Hvad sker der, hvis 0 divideres med 0. Hvorfor kan man ikke dividere med nul? illustrativt eksempel

Nyheder

Evgeny Shiryaev, foredragsholder og leder af Laboratoriet for Matematik på Polytechnic Museum, fortalte AiF.ru om division med nul:

1. Spørgsmålets jurisdiktion

Enig, forbuddet giver en særlig provokativitet til reglen. Hvordan er det umuligt? Hvem har forbudt? Men hvad med vores borgerrettigheder?

Hverken Den Russiske Føderations forfatning eller straffeloven eller din skoles charter gør indsigelse mod den intellektuelle handling, der interesserer os. Det betyder, at forbuddet ikke har nogen juridisk kraft, og intet forhindrer lige her, på AiF.ru's sider, i at forsøge at dividere noget med nul. For eksempel tusind.

2. Opdel som lært

Husk, da du først lærte at dividere, blev de første eksempler løst ved at kontrollere ved multiplikation: resultatet ganget med divisoren skulle matche det delelige. Stemte ikke - besluttede sig ikke.

Eksempel 1 1000: 0 =...

Lad os glemme den forbudte regel i et minut og gøre flere forsøg på at gætte svaret.

Forkert vil afskære checken. Gentag over mulighederne: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. For hver af dem vil testen give det samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Nul ved multiplikation forvandler alt til sig selv og aldrig til tusind. Konklusionen er let at formulere: intet tal vil bestå testen. Det vil sige, at intet tal kan være resultatet af at dividere et ikke-nul tal med nul. En sådan opdeling er ikke forbudt, men har simpelthen intet resultat.

3. Nuancer

Gik næsten en mulighed for at afvise forbuddet. Ja, vi erkender, at et ikke-nul tal ikke vil være deleligt med 0. Men det kan 0 selv måske?

Eksempel 2 0: 0 = ...

Dine forslag til private? 100? Venligst: kvotienten af 100 ganget med divisoren af 0 er lig med den delelige af 0.

Flere muligheder! en? Også velegnet. Og -23, og 17, og alle-alle-alle. I dette eksempel vil resultatkontrollen være positiv for ethvert tal. Og for at være ærlig skal løsningen i dette eksempel ikke hedde et tal, men et sæt tal. Alle sammen. Og det vil ikke tage lang tid at blive enige om, at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og begge er en kanins drøm.

4. Hvad med højere matematik?

Problemet er løst, nuancerne er taget i betragtning, prikkerne er placeret, alt er klart - intet tal kan være svaret for eksemplet med division med nul. At løse sådanne problemer er håbløst og umuligt. Så interessant! Dobbelt to.

Eksempel 3 Find ud af, hvordan du dividerer 1000 med 0.

Men ingen måde. Men 1000 kan nemt divideres med andre tal. Nå, lad os i det mindste gøre, hvad der virker, selvom vi ændrer opgaven. Og der, ser du, vi bliver revet med, og svaret dukker op af sig selv. Glem alt om nul i et minut og divider med hundrede:

Hundrede er langt fra nul. Lad os tage et skridt hen imod det ved at mindske divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Indlysende dynamik: Jo tættere divisoren er på nul, jo større er kvotienten. Tendensen kan observeres yderligere ved at flytte til brøker og fortsætte med at reducere tælleren:

Det er tilbage at bemærke, at vi kan nærme os nul så tæt som vi vil, hvilket gør kvotienten vilkårligt stor.

Der er intet nul i denne proces og ingen sidste kvotient. Vi indikerede bevægelsen mod dem ved at erstatte tallet med en sekvens, der konvergerer til antallet af interesse for os:

Dette indebærer en lignende erstatning for udbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Pilene er dobbeltsidede af en grund: nogle sekvenser kan konvergere til tal. Så kan vi associere en sekvens med dens numeriske grænse.

Lad os se på rækkefølgen af kvotienter:

Den vokser i det uendelige, stræber efter intet antal og overgår nogen. Matematikere tilføjer symboler til tal ∞ for at kunne sætte en dobbeltsidet pil ud for en sådan sekvens:

Sammenligning af antallet af sekvenser med en grænse giver os mulighed for at foreslå en løsning på det tredje eksempel:

Ved at dividere en sekvens, der konvergerer til 1000 element-vis, med en sekvens af positive tal, der konvergerer til 0, får vi en sekvens, der konvergerer til ∞.

