Evgeniy Shiryaev, lærer og leder af Matematiklaboratoriet på Polytechnic Museum, fortalte AiF.ru om division med nul:

1. Spørgsmålets jurisdiktion

Enig, det der gør reglen særligt provokerende er forbuddet. Hvordan kan dette ikke lade sig gøre? Hvem har forbudt? Hvad med vores borgerrettigheder?

Hverken Den Russiske Føderations forfatning eller straffeloven eller engang din skoles charter gør indsigelse mod den intellektuelle handling, der interesserer os. Det betyder, at forbuddet ikke har nogen juridisk kraft, og intet forhindrer dig i at forsøge at dividere noget med nul lige her, på AiF.ru's sider. For eksempel tusind.

2. Lad os dividere som lært

Husk, da du først lærte at dividere, blev de første eksempler løst ved at kontrollere multiplikation: Resultatet ganget med divisoren skulle være det samme som det delelige. Hvis det ikke stemte, besluttede de sig ikke.

Eksempel 1. 1000: 0 =...

Lad os glemme den forbudte regel et øjeblik og gøre flere forsøg på at gætte svaret.

Forkerte vil blive afskåret af checken. Prøv følgende muligheder: 100, 1, -23, 17, 0, 10.000 For hver af dem vil checken give det samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Ved at gange nul bliver alt til sig selv og aldrig til tusind. Konklusionen er let at formulere: intet tal vil bestå testen. Det vil sige, at intet tal kan være resultatet af at dividere et ikke-nul tal med nul. En sådan opdeling er ikke forbudt, men har simpelthen intet resultat.

3. Nuancer

Vi missede næsten én mulighed for at afvise forbuddet. Ja, vi indrømmer, at et ikke-nul tal ikke kan divideres med 0. Men det kan 0 selv måske?

Eksempel 2. 0: 0 = ...

Hvad er dine forslag til privat? 100? Venligst: kvotienten på 100 ganget med divisoren 0 er lig med udbyttet 0.

Flere muligheder! 1? Passer også. Og −23 og 17, og det er det. I dette eksempel vil testen være positiv for et hvilket som helst tal. Og for at være ærlig, bør løsningen i dette eksempel ikke hedde et tal, men et sæt tal. Alle sammen. Og det tager ikke lang tid at blive enige om, at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og de er begge en kanins drøm.

4. Hvad med højere matematik?

Problemet er løst, nuancerne er taget i betragtning, prikkerne er placeret, alt er blevet klart - svaret på eksemplet med division med nul kan ikke være et enkelt tal. At løse sådanne problemer er håbløst og umuligt. Hvilket betyder... interessant! Tag to.

Eksempel 3. Find ud af, hvordan du dividerer 1000 med 0.

Men ingen måde. Men 1000 kan nemt divideres med andre tal. Nå, lad os i det mindste gøre, hvad vi kan, selvom vi ændrer opgaven. Og så, ser du, bliver vi revet med, og svaret dukker op af sig selv. Lad os glemme alt om nul i et minut og dividere med hundrede:

Hundrede er langt fra nul. Lad os tage et skridt hen imod det ved at mindske divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dynamikken er indlysende: Jo tættere divisoren er på nul, jo større er kvotienten. Tendensen kan observeres yderligere ved at gå til brøker og fortsætte med at reducere tælleren:

Det er tilbage at bemærke, at vi kan komme så tæt på nul, som vi vil, hvilket gør kvotienten så stor, som vi vil.

I denne proces er der intet nul, og der er ingen sidste kvotient. Vi indikerede bevægelsen mod dem ved at erstatte tallet med en sekvens, der konvergerer til det tal, vi er interesserede i:

Dette indebærer en lignende erstatning for udbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Det er ikke for ingenting, at pilene er dobbeltsidede: nogle sekvenser kan konvergere til tal. Så kan vi associere sekvensen med dens numeriske grænse.

Lad os se på rækkefølgen af ​​kvotienter:

Den vokser ubegrænset, stræber ikke efter noget antal og overgår nogen. Matematikere tilføjer symboler til tal ∞ for at kunne placere en dobbeltsidet pil ved siden af ​​en sådan sekvens:

Sammenligning med antallet af sekvenser, der har en grænse, giver os mulighed for at foreslå en løsning på det tredje eksempel:

Når vi elementvis dividerer en sekvens, der konvergerer til 1000, med en sekvens af positive tal, der konvergerer til 0, får vi en sekvens, der konvergerer til ∞.

