Entropi, termodynamikkens anden lov. Termodynamikkens anden lov. irreversible processer
Som du ved, afspejler termodynamikkens første lov loven om bevarelse af energi i termodynamiske processer, men den giver ikke en idé om processernes retning. Derudover kan du komme med mange termodynamiske processer, der ikke vil modsige den første lov, men i virkeligheden eksisterer sådanne processer ikke. Eksistensen af den anden lov (begyndelsen) af termodynamikken er forårsaget af behovet for at etablere muligheden for en bestemt proces. Denne lov bestemmer strømningsretningen for termodynamiske processer. Når termodynamikkens anden lov formuleres, bruges begreberne entropi og Clausius-uligheden. I dette tilfælde er termodynamikkens anden lov formuleret som loven om vækst af entropien i et lukket system, hvis processen er irreversibel.
Udsagn om termodynamikkens anden lov
Hvis en proces sker i et lukket system, så falder entropien af dette system ikke. I form af en formel er termodynamikkens anden lov skrevet som:
hvor S - entropi; L er den vej, som systemet passerer fra en tilstand til en anden.
I denne formulering af termodynamikkens anden lov skal man være opmærksom på, at det pågældende system skal være lukket. I et åbent system kan entropi opføre sig, som du vil (og falde, og øge og forblive konstant). Bemærk, at entropi ikke ændres i et lukket system under reversible processer.
Væksten af entropi i et lukket system under irreversible processer er overgangen af et termodynamisk system fra tilstande med lavere sandsynlighed til tilstande med højere sandsynlighed. Den velkendte Boltzmann-formel giver en statistisk fortolkning af termodynamikkens anden lov:
hvor k er Boltzmann-konstanten; w - termodynamisk sandsynlighed (antallet af måder, hvorpå den betragtede makrotilstand i systemet kan realiseres). Så termodynamikkens anden lov er en statistisk lov, som er forbundet med beskrivelsen af mønstrene for termisk (kaotisk) bevægelse af molekyler, der udgør et termodynamisk system.
Andre formuleringer af termodynamikkens anden lov
Der er en række andre formuleringer af termodynamikkens anden lov:
1) Kelvins formulering: Det er umuligt at skabe en cirkulær proces, hvis resultat udelukkende vil være omdannelsen af varme, som modtages fra varmeren, til arbejde. Ud fra denne formulering af termodynamikkens anden lov konkluderes det, at det er umuligt at skabe en evighedsmaskine af den anden slags. Det betyder, at en periodisk fungerende varmemotor skal have et varmelegeme, en arbejdsvæske og et køleskab. I dette tilfælde kan effektiviteten af en ideel varmemotor ikke være større end effektiviteten af Carnot-cyklussen:
hvor er varmelegemets temperatur; - temperatur i køleskabet; ( title="(!LANG:Gengivet af QuickLaTeX.com" height="15" width="65" style="vertical-align: -3px;">).!}
2) Clausius' formulering: Det er umuligt at skabe en cirkulær proces, som resulterer i, at der kun vil ske overførsel af varme fra et legeme med en lavere temperatur til et legeme med en højere temperatur.
Termodynamikkens anden lov markerer en væsentlig forskel mellem de to former for energioverførsel (arbejde og varme). Det følger af denne lov, at overgangen af den ordnede bevægelse af kroppen som helhed til den kaotiske bevægelse af kroppens og miljøets molekyler er en irreversibel proces. I dette tilfælde kan en ordnet bevægelse blive til en kaotisk uden yderligere (kompenserende) processer. Mens overgangen fra uordnet bevægelse til ordnet bør ledsages af en kompenserende proces.