5. Og her er nuancen med to nuller

Hvad bliver resultatet af at dividere to sekvenser af positive tal, der konvergerer til nul? Hvis de er ens, så den identiske enhed. Hvis et sekvensudbytte konvergerer til nul hurtigere, så i en bestemt sekvens med en nulgrænse. Og når elementerne i divisoren falder meget hurtigere end dividenden, vil kvotientsekvensen vokse kraftigt:

Usikker situation. Og sådan hedder det: formens usikkerhed 0/0 . Når matematikere ser sekvenser, der falder ind under en sådan usikkerhed, skynder de sig ikke med at dividere to identiske tal med hinanden, men finder ud af, hvilken af sekvenserne der løber hurtigere til nul og hvordan. Og hvert eksempel vil have sit eget specifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spænding og modstand i et kredsløb. Det er ofte skrevet i denne form:

Lad os forsømme nøjagtig fysisk forståelse og formelt se på højre side som en kvotient af to tal. Forestil dig, at vi løser et skoleproblem på el. Tilstanden er givet spænding i volt og modstand i ohm. Spørgsmålet er indlysende, beslutningen i én handling.

Lad os nu se på definitionen af superledning: dette er visse metallers egenskab til at have nul elektrisk modstand.

Nå, lad os løse problemet med et superledende kredsløb? Sig det bare sådan R= 0 ikke virker, opstår fysikken med et interessant problem, bag hvilket der naturligvis er en videnskabelig opdagelse. Og de mennesker, der formåede at dividere med nul i denne situation, modtog Nobelprisen. Det er nyttigt at kunne omgå ethvert forbud!

Lektionen var baseret på selvstændige handlinger fra eleverne på hvert trin, fuldstændig fordybelse i læringsopgaven. Dette blev lettet af sådanne teknikker som arbejde i grupper, selv- og gensidig verifikation, skabelse af en successituation, differentierede opgaver, selvrefleksion.

Hent:

Eksempel:

Lærebog: "Matematik" klasse 3 M.I. Moreau

Lektionens mål:

For at nå målet blev lektionen designet under hensyntagenaktivitetstilgang.

Opbygningen af lektionen omfattede:

Org. øjeblik , hvis formål var positivt at sætte børn op til læringsaktiviteter.
Motivering lov til at opdatere viden, danne mål og mål for lektionen. Til dette formål var opgaverfinde et ekstra tal, klassificere eksempler i grupper, tilføje manglende tal. I løbet af løsningen af disse opgaver stødte børnene på problem : der var et eksempel på løsningen, som der ikke er nok eksisterende viden om. Af denne grund, børnsætte deres egne målog sæt læringsmålene for lektionen.
Søgning og opdagelse af ny videngav børnene mulighedtilbyde forskellige mulighederopgaveløsninger.Baseret på tidligere lært materiale,de var i stand til at finde den rigtige løsning og komme til konklusion hvori den nye regel blev formuleret.
I løbet af primær fiksering elever kommenterede deres handlinger, arbejder efter reglen, blev desuden udvalgt deres eksempler på denne regel.
Til automatisering af handlinger og evne til at bruge regler i ikke-standardopgaver, børn løste ligninger, udtryk i flere handlinger.
Selvstændigt arbejde og krydstjek viste, at de fleste af børnene lærte emnet.
Under refleksion børnene konkluderede, at målet med lektionen var nået og vurderede sig selv ved hjælp af kort.

Matematikundervisning i 3. klasse.

Lektionens emne: "At dividere 0 med et tal. Kan ikke dividere med 0

Lektionens mål: skabe betingelser for dannelsen af evnen til at dividere 0 med et tal.

Lektionens mål:

afsløre betydningen af at dividere 0 med et tal gennem forholdet mellem multiplikation og division;
udvikle uafhængighed, opmærksomhed, tænkning;
at danne færdigheder i at løse eksempler til tabelformal multiplikation og division.

Under timerne.

organisatorisk fase.

Tjek din parathed til lektionen, sæt dig oprejst.
Gnid dine ører for at øge blodgennemstrømningen til din hjerne. I dag vil du have en masse interessant arbejde, som jeg er sikker på, du vil gøre meget godt.

(slide 1; 2; 3)

En munter klokke ringede

Vi starter vores lektion.

Sidder alle rigtigt?

Ser alle med?

Alle ønsker at modtage

Kun fem vurderinger!

Åbn dine notesbøger, skriv dagens dato ned.(dias 4) Hvad kan du sige om tallet 20? (Det er tocifret; det er lige; det består af et tier-ciffer og et enheder-ciffer).

Hvor mange tiere og hvor mange er der? (2 tiere og 0 enheder.).

Verbal optælling.

Spil "Find det ekstra nummer"(dias 5)

Fra hver kolonne skal du vælge "ekstra nummer"

2. Find arealerne af figurerne:(dias 6)

3. Aritmetisk diktat:

Hvilket tal skal ganges med 7 for at få 42?
Hvad er det tal, der er mindre end 24 gange 6?
Fra hvilket tal skal 18 trækkes fra for at få 3?
Hvor mange gange er 4 tiere større end 5?
Find produktet af 9 og 3.
Udbytte 36, kvotient 6. Hvad er divisoren?
Øg 8 gange 6 gange.
Hvilket tal skal 28 divideres med for at få 7?

