"Hvad vi ved er begrænset, og hvad vi ikke ved er uendeligt"

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), fransk videnskabsmand

Grænseløs kærlighed, grænseløs lykke, stort rum, permafrost, grænseløst hav og endda en endeløs lektion. I hverdagen kalder vi ofte ting og fænomener uendelige, men ofte tænker vi ikke engang på den sande betydning af dette begreb. I mellemtiden, siden de ældste tider, har teologer, filosoffer og andre af menneskehedens største hjerner forsøgt at forstå dens betydning. Og kun matematikere er kommet længst i viden om det, man kalder uendelighed.

Hvad er uendelighed?

Meget af det, vi ser omkring os, opfattes af os som uendeligt, men i virkeligheden viser det sig at være ganske begrænsede ting. Sådan forklarer de nogle gange børn, hvor stor uendelighed er: "Hvis du samler et sandkorn hvert hundrede år på en kæmpe strand, så vil det tage evigheder at samle alt sandet på stranden." Men faktisk er antallet af sandkorn ikke uendeligt. Fysisk er det umuligt at tælle dem, men vi kan med sikkerhed sige, at deres antal ikke overstiger en værdi svarende til forholdet mellem jordens masse og massen af ​​et sandkorn.

Eller et andet eksempel. Mange mennesker tror, ​​at hvis man står mellem to spejle, så vil refleksionen gentage sig i begge spejle, gå i det fjerne, blive mindre og mindre, så det er umuligt at afgøre, hvor det ender. Ak, dette er ikke uendelighed. Hvad foregår der egentlig? Intet spejl reflekterer 100 % af det lys, der falder på det. Et spejl af meget høj kvalitet vil reflektere 99% af lyset, men efter 70 refleksioner vil kun 50% af lyset være tilbage, efter 140 refleksioner vil kun 25% af lyset være tilbage, og så videre indtil der er for lidt lys. Derudover er de fleste spejle buede, så de mange reflekser man ser ender rundt om hjørnet.

Lad os se, hvordan matematik behandler uendelighed. Dette er meget forskelligt fra begrebet uendelighed, som du har mødt før og kræver lidt fantasi.

Uendelighed i matematik

I matematik skelner man potentiel og opdateret uendelighed.

Når de siger, at en vis værdi er uendeligpotentielt, betyder de, at den kan øges i det uendelige, det vil sige, at der altid er en potentiel mulighed for dens stigning.

Begrebet faktisk uendelighed betyder en uendelig størrelse, der allerede virkelig eksisterer "her og nu". Lad os forklare dette ved at bruge eksemplet med den sædvanlige DIRECT-linje.

Eksempel 1

Potentiel uendelighed betyder, at der er en lige linje, og den kan forlænges kontinuerligt (for eksempel ved at anvende segmenter på den). Bemærk, at vægten her ikke er på, at linjen er uendelig, men på, at den kan fortsættes i det uendelige.

Faktisk uendelighed betyder, at hele den uendelige linje allerede eksisterer i nutiden. Men problemet er, at ikke en eneste levende person har set en uendelig lige linje og er fysisk ude af stand til at gøre det! En ting er at kunne forlænge en lige linje i det uendelige, og noget helt andet faktisk at skabe en uendelig lige linje. Dette er en meget subtil forskel og adskiller potentiel uendelighed fra faktisk uendelighed. Pyha! At håndtere disse uendeligheder kræver en masse fantasi! Lad os se på endnu et eksempel.

Eksempel 2

Antag, at du beslutter dig for at bygge en række naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

På et tidspunkt har du nået et meget stort tal n og tror, ​​at det er det største tal. I dette øjeblik siger din ven, at det ikke koster ham noget at lægge 1 (én) til dit tal n og få et endnu større tal k = n + 1. Så forstår du, lettere såret, at intet kan forhindre dig i at lægge til nummer k et og få tallet k+1. Er antallet af sådanne trin begrænset på forhånd? Ingen. Selvfølgelig har du og din ven måske ikke nok styrke, tid på et eller andet trin m til at tage det næste trin m + 1, men potentielt kan du eller en anden bygge denne serie videre. I dette tilfælde får vi begrebet potentiel uendelighed.

