Pyramide. Afkortet pyramide

Pyramide kaldes et polyeder, hvis flader er en polygon ( grundlag ), og alle andre flader er trekanter med et fælles toppunkt ( sideflader ) (Fig. 15). Pyramiden kaldes korrekt , hvis dens base er en regulær polygon, og toppen af ​​pyramiden er projiceret ind i midten af ​​basen (fig. 16). En trekantet pyramide, hvor alle kanter er lige, kaldes tetraeder .

Side rib pyramide kaldes den side af sidefladen, der ikke hører til basen Højde pyramiden er afstanden fra dens top til bundens plan. Alle sidekanter af en regulær pyramide er ens med hinanden, alle sideflader er ens ligebenede trekanter. Højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide trukket fra toppunktet kaldes apotem . diagonalt snit En sektion af en pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.

Sideoverfladeareal pyramide kaldes summen af ​​arealerne af alle sideflader. Fuld overflade er summen af ​​arealerne af alle sidefladerne og basen.

Sætninger

1. Hvis alle sidekanter i en pyramide er lige skråtstillede i forhold til basens plan, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​den omskrevne cirkel nær bunden.

2. Hvis alle sidekanter i en pyramide har samme længde, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​den omskrevne cirkel nær bunden.

3. Hvis alle flader i pyramiden hælder lige meget til bundens plan, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​cirklen, der er indskrevet i bunden.

For at beregne rumfanget af en vilkårlig pyramide er formlen korrekt:

hvor V- volumen;

S hoved- basisareal;

H er pyramidens højde.

For en almindelig pyramide er følgende formler sande:

hvor s- omkredsen af ​​basen;

h a- apotem;

H- højde;

S fuld

S side

S hoved- basisareal;

V er volumenet af en regulær pyramide.

afkortet pyramide kaldet den del af pyramiden, der er indesluttet mellem bunden og skæreplanet parallelt med pyramidens bund (fig. 17). Korrekt afkortet pyramide kaldet den del af en regulær pyramide, der er indesluttet mellem bunden og et skærende plan parallelt med bunden af ​​pyramiden.

Fundamenter afkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflader - trapez. Højde afkortet pyramide kaldes afstanden mellem dens baser. Diagonal En afkortet pyramide er et segment, der forbinder dets hjørner, som ikke ligger på samme flade. diagonalt snit En sektion af en afkortet pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.

For en afkortet pyramide er formlerne gyldige:

(4)

hvor S 1 , S 2 - områder af de øvre og nedre baser;

S fuld er det samlede overfladeareal;

S side er det laterale overfladeareal;

H- højde;

V er volumenet af den afkortede pyramide.

For en regulær afkortet pyramide gælder følgende formel:

hvor s 1 , s 2 - basisomkredse;

h a- apotem af en regulær afkortet pyramide.

Eksempel 1 I en regulær trekantet pyramide er den dihedriske vinkel ved bunden 60º. Find tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​sidekanten til basens plan.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 18).

Pyramiden er regulær, hvilket betyder, at basen er en ligesidet trekant, og alle sidefladerne er lige store trekanter. Den dihedriske vinkel ved bunden er hældningsvinklen af ​​pyramidens sideflade til bundens plan. Den lineære vinkel vil være vinklen -en mellem to perpendikulære: dvs. Pyramidens top er projiceret i midten af ​​trekanten (midten af ​​den omskrevne cirkel og den indskrevne cirkel i trekanten ABC). Hældningsvinklen af ​​sideribben (f.eks SB) er vinklen mellem selve kanten og dens projektion på basisplanet. Til ribben SB denne vinkel vil være vinklen SBD. For at finde tangenten skal du kende benene SÅ og OB. Lad længden af ​​segmentet BD er 3 -en. prik O linjestykke BD er opdelt i dele: og Fra finder vi SÅ: Fra vi finder:

Svar:

Eksempel 2 Find rumfanget af en regulær afkortet firkantet pyramide, hvis diagonalerne på dens baser er cm og cm, og højden er 4 cm.

Løsning. For at finde volumen af ​​en afkortet pyramide bruger vi formel (4). For at finde grundfladernes areal skal du finde siderne af grundkvadrene og kende deres diagonaler. Siderne af baserne er henholdsvis 2 cm og 8 cm. Det betyder, at basenes areal og Substituerer alle data i formlen, beregner vi rumfanget af den afkortede pyramide:

Svar: 112 cm3.

Eksempel 3 Find arealet af sidefladen af ​​en almindelig trekantet afkortet pyramide, hvis sider af baserne er 10 cm og 4 cm, og pyramidens højde er 2 cm.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 19).