Skriv kun svarene ned.

(Gensidig kontrol: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (dias 7)

4.Individuelt arbejde(arbejde på kort, se vedhæftede filer)

5. At skabe en problemsituation
Opgaver i par:
- Arranger eksempler i 2 grupper:

Hvorfor er det så fordelt?(med svar 4 og 5)

Løs eksempler:
8 7-6+30:6=
28:(16:4) 6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-102):5=

Hvad lagde du mærke til? Er der nogle ekstra eksempler her?
- Har du kunnet løse alle eksemplerne?
- Hvem har problemer?
Hvordan adskiller dette eksempel sig fra de andre?
- Hvis nogen bestemmer, så godt gået. Men hvorfor ikke alle kunne klare dette eksempel?

6. Redegørelse for uddannelsesopgaven.
Her er et eksempel med 0. Og fra 0 kan du forvente forskellige tricks. Dette er et usædvanligt antal.
Husk, hvad du ved om 0?(a 0=0, 0 a=0, 0+a=a)
Giv eksempler.
Se hvor lumsk det er: når det lægges til, ændrer det ikke tallet, men når det ganges, bliver det til 0.
Gælder disse regler for vores eksempel? (nej)
Hvordan vil han opføre sig, når han deler sig?

Rapportering af emnet og målene for lektionen (dias 8)

- Så hvad er vores mål? Løs dette eksempel korrekt.

mål

Bord på tavlen.

Hvad skal der til? Lær reglen for at dividere 0 med et tal.

en opgave

Emnet for vores lektion: "At dividere nul med et tal, umuligheden af at dividere med nul."

Vi vil overveje teknikkerne til at dividere nul med et tal, konsolidere viden om multiplikationstabellen, evnen til at løse sammensatte problemer.

Assimilering af ny viden og handlemåder.

Hvordan finder man den rigtige løsning?
Hvad er operationen af multiplikation?(med opdeling)
Giv et eksempel
2 3 = 6
6: 2 = 3

Kan vi nu 0:5?
Det betyder, at du skal finde et tal, der, når det ganges med 5, vil være 0.
x 5=0
Dette tal er 0. Så 0:5=0.

Giv dine eksempler.

På skærmen: 0:6 (slide 9)

Vælg et tal, der ganges med 6 ville være 0? (Det er 0).

Altså 0:6=0

Sagen om opdeling betragtes på samme måde. 0:9.

Konklusion: Når nul divideres med et hvilket som helst andet tal, opnås nul.

HUSK Du kan ikke dividere med nul!

Hvorfor kan du ikke dividere med nul? Begrund dit svar.

(Når man dividerer med 0, f.eks. tallet 6 eller et hvilket som helst andet tal end nul, kan man ikke finde et tal, der ganget med nul ville give 6 eller et andet tal).

2. Lyt nul historie. (slides 10-16)

Langt, langt væk, hinsides havene og bjergene, lå Cyfrins land. Meget ærlige tal boede i det. Kun Null var doven og uærlig.

Da alle lærte, at langt ud over ørkenen, dukkede dronning Arithmetic op og kaldte indbyggerne i Cyphria til sin tjeneste. Alle ville tjene dronningen. Mellem Cyphria og Aritmetikkens rige lå en ørken, som blev krydset af fire floder: Addition, Subtraktion, Multiplikation og Division. Hvordan kommer man til Aritmetik? Numbers besluttede at forene sig (det er trods alt lettere at overvinde vanskeligheder med kammerater) og forsøge at krydse ørkenen.

Tidligt om morgenen, så snart solen rørte jorden med dens stråler, gik tallene i gang. De gik i lang tid under den brændende sol, og endelig nåede de Slozhenie-floden. Tallene skyndte sig til floden for at drikke sig fuld, men floden sagde: "Par dig parvis og læg sammen, så vil jeg give dig en drink." Alle opfyldte flodens orden, opfyldte ønsket og den dovne Zero. Men tallet, som han udviklede sig med, forblev utilfreds: floden gav trods alt lige så meget vand, som der var enheder i summen, og summen afveg ikke fra tallet.

Solen bager endnu mere. Vi nåede Subtraction River. Hun krævede også betaling for vand: bliv par og træk det mindre tal fra det større, den der får det mindste svar får mere vand. Og igen et nummer. At stå i et par med Zero viste sig at være taberen og var ked af det.

Og ved River Division ønskede ingen af numrene at blive et par med Zero. Siden da har intet tal været deleligt med nul.