Eksempler på problemløsning
EKSEMPEL 1
| Dyrke motion | Hvad er essensen af "Heat Death of the Universe"-problemet? Hvorfor er dette problem uholdbart? |
| Løsning | Dette problem blev formuleret i det 19. århundrede. Hvis vi betragter universet som et lukket system og forsøger at anvende termodynamikkens anden lov på det, så vil universets entropi ifølge Clausius-hypotesen nå et vist maksimum. Det vil sige, at efter nogen tid vil alle former for bevægelse blive til termisk bevægelse. Al varme fra legemer med en højere temperatur vil passere til legemer med en lavere temperatur, det vil sige, at temperaturerne for alle legemer i universet bliver ens. Universet vil komme til en tilstand af termisk ligevægt, alle processer vil stoppe - dette kaldes universets varmedød. Fejlen i denne erklæring om universets varmedød ligger i, at termodynamikkens anden lov ikke gælder for åbne systemer, og universet bør ikke betragtes som lukket. Da det er grænseløst og består i uendelig udvikling. |
EKSEMPEL 2
| Dyrke motion | Hvad er effektiviteten af cyklussen, som er vist i fig. 1? Overvej, at en ideel gas er involveret i processen (antallet af frihedsgrader er lig med i), og dens volumen ændres n gange. |
| Løsning | Effektiviteten af cyklussen, som er vist i fig. 1, finder vi som:
hvor er mængden af varme, som arbejdsvæsken modtager fra varmeren i den præsenterede cyklus. I adiabatiske processer er der ingen varmetilførsel og fjernelse, det viser sig, at varme kun tilføres i proces 1-2. - mængden af varme, der fjernes fra gassen i proces 3-4. Ved hjælp af termodynamikkens første lov finder vi mængden af varme modtaget af gassen i proces 1-2, som er isokorisk: da der ikke er nogen volumenændring i denne proces. Ændringen i gassens indre energi er defineret som:I analogi med en isokorisk proces, hvor varme fjernes, har vi: Erstat resultatet (2.2 - 2.5) med udtryk (2.1): Vi bruger den adiabatiske ligning til at finde temperaturforskellene, og betragter Fig.1. Til proces 2-3 skriver vi: |
irreversible hedder fysisk proces, som spontant kan flyde i kun én bestemt retning.
I den modsatte retning kan sådanne processer kun forløbe som et af led i en mere kompleks proces.
Næsten alle processer i naturen er irreversible. Det skyldes, at en del af energien i enhver virkelig proces spredes på grund af stråling, friktion osv. For eksempel går varme som bekendt altid fra et varmere legeme til et koldere – det er det mest et typisk eksempel på en irreversibel proces overtræder ikke loven om energibevarelse).
Også en kugle (pendul), der hænger på en let tråd, vil aldrig spontant øge amplituden af dens svingninger, tværtimod, når den først er sat i bevægelse af en ydre kraft, vil den til sidst stoppe som et resultat af luftmodstand og friktion af tråden imod suspensionen. Således omdannes den mekaniske energi, der kommunikeres til pendulet, til den indre energi af den kaotiske bevægelse af molekyler (luft, suspensionsmateriale).
Matematisk er irreversibiliteten af mekaniske processer udtrykt i det faktum, at bevægelsesligningen for makroskopiske legemer ændres med en ændring i tidens tegn: de er ikke invariante, når de erstattes t på den - t. I dette tilfælde ændrer acceleration og kræfter, der afhænger af afstande, ikke deres tegn. Skriv under ved udskiftning t på den - tændrer sig med hastigheden. Følgelig ændrer tegnet kraften afhængigt af hastigheden - friktionskraften. Det er derfor, når arbejdet udføres af friktionskræfter, omdannes kroppens kinetiske energi irreversibelt til indre energi.
Retningen af processer i naturen indikerer termodynamikkens anden lov.
Termodynamikkens anden lov.
Termodynamikkens anden lov- en af termodynamikkens grundlæggende love, der fastslår irreversibiliteten af rigtige termodynamiske processer.
Termodynamikkens anden lov blev formuleret som en naturlov af N. L. S. Carnot i 1824, derefter af W. Thomson (Kelvin) i 1841 og R. Clausius i 1850. Lovens formuleringer er forskellige, men ækvivalente.
Den tyske videnskabsmand R. Clausius formulerede loven som følger: det er umuligt at overføre varme fra et koldere system til et varmere i fravær af andre samtidige ændringer i begge systemer eller omgivende kroppe. Det betyder, at varmen ikke spontant kan bevæge sig fra en koldere krop til en varmere ( Clausius princippet).
Ifølge Thomsons formulering er den proces, hvor arbejde omdannes til varme uden andre ændringer i systemets tilstand, irreversibel, dvs. det er umuligt at omdanne al den varme, der tages fra kroppen til arbejde uden at foretage andre ændringer i tilstanden. af systemet ( Thomson princippet).