Sidefladen af ​​denne pyramide er et ligebenet trapez. For at beregne arealet af en trapezoid skal du kende baserne og højden. Baserne er givet efter tilstand, kun højden forbliver ukendt. Find det hvorfra MEN 1 E vinkelret fra et punkt MEN 1 på planet for den nederste base, EN 1 D- vinkelret fra MEN 1 på AC. MEN 1 E\u003d 2 cm, da dette er højden af ​​pyramiden. For at finde DE vi vil lave en ekstra tegning, hvor vi vil afbilde en topvisning (fig. 20). Prik O- projektion af centrene for de øvre og nedre baser. siden (se Fig. 20) og På den anden side Okay er radius af den indskrevne cirkel og OM er radius af den indskrevne cirkel:

MK=DE.

Ifølge Pythagoras sætning fra

Sidefladeområde:

Svar:

Eksempel 4 I bunden af ​​pyramiden ligger en ligebenet trapez, hvis baser -en og b (-en> b). Hver sideflade danner en vinkel svarende til pyramidens bundplan j. Find det samlede overfladeareal af pyramiden.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 21). Samlet overfladeareal af pyramiden SABCD er lig med summen af ​​arealerne og arealet af trapez ABCD.

Vi bruger udsagnet, at hvis alle pyramidens flader hælder lige meget til basens plan, så projiceres toppunktet ind i midten af ​​cirklen, der er indskrevet i basen. Prik O- vertex projektion S ved bunden af ​​pyramiden. Trekant SOD er den ortogonale projektion af trekanten CSD til basisplanet. Ifølge teoremet om arealet af den ortogonale projektion af en flad figur får vi:

På samme måde betyder det Således blev problemet reduceret til at finde området af trapez ABCD. Tegn en trapez ABCD separat (fig. 22). Prik O er midten af ​​en cirkel indskrevet i en trapez.

Da en cirkel kan indskrives i en trapezoid, så eller Ved Pythagoras sætning har vi

Evnen til at beregne rumfanget af rumlige figurer er vigtig for at løse en række praktiske problemer inden for geometri. En af de mest almindelige former er pyramiden. I denne artikel vil vi overveje pyramiderne, både fulde og trunkerede.

Pyramide som en tredimensionel figur

Alle kender til de egyptiske pyramider, så de har en god idé om, hvilken figur der vil blive diskuteret. Ikke desto mindre er egyptiske stenstrukturer kun et særligt tilfælde af en enorm klasse af pyramider.

Det geometriske objekt, der overvejes i det generelle tilfælde, er en polygonal base, hvis toppunkt er forbundet med et punkt i rummet, der ikke hører til grundplanet. Denne definition fører til en figur bestående af en n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består af n+1 flader, 2*n kanter og n+1 hjørner. Da den betragtede figur er et perfekt polyeder, følger antallet af markerede elementer Euler-ligningen:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen placeret ved bunden giver navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet og så videre. Et sæt pyramider med forskellige baser er vist på billedet nedenfor.

Det punkt, hvor n trekanter af figuren er forbundet, kaldes toppen af ​​pyramiden. Hvis en vinkelret sænkes fra den til basen, og den skærer den i det geometriske centrum, vil en sådan figur blive kaldt en lige linje. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så er der en skrå pyramide.

En lige figur, hvis basis er dannet af en ligesidet (ligekantet) n-gon, kaldes regulær.

Formel for pyramidevolumen

For at beregne pyramidens rumfang bruger vi integralregningen. For at gøre dette deler vi figuren med sekantplaner parallelt med basen i et uendeligt antal tynde lag. Nedenstående figur viser en firkantet pyramide med højde h og sidelængde L, hvor et tyndt snitlag er markeret med en firkant.

Arealet af hvert sådant lag kan beregnes med formlen:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Her er A 0 arealet af basen, z er værdien af ​​den lodrette koordinat. Det kan ses, at hvis z = 0, så giver formlen værdien A 0 .

For at få formlen for pyramidens volumen skal du beregne integralet over hele figurens højde, det vil sige:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ved at erstatte afhængigheden A(z) og beregne antiderivatet kommer vi frem til udtrykket:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * t.

Vi har fået formlen for rumfanget af en pyramide. For at finde værdien af ​​V er det nok at gange højden af ​​figuren med arealet af basen og derefter dividere resultatet med tre.