5. Og her er nuancen med to nuller

Hvad er resultatet af at dividere to sekvenser af positive tal, der konvergerer til nul? Hvis de er ens, så er enheden identisk. Hvis udbyttesekvensen konvergerer til nul hurtigere, så har sekvensen i kvotienten en nulgrænse. Og når elementerne i divisor falder meget hurtigere end udbyttet, vil sekvensen af ​​kvotienten vokse meget:

Usikker situation. Og det hedder det: usikkerhed af typen 0/0 . Når matematikere ser sekvenser, der passer til en sådan usikkerhed, skynder de sig ikke med at dividere to identiske tal med hinanden, men finde ud af, hvilken af ​​sekvenserne der løber hurtigere til nul og præcis hvordan. Og hvert eksempel vil have sit eget specifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spænding og modstand i et kredsløb. Det er ofte skrevet i denne form:

Lad os tillade os at negligere den omhyggelige fysiske forståelse og formelt se på højre side som kvotienten af ​​to tal. Lad os forestille os, at vi løser et skoleproblem på el. Betingelsen giver spændingen i volt og modstand i ohm. Spørgsmålet er indlysende, løsningen er i én handling.

Lad os nu se på definitionen af ​​superledning: dette er egenskaben for nogle metaller at have nul elektrisk modstand.

Nå, lad os løse problemet med et superledende kredsløb? Bare sæt det op sådan R= 0 Hvis det ikke lykkes, kaster fysikken et interessant problem op, bag hvilket der naturligvis er en videnskabelig opdagelse. Og de mennesker, der formåede at dividere med nul i denne situation, modtog Nobel pris. Det er nyttigt at kunne omgå alle forbud!

Lektionen var baseret på elevernes uafhængige handlinger på hvert trin, fuld fordybelse ind i en læringsopgave. Dette blev lettet af teknikker som at arbejde i grupper, selv- og gensidig testning, skabe en situation med succes, differentierede opgaver og selvrefleksion.

Hent:

Eksempel:

Lærebog: "Matematik" 3. klasse M.I. Moro

Lektionens mål:

Lektionens mål:

For at nå målet blev lektionen designet under hensyntagenaktivitetstilgang.

Opbygningen af ​​lektionen omfattede:

1. Org. øjeblik , hvis mål var at motivere børn positivt til at lære.
2. Motivering gav os mulighed for at opdatere viden og formulere målene og målene for lektionen. Til dette formål blev der foreslået opgaver vedrfinde et ekstra tal, klassificere eksempler i grupper, tilføje manglende tal. Mens de løste disse opgaver, blev børn konfronteret med problem : der blev fundet et eksempel, som den eksisterende viden ikke er nok til at løse. I denne forbindelse børnselvstændigt formulerede et målog sætte sig selv læringsmålene for lektionen.
3. Søgning og opdagelse af ny videngav børnene mulighedtilbud forskellige muligheder opgaveløsninger.Baseret på tidligere undersøgt materiale,de var i stand til at finde den rigtige løsning og komme til konklusion , hvori en ny regel blev formuleret.
4. I løbet af primær konsolidering elever kommenterede deres handlinger, arbejder efter reglen, blev desuden udvalgt dine eksempler på denne regel.
5. Til automatisering af handlinger Og evne til at bruge regler i ikke-standardI opgaverne løste børn ligninger og udtryk i flere trin.
6. Selvstændigt arbejde og gensidig verifikation udført viste, at de fleste børn forstod emnet.
7. Under refleksion Børnene konkluderede, at målet med lektionen var nået og vurderede sig selv ved hjælp af kortene.

Lektionen var baseret på selvstændige handlinger fra eleverne på hvert trin, fuldstændig fordybelse i læringsopgaven. Dette blev lettet af teknikker som at arbejde i grupper, selv- og gensidig testning, skabe en situation med succes, differentierede opgaver og selvrefleksion.

Matematikundervisning i 3. klasse.

Lektionens emne: "At dividere 0 med et tal. Umuligt at dividere med 0"

Lektionens mål: skabe betingelser for at udvikle evnen til at dividere 0 med et tal.

Lektionens mål:

• afsløre betydningen af ​​at dividere 0 med et tal gennem sammenhængen mellem multiplikation og division;
• udvikle uafhængighed, opmærksomhed, tænkning;
• udvikle færdigheder i at løse eksempler på tabel multiplikation og division.

Under timerne.

1. Organisationsstadie.

Tjek din parathed til lektionen ved at sidde oprejst.
Gnid dine ører, så blodet flyder mere aktivt til hjernen. I dag vil du have en masse interessant arbejde, hvilket jeg er sikker på, du vil gøre godt.

1. (slide 1; 2; 3)

Den muntre klokke ringede,

Vi starter vores lektion.

Sidder alle rigtigt?

Følger alle nøje med?

Alle ønsker at modtage

Kun en fem vurdering!

Åbn dine notesbøger og skriv dagens dato ned.(dias 4) Hvad kan du sige om tallet 20? (Den er tocifret; den er lige; den består af en tierplads og en enhedsplads).

Hvor mange tiere og hvor mange er der i den? (2 tiere og 0 enheder.).