Sandt nok forenede dronningen af aritmetik alle tal med denne dovne person: hun begyndte simpelthen at tildele nul ved siden af tallet, som fra dette steg ti gange. Og tallene begyndte at leve, leve og gøre godt.

I dag har vi åbnet endnu et fokus på "nul". Hvad er dette "fokus"? Det skal huskes for at undgå fejl i beregninger.

Primær test af forståelse af det undersøgte. Lærebogsarbejde.

1. Læs reglen i lærebogen og sammenlign med din.

Og lad os prøve at dividere et hvilket som helst tal med 0.
For eksempel 5:0. Hvor meget vil det tage?
Der er ingen måde at finde et tal, der, når ganget med 0, er 5.
Konklusion: DIVIDER IKKE MED 0.

Hvilke andre opgaver kan kræve viden om denne regel?(ved at løse eksempler, ligninger)

Præstationer nr. 1 s. 75 med kædekommentar.

Fysisk træning og øvelser for øjnene (slide 17-18)

Om morgenen vågnede guldsmede

Udstrakt, smilede.

Engang - hun vaskede sig med dug,

To - yndefuldt cirklet

Tre - bøjede sig ned og satte sig ned,

Fire - fløj.

Stoppet ved floden

Cirklet over vandet.

Arbejde med indlært materiale.

1) Udførelse nr. 2 (mundtligt)

2) At finde værdierne af udtryk№6 (1) side 85

3) Problemløsning№5 s.85 (dias 19)

Hvor ofte tror du, at tallet 0 bruges i opgaver?
(Nej, ikke ofte, fordi 0 er ingenting, og opgaver bør have en vis mængde af noget.)
Så løser vi problemer, hvor der er andre tal.
Tegning af et bord på en interaktiv tavle.

Læs problemets tilstand og tænk over, hvordan det er mere bekvemt at lave en kort note. (I bordet).

Hvilke kolonner skal være i tabellen?

Hvad er 8 kg? (Vægt af 1 æske blommer)

Hvad er der ellers kendt i problemet? (Vægt af 1 æske pærer. Vægt af alle æsker med blommer.)

Hvad siges der om antallet af æsker med pærer? (der er lige så mange). Eller det samme beløb.

Programmer løsningen og skriv løsningen selv.

B) Verifikation af løsningen.

1) 48:8=6(boks)

2) 9∙6=54(kg)

Svar: Der blev bragt 54 kg pærer på markedet.

4) Løsning af ligninger med mundtlig forklaring.

№8 s. 85

5) Find et mønster (opgave på sliden)(dias 20)

6 )Selvstændigt arbejde. (dias 21)

(Verifikationsarbejde. s. 42,43.)

Lektionsopsummering

Hvad nyt lærte vi i lektionen?
Hvad sker der, når man dividerer nul med et hvilket som helst tal?
Hvad er den vigtigste regel at huske?

Oplysninger om lektier (slide 22)

nr. 4, nr. 6, stk. 2, s. 85.

Refleksion (se appendiks; slides 23-24)

Hvilket emne arbejder du med i dag? Hvad vidste du ikke i begyndelsen af lektionen?
- Hvad var dit mål?
- Nåede du det? Hvilken regel fandt du på?
- Gutter! Kunne du lide lektionen?

Se på "fluffies". De har forskellige stemninger. Farv den "fluffy", der har samme humør som dig. Vis dine "fluffies" (Jeg er tilfreds med mig selv, jeg gjorde det; alt er fint, men jeg kunne arbejde bedre; lektionen er almindelig, intet interessant; intet lykkedes) Godt gået! Tak for lektionen! Vi ses snart!

Meget ofte undrer mange mennesker sig over, hvorfor det er umuligt at bruge division med nul? I denne artikel vil vi gå i detaljer om, hvor denne regel kom fra, samt hvilke handlinger der kan udføres med nul.

I kontakt med

Nul kan kaldes et af de mest interessante tal. Dette tal har ingen betydning, det betyder tomhed i ordets sandeste betydning. Men hvis du sætter nul ud for et ciffer, vil værdien af dette ciffer blive flere gange større.

Nummeret er meget mystisk i sig selv. Det blev brugt af det gamle mayafolk. For mayaerne betød nul "begyndelse", og nedtællingen af kalenderdage startede også fra nul.

En meget interessant kendsgerning er, at tegnet på nul og tegnet på usikkerhed var ens for dem. Hermed ønskede mayaerne at vise, at nul er det samme identiske tegn som usikkerhed. I Europa dukkede betegnelsen nul op relativt for nylig.

Også mange mennesker kender forbuddet forbundet med nul. Enhver person vil sige det kan ikke divideres med nul. Det siger lærere i skolen, og børn tager normalt deres ord for det. Normalt er børn enten simpelthen ikke interesserede i at vide dette, eller også ved de, hvad der vil ske, hvis de efter at have hørt et vigtigt forbud straks spørger "Hvorfor kan du ikke dividere med nul?". Men når man bliver ældre, vågner interessen, og man vil gerne vide mere om årsagerne til et sådant forbud. Der er dog rimelige beviser.