Bemærk, at det resulterende udtryk er gyldigt til at beregne volumenet af en pyramide af en vilkårlig type. Det vil sige, at den kan være skrå, og dens base kan være en vilkårlig n-gon.

og dens volumen

Den generelle formel for volumen opnået i afsnittet ovenfor kan raffineres i tilfælde af en pyramide med en regelmæssig base. Arealet af en sådan base beregnes ved hjælp af følgende formel:

A0 = n/4*L2*ctg(pi/n).

Her er L sidelængden af ​​en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved at erstatte udtrykket for A 0 i den generelle formel får vi volumen af ​​en regulær pyramide:

Vn = 1/3*n/4*L2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L2 *h*ctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formel til følgende udtryk:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * t.

For en regulær firkantet pyramide har volumenformlen formen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * t.

Bestemmelse af volumen af ​​almindelige pyramider kræver at kende siden af ​​deres base og højden af ​​figuren.

Pyramide afkortet

Antag, at vi har taget en vilkårlig pyramide og afskåret en del af dens sideflade, der indeholder toppunktet. Den resterende figur kaldes en afkortet pyramide. Den består allerede af to n-gonale baser og n trapezoider, der forbinder dem. Hvis skæreplanet var parallelt med bunden af ​​figuren, dannes en afkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil sige, at længderne af siderne på en af ​​dem kan opnås ved at gange længden af ​​den anden med en eller anden koefficient k.

Ovenstående figur viser en afkortet regulær.Det kan ses, at dens øverste base, ligesom den nederste, er dannet af en regulær sekskant.

Formlen, der kan udledes ved hjælp af en integralregning svarende til ovenstående, er:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Hvor A 0 og A 1 er arealet af henholdsvis den nedre (store) og den øvre (lille) base. Variablen h angiver højden af ​​den afkortede pyramide.

Rumfanget af Cheops-pyramiden

Det er nysgerrigt at løse problemet med at bestemme det volumen, som den største egyptiske pyramide indeholder.

I 1984 etablerede de britiske egyptologer Mark Lehner og Jon Goodman de nøjagtige dimensioner af Cheops-pyramiden. Dens oprindelige højde var 146,50 meter (i øjeblikket omkring 137 meter). Den gennemsnitlige længde af hver af de fire sider af strukturen var 230.363 meter. Pyramidens bund er firkantet med høj nøjagtighed.

Lad os bruge de givne tal til at bestemme volumen af ​​denne stengigant. Da pyramiden er en regulær firkantet, er formlen gyldig for den:

Indsætter vi tallene, får vi:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Rumfanget af Cheops-pyramiden er næsten 2,6 millioner m 3. Til sammenligning bemærker vi, at den olympiske pool har et volumen på 2,5 tusinde m 3. Det vil sige, for at fylde hele Cheops-pyramiden vil der være brug for mere end 1000 sådanne puljer!

• 09.10.2014

  Forforstærkeren vist på figuren er designet til at kunne bruges sammen med 4 typer lydkilder, såsom mikrofon, cd-afspiller, radiobåndoptager osv. Samtidig har forforstærkeren én indgang, der kan ændre følsomheden fra 50mV til 500mV. udgangsspændingen på forstærkeren er 1000mV. Ved at forbinde forskellige signalkilder, når der skiftes switch SA1, vil vi altid få ...

• 20.09.2014

  PSU'en er designet til en belastning med en effekt på 15 ... 20 watt. Kilden er lavet i henhold til skemaet for en enkelt-cyklus pulseret højfrekvensomformer. En oscillator, der arbejder ved en frekvens på 20 ... 40 kHz, er samlet på transistoren. Frekvensen justeres af kapacitansen C5. Elementerne VD5, VD6 og C6 danner et kredsløb til start af en oscillator. I det sekundære kredsløb, efter broensretteren, er der en konventionel lineær stabilisator på et mikrokredsløb, som giver dig mulighed for at have ...

• 28.09.2014

  Figuren viser en generator på en K174XA11-chip, hvis frekvens styres af spænding. Ved at ændre kapacitansen C1 fra 560 til 4700pF kan der opnås et bredt frekvensområde, mens frekvensen justeres ved at ændre modstanden R4. For eksempel fandt forfatteren ud af, at ved C1 \u003d 560pF kan generatorfrekvensen ændres ved hjælp af R4 fra 600Hz til 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enheden er designet til at drive en kraftig ULF, den er designet til en udgangsspænding på ± 27V og belaster derfor op til 3A på hver arm. PSU'en er bipolær, lavet på komplette komposittransistorer KT825-KT827. Begge arme af stabilisatoren er lavet i henhold til samme skema, men i den anden arm (det er ikke vist) ændres kondensatorernes polaritet, og den andens transistorer bruges ...