1. Verbal optælling.

1. Spil "Find det ekstra nummer"(dias 5)

Fra hver kolonne skal du vælge "ekstra nummer"

2. Find arealet af figurerne:(dias 6)

3. Aritmetisk diktat:

1. Hvilket tal skal ganges med 7 for at få 42?
2. Nævn et tal, der er mindre end 24 gange 6?
3. Fra hvilket tal skal 18 trækkes fra for at få 3?
4. Hvor mange gange er 4 tiere større end 5?
5. Find produktet af 9 og 3.
6. Udbytte 36, kvotient 6. Hvad er divisoren?
7. Øg 8 gange 6 gange.
8. Hvilket tal skal du dividere 28 med for at få 7?

Skriv kun svarene ned.

(Peer-tjek: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (dias 7)

4.Individuelt arbejde(arbejd med kort, se bilag)

5. At skabe en problematisk situation
Opgaver i par:
- Arranger eksemplerne i 2 grupper:

Hvorfor blev det fordelt på denne måde?(med svar 4 og 5)

Løs eksempler:
8·7-6+30:6=
28:(16:4) 6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-102):5=

Hvad lagde du mærke til? Er der nogle ekstra eksempler her?
- Var du i stand til at løse alle eksemplerne?
- Hvem har problemer?
- Hvordan adskiller dette eksempel sig fra de andre?
- Hvis nogen besluttede, så godt gået. Men hvorfor kunne alle ikke klare dette eksempel?

6. Redegørelse for uddannelsesopgaven.
Her er et eksempel med 0. Og fra 0 kan du forvente forskellige tricks. Dette er et usædvanligt antal.
Husk, hvad du ved om 0?(a 0=0, 0 a=0, 0+a=a)
Giv eksempler.
Se hvor lumsk det er: når det lægges til, ændrer det ikke tallet, men når det ganges, bliver det til 0.
Gælder disse regler for vores eksempel (nej)?
Hvordan vil det opføre sig under opdeling?

1. Kommunikation af emnet og målene for lektionen (dias 8)

- Så hvad er vores mål? Løs dette eksempel korrekt.

mål

Bord på tavlen.

Hvad skal der til? Lær reglen for at dividere 0 med et tal.

opgave

Emnet for vores lektion: "At dividere nul med et tal, umuligheden af ​​at dividere med nul."

Vi vil se på teknikker til at dividere nul med et tal, konsolidere viden om multiplikationstabellen og evnen til at løse sammensatte problemer.

1. Assimilering af ny viden og handlemetoder.

Hvordan finder man den rigtige løsning?
Hvilken handling er involveret i multiplikation?(med opdeling)
Giv et eksempel
2 3 = 6
6: 2 = 3

Kan vi nu 0:5?
Det betyder, at du skal finde et tal, der, når ganget med 5, er lig med 0.
x 5=0
Dette tal er 0. Så 0:5=0.

Giv dine egne eksempler.

1. På skærmen: 0:6 (slide 9)

Vælg et tal, der ganges med Ville 6 være 0? (Dette er 0).

Altså 0:6=0

Sagen om opdeling behandles på samme måde 0:9.

Konklusion: Når nul divideres med et hvilket som helst andet tal, er resultatet nul.

HUSK Du kan ikke dividere med nul!

Hvorfor kan du ikke dividere med nul? Begrund dit svar.

(Når man dividerer med 0, f.eks. tallet 6 eller et andet tal end nul, er det umuligt at finde et tal, der, når det ganges med nul, ville resultere i 6 eller et andet tal).

2.Lyt fortællingen om nul. (slides 10-16)

Langt, langt væk, ud over havene og bjergene, var der landet Cifria. Meget ærlige tal boede i det. Kun Null var kendetegnet ved dovenskab og uærlighed.

En dag lærte alle, at Dronning Arithmetic var dukket op langt ud over ørkenen og kaldte indbyggerne i Cythria til hendes tjeneste. Alle ville tjene dronningen. Mellem Cyphria og Aritmetikkens rige lå en ørken, krydset af fire floder: Addition, Subtraktion, Multiplikation og Division. Hvordan kommer man til Aritmetik? Tallene besluttede at forene sig (det er trods alt lettere at overvinde vanskeligheder med kammerater) og forsøge at krydse ørkenen.

Tidligt om morgenen, så snart solen rørte jorden med sine stråler, gik tallene i gang. De gik i lang tid under den brændende sol og nåede til sidst Slozhenie-floden. Tallene skyndte sig til floden for at drikke, men floden sagde: "Stå i par og foren kræfter, så vil jeg give dig en drink." Alle opfyldte flodens ordre, og den dovne Null opfyldte også sit ønske. Men tallet, som det blev tilføjet med, var utilfreds: floden gav trods alt lige så meget vand, som der var enheder i summen, og summen afveg ikke fra tallet.

Solen bliver varmere. Vi nåede Subtraction River. Hun krævede også betaling for vandet: stå parvis og træk det mindre tal fra det større, som får det mindste svar mere vand. Og igen nummeret. Den ene parret med Zero endte med at tabe og var ked af det.