Handlinger med nul

Først skal du bestemme, hvilke handlinger der kan udføres med nul. Eksisterer flere typer aktiviteter:

Tilføjelse;
Multiplikation;
Subtraktion;
Division (nul efter tal);
Eksponentiering.

Vigtig! Hvis nul tilføjes til et hvilket som helst tal under addition, vil dette tal forblive det samme og vil ikke ændre dets numeriske værdi. Det samme sker, hvis du trækker nul fra et hvilket som helst tal.

Med multiplikation og division er tingene lidt anderledes. Hvis en gange ethvert tal med nul, så bliver produktet også nul.

Overvej et eksempel:

Lad os skrive dette som en tilføjelse:

Der er fem tilføjede nuller i alt, så det viser sig

Lad os prøve at gange en med nul. Resultatet vil også være nul.

Nul kan også divideres med et hvilket som helst andet tal, der ikke er lig med det. I dette tilfælde vil det vise sig, hvis værdi også vil være nul. Den samme regel gælder for negative tal. Hvis du dividerer nul med et negativt tal, får du nul.

Du kan også hæve et hvilket som helst tal til nul effekt. I dette tilfælde får du 1. Det er vigtigt at huske, at udtrykket "nul til nulstyrken" er absolut meningsløst. Hvis du forsøger at hæve nul til en hvilken som helst potens, får du nul. Eksempel:

Vi bruger multiplikationsreglen, vi får 0.

Er det muligt at dividere med nul

Så her kommer vi til hovedspørgsmålet. Er det muligt at dividere med nul generelt? Og hvorfor er det umuligt at dividere et tal med nul, givet at alle andre operationer med nul fuldt ud eksisterer og gælder? For at besvare dette spørgsmål skal du vende dig til højere matematik.

Lad os starte med definitionen af begrebet, hvad er nul? Skolelærere hævder, at nul er ingenting. Tomhed. Det vil sige, at når du siger, at du har 0 kuglepenne, betyder det, at du slet ikke har nogen kuglepenne.

I højere matematik er begrebet "nul" bredere. Det betyder slet ikke tom. Her kaldes nul for usikkerhed, for hvis man laver lidt research, viser det sig, at ved at dividere nul med nul, kan vi få et hvilket som helst andet tal som resultat, som måske ikke nødvendigvis er nul.

Ved du, at de simple regneoperationer, som du studerede i skolen, ikke er så lige indbyrdes? De mest grundlæggende trin er addition og multiplikation.

For matematikere eksisterer begreberne "" og "subtraktion" ikke. Antag: Hvis tre trækkes fra fem, så vil to blive tilbage. Sådan ser subtraktion ud. Men matematikere ville skrive det på denne måde:

Således viser det sig, at den ukendte forskel er et bestemt tal, der skal lægges til 3 for at få 5. Det vil sige, at du ikke behøver at trække noget fra, du skal bare finde et passende tal. Denne regel gælder for tilføjelse.

Det er lidt anderledes med multiplikations- og divisionsregler. Det er kendt, at multiplikation med nul fører til nul resultat. For eksempel, hvis 3:0=x, så hvis du spejlvender posten, får du 3*x=0. Og det tal, der ganges med 0, vil give nul i produktet. Det viser sig, at et tal, der ville give en anden værdi end nul i produktet med nul, ikke eksisterer. Det betyder, at division med nul er meningsløst, det vil sige, at det passer til vores regel.

Men hvad sker der, hvis du forsøger at dividere nul af sig selv? Lad os tage x som et ubestemt tal. Det viser sig, at ligningen er 0 * x \u003d 0. Det kan løses.

Hvis vi prøver at tage nul i stedet for x, får vi 0:0=0. Det virker logisk? Men hvis vi prøver at tage et hvilket som helst andet tal i stedet for x, for eksempel 1, så ender vi med 0:0=1. Den samme situation vil være, hvis du tager et hvilket som helst andet nummer og sæt den ind i ligningen.

I dette tilfælde viser det sig, at vi kan tage et hvilket som helst andet tal som en faktor. Resultatet vil være et uendeligt antal forskellige tal. Nogle gange giver det alligevel mening at dividere med 0 i højere matematik, men så er der normalt en bestemt betingelse, på grund af hvilken vi stadig kan vælge et passende tal. Denne handling kaldes "usikkerhedsoplysning". I almindelig aritmetik vil division med nul igen miste sin betydning, da vi ikke vil være i stand til at vælge ét tal fra mængden.

Vigtig! Nul kan ikke divideres med nul.

