtrentligt eksempel på færdiggørelse i slutningen af ​​lektionen.

Som allerede nævnt er den mest almindelige gæst i denne type opgave en slags rødder. Men fra tid til anden er der andre funktioner. Og et sidste simpelt eksempel på afslapning:

Eksempel 12

Beregn tilnærmelsesvis værdien af ​​funktionen if ved hjælp af den samlede differens af en funktion af to variable

Løsningen er tættere på bunden af ​​siden. Endnu en gang skal du være opmærksom på ordlyden af ​​lektionens opgaver, i forskellige eksempler i praksis kan formuleringen være anderledes, men dette ændrer ikke fundamentalt på essensen og algoritmen for løsningen.

For at være ærlig blev jeg lidt træt, for materialet var kedeligt. Det var ikke pædagogisk at sige i begyndelsen af ​​artiklen, men nu er det allerede muligt =) Faktisk er problemerne med beregningsmatematik normalt ikke særlig svære, ikke særlig interessante, det vigtigste er måske ikke at lave en fejl i almindelige beregninger.

Må nøglerne til din lommeregner ikke slettes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Vi bruger formlen:
I dette tilfælde: , ,

På denne måde:
Svar:

Eksempel 4: Løsning: Vi bruger formlen:
I dette tilfælde: , ,