Hvis du og din ven formår at opbygge en uendelig række af naturlige tal, hvis elementer er til stede på én gang, vil dette være den faktiske uendelighed. Men faktum er, at ingen kan skrive alle tallene ned - det er et indiskutabelt faktum!

Enig i, at potentiel uendelighed er mere forståelig for os, fordi det er lettere at forestille sig. Derfor anerkendte gamle filosoffer og matematikere kun potentiel uendelighed og afviste resolut muligheden for at operere med den faktiske uendelighed.

Galileos paradoks

I 1638 stillede den store Galileo spørgsmålet: “Uendeligt mange – er det altid de samme uendeligt mange? Eller kan der være større og mindre uendeligheder?”

Han formulerede et postulat, som senere blev kendt som "Galilean Paradox": Der er lige så mange naturlige tal, som der er kvadrater af naturlige tal, det vil sige i mængden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... det samme antal elementer, hvor mange i sættet er 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Essensen af ​​paradokset er som følger.

Nogle tal er nøjagtige kvadrater (det vil sige kvadrater af andre tal), for eksempel: 1, 4, 9 ... Andre tal er ikke nøjagtige kvadrater, for eksempel 2, 3, 5 ... Så der burde være mere nøjagtige kvadrater kvadrater og almindelige tal sammen, end blot perfekte kvadrater. Ret? Ret.

Men på den anden side: for hvert tal er der dets nøjagtige kvadrat, og omvendt - for hvert eksakt kvadrat er der en hel kvadratrod, så der skal være det samme antal nøjagtige kvadrater og naturlige tal. Ret? Ret.

Galileos ræsonnement kom i konflikt med det ubestridelige aksiom, at helheden er større end nogen af ​​dens egne dele. Han kunne ikke svare på, hvilken uendelighed der er størst – den første eller den anden. Galileo troede, at enten tog han fejl i noget, eller også er sådanne sammenligninger ikke gældende for uendeligheder. I sidstnævnte havde han ret, for tre århundreder senere beviste Georg Cantor, at "det uendeliges aritmetik er anderledes end det endeliges regnestykke."

Tællelige uendeligheder: delen er lig med helheden

Georg Kantor(1845-1918), grundlæggeren af ​​mængdeteori, begyndte at bruge den faktiske uendelighed i matematik. Han indrømmede, at uendeligheden eksisterer på én gang. Og da der er uendelige sæt, og det hele på én gang, kan du udføre matematiske manipulationer med dem og endda sammenligne dem. Da ordene "antal" og "mængde" er upassende i tilfælde af uendeligheder, introducerede han udtrykket "magt". Som en standard tog Kantor uendelige naturlige tal, som er nok til at genberegne noget, kaldet dette sæt tælleligt, og dets magt - kraften af ​​et tælleligt sæt, og begyndte at sammenligne det med potenserne i andre mængder.

Han beviste, at mængden af ​​naturlige tal har lige så mange elementer som mængden af ​​lige tal! Vi skriver faktisk under hinanden:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Umiddelbart virker det indlysende, at der er dobbelt så mange numre i det første sæt, som der er i det andet. Men på den anden side er det klart, at den anden sekvens også kan tælles, da et hvilket som helst antal af den ALTID svarer til præcis ét tal i den første sekvens. Og omvendt! Så den anden sekvens kan ikke udtømmes før den første. Derfor er disse sæt tilsvarende! På samme måde er det bevist, at mængden af ​​kvadrater af naturlige tal (fra Galileos paradoks) kan tælles og svarer til mængden af ​​naturlige tal. Det følger heraf, at alle tællelige uendeligheder er ækvivalente.

Det viser sig meget interessant: Sættet af lige tal og mængden af ​​kvadrater af naturlige tal (fra Galileos paradoks) er en del af sættet af naturlige tal. De er dog lige så stærke. Derfor er DEL LIG MED HELE!