I henhold til loven om bevarelse af energi i tilfælde af visse processer forbliver mængden af brugt energi uændret. For at forklare, hvordan energi kan omdannes, kan man henvise til begrebet termodynamikkens anden lov. Denne lov bekræfter irreversibiliteten af nogle fænomener i naturen og angiver banen for energiændringer inden for visse processer. Loven blev formuleret på baggrund af observationer af, hvad der sker i naturen, hvilket gjorde det muligt at forstå essensen og karakteren af visse fænomeners forløb. Alle fysikkens love er baseret på eksperimenter og observationer og har gjort det muligt at formulere bestemte udsagn ud fra, hvad der sker i naturen.
Termodynamikkens anden lov er baseret på irreversible og ufrivillige processer, der udelukkende sker i én retning og/eller uden ekstern påvirkning. Klassiske eksempler på sådanne processer er aldring, død. Uden at generalisere kan vi vende os til enklere processer: Parfumen spredes meget hurtigt, når den sprøjtes, og de bliver ikke ført tilbage; det er også nemt at forvandle æggene til en omelet, så de ikke kan komme tilbage til skallen.
Loven fungerer i isolerede systemer, men kan også opfattes som fungerende, hvis der er tale om anlæg, der har mulighed for at modtage varme udefra. I sådanne systemer entropi vil vokse endnu hurtigere. Entropiindekset angiver et system med uordens natur, det vil sige, at entropi i sig selv er et mål for uorden. En høj entropi er et højt niveau af tilfældighed i bevægelsen af partikler i et system. Et klassisk eksempel på denne tilstand er omdannelsen af is til vand og dens manglende evne til at blive til is igen af sig selv. I tilfælde af omdannelse af vand til is bør der forekomme et fald i niveauet af entropi.
Når vi taler om, hvad termodynamik er den anden lov, er det nødvendigt at huske, hvad det er termodynamikkens første lov. Det er personificeringen af alle kendte processer i naturen og observeres med 100 % nøjagtighed. Alt, hvad der kan modsige denne lov, findes ikke i naturen. Denne lov benægter ikke noget, men den bekræfter heller ikke noget, og som et hjælpeelement til at forklare bestemte processer, træder termodynamikkens anden lov, kendt af alle i forskellige formuleringer, ind. Selvom loven er enkel, bliver den ofte fejlfortolket.
Termodynamikkens anden lov optrådte som behovet for at bestemme retningen af fysiske processer bestemt af den første lov. Først og fremmest skal det bemærkes, at forskellige typer energi har forskellig evne til at omdanne til en anden energi. Der er en begrænsning, der ikke tillader intern energi at blive til mekanisk energi, og dette forklares af termodynamikkens love.
Termodynamikkens anden lov i forskellige formuleringer
Der er flere formuleringer af denne lov, der forklarer den samme sandhed på forskellige måder. Den første, der formulerede det, var R. Clausius, efterfulgt af formuleringerne fra Thomson, Boltzmann, Kelvin. Tilstedeværelsen af forskellige fortolkninger af denne lov giver os mulighed for at forstå den bedre. Derfor vil det ikke være overflødigt at gøre dig bekendt med hver af dem.
1. Overførsel af varme fra et legeme med lav temperatur til et andet legeme med et højere temperaturniveau er umuligt. (Clausius)
2. Enhver proces er umulig, hvis varme taget fra et fremmedlegeme skal bruges til dens gennemførelse.
(Thomson)
3. Entropitilstanden kan ikke blive mindre i helt lukkede systemer, der ikke modtager ekstern energi.
(Boltzmann)
4. Periodiske processer, der udelukkende opstår på grund af varmen fra en enkelt kilde, er umulige. Det er umuligt at skabe en evigvarende varmemotor, der ville udføre mekaniske processer på grund af varmetabet fra enhver krop. (Kelvin).
Ifølge alle formuleringerne kan det betinget bestemmes, at processerne kan kaldes irreversible, hvis den mekaniske energi går gennem modifikationsvejen i den indre energi i nærvær af friktionsprocessen. Fraværet af friktionsparameteren ville ellers gøre det muligt at opnå det omvendte flow af processer. Omvendte processer kan betragtes som abstrakte under hensyntagen til det faktum, at de som regel forløber i nærvær af varmeoverførsel og friktionsreaktioner.