Og i River Division ønskede ingen af ​​numrene at blive parret med Zero. Siden da er ikke et enkelt tal deleligt med nul.

Det er sandt, at Queen Arithmetic forene alle tal med denne dovne person: hun begyndte simpelthen at tildele et nul ved siden af ​​tallet, som fra dette blev tidoblet. Og tallene begyndte at leve og leve og tjene gode penge.

I dag har vi opdaget endnu et "nul" trick. Hvad er det for et "trick"? Det skal vi huske for at undgå fejl i beregningerne.

1. Indledende kontrol af forståelse af, hvad der er blevet lært. Arbejd efter lærebogen.

1.Læs reglen i lærebogen og sammenlign den med din.

Lad os prøve at dividere et hvilket som helst tal med 0.
For eksempel 5:0. Hvor meget bliver det?
Det er umuligt at vælge et tal, der, når ganget med 0, er lig med 5.
Konklusion: DU KAN IKKE DIVE MED 0.

Hvilke andre opgaver kan kræve viden om denne regel?(ved at løse eksempler, ligninger)

1. Henrettelser nr. 1 s. 75 med kædekommentarer.

Fysisk træning og øjenøvelser (slide 17-18)

Om morgenen vågnede guldsmede,

Hun strakte sig og smilede.

Engang vaskede hun sig med dug,

To - yndefuldt snoede

Tre - bøjede sig ned og satte sig ned,

Klokken fire fløj den.

Stoppet ved floden

Spundet over vandet.

1. Arbejde med det dækkede materiale.

1) Udførelse nr. 2 (mundtligt)

2) At finde værdierne af udtryk nr. 6 (1) side 85

3) Løsning af problemetnr. 5 s.85 (dias 19)

Tror du, at tallet 0 ofte bruges i opgaver?
(Nej, ikke ofte, fordi 0 er ingenting, og opgaver skal indeholde en vis mængde af noget.)
Så løser vi problemer, hvor der er andre tal.
Tegning af et bord på den interaktive tavle.

Læs problemformuleringen og tænk over, hvordan du bedst laver en kort note. (I bordet).

Hvilke kolonner skal være i tabellen?

Hvad er 8 kg? (Vægt af 1 æske med blommer)

Hvad ved man ellers om problemet? (Vægt af 1 æske pærer. Vægt af alle æsker med blommer.)

Hvad siges der om antallet af æsker med pærer? (Der er lige så mange af dem). Eller mængden er den samme.

Lav et løsningsprogram og skriv selv løsningen ned.

B) Kontrol af løsningen.

1) 48:8=6(boks)

2) 9∙6=54(kg)

Svar: Der blev bragt 54 kg pærer på markedet.

4) Løsning af ligninger med mundtlig forklaring.

nr. 8 s. 85

5) Find mønsteret (opgave på sliden)(dias 20)

6 )Selvstændigt arbejde. (dias 21)

(Testarbejde. s. 42,43.)

1. Lektionsoversigt

• Hvad nyt lærte vi i lektionen?
• Hvad sker der, når man dividerer nul med et hvilket som helst tal?
• Hvilken vigtig regel skal du huske?

1. Information om lektier(dias 22)

nr. 4, nr. 6(2) s. 85.

Refleksion (se appendiks; slides 23-24)

Hvilket emne har du arbejdet med i dag? Hvad vidste du ikke i begyndelsen af ​​lektionen?
-Hvilket mål har du sat dig?
- Nåede du det? Hvilken regel stødte du på?
- Gutter! Kunne du lide lektionen?

Se på "fluffies". De har forskellige stemninger. Farv den "fluffy", der er i samme humør som dig. Vis dine "fluffies." (Jeg er tilfreds med mig selv, jeg gjorde alt; alt er godt, men jeg kunne have arbejdet bedre; lektionen er almindelig, intet interessant; intet virkede) Godt gået! Tak for lektionen! Vi ses!

Meget ofte stiller mange mennesker spørgsmålet, hvorfor kan vi ikke bruge division med nul? I denne artikel vil vi tale meget detaljeret om, hvor denne regel kom fra, samt hvilke handlinger der kan udføres med et nul.

I kontakt med

Nul kan kaldes et af de mest interessante tal. Dette tal har ingen betydning, det betyder tomhed i ordets sandeste betydning. Men hvis et nul er placeret ved siden af ​​et vilkårligt tal, vil værdien af ​​dette tal blive flere gange større.

Selve nummeret er meget mystisk. Det blev brugt af det gamle mayafolk. For mayaerne betød nul "begyndelse" og tæller kalenderdage startede også fra bunden.

Meget interessant fakta er, at nultegnet og usikkerhedstegnet lignede hinanden. Hermed ønskede mayaerne at vise, at nul er det samme identiske tegn som usikkerhed. I Europa dukkede betegnelsen nul op for relativt nylig.