Utallige uendeligheder

Men ikke enhver uendelighed kan tælles, som vi gjorde med lige tal og kvadrater af naturlige tal. Det viser sig, at det er umuligt at tælle point på et segment, reelle tal (udtrykt med alle endelige og uendelige decimalbrøker), selv alle reelle tal fra 0 til 1. I matematik siger de, at deres tal er utælleligt.

Overvej dette på eksemplet med en sekvens af brøktal. Brøktal har en egenskab, som hele tal ikke har. Der er ingen andre heltal mellem to på hinanden følgende heltal. For eksempel vil intet andet heltal "passe" mellem 8 og 9. Men hvis vi tilføjer brøktal til sættet af heltal, vil denne regel ikke længere holde. Ja, nummeret

vil være mellem 8 og 9. På samme måde kan du finde et tal placeret mellem to vilkårlige tal A og B:

Da denne handling kan gentages i det uendelige, kan det hævdes, at der mellem to reelle tal altid vil være uendeligt mange andre reelle tal.

Således er uendeligheden af ​​reelle tal utallig, og uendeligheden af ​​naturlige tal kan tælles. Disse uendeligheder er ikke ækvivalente, men fra et utalligt sæt af reelle tal kan man altid vælge en tællig del, for eksempel naturlige eller lige tal. Derfor er utallig uendelighed mere kraftfuld end tællig uendelighed.

Uendelighed er et abstrakt begreb, der bruges til at beskrive eller betegne noget uendeligt eller grænseløst. Dette koncept er vigtigt for matematik, astrofysik, fysik, filosofi, logik og kunst.

Her er nogle fantastiske fakta om dette komplekse koncept, der kan sprænge sindet hos enhver, der ikke er særlig fortrolig med matematik.

Uendelig symbol

Infinity har sit eget specielle symbol: ∞. Symbolet, eller lemniscate, blev introduceret af præsten og matematikeren John Wallis i 1655. Ordet "lemniscate" kommer fra det latinske ord lemniscus, som betyder "bånd".

Wallis kan have baseret uendelighedssymbolet på romertallet 1000, ved siden af ​​hvilket romerne plejede at angive "utallige", ud over tallet. Det er også muligt, at symbolet er baseret på omega (Ω eller ω), det sidste bogstav i det græske alfabet.

Et interessant faktum er, at begrebet uendelighed dukkede op og blev brugt længe før Wallis tildelte det symbolet, som vi bruger den dag i dag.

I det fjerde århundrede f.Kr. inddelte en Jain matematisk tekst kaldet Surya Prajnapti Sutraen alle tal i tre kategorier, som hver igen blev opdelt i tre underkategorier. I disse kategorier blev der specificeret talløse, ikke-tællelige og uendelige tal.

Aporia Zeno

Zeno af Elea, født omkring det femte århundrede f.Kr. e. var kendt for paradokser eller aporier, herunder begrebet uendelighed.

Af alle Zenos paradokser er Achilleus og skildpadden den mest berømte. I en aporia udfordrer skildpadden den græske helt Achilles og inviterer ham til et løb. Skildpadden hævder, at han vil vinde løbet, hvis Achilles giver ham et forspring på tusinde skridt. Ifølge paradokset vil skildpadden i den tid, Achilleus løber hele distancen, tage yderligere hundrede skridt i samme retning. Mens Achilleus løber yderligere hundrede skridt, har skildpadden tid til at tage yderligere ti, og så videre i faldende rækkefølge.

På en enklere måde betragtes paradokset som følger: prøv at krydse rummet, hvis hvert næste trin er halvdelen af ​​det foregående. Selvom hvert trin bringer dig tættere på kanten af ​​rummet, vil du faktisk aldrig komme til det, eller du vil, men det vil tage et uendeligt antal skridt.

Ifølge en af ​​de moderne fortolkninger er dette paradoks baseret på en falsk forestilling om tidens og rummets uendelige delelighed.