Termodynamikkens anden lovformel
Der er visse ligninger, der hjælper med at overveje termodynamikkens anden lov ifølge mere specifikke data. Hovedligningen er Boltzmann-ligningen, som giver dig mulighed for at beregne entropiparameteren.
S = Q/T
For at forstå, hvad entropi-parameteren er, kan vi betragte et eksempel med et system, hvor to legemer med forskellige temperaturer vil udveksle varme, indtil temperaturen i begge legemer er ens. Varme vil udelukkende blive overført fra en krop med en højere temperatur til en koldere. Det legeme, der afgiver varme, modtager et reduceret niveau af entropi, men ikke i henhold til de parametre, hvormed entropien i det legeme, der modtog denne varme, stiger. Entropien af begge legemer efter varmeoverførselsprocessen vil være højere for hele systemet. Dette indikerer, at denne værdi tenderer til det n'te maksimum for alle lukkede systemer. Også uigendrivelig er udsagnet om, at varmeoverførselsvirkningen vil fortsætte med at forekomme spontant, så længe der er temperaturforskelle.
Termodynamikkens anden lov. Entropi.
Den anden lov er relateret til begrebet entropi, som er et mål for kaos (eller et mål for orden). Termodynamikkens anden lov siger, at for universet som helhed stiger entropien.
Der er to klassiske definitioner af termodynamikkens anden lov:
Kelvin og Planck
- Clausius
Der er ingen cyklisk proces, der udvinder en mængde varme fra et reservoir ved en bestemt temperatur og fuldstændig omdanner denne varme til arbejde. (Det er umuligt at bygge en intermitterende maskine, der ikke gør andet end at løfte en byrde og afkøle et varmereservoir.)
Der er ingen proces, hvis eneste resultat er overførsel af varme fra en mindre opvarmet krop til en varmere. (En cirkulær proces er umulig, hvis eneste resultat ville være produktion af arbejde ved at afkøle det termiske reservoir)
Begge definitioner af termodynamikkens anden lov bygger på termodynamikkens første lov, som siger, at energien falder.
Den anden lov er relateret til begrebet entropi (S).
Entropi genereret af alle processer, er det forbundet med tab af systemets evne til at udføre arbejde. Væksten af entropi er en spontan proces. Hvis systemets volumen og energi er konstant, så øger enhver ændring i systemet entropien. Hvis systemets volumen eller energi ændres, falder systemets entropi. Universets entropi falder dog ikke.
For at energi kan bruges, skal der være områder med højt og lavt energiniveau i systemet. Nyttigt arbejde frembringes ved overførsel af energi fra et område med høj energi til et område med lav energi.
- 100 % af energien kan ikke omdannes til arbejde
- Entropi kan genereres, men kan ikke ødelægges
Varmemotoreffektivitet
Effektiviteten af en varmemotor, der kører mellem to energiniveauer, bestemmes i form af absolutte temperaturer
η = (T h - T c) / T h = 1 - T c / T h
η = effektivitet
T c = nedre temperaturgrænse (K)
For at opnå maksimal effektivitet bør Tc være så lav som muligt. For at effekten er 100 %, skal T c være lig med 0 Kelvin. Dette er praktisk talt umuligt, så effektiviteten er altid mindre end 1 (mindre end 100%).
- Entropiændring > 0
Irreversibel behandle - Entropiændring = 0
Bilateralt proces (reversibel) - entropi ændring< 0
Umulig proces (umuligt)
Entropi måler et systems relative evne til at påvirke et andet. Når energi bevæger sig til et lavere energiniveau, hvor muligheden for at påvirke miljøet falder, øges entropien.
Definition af entropi
Entropi er defineret som:
T = absolut temperatur (K)
Ændringen i systemets entropi er forårsaget af ændringen i indholdet af skabelonen i det. Ændringen i entropi er lig med ændringen i systemets skabelon divideret med den gennemsnitlige absolutte temperatur (Ta):
Summen af værdierne (H / T) for hver komplet Carnot-cyklus er 0. Dette skyldes, at hver positiv H modvirkes af en negativ H-værdi.
- Carnot termisk cyklus
Carnot-cyklussen er en ideel termodynamisk cyklus.