Nul og uendelighed

Uendelighed er meget almindeligt i højere matematik. Da det simpelthen ikke er vigtigt for skolebørn at vide, at der stadig er matematiske operationer med uendelighed, kan lærere ikke ordentligt forklare børn, hvorfor det er umuligt at dividere med nul.

Studerende begynder først at lære de grundlæggende matematiske hemmeligheder i det første år af instituttet. Højere matematik giver et stort sæt af problemer, der ikke har nogen løsning. De mest kendte problemer er problemerne med uendelighed. De kan løses med matematisk analyse.

Du kan også ansøge til uendeligt elementære matematiske operationer: addition, multiplikation med et tal. Subtraktion og division er også almindeligt brugt, men i sidste ende kommer de stadig ned til to simple operationer.

De siger, at du kan dividere med nul, hvis du bestemmer resultatet af division med nul. Skal bare udvide algebraen. Ved et mærkeligt tilfælde er det ikke muligt at finde i det mindste nogle, men bedre forståelige og enkle, eksempler på en sådan udvidelse. For at rette internettet skal du enten have en demonstration af en af metoderne til en sådan udvidelse eller en beskrivelse af, hvorfor dette ikke er muligt.

Artiklen er skrevet i forlængelse af trenden:

Ansvarsfraskrivelse

Formålet med denne artikel er at forklare på "menneskeligt sprog", hvordan matematikkens grundlæggende grundlag fungerer, at strukturere viden og at genoprette de savnede årsag-virkning-forhold mellem dele af matematikken. Alle argumenter er filosofiske, med hensyn til vurderinger afviger de fra almindeligt accepterede (derfor hævder de ikke at være matematisk strenge). Artiklen er designet til niveauet for læseren "passerede tårnet for mange år siden."

Forståelse af principperne for aritmetisk, elementær, generel og lineær algebra, matematisk og ikke-standardanalyse, mængdeteori, generel topologi, projektiv og affin geometri er ønskelig, men ikke påkrævet.

Under eksperimenterne blev ikke en eneste uendelighed påvirket.

Prolog

At gå "ud over" er en naturlig proces med at søge efter ny viden. Men ikke enhver søgning bringer ny viden og derfor gavn.

1. Generelt er alt allerede blevet delt op til os!

1.1 Affin forlængelse af tallinjen

Lad os starte med, hvor sandsynligvis alle eventyrere starter, når de dividerer med nul. Genkald grafen for funktionen

Til venstre og til højre for nul går funktionen i forskellige retninger af "ikke-eksistens". Helt ved nulpunktet er der generelt et "hvirvelpool", og intet er synligt.

I stedet for at kaste os hovedkulds ud i "poolen", så lad os se, hvad der flyder ind, og hvad der flyder ud derfra. For at gøre dette bruger vi grænsen - det vigtigste værktøj til matematisk analyse. Det vigtigste "trick" er, at grænsen giver dig mulighed for at gå til et givet punkt så tæt på som muligt, men ikke "træde på det". Sådan et "hegn" foran "hvirvelen".

Original

Okay, "hegnet" blev sat op. Det er ikke så skræmmende længere. Vi har to veje til "boblebadet". Lad os gå til venstre - en stejl nedstigning, til højre - en stejl opstigning. Lige meget hvor meget du går til “hegnet”, kommer det ikke tættere på. Der er ingen måde at krydse den nedre og øvre "ikke-eksistens". Der opstår mistanker, måske går vi i ring? Selvom nej, tallene ændrer sig, så ikke i en cirkel. Lad os rode i brystet med værktøjerne til matematisk analyse endnu. Ud over grænserne med et "hegn" kommer sættet med positiv og negativ uendelighed. Værdierne er fuldstændig abstrakte (ikke tal), velformaliserede og klar til brug! Det passer os. Lad os supplere vores "væsen" (sættet af reelle tal) med to uendeligheder med fortegn.

Matematisk sprog:

Det er denne udvidelse, der giver dig mulighed for at tage grænsen, når argumentet har en tendens til uendelig og få uendeligt som et resultat af at tage grænsen.
Der er to grene af matematik, der beskriver det samme ved hjælp af forskellig terminologi.
At opsummere:

i tør rest. De gamle tilgange virker ikke længere. Systemets kompleksitet, i form af en flok "hvis", "for alle undtagen" osv., er steget. Vi havde kun to usikkerheder 1/0 og 0/0 (vi overvejede ikke strømdrift), så der var fem. Afsløringen af en usikkerhedsfaktor gav anledning til endnu flere usikkerheder.
1.2 hjul
Alt stoppede ikke ved introduktionen af usigneret uendelighed. For at komme ud af uvisheden har du brug for en ny vind.
Så vi har et sæt reelle tal og to usikkerheder 1/0 og 0/0. For at eliminere den første udførte vi en projektiv forlængelse af den reelle linje (det vil sige, vi introducerede usigneret uendelighed). Lad os prøve at håndtere den anden usikkerhed i formen 0/0. Lad os gøre det samme. Lad os supplere mængden af tal med et nyt element, der repræsenterer den anden usikkerhed.