Mange kender også forbuddet forbundet med nul. Det vil enhver sige du kan ikke dividere med nul. Det siger lærere i skolen, og børn plejer at tage deres ord for det. Normalt er børn enten simpelthen ikke interesserede i at vide dette, eller de ved, hvad der vil ske, hvis de efter at have hørt et vigtigt forbud straks spørger: "Hvorfor kan du ikke dividere med nul?" Men når man bliver ældre, vækker interessen, og man vil gerne vide mere om årsagerne til dette forbud. Der er dog rimelige beviser.

Handlinger med nul

Først skal du bestemme, hvilke handlinger der kan udføres med nul. Eksisterer flere typer handlinger:

• Tilføjelse;
• Multiplikation;
• Subtraktion;
• Division (nul efter tal);
• Eksponentiering.

Vigtig! Hvis du tilføjer nul til et hvilket som helst tal under addition, vil dette tal forblive det samme og vil ikke ændre dets numeriske værdi. Det samme sker, hvis du trækker nul fra et hvilket som helst tal.

Når man multiplicerer og dividerer tingene er lidt anderledes. Hvis gange ethvert tal med nul, så bliver produktet også nul.

Lad os se på et eksempel:

Lad os skrive dette som en tilføjelse:

Der er fem nuller i alt, så det viser sig

Lad os prøve at gange en med nul. Resultatet bliver også nul.

Nul kan også divideres med et hvilket som helst andet tal, der ikke er lig med det. I dette tilfælde vil resultatet være , hvis værdi også vil være nul. Den samme regel gælder for negative tal. Hvis nul er divideret med et negativt tal, så bliver det nul.

Du kan også konstruere et hvilket som helst tal V nul grader . I dette tilfælde vil resultatet være 1. Det er vigtigt at huske, at udtrykket "nul til magten af ​​nul" er absolut meningsløst. Hvis du forsøger at hæve nul til en hvilken som helst potens, får du nul. Eksempel:

Vi bruger multiplikationsreglen og får 0.

Så er det muligt at dividere med nul?

Så her kommer vi til hovedspørgsmålet. Er det muligt at dividere med nul? overhovedet? Og hvorfor kan vi ikke dividere et tal med nul, givet at alle andre handlinger med nul eksisterer og anvendes? For at besvare dette spørgsmål er det nødvendigt at vende sig til højere matematik.

Lad os starte med definitionen af ​​begrebet, hvad er nul? Skolelærere De siger, at nul er ingenting. Tomhed. Det vil sige, at når du siger, at du har 0 håndtag, betyder det, at du slet ingen håndtag har.

I højere matematik er begrebet "nul" bredere. Det betyder slet ikke tomhed. Her kaldes nul for usikkerhed, fordi hvis vi laver lidt research, viser det sig, at når vi dividerer nul med nul, kan vi ende med et hvilket som helst andet tal, som ikke nødvendigvis er nul.

Vidste du, at de simple aritmetiske operationer, som du studerede i skolen, ikke er så lige hinanden? De mest basale handlinger er addition og multiplikation.

For matematikere eksisterer begreberne "" og "subtraktion" ikke. Lad os sige: hvis du trækker tre fra fem, står du tilbage med to. Sådan ser subtraktion ud. Men matematikere ville skrive det på denne måde:

Det viser sig således, at den ukendte forskel er et bestemt tal, der skal lægges til 3 for at få 5. Det vil sige, at du ikke behøver at trække noget fra, du skal blot finde det passende tal. Denne regel gælder for tilføjelse.

Det er lidt anderledes med regler for multiplikation og division. Det er kendt, at multiplikation med nul fører til et nulresultat. For eksempel, hvis 3:0=x, så hvis du vender indtastningen om, får du 3*x=0. Og et tal, der blev ganget med 0, vil give nul i produktet. Det viser sig, at der ikke er noget tal, der ville give nogen anden værdi end nul i produktet med nul. Det betyder, at division med nul er meningsløst, det vil sige, at det passer til vores regel.

Men hvad sker der, hvis du forsøger at dividere nul i sig selv? Lad os tage et ubestemt tal som x. Den resulterende ligning er 0*x=0. Det kan løses.

Hvis vi prøver at tage nul i stedet for x, får vi 0:0=0. Det virker logisk? Men hvis vi prøver at tage et hvilket som helst andet tal, for eksempel 1, i stedet for x, ender vi med 0:0=1. Den samme situation vil ske, hvis vi tager et hvilket som helst andet nummer og sæt den ind i ligningen.

I dette tilfælde viser det sig, at vi kan tage et hvilket som helst andet tal som en faktor. Resultatet bliver et uendeligt antal forskellige tal. Nogle gange giver division med 0 i højere matematik stadig mening, men så opstår normalt en bestemt betingelse, takket være hvilken vi stadig kan vælge et passende tal. Denne handling kaldes "usikkerhedsoplysning". I almindelig aritmetik vil division med nul igen miste sin betydning, da vi ikke vil kunne vælge ét tal fra mængden.