Tallet pi er et eksempel på uendelighed

Pi er et godt eksempel på uendelighed. Matematikere bruger et symbol for pi, fordi det er umuligt at skrive hele tallet ned. Pi består af et uendeligt antal tal. Det rundes ofte op til 3,14 eller endda 3,14159, men uanset hvor mange cifre der skrives efter decimaltegnet, er det umuligt at komme til slutningen af ​​tallet.

Uendelig abe-sætning

En anden måde at tænke på uendelighed er at overveje uendelig abe-sætning. Ifølge sætningen, hvis du giver en abe en skrivemaskine og en uendelig mængde tid, vil aben til sidst være i stand til at udskrive Hamlet eller et hvilket som helst andet værk.

Mens mange mennesker tager teoremet som en demonstration af troen på, at intet er umuligt, ser matematikere det som et bevis på, at en bestemt begivenhed er umulig.

Fraktaler og uendelighed

En fraktal er et abstrakt matematisk objekt, der bruges i matematik og kunst, som oftest modellerer naturfænomener. En fraktal skrives som en matematisk ligning. Ser man på en fraktal, kan man bemærke dens komplekse struktur i enhver skala. Med andre ord er fraktalen uendeligt stigende.

Koch snefnug er et interessant eksempel på en fraktal. Et snefnug ligner en ligesidet trekant, der danner en lukket kurve af uendelig længde. Ved at øge kurven kan der ses flere og flere detaljer på den. Processen med at øge kurven kan fortsætte et uendeligt antal gange. Selvom Koch-snefnuget har et afgrænset område, er det afgrænset af en uendelig lang linje.

Infinity i forskellige størrelser

Uendeligheden er grænseløs, men den er målbar, om end komparativ. Positive tal (større end 0) og negative tal (mindre end 0) kan prale af uendelige sæt tal af samme størrelse. Hvad sker der, når du kombinerer begge sæt? Du får dobbelt størrelse af sættet. Eller et andet eksempel - alle lige tal (der er et uendeligt antal af dem). Og alligevel er det kun halvdelen af ​​det uendelige antal af alle heltal. Et andet eksempel, bare tilføje en til det uendelige. Lær tallet 1 større end uendelig.

Kosmologi og uendelighed

Kosmologer studerer universet, det er ikke overraskende, at begrebet uendelighed spiller en vigtig rolle for dem. Har universet grænser eller er det uendeligt?

Dette spørgsmål er stadig ubesvaret. Vores univers udvider sig, men hvor? Og hvor går grænsen for denne udvidelse? Selvom det fysiske univers har grænser, har vi stadig en teori om multiverset, som betragter eksistensen af ​​et uendeligt antal universer, der kan have forskellige fysiklove end vores.

Division med nul

Division med nul findes ikke. Det er umuligt, i hvert fald ikke i almindelig matematik. I den matematik, vi er vant til, kan man divideret med nul ikke bestemmes. Dette er fejl. Dette er dog ikke altid tilfældet. I den udvidede teori om komplekse tal forårsager division af en med nul ikke et uundgåeligt sammenbrud og er bestemt af en form for uendelighed. Matematik er med andre ord anderledes, og ikke alt er begrænset til reglerne fra lærebøger.

I kontakt med

Findes uendelighed

Er universet uendeligt, og hvis ja, så "kan det ikke være". Hvad hvis nej, hvad er der på den anden side? Og som elsker eventyr om begrænsetmanifolder uden kant, såsom en kugle - lad tanken sende vinkelret på kanten.Hvad er der? Eller hvem. Fiktiv uendelighed er ikke så gennemtrængende, men ogsånogle steder uforståeligt. Georg Kantor. Uendelig sammenligning. Kontinuum. På denDer er lige så mange punkter på en firkant, som der er på et linjestykke.

Den sydende brændende fornemmelse af rumlig evighed er chokerende, så længe problemerne i det himmelske imperium opfattes af tarmen og ikke af sindet. Så et gennemborende opkald uudtømmelighed” går gradvist i stå, og brænder sig om virkeligheden, en person gemmer sig i en fiktiv verden. Det er stadig ikke godt nok til at gemme sig.