Definitionen af division er baseret på multiplikation. Det passer os ikke. Lad os løsne operationerne fra hinanden, men behold den sædvanlige adfærd for reelle tal. Lad os definere en unær divisionsoperation, betegnet med "/".

Lad os definere operationer.

Denne struktur kaldes "Hjulet". Udtrykket blev taget på grund af ligheden med det topologiske billede af den projektive forlængelse af den reelle linje og punktet 0/0.

Alt ser godt ud, men djævelen er i detaljerne:

For at afgøre alle funktionerne, ud over at udvide sættet af elementer, tilføjes en bonus i form af ikke én, men to identiteter, der beskriver den distributive lov.

Matematisk sprog:
Ud fra den generelle algebras synspunkt opererede vi på marken. Og i feltet er der som bekendt kun defineret to operationer (addition og multiplikation). Begrebet division er afledt gennem inverse, og hvis endnu dybere, så enkelte elementer. De foretagne ændringer gør vores algebraiske system til en monoid både ved operationen af addition (med nul som et neutralt element) og ved operationen af multiplikation (med enhed som et neutralt element).
I opdagernes værker bruges symbolerne ∞ og ⊥ ikke altid. I stedet kan du se indtastningen i formen /0 og 0/0.

Verden er ikke så smuk længere, er det? Alligevel, skynd dig ikke. Lad os tjekke, om de nye identiteter i distributionsloven vil klare vores udvidede sæt .

Denne gang er resultatet meget bedre.
At opsummere:

i tør rest. Algebra fungerer fint. Begrebet "ikke defineret" blev dog taget som grundlag, som begyndte at blive betragtet som noget eksisterende og at operere med det. En dag vil nogen sige, at alt er dårligt, og du skal opdele dette "ikke defineret" i flere "ikke defineret", men mindre. Generel algebra vil sige: "Intet problem, bro!".
Sådan postuleres yderligere (j og k) imaginære enheder i quaternioner. Tilføj tags

Tallet 0 kan repræsenteres som en slags grænse, der adskiller verden af reelle tal fra imaginære eller negative. På grund af den tvetydige position adlyder mange operationer med denne numeriske værdi ikke matematisk logik. Umuligheden af at dividere med nul er et godt eksempel på dette. Og tilladte aritmetiske operationer med nul kan udføres ved hjælp af almindeligt accepterede definitioner.

Zero historie

Nul er referencepunktet i alle standardtalsystemer. Europæere begyndte at bruge dette tal relativt for nylig, men vismændene i det gamle Indien brugte nul i tusind år, før det tomme tal regelmæssigt blev brugt af europæiske matematikere. Selv før indianerne var nul en obligatorisk værdi i Mayaernes talsystem. Dette amerikanske folk brugte duodecimalsystemet, og de begyndte den første dag i hver måned med et nul. Interessant nok faldt tegnet for "nul" blandt mayaerne fuldstændig sammen med tegnet for "uendelighed". Således konkluderede den gamle Maya, at disse mængder var identiske og ukendelige.

Matematikoperationer med nul

Matematiske standardoperationer med nul kan reduceres til nogle få regler.

Tilføjelse: Hvis du tilføjer nul til et vilkårligt tal, vil det ikke ændre sin værdi (0+x=x).

Subtraktion: Når du trækker nul fra et hvilket som helst tal, forbliver værdien af det subtraherede uændret (x-0=x).

Multiplikation: ethvert tal ganget med 0 giver 0 i produktet (a*0=0).

Division: Nul kan divideres med et hvilket som helst tal, der ikke er nul. I dette tilfælde vil værdien af en sådan brøk være 0. Og division med nul er forbudt.

Eksponentiering. Denne handling kan udføres med et hvilket som helst tal. Et vilkårligt tal hævet til nul vil give 1 (x 0 =1).

Nul til enhver potens er lig med 0 (0 a \u003d 0).

I dette tilfælde opstår der straks en modsigelse: udtrykket 0 0 giver ikke mening.

Paradokser i matematik

At division med nul er umuligt, kender mange fra skolen. Men af en eller anden grund er det ikke muligt at forklare årsagen til et sådant forbud. Ja, hvorfor eksisterer division-ved-nul-formlen ikke, men andre handlinger med dette tal er ganske rimelige og mulige? Svaret på dette spørgsmål er givet af matematikere.