Vigtig! Du kan ikke dividere nul med nul.

Nul og uendelighed

Uendelighed kan findes meget ofte i højere matematik. Da det simpelthen ikke er vigtigt for skolebørn at vide, at der også er matematiske operationer med uendelighed, kan lærere ikke ordentligt forklare børn, hvorfor det er umuligt at dividere med nul.

Studerende begynder først at lære grundlæggende matematiske hemmeligheder i det første år af instituttet. Højere matematik giver stort kompleks problemer, der ikke har nogen løsning. De mest kendte problemer er problemer med uendelighed. De kan løses vha matematisk analyse.

Kan også anvendes i det uendelige elementære matematiske operationer: addition, gange med tal. Normalt bruger de også subtraktion og division, men i sidste ende kommer de alligevel ned til to simple operationer.

De siger, at du kan dividere med nul, hvis du bestemmer resultatet af division med nul. Du skal blot udvide algebraen. Ved et mærkeligt tilfælde er det ikke muligt at finde i det mindste nogle eller bedre forståelige og enkle eksempler på en sådan udvidelse. For at rette internettet skal du enten have en demonstration af en af ​​metoderne til en sådan udvidelse eller en beskrivelse af, hvorfor dette ikke er muligt.

Artiklen er skrevet i forlængelse af trenden:

Ansvarsfraskrivelse

Formålet med denne artikel er at forklare på "menneskeligt sprog", hvordan matematikkens grundlæggende principper fungerer, at strukturere viden og at genoprette mistede årsag-virkning-forhold mellem grene af matematikken. Al ræsonnement er filosofisk i nogle domme, de afviger fra almindeligt accepterede (derfor foregiver de ikke at være matematisk strenge). Artiklen er designet til niveauet for den læser, der "passerede tårnet for mange år siden."

Forståelse af principperne for aritmetisk, elementær, generel og lineær algebra, matematisk og ikke-standardanalyse, mængdeteori, generel topologi, projektiv og affin geometri er ønskelig, men ikke påkrævet.

Ingen uendeligheder kom til skade under eksperimenterne.

Prolog

At gå "ud over grænserne" er en naturlig proces med at søge efter ny viden. Men ikke enhver søgning bringer ny viden og derfor gavn.

1. Faktisk er alt allerede blevet delt foran os!

1.1 Affin forlængelse af tallinjen

Lad os starte med, hvor alle eventyrere sandsynligvis starter, når de dividerer med nul. Lad os huske grafen for funktionen .

Til venstre og højre for nul går funktionen til forskellige sider"ikke-eksistens". Helt i bunden er der en generel "pool", og intet er synligt.

I stedet for at skynde sig hovedkulds ud i poolen, så lad os se på, hvad der flyder ind i det, og hvad der kommer ud af det. For at gøre dette vil vi bruge grænsen - det vigtigste værktøj til matematisk analyse. Det vigtigste "trick" er, at grænsen giver dig mulighed for at gå til givet point så tæt på som muligt uden at "træde på den". Sådan et "hegn" foran "poolen".

Original

Okay, "hegnet" er rejst. Det er ikke så skræmmende længere. Vi har to stier til poolen. Lad os gå til venstre - en stejl nedstigning, til højre - en stejl stigning. Lige meget hvor meget du går mod "hegnet", bliver det ikke tættere på. Der er ingen måde at krydse den nedre og øvre "intethed". Der opstår mistanke: måske går vi i ring? Selvom nej, ændres tallene, hvilket betyder, at de ikke er i en cirkel. Lad os rode lidt mere gennem kisten med matematiske analyseværktøjer. Ud over grænser med et "hegn" inkluderer sættet positive og negative uendeligheder. Mængderne er fuldstændig abstrakte (ikke tal), velformaliserede og klar til brug! Det passer os. Lad os supplere vores "væsen" (sættet af reelle tal) med to uendeligheder med fortegn.

I matematisk sprog:

Det er denne udvidelse, der giver dig mulighed for at tage en grænse, når argumentet har en tendens til uendelig og få uendeligt som et resultat af at tage grænsen.

Der er to grene af matematikken, der beskriver det samme ved hjælp af forskellig terminologi.

Lad os opsummere:

Den nederste linje er. De gamle tilgange virker ikke længere. Systemets kompleksitet, i form af en flok "hvis", "for alle undtagen" osv., er steget. Vi havde kun to usikkerheder 1/0 og 0/0 (vi overvejede ikke magtlovsoperationer), så der var fem. Afsløringen af ​​én usikkerhed skabte endnu flere usikkerheder.

1.2 hjul

Det stoppede ikke med introduktionen af ​​usigneret uendelighed. For at komme ud af usikkerheder, har du brug for en anden vind.