I idéernes verden optræder uendeligheden i en anden form. I hvilken forstand eksisterer den naturlige serie? Som en udfoldelsesproces eller som en afsluttet? Er naturlige tal potentielt konstruerbare, eller er de allerede tilgængelige? Problem i starten

lugter af skolastik. Det er ligegyldigt, ser det ud til. Der er ingen konsekvenser.

Konsekvenserne er dog enorme. Alternativt opnås to forskellige matematikere. Den ene er konstruktiv og tillader ikke realiseringen af ​​uendeligheden i al dens uendelighed. Den anden er almindelig, altædende.

Mindre problemer fra tilstedeværelsen af ​​uendelighed opstår allerede i det elementære

situationer af den type, hvor tilstedeværelsen af ​​en en-til-en korrespondance n ↔ n^2 opmuntrer ideen om, at der er lige så mange heltal som deres kvadrater. Eksemplet har længe været på kanten, men i sin enkleste form afspejler det tilstedeværelsen af ​​et problem. Det viser sig trods alt, at hvis nogen tager 10 rubler fra mig hver dag og giver mig en, så vil vi stoppe, når processen er slut. For hvis serien allerede har fundet sted, blev den n'te rubel givet til mig den n'te dag. Paradokset er selvfølgelig ikke en skid værd, for processen vil ingen ende tage, mener femte klasse.

Hvad med p/q-brøker? De er alle "allerede" på segmentet. De er her, de skal ikke tilføjes én efter én. Så det - " finit size fælde til uendelighed". Lille

en pung, hvor alle fraktionerne er placeret. Og roden af ​​to, ligesom uendelighed holdt, på grund af uendeligheden af ​​decimalbrøken. Derfor har mængdeteori al mulig grund til at betragte uendelighed som " givet". En anden ting er, at der stilles visse krav til dette givne, så der ikke er modsætninger.

Men så snart du indrømmer noget, begynder problemerne. Infinity sværm, og med

de skal styres på en eller anden måde. Dette blev gjort Georg Kantor der skabte mængdelære. Den revolution, der fandt sted bekræfter den velkendte tese " sandheden fødes som kætteri og dør som banalitet". Hovedideerne er tilgængelige for alle i dag. MEN " derefter" umuligt

måtte ikke forklare til nogen. Intuitionen gjorde modstand. Nu har sygdommen slået rod, forvirringen er tørret ud.

Kantor satte værktøjet en-til-en korrespondance som grundlag for undersøgelsen af ​​sæt. Sæt X, Y er ækvivalente, hvis der kan etableres en en-til-en overensstemmelse mellem deres elementer.

Ækvivalensforhold refleksivt og transitivt, som giver dig mulighed for at bryde alt

sætter i ækvivalensklasser. Ækvivalensklassen for et sæt X kaldes dets kardinalitet og betegnes som |X|. Sæt er ordnet efter kardinalitet ved hjælp af et naturligt trick.

Mængder svarende til naturlige tal kaldes tællelige. Enhver sekvens kan tælles. Betragtning af decimalbrøker står over for et nyt fænomen. Sættet af sådanne tal (kontinuummet) viser sig at være utalligt.

Det historiske forsøg på at fastslå, at et segment og et kvadrat x har forskellige kardinaliteter var meget smertefuldt. Det viste sig, at de var ens. Verden har ikke modtaget sådan en rystelse siden Galileos tid, hvor det blev opdaget, at alle kroppe falder med det samme

acceleration.

Hvorom alting er, så vandt uendeligheden en plads under solen. Uden den ville alt i matematik "stå stille". Ja ~ det er det værd - i konstruktiv matematik, hvor det ikke passer - alm. Ligheder og uligheder i konstruktive tal kontrolleres oftest ikke, sekvenser har ingen steder at konvergere, grænser eksisterer ikke, kontinuitet er kun en drøm, og generelt kollapser alt. Et frygteligt billede. Omfanget af katastrofen er endda svært at vurdere. Derfor er uendelighed næsten lige så nyttig som "en". Den anden side af mønten, sådan set. En slags beholder for "det der ikke sker."