Sagen er, at de sædvanlige regneoperationer, som skolebørn læser i folkeskolen, faktisk langt fra er så lige, som vi tror. Alle simple operationer med tal kan reduceres til to: addition og multiplikation. Disse operationer er essensen af selve begrebet et tal, og resten af operationerne er baseret på brugen af disse to.

Addition og multiplikation

Lad os tage et standard subtraktionseksempel: 10-2=8. I skolen betragtes det som simpelt: Hvis to bliver taget væk fra ti genstande, er der otte tilbage. Men matematikere ser helt anderledes på denne operation. Der er trods alt ingen sådan operation som subtraktion for dem. Dette eksempel kan skrives på en anden måde: x+2=10. For matematikere er den ukendte forskel simpelthen det tal, der skal lægges til to for at blive otte. Og her kræves ingen subtraktion, du skal blot finde en passende numerisk værdi.

Multiplikation og division behandles på samme måde. I eksemplet 12:4=3 kan det forstås, at vi taler om opdelingen af otte objekter i to lige store bunker. Men i virkeligheden er dette bare en omvendt formel til at skrive 3x4 \u003d 12. Sådanne eksempler på division kan gives uendeligt.

Eksempler på at dividere med 0

Det er her, det bliver lidt tydeligt, hvorfor det er umuligt at dividere med nul. Multiplikation og division med nul har deres egne regler. Alle eksempler pr. division af denne mængde kan formuleres som 6:0=x. Men dette er et omvendt udtryk for udtrykket 6 * x = 0. Men som bekendt giver ethvert tal ganget med 0 kun produktet 0. Denne egenskab er iboende i selve konceptet med en nulværdi.

Det viser sig, at et sådant tal, som, når det ganges med 0, giver nogen håndgribelig værdi, ikke eksisterer, det vil sige, at dette problem ikke har nogen løsning. Man skal ikke være bange for et sådant svar, det er et naturligt svar på problemer af denne type. Bare det at skrive 6:0 giver ingen mening, og det kan ikke forklare noget. Kort sagt kan dette udtryk forklares med det udødelige "ingen division med nul".

Er der en 0:0 operation? Faktisk, hvis operationen med at gange med 0 er lovlig, kan nul så divideres med nul? En ligning med formen 0x5=0 er jo ret lovlig. I stedet for tallet 5 kan du sætte 0, produktet vil ikke ændre sig fra dette.

Faktisk, 0x0=0. Men du kan stadig ikke dividere med 0. Som sagt er division kun det omvendte af multiplikation. Således, hvis du i eksemplet 0x5=0 skal bestemme den anden faktor, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller uendelig. At dividere uendelighed med nul - hvordan kan du lide det?

Men hvis et tal passer ind i udtrykket, så giver det ikke mening, vi kan ikke vælge et fra et uendeligt sæt tal. Og hvis det er tilfældet, betyder det, at udtrykket 0:0 ikke giver mening. Det viser sig, at selv nul ikke kan divideres med nul.

højere matematik

Division med nul er en hovedpine for gymnasiets matematik. Matematisk analyse studeret på tekniske universiteter udvider lidt begrebet problemer, der ikke har nogen løsning. For eksempel til det allerede kendte udtryk 0:0 tilføjes nye, der ikke har nogen løsning i skolens matematikkurser:

uendeligt divideret med uendeligt: ∞:∞;
uendelig minus uendelig: ∞−∞;
enhed hævet til en uendelig potens: 1 ∞ ;
uendelig ganget med 0: ∞*0;
nogle andre.

Det er umuligt at løse sådanne udtryk med elementære metoder. Men højere matematik, takket være yderligere muligheder for en række lignende eksempler, giver endelige løsninger. Dette er især tydeligt i betragtning af problemer fra teorien om grænser.

Usikkerhedsoplysning

I teorien om grænser er værdien 0 erstattet af en betinget infinitesimal variabel. Og udtryk, hvor division med nul opnås, når den ønskede værdi erstattes, konverteres. Nedenfor er et standardeksempel på grænseudvidelse ved brug af de sædvanlige algebraiske transformationer:

Som du kan se i eksemplet, bringer en simpel reduktion af en brøk sin værdi til et helt rationelt svar.

Når man overvejer grænserne for trigonometriske funktioner, har deres udtryk en tendens til at blive reduceret til den første bemærkelsesværdige grænse. Når man overvejer de grænser, hvor nævneren går til 0, når grænsen erstattes, bruges den anden bemærkelsesværdige grænse.

L'Hopital metode

I nogle tilfælde kan grænserne for udtryk erstattes af grænsen for deres derivater. Guillaume Lopital - fransk matematiker, grundlægger af den franske skole for matematisk analyse. Han beviste, at grænserne for udtryk er lig med grænserne for afledte af disse udtryk. I matematisk notation er hans regel som følger.