Så vi har et sæt af reelle tal og to usikkerheder 1/0 og 0/0. For at eliminere den første udførte vi en projektiv udvidelse af tallinjen (det vil sige, vi introducerede uendelig uden fortegn). Lad os prøve at håndtere den anden usikkerhed i formen 0/0. Lad os gøre det samme. Lad os tilføje et nyt element til sættet af tal, der repræsenterer den anden usikkerhed.

Definitionen af ​​divisionsoperationen er baseret på multiplikation. Det her passer os ikke. Lad os afkoble operationerne fra hinanden, men behold den sædvanlige adfærd for reelle tal. Lad os definere en unær divisionsoperation, angivet med tegnet "/".

Lad os definere operationerne.

Denne struktur kaldes "Hjulet". Udtrykket blev taget på grund af dets lighed med det topologiske billede af den projektive forlængelse af tallinjen og 0/0-punktet.

Alt ser godt ud, men djævelen er i detaljerne:

For at etablere alle funktionerne, ud over udvidelsen af ​​sættet af elementer, er der knyttet en bonus i form af ikke én, men to identiteter, der beskriver den distributive lov.

I matematisk sprog:

Ud fra en generel algebras synspunkt opererede vi med feltet. Og i feltet er der som bekendt kun defineret to operationer (addition og multiplikation). Begrebet division er afledt gennem omvendt, og endnu dybere, gennem enhedselementer. Ændringerne forvandler vores algebraiske system til en monoid for både operationen af ​​addition (med nul som et neutralt element) og operationen af ​​multiplikation (med en som et neutralt element).

Pionerernes værker bruger ikke altid symbolerne ∞ og ⊥. I stedet kan du finde poster i formen /0 og 0/0.

Verden er ikke så vidunderlig længere, vel? Alligevel er der ingen grund til at haste. Lad os tjekke, om fordelingslovens nye identiteter kan klare vores udvidede sæt .

Denne gang er resultatet meget bedre.

Lad os opsummere:

Den nederste linje er. Algebra fungerer fint. Imidlertid blev begrebet "udefineret" taget som grundlag, som de begyndte at betragte som noget eksisterende og operere med det. En dag vil nogen sige, at alt er dårligt, og du skal dele dette "udefinerede" op i flere "udefinerede", men mindre generelle algebra vil sige: "Intet problem, bro!"
Dette er omtrent hvordan yderligere (j og k) imaginære enheder postuleres i quaternioner Tilføj tags

Tallet 0 kan forestilles som en bestemt grænse, der adskiller verden af ​​reelle tal fra imaginære eller negative. På grund af den tvetydige holdning, mange operationer med dette numerisk værdi ikke adlyde matematisk logik. Umuligt at dividere med nul - lyst det eksempel. Og tilladte aritmetiske operationer med nul kan udføres ved hjælp af almindeligt accepterede definitioner.

Historien om nul

Nul er referencepunktet i alt standardsystemer regning. Europæere begyndte at bruge dette tal relativt for nylig, men vismændene i det gamle Indien brugte nul tusinde år før det tomme tal regelmæssigt blev brugt af europæiske matematikere. Selv før indianerne var nul en obligatorisk værdi i mayaernes numeriske system. Disse amerikanske folk brugte det duodecimale talsystem, og den første dag i hver måned begyndte med et nul. Det er interessant, at blandt mayaerne faldt tegnet, der betegner "nul", fuldstændig sammen med tegnet, der betegner "uendelighed". Således konkluderede de gamle mayaer, at disse mængder er identiske og ukendelige.

Matematiske operationer med nul

Matematiske standardoperationer med nul kan reduceres til nogle få regler.

Tilføjelse: Hvis du tilføjer nul til et vilkårligt tal, vil det ikke ændre sin værdi (0+x=x).

Subtraktion: Når du trækker nul fra et hvilket som helst tal, forbliver værdien af ​​subtrahenden uændret (x-0=x).

Multiplikation: Ethvert tal ganget med 0 giver 0 (a*0=0).

Division: Nul kan divideres med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul. I dette tilfælde vil værdien af ​​en sådan brøk være 0. Og division med nul er forbudt.

Eksponentiering. Denne handling kan udføres med et hvilket som helst tal. Et vilkårligt tal hævet til nulpotensen vil give 1 (x 0 =1).

Nul til enhver potens er lig med 0 (0 a = 0).

I dette tilfælde opstår der straks en modsigelse: udtrykket 0 0 giver ikke mening.

Paradokser i matematik

Mange mennesker ved fra skolen, at division med nul er umuligt. Men af ​​en eller anden grund er det umuligt at forklare årsagen til et sådant forbud. Faktisk, hvorfor eksisterer formlen for at dividere med nul ikke, men andre handlinger med dette tal er ganske rimelige og mulige? Svaret på dette spørgsmål er givet af matematikere.