I en varmemotor bliver gassen (reversibelt) opvarmet (reversibelt opvarmet) og derefter afkølet. Cyklusmodellen er som følger: Position 1 --() --> Position 2 --() --> Position 3 --(isotermisk kompression) --> Position 4 --(adiabatisk kompression) --> Position 1
Position 1 - Position 2: Isotermisk ekspansion
Isotermisk ekspansion. I begyndelsen af processen har arbejdsfluidet en temperatur T h , det vil sige varmelegemets temperatur. Derefter bringes kroppen i kontakt med varmelegemet, som isotermisk (ved en konstant temperatur) overfører mængden af varme Q H . Samtidig øges volumenet af arbejdsvæsken. Q H \u003d∫Tds \u003d T h (S 2 -S 1) \u003d T h ΔS
Position 2 - Position 3: Adiabatisk ekspansion
Adiabatisk (isentropisk) ekspansion. Arbejdsvæsken løsnes fra varmeren og fortsætter med at udvide sig uden varmeudveksling med omgivelserne. Samtidig falder dens temperatur til køleskabets temperatur.
Position 3 - Position 4: Isotermisk kompression
Isotermisk kompression. Arbejdsfluidet, som på det tidspunkt har en temperatur T c , bringes i kontakt med køleren og begynder at krympe isotermisk, hvilket giver køleren mængden af varme Q c . Q c \u003d T c (S 2 -S 1) \u003d T c ΔS
Position 4 - Position 1: Adiabatisk kompression
Adiabatisk (isentropisk) kompression. Arbejdsvæsken løsnes fra køleskabet og komprimeres uden varmeudveksling med omgivelserne. Samtidig stiger dens temperatur til varmelegemets temperatur.
I isotermiske processer forbliver temperaturen konstant, i adiabatiske processer er der ingen varmeoverførsel, hvilket betyder at entropi bevares.
Derfor er det praktisk at repræsentere Carnot-cyklussen i koordinaterne T og S (temperatur og entropi).
Termodynamikkens love blev bestemt empirisk (eksperimentelt). Termodynamikkens anden lov er en generalisering af eksperimenter, der involverer entropi. Det er kendt, at systemets dS plus miljøets dS er lig med eller større end 0.
- Entropien i et adiabatisk isoleret system ændres ikke!
Eksempel - Entropi når vand opvarmes
Processen med at opvarme 1 kg vand fra 0 til 100 o C (273 til 373 K)
Ved 0 o C \u003d 0 kJ / kg (specifik - pr. masseenhed)
Ved 100 o C = 419 kJ/kg
Ændring i specifik entropi:
dS = dH / T a
= ((419 kJ/kg) - (0 kJ/kg)) / ((273 K + 373 K)/2)
= 1.297 kJ/kg*K
Eksempel - Entropi under fordampning af vand
Processen med at omdanne 1 kg vand ved 100 o C (373 K) til mættet damp ved 100 o C (373 K) under normale forhold.
Specifik entalpi af damp ved 100 o C (373 K) Før fordampning = 0 kJ/kg
100 o C (373 K) på fordampning = 2 258 kJ/kg
Ændring i specifik entropi:
dS = dH / T a
= (2 258 - 0) / ((373 + 373)/2)
= 6.054 kJ/kg*K
Den samlede ændring i den specifikke entropi af vands fordampning er summen af den specifikke entropi af vand (ved 0 o C) plus den specifikke entropi af damp (ved 100 o C).
Foredrag 17
Termodynamikkens anden lov
Spørgsmål
Varmemotorer og kølemaskiner. Carnot cyklus.
Entropi, termodynamikkens anden lov.
3. rigtige gasser. Van der Waals ligning.
Isotermer af rigtige gasser. Fasediagram.
4. Intern energi af en rigtig gas.
Joule-Thomson effekt.
1. Opvarm motorer og køleskabe. Carnot cyklus
cyklus kaldet en cirkulær proces, hvor systemet, efter at have passeret gennem en række tilstande, vender tilbage til sin oprindelige position.
direkte cyklus
- motoreffektivitet
omvendt cyklus
- kølekoefficient
- varmekoefficient
MEN c = A 12 + A 23 + A 34 + A 41 (1)
, (2)
,
(3)
,
(4)
.
(5)
. (6)
(7)
Carnots sætninger:
Effektiviteten af en varmemotor, der kører ved givne varmelegeme- og kølertemperaturer, kan ikke være større end effektiviteten af en maskine, der kører på en reversibel Carnot-cyklus ved samme varmelegeme og kølertemperaturer.
Effektiviteten af en varmemotor, der kører i henhold til Carnot-cyklussen, afhænger ikke af typen af arbejdsvæske, men afhænger afkun på varmeapparatets og køleskabets temperaturer.
Afhængighed af effektiviteten af Carnot-cyklussen af varmelegemets temperatur(t 2 = 0 o C)
|
t 1 o C | ||||||
|
t , % |
;
, (8)
Carnots teorem tjente som grundlag for etablering termodynamisk temperaturskala, en sådan termodynamisk skala er ikke relateret til egenskaberne af noget bestemt termometrisk legeme.
Entropi, termodynamikkens anden lov
Entropi er forholdet mellem den varme, der leveres til det termodynamiske system i en eller anden proces, og denne krops absolutte temperatur.
(9)
Denne funktion blev først introduceret af S. Carnot under navnet reduceret varme , derefter navngivet af Clausius (1865).
,
(10)
- varme tilføres
- varme fjernes.
Entropiændring i særlige tilfælde af en polytrop proces
1.
isobarisk proces.
(11)
2
.
isotermisk proces
Termodynamikkens 1. lov: 
(12)
3. Adiabatisk proces.
isentropisk proces(13)
4. Isokorisk proces.
tysk fysikers formulering R. Clausius-en: ingen proces er mulig, hvis eneste resultat ville være overførsel af energi ved varmeoverførsel fra et legeme med en lav temperatur til et legeme med en højere temperatur.
Engelsk fysikers formulering W. Kelvin-en: i En cyklisk fungerende varmemotor kan ikke behandle, hvis eneste resultat ville være omdannelsen til mekanisk arbejde af hele mængden af varme modtaget fra et enkelt varmereservoir.
Probabilistisk formulering af en østrigsk fysiker L. Boltzmann: Han foreslog at betragte entropi som mål for statistisk uorden lukket termodynamisk system. Enhver tilstand i et system med en stor lidelse er karakteriseret ved en stor lidelse. Termodynamisk sandsynlighed W systemtilstande er antal måder, hvorved den givne tilstand af det makroskopiske system kan realiseres, eller antallet mikrostater der implementerer den givne makrotilstand. Per definition den termodynamiske sandsynlighed W >> 1.
S=k ln W, (14)
hvor k\u003d 1,38 10 -23 J / K - Boltzmanns konstant.
Entropi bestemmes således af logaritmen af antallet af mikrotilstande, med hvilke en makrotilstand kan realiseres. Derfor kan entropi betragtes som et mål for sandsynligheden for tilstanden af et termodynamisk system.
Alle spontane processer i et lukket system, der bringer systemet tættere på ligevægtstilstanden og ledsaget af en stigning i entropi, er rettet mod at øge sandsynligheden for tilstanden.
(15)
de der. entropien i et lukket system kan enten stige (i tilfælde af irreversible processer) eller forblive konstant (i tilfælde af reversible processer).
Da entropi kun stiger i en ikke-ligevægtsproces, sker dens stigning, indtil systemet når en ligevægtstilstand. Derfor svarer ligevægtstilstanden til den maksimale entropi. Fra dette synspunkt er entropi et mål for, hvor tæt et system er på en ligevægtstilstand, dvs. til tilstanden af minimum potentiel energi.
3. Rigtige gasser. Van der Waals ligning. Isotermer af rigtige gasser. fasediagram
Ethvert stof, afhængigt af statens parametre, kan være anderledes aggregeringstilstande:fast, flydende, gasformigt, plasma .
hollandsk fysiker Van der Waals indførte to ændringer til Mendeleev-Clapeyron-ligningen:
1. Regnskab for det iboende volumen af et molekyle
Rumfanget af et molekyle: 
;
Utilgængelig volumen af et par molekyler (pr. molekyle):
- firdoble volumenet af molekylet.
Utilgængelig volumen til alt N EN molekyler på en kilomol:
indre tryk;-en er van der Waals konstant, der karakteriserer kræfterne ved intermolekylær tiltrækning.
Van der Waals ligning for et mol gas (Ligning for tilstand af reelle gasser):
.
(16)
Van der Waals ligning for en vilkårlig gasmasse
.
(17)
For faste værdier af tryk og temperatur har ligning (16) tre rødder ift V(V 1 , V 2 , V 3)
(V V 1 )(V V 2)(V V 3 ) = 0.