Sagen er, at de sædvanlige regneoperationer, som skolebørn lærer i folkeskole, faktisk ikke er nær så lige, som vi tror. Alle simple operationer med tal kan reduceres til to: addition og multiplikation. Disse handlinger udgør essensen af ​​selve talbegrebet, og andre operationer er bygget på brugen af ​​disse to.

Addition og multiplikation

Lad os tage et standard subtraktionseksempel: 10-2=8. I skolen betragter de det ganske enkelt: Hvis du trækker to fra ti fag, er der otte tilbage. Men matematikere ser helt anderledes på denne operation. En sådan operation som subtraktion eksisterer jo ikke for dem. Dette eksempel kan skrives på en anden måde: x+2=10. For matematikere er den ukendte forskel simpelthen det tal, der skal lægges til to for at blive otte. Og her kræves ingen subtraktion, du skal blot finde den passende numeriske værdi.

Multiplikation og division behandles ens. I eksemplet 12:4=3 kan du forstå det vi taler om om at dele otte genstande i to lige store bunker. Men i virkeligheden er dette blot en omvendt formel for at skrive 3x4 = 12. Sådanne eksempler på division kan gives uendeligt.

Eksempler på division med 0

Det er her, det bliver lidt tydeligt, hvorfor du ikke kan dividere med nul. Multiplikation og division med nul følger deres egne regler. Alle eksempler på at dividere denne mængde kan formuleres som 6:0 = x. Men dette er en omvendt notation af udtrykket 6 * x = 0. Men som du ved, giver ethvert tal ganget med 0 kun 0 i produktet. Denne egenskab er iboende i selve konceptet nulværdi.

Det viser sig, at der ikke er et sådant tal, der, når det ganges med 0, giver nogen håndgribelig værdi, det vil sige, at dette problem ikke har nogen løsning. Du skal ikke være bange for dette svar, det er et naturligt svar på problemer af denne type. Det er bare, at 6:0 rekorden ikke giver nogen mening, og den kan ikke forklare noget. Kort sagt kan dette udtryk forklares med det udødelige "division med nul er umulig."

Er der en 0:0 operation? Faktisk, hvis operationen af ​​multiplikation med 0 er lovlig, kan nul så divideres med nul? En ligning med formen 0x 5=0 er jo ret lovlig. I stedet for tallet 5 kan du sætte 0, produktet vil ikke ændre sig.

Faktisk, 0x0=0. Men du kan stadig ikke dividere med 0. Som nævnt er division simpelthen det omvendte af multiplikation. Således, hvis du i eksemplet 0x5=0 skal bestemme den anden faktor, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller uendelig. At dividere uendelighed med nul - hvordan kan du lide det?

Men hvis et tal passer ind i udtrykket, så giver det ikke mening, vi kan ikke vælge bare et fra et uendeligt antal tal. Og i så fald betyder det, at udtrykket 0:0 ikke giver mening. Det viser sig, at selv nul ikke kan divideres med nul.

Højere matematik

Division med nul er hovedpine til skolematematik. Matematisk analyse studeret på tekniske universiteter udvider lidt begrebet problemer, der ikke har nogen løsning. For eksempel tilføjes nye til det allerede kendte udtryk 0:0, som ikke har løsninger i skolens matematikkurser:

• uendeligt divideret med uendeligt: ​​∞:∞;
• uendelig minus uendelig: ∞−∞;
• enhed hævet til en uendelig potens: 1 ∞ ;
• uendelig ganget med 0: ∞*0;
• nogle andre.

Det er umuligt at løse sådanne udtryk ved hjælp af elementære metoder. Men højere matematik tak yderligere funktioner for en række lignende eksempler giver endelige løsninger. Dette er især tydeligt i betragtning af problemer fra teorien om grænser.

Låser op for usikkerhed

I teorien om grænser er værdien 0 erstattet af en betinget infinitesimal variabel. Og udtryk, hvori, når du substituerer den ønskede værdi, opnås division med nul, transformeres. Nedenfor er et standardeksempel på afsløring af en grænse ved hjælp af almindelige algebraiske transformationer:

Som du kan se i eksemplet, fører blot en reduktion af en brøk dens værdi til et fuldstændig rationelt svar.

Når man overvejer grænserne trigonometriske funktioner deres udtryk har en tendens til at blive reduceret til den første bemærkelsesværdige grænse. Når man overvejer grænser, hvor nævneren bliver 0, når grænsen erstattes, bruges en anden bemærkelsesværdig grænse.

L'Hopital metode

I nogle tilfælde kan grænserne for udtryk erstattes af grænserne for deres derivater. Guillaume L'Hopital - fransk matematiker, grundlægger af den franske skole for matematisk analyse. Han beviste, at grænserne for udtryk er lig med grænserne for afledte af disse udtryk. I matematisk notation ser hans regel sådan ud.